Luận văn thạc sĩ điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THỦY ĐIEM BÁT ĐỌNG CUA ANH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ THỦY HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS TRẦN QUỐC BÌNH HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Trần Quốc Bình khóa luận hoàn thành không trùng với công trình khoa học khác Trong thực khóa luận tác giả sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học khác với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thủy Muc luc Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lí ánh xạ co Banach có nhiều ứng dụng, gặp nhiều lĩnh vực khác toán học Một số ứng dụng chẳng hạn chứng minh tồn nghiệm toán Côsi trở thành kinh điển, giảng dạy trường đại học Tuy nhiên, định lý ánh xạ co có ứng dụng khác nữa, biết đến thú vị Chẳng hạn ký hiệu N họ compact K, N trang bị Hausdorff mêtric (khoảng cách Hausdorff) tập compact XcR xét ánh xạ: T(X) = \x u gv +1) Khi T(X) ánh xạ co (trong Hausdorff mêtric) chọn X Q = [0; 1] X n = T n (Xo) hội tụ đến tập Cantor tiếng Trong chương luận văn trình bày ứng dụng khác thường định lý ánh xạ co Banach Trong chương này, luận văn chứng minh định lý điểm bất động Caristi Khi hệ số co định lý Banach ta ánh xạ không giãn (IITx — TyII ^ 11rr — yII Vx,y E D) Nói chung ánh xạ không giãn không thiết có điểm bất động Để ánh xạ không giãn có điểm bất động ta phải áp đặt điều kiện lên miền xác định cấu trúc hình học không gian Những phần đề cập chương Trong chương này, việc chứng minh định lý tồn điểm bất động ánh xạ không giãn đề cập đến vấn đề khác nữa, liên quan đến cấu trúc hình học không gian Banach Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu ứng dụng định lý ánh xạ co Banach tồn điểm bất động ánh xạ không giãn Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu thấu đáo chương tương ứng sách W.A.Kirk [2 ] số báo liên quan tới đề tài nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức, khái niệm mở rộng liên quan đến cấu trúc hình học không gian Banach, phục vụ việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn ứng dụng định lý ánh xạ co Banach Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo ánh xạ không giãn lý thuyết điểm bất động Đọc hiểu, tổng hợp trình bày cách hệ thống kết nhận Những đóng góp đề tài Luận văn tài liệu hữu ích ánh xạ co Banach ánh xạ không giãn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số ký hiệu, định nghĩa về: bao lồi, bao lồi đóng, không gian liên hợp thứ nhất, thứ hai, tôpô yếu, tôpô yếu* Và tính chất có liên quan Đặc biệt tính chất công cụ hỗ trợ trình chứng minh định lý, bổ đề Chương Chương 1.1 Ký hiệu Nếu Ả tập không gian metric (M, p) diamA đưòng kính A: diam A = sup {p{x] y) : X, y € A} Ký hiệu dist(x, A) khoảng cách từ X tới A: dist(x, A) = inf {p(x] y) : y € A} X G M ký hiệu B(x, r) ký hiệu hình cầu đóng có tâm đặt X với bán kính r > B{x, r) = {y e M : p(x, y) ^ r} A ký hiệu bao đóng A M X = (JC, ||.||) ký hiệu cho không gian Banach thực tùy ý với chuẩn 1.2 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Bao lồi Ả c X tập lồi nhỏ X chứa A , ký hiệu c o A Ta có: c o A = n { K c X : K D A , K tập lồi} n n Khi X G c o A X = X ị X ị với X i G A , \ ị ^ \ i = í= í= Định nghĩa 2 Bao đóng c o A ký hiệu c õ A gọi bao lồi đóng A Như vậy: c õ A = n { K c X : K D A , K tập đóng lồi} Định nghĩa 1.2.3 Giả sử X , Y không gian Banach Ký hiệu £(X, Y ) không gian toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chuẩn £(X, Y ) hiểu chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục vai T e ¿.{X, Y ) T = sup ị ,, , l ||ÍE|| : X G X, X Ỷ = sup {||Ta;||:a;GX:||a;|| = l} Nếu X , Y không gian Banach (£(X, Y ) , ll-ll) không gian Banach Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X , Y không gian Banach Ký hiệu: X * = (phiếm hàm tuyến tính liên tục trênX} Ta gọi X * = L ( x , R) không gian liên hợp hay không gian liên hợp (thứ nhất) X Ký hiệu cặp đối ngẫu phần tử X vói phần tử X * x * ( x ) = ( x , x *) , X € X , X * € X * ( x , X * ) hàm tuyến tính liên tục X * vói X E X c ố định Không gian X * * = L ( X * , R ) gọi không gian liên hợp thứ hai X Nếu X € X cố định, ánh xạ: X —> X * gọi phép nhúng tắc X X**, phép nhúng phép đẳng cự tuyến tính Nếu toàn ánh X gọi phản xạ ký hiệu X = X** Định nghĩa 1.2.5 Tô pô yếu X tô pô tạo từ tập hợp nửa chuẩn {/0 X *} , X * G X* với p x *(x) =|(x,i*)|,iG X Tô pô yếu * X* tô pô tạo từ tập nửa chuẩn {p x }, X G X vai Px{x*) = |(x,x*)| ,x* G X* X, X* không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương tương ứng vói tô pô yếu yếu* chúng Khi X phản xạ tô pô yếu tô pô yếu* X* trùng 1.3 Tính chất Tính chất 1.3.1 Tập lồi K X đóng đóng Tính chất 1.3.2 Nếu tập compact yếu K tập compact yếu X cõK yếu Tính chất 1.3.3 (Định lý Mazur) Nếu Ả compact cõA Tính chất 1.3.4 (Định lý Alaoglu) Hình cầu đơn vị 5(0; 1) không gian liên hợp X* compact tô pô yếu* Tính chất 1.3.5 Nếu X phản xạ hình cầu X compact tô pô yếu Tính chất 1.3.6 (Định lý Eberlein-Smulian) Vói tập bù A X khẳng định dưói tương đương: a) Mỗi dãy {x n } A có dãy hội tụ yếu b) Mỗi dãy {x n } A chứa điểm tụ yếu X c) Bao đóng yếu A A compact yếu* Tính chất 1.3.7 (Định lý Krein-Smulian) Tập K không gian liên hợp X* đóng yếu* vói r > tập {X* G K : 11 ar* II ^ r} đóng yếu* Tính chất 1.3.8 Nếu X không gian tách K tập lồi X* K đóng yếu* đóng yếu* theo dãy Tính chất 1.3.9 Một không gian Banach phản xạ thỏa mãn điều kiện (tương đương) đây: a) X* phản xạ b) B(0; 1) compact yếu X* c) Bất kì dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu d) (James (1964)) Với tập lồi, đóng bị chặn K X X * G X*, tồn X € K, x*(x) = sup{x*(y) : y € K} e) (Smulian (1939)) Với dãy giảm {K n } tập lồi, đóng, 00 bị chặn không rỗng X, n K n Ỷ ộn= Chương Anh xạ CO Banach ứng dụng Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi nguyên lý ánh xạ co Banach, xuất luận điểm Banach năm 1922 Các kết kinh điển mở rộng lớp ánh xạ không gian khác nhau, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Trong chương chứng minh nguyên lý ánh xạ co Banach nhiều cách Ung với cách chứng minh đưa nhận xét hữu ích giúp khai thác sâu nội dung định lý Ngoài chương chứng minh định lý Caristi đưa số ví dụ đa dạng ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach: Giải toán Côsi phương trình vi phân ( chứng minh ba cách khác nhau), thiết lập tự đồng dạng, bậc hai đại số Banach 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 2.1.1 Cho M không gian mêtric với mêtric p Một ánh xạ T : M —> M gọi "Lipschitz" 3k ^ 0, Va;, y € M thỏa mãn p(Tx,Ty) ^ kp(x,y) (2 ) Số k nhỏ (2.1) gọi số Lipschitz Hằng số Lipschitz ánh xạ T k(T), ánh xạ k(S) kp(T): ký hiệu số Lipschitz T mêtric p s Nhận xét 2.1.1 Với hai ánh xạ s, T : M —> M, ta có: Do / liên tục tập compact s nên đạt cận trên, tồn { ữỉVữ) £ s x cho x + y II < ỊỊsọ + yo|| 2^2 Với ỏ (£) đủ bé ta có Ihr+M 22w với (x,y) G s Vậy tập X lồi Dưới đây, ta đưa ví dụ không gian lồi ngặt, lồi không gian lồi ngặt mà không lồi Ví dụ 3.2.1 Không gian (K 2, I I I I l không gian lồi ngặt Không gian (K 2, ||.||2) không gian lồi nên lồi ngặt Ví dụ 3.2.2 Cho X = C[0; 1], X ta xét chuẩn tương đương sau Khi (X, ||.||0) không gian không lồi ngặt với x(t) = t y(t) = t ta có ||a; + y||0 = Tuy nhiên, ll-ll^) không gian lồi ngặt không lồi Thật vậy, lấy x,y E X cho ||a:|| ||z + y\\ l x = 2, ta có: = 1, ||y|| = l,x Ỷ V- Giả sử / (x{t ) + y{t)fdt = J (x (t ) + 2x(t)y(t) + y {t))dt \2 í /1 Suy I -i \ Dấu IkL + \z + y\\u ^ \\y\\ xảy y J x {t)dtj + ụ y {t)dtj Suy 1/1\2/1\2 11 JJ J x{t)y{t)dt =ụ x {t)dtj y J y {t)dtj [x(t)y(s) - x(s)y(t)] dtds = 0 Do x(t), y(t) liên tục tích phân theo Riemann tích phân theo Lebesgue [0; 1] X [0; 1] nên x(t)y(s) — x(s)y(t) = với t,s G [0,1] Do tồn A cho xịt) = Ay(t) Vì ||æ|| = ||y|| nên A = ±1 Nếu A = với X Ỷ X = y, điều mâu thuẫn V- Nếu A = — x + y = 0, mâu thuẫn với ||æ + y\\ = Vậy, ||æ + y II • Do vậy, X không lồi ^ Định nghĩa 3.2.3 Cho X không gian Banach, môđun lồi X hàm ổ : [0, 2] -► [0,1] xác định công thức Đặc trưng lồi không gian Banach X £oPO = sup {e G [0, 2] : ổ(e) = 0} Định lý 3.2.1 Môđun lồi ỗ hàm liên tục [0,2) tăng ngặt Chứng minh Đặt ổi(e) = eổ(e) với £ G (0, 2) Vì ổ hàm tăng nên với £\, £2 G (0, 2) ta có 1^1(£i) — ^1 (^2) I = |£I 0+ mà ố(0) = Vậy hàm ố liên tục [0, 2) Với £ G [e0, 2), lấy X G X : ||a;|| = y = (1 — £)x Ta có II® - y\\ = £, - \ II® + y\\ = § Vậy, ổ(e) ^ I với £ G [e0) 2) Ta chứng minh hàm ố tăng ngặt phản chứng Giả sử tồn £1 < £ [e0, 2) cho ố(£i) = ố(s:2) Đặt: £ = k£ với k > Với x,y G X thỏa mãn ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, 11rr — y\\ ^ £\ đặt: u = kx , V = ky Khi đó, ta có ^ k, ^ k, ||ư — v|| ^ k£ = £ Suy Do i||* + vKỈ(l-ỉ(£l)) Suy Vì ổ(si) cận lớn nên ta có ổ(ei) ^ - ị (1 - ổ(ei)) Do ổ(si) ^ 1, mâu thuẫn với ổ(si) ^ y < Vậy hàm ổ tăng ngặt [ S Q , ) □ Hệ 3.2.1 ỗ{2~) = lim Ỗ ( E ) = - Y £-»■2- Chứng minh Lấy £ G [so, 2), ĨỊ G (o, — ổ(s)) Theo định nghĩa ổ tồn X, y G X cho ||æ|| ^ 1, ||y|| ^ 1, ||æ — y\\ ^ £ để x + y > - {Õ{E) + TỊ ) Ta có ^ - ỏ(\\x - (-y)\\) x-y Vì ỗ hàm tăng nên ta có I ^ - ỗ{2 - 2{Ỗ{E) + TỊ)) Do hàm ố liên tục nên cho TỊ —> 0+ ta có I ^ - ỗ{2 - 20 ( E )) Suy ¿(2 - ( E ) ) ^ - I - (*) - Cho £ —> 2“ ta có ỗ(2 — 2Ố(2 )) = Suy — 2Ố(2 ) ^ £0, - ! Từ (*) cho £ —> £g ta có í(2-)< l-y Vậy ỉ(2-) = l-| □ Nói chung, ta không xác định môđun lồi không gian Banach X Ta xác định môđun lồi trường hợp đặc biệt, ví dụ ta xét X không gian Hilbert Ví dụ 3.2.3 Cho X không gian Hilbert, ta xác định môđun lồi đặc trưng lồi X Vì X không gian Hilbert nên với x,y G X ta có II I 11 I II 11 _ o/ll™l|2 I II 11 \ ||íE + y|| +||íE-y|| = 2(||ÍE|| + ||y|| ) Do với x,y thỏa mãn ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, 11rc — y\\ ^ £ ta có ||rc + y||2 ^ — Suy x + y 1- £2 £2 Do _ Vì ố(s:) = £ = nên £ Q = Định lý cho ta mối quan hệ môđun lồi, đặc trưng lồi tính lồi đều, lồi ngặt không gian Banach Định lý 3.2.2 1) Không gian Banach X lồi £ Q = 2) Không gian Banach X lồi ngặt ỗ(2 ) = Chứng minh 1) Vì X lồi nên ố(e) > với £ > 0, £ Q = Ngược lại, £ Q = ố(e) > với £ x + y > ^ - ổ(e) với x,y G X thỏa mãn ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, 11rc — yII ^ £ Vậy, không gian X lồi 2) Lấy x,y € X cho ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, ||rc — y II ^ Khi ta có ll^ll + ||— y\\ = ||íE + (—y)\\ = Do X lồi ngặt nên tồn A > cho X = A(— y) Vì ||a;|| = ||— y\\ nên A = Do X + y = 0, suy ổ(2) = Với X , y G X thỏa mãn ||a;|| = 1, ||y|| = 1, X Ỷ Vì giả sử 11rc + y II = Vì ổ(2) = nên X - y ^ - ổ(2) = suy gian X lồi ngặt X = y, mâu thuẫn với X Ỷ V- Vậy, không □ Ngoài ra, R.c James rằng: không gian Banach X phản xạ £o(^V) < 3.3 Định lý điểm bất động ánh xạ không giãn Cho X không gian Banach tập D c X, ta ký hiệu: r u (D ) = sup{||it — v\\ ,v £ D} , u G X r(D) = inf{r u (D),u e D} C{D ) = { u e D : r u (D) = r{D)} r(D), C(D) gọi bán kính Chebysev, tâm Chebyev D Với £ > đặt C £ {D) = {u e D r u { D ) ^ r{D) + £} = n B(u, r(D)) + E ) n D Ỷ ệ U&D Khi ta có C(D) = n C e (D) e>0 Định lý 3.3.1 Cho K tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach X Khi ánh xạ không giãn T : K —> K có điểm bất động 4 Chứng minh Đặt $ = {L c K : L lồi, đóng, không rỗng, T(L) c L} Tập $ ^ (Ị) VI K £ Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, tập # thứ tự phận Gọi £ xích quan hệ thứ tự bao hàm thức nên £ họ tập lồng Do đó, giao hữu hạn phần tử £ khác rỗng Vì tập lồi, đóng đóng yếu K compact yếu nên n L Ỷ ộ- Vậy, Le£ xích £ có phần tử chặn Theo bổ đề Zorn, # có phần tử cực tiểu D Vì K compact yếu nên C(D) = n C e {D) Ỷ ộ- Do C e {D) lồi, đóng nên C(D) lồi, đóng Để chứng minh C(D) E # ta chứng minh T(C(D)) c C(D) Lấy u E C{D) ta có r u (D) = r(D) Với V £ D ta có ||Tit — TvII ^ ||it — v|| ^ T ( D ) Suy T(D) c B(Tu, r(D)), cõT(D) c B(Tu, r(D)) Vì D phần tử cực tiểu # nên D = cõT(D) c B{Tu,r{D)) Vì vậy, Tu E C(D) suy C(D) E Do D phần tử cực tiểu nên C{D) = D Giả sử diamD > 0, K có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn X £ D cho r(D ) ^ r x (D) < diarriD = r(D ) (vô lý) Vậy, diamD = suy T có điểm bất động □ Tương ứng với cấu trúc chuẩn tắc yếu* không gian liên hợp X* ta có định lý điểm bất động Định lý 3.3.2 Cho K tập lồi, compact yếu*, có cấu trúc chuẩn tắc yếu* không gian liên hợp X* Khi ánh xạ không giãn T : K —> K có điểm bất động Định lý chứng minh tương tự định lý (3.3.1) Dưới đây, ta trình bày định lý liên quan đến tính chất điểm bất động Định lý 3.3.3 Cho K tập lồi, đóng không gian lồi ngặt X, T : K —»■ K ánh xạ không giãn Khi tập fixT = {x G K : Tx = x} lồi, đóng Chứng minh Do T liên tục nên fixT đóng Ta chứng minh fixT lồi, lấy x,y G fixT, a € (0,1) Đặt: z = ax + (1 — a)y Ta có ||rc — Tz\\ + \\Tz — y\\ = \\Tx — T z\\ + \\Tz — Ty\\ II 1» 535 Kỉ SH ^ -—++ = —— ^ 1 V/ V/ Suy \\x - Tz\\ + \\Tz - y II = ||x - yII = II(x - Tz) + {Tz - y)II Do X lồi ngặt nên tồn Ị3 > cho (x - Tz) = Ị3(Tz - y) Từ ta có Nếu < a Tz = ^x + (1 7)y vai = ị Tz — Tx II = \\Tz — s|| = (1 — 7) ||a; — y\\ > (1 - a) \\x - yII = 11 z - x\\ (vô lý) Nếu > a \\Tz -Ty II = \\Tz- y II = \\x - y II > a\\x- y II = 11 z - y\\ (vô lý) Vậy, a = suy z £ fixT Do đó, fixT lồi □ Hệ 3.3.1 Cho K tập lồi, đóng, bị chặn không gian lồi X T : K —> K ánh xạ không giãn Khi tập fixT khác rỗng, lồi, đóng Chứng minh Vì X lồi nên không gian X phản xạ, tập K bị chặn không gian phản xạ nên K compact yếu Do tập không gian lồi có cấu trúc chuẩn tắc (tính chất chứng minh mục sau) nên tập K có cấu trúc chuẩn tắc Theo định lý (3.3.1) (3.3.3) ta có fixT khác rỗng, lồi, đóng □ Định lý (3.3.3) không trường hợp tổng quát, qua ví dụ Ví dụ 3.3.1 Cho X = K2 với chuẩn ||(íc,y)||00 = max{ |a;| , \y\ } ánh xạ T : X —> X xác định sau T(x,y) = (x, |a;|) Khi T ánh xạ không giãn fixT = {(x,y) : y = \x\} , nhiên fixT không lồi Sau xuất định lý điểm bất động ánh xạ không giãn, câu hỏi đặt có bỏ điều kiện "có cấu trúc chuẩn tắc"không? Câu hỏi Alspach trả lòi phản ví dụ không gian L^o, 1], Alspach xây dựng ánh xạ không giãn điểm bất động tập lồi, compact yếu, cấu trúc chuẩn tắc không gian L^O, 1] Vì L l [0,1] không gian Banach không phản xạ nên câu hỏi lại xuất hiện: ánh xạ không giãn tập lồi, đóng, bị chặn không gian Banach phản xạ có thiết phải có điểm bát động không? Câu hỏi chưa có câu trả lòi 3.4 Mối quan hệ môđun lồi cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 3.4.1 Hệ số cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach X định nghĩa N { X ) = sup r(K) diamK Từ định nghĩa ta thấy N ( X ) ^ 1, N ( X ) < X có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.4.1 Nếu môđun lồi ỗ không gian Banach X thỏa mãn ổ(l) > (tức £o(A") < 1) X có cấu trúc chuẩn tắc N ( X ) ^ Chứng minh Gọi K tập lồi, bị chặn X với diamK > 0, đặt d = diamK Với £ > tồn u,v € K cho ||ÎX — v|| ^ d — £ Đặt z = ị(u + v) G K, với X & K ta có ||æ — It II ^ d, ||æ — vil ^ d Suy 1, X- ị{u + V) ^ d \ Jd-£ H(V)J (d-£ w Từ ta có - (7)l i r(K) ^ r z {K) ^ d Cho £ —> ta có r(K) ^ cỉ(l — ổ(l)) □ Do N ( X ) ^ — ổ(l) Vì ổ(l) > nên N ( X ) < 1, X có cấu trúc chuẩn tắc Từ định lý ta có kết luận sau: không gian lồi có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.4.2 Cho X không gian Banach, đặt Xị = (X, Il.II1) X = (-V, ||.|| 2) II.IIx ||.||2 tương đương tức tồn a, ß > cho OíIIreII1 ^ ||æ||2 ^ ßll^lli với X G X Đăt k = -, ta có a’ ) bv(v,) s: JV(X2) s: k N( x , ) 2) Nêu suy £0(^2) < 1Định lý (3.4.1) điều kiện đủ để không gian có cấu trúc chuẩn tắc đều, điều ngược lại định lý không qua ví dụ Ví dụ 3.4.1 Cho X = (l , ll-ll) Với < A < y/2, đặt Xx = (l , ||.||A) ||a;||A = max {ll^ll^, A_1 ||a;||} Ta chứng minh X\ có cấu trúc chuẩn tắc Ta có A-1 ||a;|| ^ ||a;||À ^ ||a;|| Do hai chuẩn tương đương Vì X không gian Hilbert nên ta xác định môđun lồi X, người ta chứng minh N ( X ) = Ta có _ Gọi ô \ mô đun lồi X \ Với k = A, từ (*) ta có ốA(s) ^ - X ^ Ị l - — Vì — A\ J — - Ệ ỹ > với £ > 2\/A2 — nên £0(^A) ^ 2\/A2 — Lấy X y = = (\/A2 - 1,1, 0, ) (-\/ A2- 1, 1, 0, ) Ta có ||x||Ä = 1, \\y\\ x = 1, ||x - y||Ä = 2y/x - 1, ||x + y||Ä = Do ỔA( 2\ / A2 - 1) = Vậy £ ( * A ) = V Ã ^ I Theo định lý (3.4.2) ta có N(X x) ^ X N ( X ) = A^ Vì A < \/2 nên N ( X x ) < 1, X x có cấu trúc chuẩn tắc Theo định lý (3.4.2), £0(^A) < A^/l — < Từ suy £O(^A) < A < Vậy, với ^ ^ A < \ ¡ £O(^A) ^ nhiên X x có cấu trúc chuẩn tắc KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách ngắn gọn, có hệ thống điểm bất động ánh xạ co ánh xạ không giãn không gian Banach Cụ thể sau: Chương 1: Trình bày ký hiệu, định nghĩa tính chất sở Chương 2: Trình bày chứng minh nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi số ví dụ ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach Chương 3: Trình bày ánh xạ không giãn, định lý tồn điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach sơ lược cấu trúc hình học không gian Banach Với phạm vi thòi gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cô bạn góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 50 [...]... suy ra khụng gian Banach X phn x 3.2 Mụ un li v c trng li nh ngha 3.2.1 Khụng gian Banach X c gi l khụng gian li ngt nu vi mi y tha món ||a:|| ^ 1, ||y|| ^ 1 thỡ ll^y^ll < 1 Di õy l mt tiờu chun nhn bit mt khụng gian Banach cú li ngt hay khụng Khụng gian Banach X li ngt khi v ch khi mi x,y G x\{0} tha món 11rc + yII = ||a;|| + ||y|| thỡ tn ti A > 0 sao cho X = Ay Tht vy, gi s X l khụng gian li ngt... 3 im bt ng ca ỏnh x khụng gión trong khụng gian Banach nh x T t khụng gian mờtric (X, d) vo khụng gian mờtric (y, p) c gi l khụng gión nu vi mi x , y Ê X ta cú p{Tx,Ty) ^ d(x, y) Ta xột vớ d sau: Gi B l hỡnh cu n v úng trong khụng gian Co (khụng gian ca cỏc dóy s hi t n 0 vi chun sup) Vi mi X = ( x i , X 2, ) G B ta t T X = ( l , X i , X 2, ) Khi ú T l ỏnh x khụng gión trong B m khụng cú im bt ng Tht... nh ngha 3.1.1 Tp li K trong khụng gian nh chun X c gi l cú cu trỳc chun tc nu mi tp con li, úng, b chn H c K vi diamH > 0 u cha im X Ê H sao cho sup {||a; z \ \ : z Ê H } < diamH õy diamH = suplll v|| : u,v Ê H } l ũng kớnh ca H Vớ d 3.1.1 Mi tp hp compact trong khụng gian Banach u cú cu trỳc chun tc Tht vy, ta chng minh bng phn chng Gi s tn ti tp compact K trong khụng gian Banach X sao cho K khụng... chun tc yu* s nh ngha 3.1.4 Tp li, b chn K trong khụng gian Banach X c gi l cú cu trỳc chun tc u nu tn ti c G (0; 1) sao cho r (D) ^ c diamD vi mi tp li úng D c K, trong ú r (D) = inf sup ||it u v|| eD veD nh lý 3.1.1 Nu khụng gian Banach X cú cu trỳc chun tc u thỡ X phn x Chng minh Ly dóy t c = sup I c X l dóy gim cỏc tp li, úng, b chn c ^ con li úng b chn trong X} Vỡ X cú cu trỳc chun tc u nờn c 0 tn ti (e) > 0 sao cho mi x,y G X m ||a;|| ^ 1, ||y|| ^ 1, x + y 11rc y\\ ^ Ê ta luụn cú 2 ^ 1 - (e) T nh ngha ta thy khụng gian Banach li u l li ngt Ngoi ra, nu X l khụng gian hu hn chiu thỡ li ngt tng ng vi li u Tht vy, cho X l khụng gian hu hn chiu li ngt Ly Ê (0, 2] t: s = {{x,y)... mt phộp co i vi Hausdorff metric Dchỳng ta cú th nhn c u Xo % u 2 3 9 9 u 67 9 9 u L9 ;1 im bt ng bng cỏc phộp lp Ly Xo = [0,1] sau ú Dóy {X} hi t trong D ti tp c ni ting ca Cantor Vớ d 2.3.3 (Cn bc hai trong i s Banach) i s Banach X l mt khụng gian Banach (X, ll-ll) cựng vi mt toỏn t tớch tha món V x , y , z Ê X , a Ê R ta cú: x ( y z ) = (x y ) z x ( y + z ) = xy + xz (y + z)x = yx + zx (ax)y =... metric phự hp ụi khi rt hu ớch trong cỏc ng dng bi vỡ nú cung cp nhng c tớnh ỳng theo tc hi t ca cỏc ln lp Cú l cõu hi hin nhiờn thng c xut hin khi nghiờn cu v ỏnh x co l : iu gỡ xy ra khi k(T) = 1 Vớ d c bn Tx = X + 1 vi X E R ch ra rng iu ngc li ca nguyờn lý ỏnh x CO Banach khụng ỳng Tuy nhiờn trong ni dung ca mt lp khụng gian cỏc tp con li, úng v b chn ca khụng gian Banach mt gi thit im bt ng cho... b chn trong khụng gian hu hn chiu nờn s compact, xột ỏnh x / : s n > R xỏc nh nh sau x + y\\ n n X, n Do / liờn tc trờn tp compact s nờn nú t c cn trờn, do ú tn ti { V) Ê s x sao cho x + y II < s + yo|| 1 2^2 Vi (Ê) bộ ta cú Ihr+M 22w vi mi (x,y) G s Vy tp X li u Di õy, ta a ra cỏc vớ d v khụng gian li ngt, li u v khụng gian li ngt m khụng li u Vớ d 3.2.1 Khụng gian (K 2, I I I I l khụng gian li... quan trong vi chng minh ca nh lý Stone- Weierstrass iu ú ch ra rng nguyờn lý ỏnh x co liờn quan trc tip n vic thit lp mt trong nhng nh lý hu ớch nht trong gii tớch s lý s nh lý 2.3.2 (nh Stone - Weierstrass) C h o l mt khụng gian tụ pụ Hausdor compact v cho C(S) l i s cỏc hm ly giỏ tr thc liờn tc v b chn trờn Gi s X l mt i s con c a C ( S ) cú h m n v v t ỏ c h c ỏ c i m c a Khi ú, X trự mt trong. .. phng trỡnh vi phõn) Vi bt k X , y G C[0,; T] hay IIFx Fy\\ ^ LT 11rc yII Ngha l k(F) ^ LT Nu LT < 1 thỡ kt qu s suy ra ngay t nguyờn lý ỏnh x co Banach Tuy nhiờn, nu LT ^ 1 ta ly h > 0 tha món Lh < 1 v xột trong khụng gian C[0; h] Bng vic thay th T bi h trong lý lun trờn chỳng ta thu c mt "nghim a phng" ca (2.10) gi l X Q G C[0]h] Bõy giũ xột bi toỏn Cụsi trờn [h] 2h]: = /(ớ,Zi(ớ)) (2 1 1 ) X ( h