Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
272,45 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘTSỐVẤNĐỀVỀĐIỂMBẤTĐỘNGCỦAÁNHXẠKHÔNGGIÃN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Khải Thầy tận tình nghiêm khắc hướng dẫn trình hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thầy cô giáo khoa Toán phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình bạn bè bên tôi, ủng hộ suốt trình học tập thực luận vănMột lần xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khônggian metric 1.2 Khônggian tuyến tính 1.3 Khônggian tuyến tính định chuẩn 1.4 Khônggian Banach 13 1.5 Khônggian Hilbert 13 1.6 Toán tử tuyến tính 14 1.7 Khônggian liên hợp tính phản xạ 16 1.8 Cấu trúc hình học khônggian Banach 17 Mộtsốvấnđềđiểmbấtđộngánhxạkhônggiãn 26 2.1 Ánhxạkhônggiãnđiểmbấtđộng 26 2.2 Ánhxạkhônggiãn mở rộng 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Ánhxạkhônggiãn phần quan trọng giải tích hàm phi tuyến - lĩnh vực quan trọng giải tích - môn học vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ánhxạkhônggiãnđiểmbấtđộng nội dung quan trọng toán học đại có nhiều ứng dụng chẳng hạn để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân, phương trình hệ phương trình phi tuyến, phương trình tích phân, Với lý đó, với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải lựa chọn luận văn với đề tài “Một sốvấnđềđiểmbấtđộngánhxạkhông giãn.” Để hoàn thành luận văn, sử dụng số tài liệu tham khảo cụ thể sau: Kiến thức chuẩn bị mục 2.1 Chương dựa tài liệu [1] [2], phần lại luận văn dựa tài liệu [3] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sốvấnđềánhxạkhônggiãnđiểmbấtđộngkhônggian Banach ánhxạkhônggiãn mở rộng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ánhxạkhông giãn, điểmbấtđộngánhxạkhông giãn, ánhxạkhônggiãn mở rộng sốvấnđề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ánhxạkhônggiãnvấnđề liên quan Ánhxạkhônggiãn mở rộng vấnđề liên quan Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng phương pháp giải tích toán học Đóng góp luận văn: Trình bày sốvấnđềánhxạkhônggiãnánhxạkhônggiãn mở rộng Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khônggian metric Định nghĩa 1.1 Cho X = ∅ tập hợp tùy ý Một metric X ánhxạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X metric X gọi khônggian metric, ký hiệu (X, d) Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ 1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: d(x, y) = |x − y| (1.1) d metric R khônggian metric với khoảng cách nêu Ví dụ 1.2 Ta ký hiệu C[a,b] tập tất hàm số giá trị thực xác định liên tục [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số x(t), y(t) ∈ C[a,b] ta đặt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| (1.2) a≤t≤b Vì hàm số x(t), y(t) liên tục [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| liên tục [a, b] Hệ thức (1.2) xác định ánhxạ từ C[a,b] × C[a,b] tập số thực R Ánhxạ (1.2) thỏa mãn điều kiện metric Khônggian metric tương ứng ký hiệu C[a,b] Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn } khônggian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim (xn , x) = 0.Khi ký hiệu lim xn = x n→∞ n→∞ hay xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.3 Một dãy điểm {xn } khônggian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim (xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.4 Khônggian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Ví dụ 1.3 a) Xét tập số thực R với khoảng cách d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ R R khônggian metric đầy đủ b) Xét tập Q số hữu tỷ với khoảng cách d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ Q Q khônggian metric đầy đủ Định nghĩa 1.5 Cho khônggian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi tập hợp compact khônggian M dãy vô hạn phần tử tập K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Khi K = X M gọi khônggian compact Định nghĩa 1.6 Trong khônggian metric M = (X, d), A tập M Đường kính tập A kí hiệu diam A xác định bởi: diam A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} 1.2 Khônggian tuyến tính Định nghĩa 1.7 Xét R trường số thực, tập hợp X = ∅ với hai phép tính cộng nhân vô hướng: + Phép cộng: X ×X →X (x, y) → x + y + Phép nhân vô hướng: R×X →X (λ, x) → λx X gọi khônggian tuyến tính R điều kiện sau thỏa mãn: 1) ∀x, y ∈ X : x + y = y + x; 2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z); 3) ∃θ ∈ X để ∀x ∈ X cho x + θ = x; 4) ∀x ∈ X ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ; 5) ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X : λ(x + y) = λx + λy; 6) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : (λ + µ)x = λx + µx; 7) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : λ(µx) = (λµ)x; 8) ∀x ∈ X : 1.x = x Khi ta nói X khônggian vectơ R nói ngắn gọn X khônggian tuyến tính khôngsợ nhầm lẫn, phần tử x ∈ X gọi vectơ 1.3 Khônggian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho X khônggian vectơ trường số thực R Hàm số : E → R+ gọi chuẩn X tính chất sau thỏa mãn: i) x ≥ với x ∈ X, x = ⇔ x = θ; ii) λx = |λ| x với λ ∈ R với x, y ∈ X; iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Khônggian vectơ X xác định chuẩn gọi khônggian tuyến tính định chuẩn Ví dụ 1.4 (Không gian Euclide n - chiều) Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : x1 , x2 , , xn ∈ R} Ta xác định x Rn n x |xi |2 = (x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ) i=1 Ví dụ 1.5 Xét khônggian C[a;b] hàm liên tục đoạn [a; b] với phép cộng, phép nhân thông thường Xét f ∈ C[a;b] , f = b a [f (x)] dx chuẩn C[a;b] khônggian tuyến tính định chuẩn Nhận xét 2.1 Trong ví dụ thấy K không compact lồi ánhxạkhônggiãn T : K → K tồn điểmbấtđộng Bổ đề 2.1 Nếu K tập lồi, đóngkhônggian lồi chặt X T : K → K ánhxạkhônggiãn tập điểmbấtđộng F (T ) T đóng lồi Chứng minh Ta có T đóng T liên tục Giả sử x = T x y = T y cho λ ∈ (0; 1) tập z = (1 − λ) + λy x − Tx + Tz − y = Tx − Tz + Tz − Ty ≤ x−z + z−y = x−y ≤ x − Tz + Tz − x Vậy x, T z y tuyến tính khi: x − z = x − T z y − z = y − T z Do X lồi chặt nên z = T z Định nghĩa 2.2 Cho C tập khác rỗng khônggian Banach X Ánhxạ T : C → X gọi ánhxạ tựa khônggiãn F (T ) = ∅ p − Ty ≤ p − y , ∀ p ∈ F (T ), ∀ y ∈ C Định nghĩa 2.3 Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn khônggian lồi X T : C → C ánhxạkhônggiãn T gọi có điểmbấtđộng xấp xỉ với ε > tồn xε cho T xε −xε < ε 28 Định lý 2.1 Cho C tập lồi, compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc khônggian định chuẩn X T : C → C ánhxạkhônggiãn Khi T có điểmbấtđộng C Chứng minh Đặt F = {L ⊂ C : L lồi, đóng, không rỗng, T (L) ⊂ L} F = ∅ C ∈ F Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành tập hợp thứ tự phận Đặt G = {Lα } với Lα ∈ F lồng Khi ∩α Lα = ∅ C compact yếu T ∩α Lα ⊂ ∩α Lα , ∩α Lα cận G Theo bổ đề Zorn, F chưa phần tử cực tiểu H Ta chứng minh H gồm điểm phản chứng Giả sử d = diamH > Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn z ∈ H cho r = sup{ z − x : x ∈ H} < d Vậy tập hợp D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = ∅, B(z, r) hình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z D, T không giãn, ta có T (H) ⊂ B(T z, r), coT ¯ (H) ⊂ B(T z, r), co ¯ kí hiệu bao lồi, đóng tập hợp Vì coT ¯ (H) tập hợp lồi, đóng C nên compact yếu coT ¯ (H) ⊂ coH ¯ = H nên T (coT ¯ (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT ¯ (H), coT ¯ (H) ∈ F Vì coT ¯ (H) ⊂ H H cực tiểu nên coT ¯ (H) = H Từ ta có H ⊂ B(T z, r), chứng tỏ T z ∈ D, T (D) ⊂ D z D Ta kiểm tra D lồi đóng Cho z1 , z2 ∈ D z = αz1 + (1 − α)z2 với α ∈ [0, 1] Khi x − zi ≤ r, i = 1, 2, với z ∈ H Từ x − z ≤ r với x ∈ H nên z ∈ D, D lồi Nếu zn ∈ D zn → z x − z − n ≤ r với x ∈ H, suy x − z ≤ r với x ∈ H 29 nên z ∈ D, D đóng Tóm lại D ⊂ C tập hợp lồi, đóngbất biến T , D ∈ F Vì D ⊂ H H cực tiểu nên D = H Khi đó, với u, v ∈ D = H ta có u − v ≤ r, từ d = diamH = diamD ≤ r < d, ta gặp mâu thuẫn Vậy H gồm điểm, tức H = {x∗ } Vì H bất biến T nên ta có T x∗ = x∗ Định lý chứng minh Định lý 2.2 Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn khônggian lồi X T : C → C ánhxạkhônggiãn Khi tập hợp điểmbấtđộng T lồi, đóngkhông rỗng Chứng minh Vì X lồi nên phản xạ, C compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý (2.1), tập hợp điểmbấtđộng T không rỗng, đóng T liên tục Ta phải chứng minh tính lồi tập hợp Cho u = T u, v = T v m = λu + (1 − λ)v với λ ∈ [0, 1] Khi u − m = (1 − λ)(u − v) v − m = λ(v − u) Vì T ánhxạkhônggiãn nên ta có u − Tm + Tm − v ≤ u − m + m − v = u − v Do u − v = (u − T m) + (T m − v) nên u − v ≤ u − Tm + Tm − v Kết hợp với bất đẳng thức ta u − v = u − Tm + Tm − v 30 Đặt x = u − T m, y = T m − v ta có x + y = x + y Vì X lồi lồi chặt nên đẳng thức chứng tỏ tồn α > u − T m = α(T m − v) Từ ta có Tm = α u+ v = βu + (1 − β)v với β = 1+α 1+α 1+α Ta chứng minh β = λ phản chứng Giả sử β > λ Khi ta có Tv − Tm = v − Tm = β u − v >λ u−v = v−m , mâu thuẫn với tính khônggiãn T Hoàn toàn tương tự, β < λ ta gặp mâu thuẫn: T u − T v > u − m Vậy β = λ nên T m = m Vì điểm đoạn nối hai điểmbấtđộngđiểmbấtđộng nên tập hợp điểmbấtđộng tập hợp lồi định lý chứng minh Một câu hỏi đặt là: ánhxạkhônggiãn tập hợp lồi, compact yếu khônggian Banach có thiết phải có điểmbấtđộng không? Điều Ta chứng minh phản ví dụ sau Ví dụ 2.7 Cho X = L1 [0, 1], đặt 1 C = f ∈ L [0, 1] : f (t)dt = 1, ≤ f (t) ≤ , đặt (T f )(t) = min{2f (2t), 2} ≤ t ≤ 21 , max{2f (2t − 1) − 2, 0} < t ≤ Khi C tập hợp lồi, compact yếu, T ánhxạ đẳng cự C (tức T f − T g = f − g ) điểmbấtđộng 31 2.2 Ánhxạkhônggiãn mở rộng Trong mục ta nghiên cứu mở rộng ánhxạkhônggiãnánhxạkhônggiãn thỏa mãn điều kiện (C) đề xuất T Suduki Nội dung chủ yếu mục tham khảo [3] Định nghĩa 2.4 Cho C tập khác rỗng khônggian Banach X Ánhxạ T : C → X thoả mãn điều kiện (C) C với x, y ∈ C, ta có: x − T x ≤ x − y kéo theo T x − T y ≤ x − y Điều kiện (C) yếu ánhxạkhônggiãn mạnh ánhxạ tựa khônggiãn Điều thể mệnh đề 2.1 2.2 đây: Mệnh đề 2.1 Mỗi ánhxạkhônggiãn thỏa mãn điều kiện (C) Điều ngược lại không Thật vậy, ánhxạkhônggiãn thỏa mãn điều kiện (C) rõ ràng Để điều ngược lại không ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.8 Định nghĩa ánhxạ T đoạn [0, 3] sau: 0 x = 3, Tx = 1 x = T thỏa mãn điều kiện (C) T ánhxạkhônggiãn Thật vậy, x < y (x, y) ∈ ([0, 3] × [0, 3]\(2, 3) × {3}), Tx − Ty ≤ x − y Nếu x ∈ (2, 3) y = thì: x x − Tx = > > x − y 2 32 y − T y = > x − y , T thỏa mãn điều kiện (C) Tuy nhiên, T không liên tục T ánhxạkhônggiãn Mệnh đề 2.2 Giả thiết ánhxạ T thỏa mãn điều kiện (C) có điểmbấtđộng T ánhxạ tựa khônggiãn Điều ngược lại không Chứng minh Xét p ∈ F (T ) với x ∈ C: Vì p − T p = ≤ p − x , nên có T p − T x ≤ p − x (theo định nghĩa ánhxạ (C)) Mà T p − T x = p − T x nên p − T x ≤ p − x ⇒ T ánhxạ tựa khônggiãnĐể chứng minh điều ngược lại không đúng, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.9 Xét ánhxạ T đoạn [0, 3] sau: 0 x = 3, Tx = 2 x = Thì F (T ) = ∅ T ánhxạ tựa khônggiãn T không thỏa mãn điều kiện (C) Thật vậy, ta có F (T ) = = ∅ T ánhxạ tựa khônggiãn Tuy nhiên 1 − T3 = ≤ = − 2 T − T = > = − , đó, T không thỏa mãn điều kiện (C) 33 Sau ta làm rõ tính chất tập điểmbấtđộng F (T ), hội tụ dãy lặp đến điểmbấtđộngánhxạ thỏa mãn điều kiện (C); tồn điểmbấtđộng T Bổ đề 2.2 Cho {zn } {wn } dãy bị chặn khônggian Banach E cho λ ∈ (0, 1) Giả sử zn+1 = λwn + (1 − λ)zn wn+1 − wn ≤ zn+1 − zn với n ∈ N lim wn − zn = n→∞ Bổ đề 2.3 Cho T ánhxạ tập đóng C khônggian Banach X Giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) F (T ) đóng Hơn nữa, X lồi chặt C tập hợp lồi F (T ) lồi Chứng minh Lấy {zn } dãy F (T ), {zn } hội tụ tới điểm z ∈ C, có: zn − T zn = ≤ |zn − z với n ∈ N Ta có: lim sup zn − T z = lim sup T zn − T z n→∞ n→∞ ≤ lim sup zn − z = 0, n→∞ hay {zn } hội tụ đến T z Vậy F (T ) đóng Tiếp theo, ta giả thiết X lồi chặt C tập hợp lồi Lấy λ ∈ (0, 1) x, y ∈ F (T ), x = y, đặt z = λx + (1 − λ)y ∈ C Thì ta có: x − y ≤ x − Tz + y − Tz = Tx − Tz + Ty − Tz ≤ x−z + y−z = x−y Do X lồi chặt nên tồn µ ∈ [0, 1] cho T z = µx + (1 − µ)y Từ: (1 − µ) x − y = Tx − Tz ≤ 34 x−z = (1 − λ) x − y µ x − y = T y − T z ≤ y − z = λ x − y , ta có: − µ ≤ − λ µ ≤ λ Suy λ = µ Vậy z ∈ F (T ) Bổ đề 2.4 Cho T ánhxạ tập C khônggian Banach X Giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) với x, y ∈ C ta có: i) T x − T x ≤ x − T x , ii) Hoặc 1 x − T x ≤ x − y T x − T 2x ≤ T x − y , 2 iii) Hoặc T x − T y ≤ x − y T x − T y ≤ T x − y Chứng minh x − Tx ≤ x − Tx (iii) suy từ (ii) (i) suy từ Ta chứng minh (ii), phản chứng, giả sử 1 x − T x > x − y T x − T x > T x − y , 2 theo (i) ta có x − Tx ≤ x − y + Tx − y 1 < x − T x + T x − T 2x 2 ≤ x − Tx Điều mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.5 Cho T ánhxạ tập C lồi, bị chặn khônggian Banach X, giả sử T thỏa mãn điều kiện (C) Định nghĩa dãy {xn } C sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn , với n ∈ N, λ ∈ 2, Khi lim T xn − xn = n→∞ 35 Chứng minh Từ giả thiết ta có xn − T xn ≤ λ xn − T xn = xn − xn+1 , với n ∈ N Do T xn − T xn+1 ≤ xn − xn+1 Và theo bổ đề 2.2 ta có: lim T xn − xn = n→∞ Bổ đề 2.6 Cho T ánhxạ tập C khônggian Banach X Giả sử T thỏa mãn điều kiện (C) x − T y ≤ T x − x + x − y với ∀ x, y ∈ C Chứng minh Theo bổ đề 2.4 ta có: T x − T y ≤ x − y T x − T y ≤ T x − y Trong trường hợp đầu ta có: x − Ty ≤ x − Tx + Tx − Ty ≤ x − Tx + x − y Trong trường hợp 2, theo bổ đề 2.4 ta có: x − T y ≤ x − T x + T x − T 2x + T − T y ≤ x − Tx + Tx − y ≤ x − T x + x − y ∀x, y ∈ C Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3 Cho T ánhxạ tập lồi, compact C khônggian Banach X, giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) Định nghĩa dãy {xn } C sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn 36 Với n ∈ N, λ ∈ 2, {xn } hội tụ mạnh tới điểmbấtđộng T Chứng minh Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Do C tập compact nên tồn dãy {xnj } {xn } z ∈ C cho {xnj } hội tụ tới z Ta có: xnj − T z ≤ T xnj − xnj + xnj − z , với j ∈ N Vậy {xnj } hội tụ tới z Do T z = z hay z điểmbấtđộng T Theo mệnh đề 2.2 ta có: xn+1 − z ≤ λ T xn − z + (1 − λ) xn − z ≤ xn − z , với n ∈ N Vậy {xn } hội tụ tới z Mệnh đề 2.3 Cho T ánhxạ tập C khônggian Banach X với X có tính chất Opial T thỏa mãn điều kiện (C) Nếu {xn } hội tụ yếu tới z lim T xn − xn = T z = z, nghĩa (I − T ) nửa n→∞ đóng Chứng minh Theo bổ đề 2.6 ta có: xn − T z ≤ T xn − xn + xn − z với n ∈ N Từ lim inf xn − T z ≤ lim inf xn − z n→∞ n→∞ Từ tính chất Opial ta có T z = z Định lý 2.4 Cho T ánhxạ tập C lồi, compact yếu khônggian Banach X có tính chất Opial T thỏa mãn điều kiện (C) Định 37 nghĩa dãy {xn } sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn , với n ∈ N, λ ∈ 2, Khi {xn } hội tụ yếu tới điểmbấtđộng T Chứng minh Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Do C compact yếu nên tồn dãy {xnj } {xn } z ∈ C cho {xnj } hội tụ yếu tới z Theo mệnh đề 2.3 ta có z điểmbấtđộng T Như chứng minh định lý 2.3, ta thấy { xn − z } dãy không tăng Bằng phản chứng, giả sử {xn } không hội tụ đến z Khi tồn dãy {xnk } {xn } w ∈ C cho {xnk } hội tụ yếu tới w Để ý T w = w, từ tính chất Opial ta có: lim xn − z = lim xnj − z < lim xnj − w = lim xn − z n→∞ j→∞ j→∞ n→∞ = lim xnk − w < lim xnk − z = lim xn − z k→∞ k→∞ n→∞ Điều mâu thuẫn Vậy {xn } hội tụ tới z Định lý 2.5 Cho T ánhxạ tập lồi C khônggian Banach X, T thỏa mãn điều kiện (C) Giả thiết rằng, hai điều kiện sau xảy • C compact, • C compact yếu X có tính chất Opial Khi T có điểmbấtđộng Chứng minh 38 Nếu C compact, từ định lý 2.3 suy T có điểmbấtđộng Nếu C compact yếu X có tính chất Opial từ định lý 2.4 suy T có điểmbấtđộng Định lý 2.6 Cho C tập lồi, compact yếu khônggian Banach X, X lồi theo hướng, T ánhxạ C T thỏa mãn điều kiện (C) T có điểmbấtđộng Chứng minh Định nghĩa dãy {xn } C x1 ∈ C 1 xn+1 = T xn + xn với n ∈ N 2 Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Định nghĩa hàm f liên tục, lồi từ C vào [0, ∞) với f (x) = lim sup xn − x với ∀x ∈ C n→∞ Vì C compact yếu, f nửa liên tục yếu, nên tồn z ∈ C cho f (z) = min{f (x) : x ∈ C} Vì xn − T z ≤ T xn − xn + xn − z Theo bổ đề 2.6 ta có f (T z) ≤ f (z) Nếu T z = z với f tựa lồi chặt ta có z + Tz ) < max{f (z), f (T z)} = f (z) Điều mâu thuẫn Vậy T z = z f (z) ≤ f ( Định lý 2.7 Cho C tập lồi, compact yếu khônggian Banach, lồi theo hướng X Cho S họ ánhxạ giao hoán C thỏa mãn điều kiện (C) S có điểmbấtđộng tầm thường 39 Chứng minh Cho T1 , T2 , , Tl ∈ S Theo định lý 2.6 T1 có điểmbấtđộng C, F (T1 ) = ∅ Theo bổ đề 2.3 ta có F (T1 ) k−1 đóng lồi Giả sử A := ∩j=1 F (Tj ) = ∅, lồi đóng với k ∈ N ≤ k ≤ l Với x ∈ A j ∈ N, ≤ j < k Do Tk Tj = Tj Tk ,nên Tk x = Tk Tj x = Tj Tk x Vậy Tk x điểmbấtđộng Tj hay Tk x ∈ A Do đó, Tk (A) ⊂ A Theo định lý 2.6 Tk có điểmbấtđộng A, đó, A ∩ F (Tk ) = ∩kj=1 F (Tj ) = ∅ Bằng quy nạp ta có ∩lj=1 F (Tj ) = ∅ Vì C tập compact yếu F (T ) đóng yếu ánhxạ T ∈ S, ta có ∩T ∈S F (T ) = ∅ 40 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm ánhxạkhônggiãnMộtsố định lý điểmbấtđộngánhxạkhông giãn, định lý hội tụ điều kiện tồn điểmbấtđộngánhxạkhônggiãn Luận văn nghiên cứu lớp toán tử khônggiãn mở rộng (lớp toán tử thỏa mãn điều kiện (C)) Mặc dù tác giả cố gắng, song thời gian khả kiến thức thân hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô nói riêng bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích hàm, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội, 2001 [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lý điểmbất động, NXB Đại Học Sư Phạm, 2002 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] T Suduki, Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings, J Math Anal App 340 (2008) 1088 - 1095 [4] S Prus, Geometrical background of metric fixed point theory, in: W.A.Kirk, B Sims(Eds), 2001, pp 93-132 ... cứu số vấn đề ánh xạ không giãn điểm bất động không gian Banach ánh xạ không giãn mở rộng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ không giãn. .. t∈(0;1− ) Chương Một số vấn đề điểm bất động ánh xạ không giãn 2.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động Định nghĩa 2.1 Cho C tập khác rỗng không gian Banach X Ánh xạ T : C → X gọi ánh xạ không giãn với x,... 14 1.7 Không gian liên hợp tính phản xạ 16 1.8 Cấu trúc hình học không gian Banach 17 Một số vấn đề điểm bất động ánh xạ không giãn 26 2.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động