Luận văn sư phạm Điểm bất động của ánh xạ K-Lipschitz đều

Khóa lu n t t nghi p M U Lý thuy t m b t đ ng m t nh ng l nh v c quan tr ng c a Gi i tích hàm phi n Nhi u toán quan tr ng toán h c nói riêng khoa h c k thu t nói chung d n đ n vi c nghiên c u s t n t i m b t đ ng c a ánh x Chính v y mà Lý thuy t m b t đ ng đ c nhi u nhà toán h c th gi i quan tâm Lý thuy t m b t đ ng phát tri n theo hai h ng chính: ng th nh t nghiên c u m b t đ ng c a ánh x d ng co H không gian mêtric ng th hai nghiên c u m b t đ ng c a ánh x compact H không gian tôpô Vào đ u nh ng n m 60 c a th k XX, m t h nh h ng trung gian c a hai h b t đ ng ng m i có th xem ng xu t hi n Lý thuy t m ó vi c nghiên c u m b t đ ng c a ánh x không giãn không gian Banach Ti p t c nghiên c u xu h ng ng m i này, vài th p k g n i ta ý nhi u đ n ánh x Lipschitz đ u Có th k đ n ba k t qu mang tính ch t m đ ng, k t qu c a Goebel-Kirk (1973), Lifschitz (1975) Casini-Maluta (1985) M c đích c a khóa lu n h th ng l i m t s k t qu c a báo v u ki n đ đ m b o s t n t i m b t đ ng c a ánh x k  Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      1  Khóa lu n t t nghi p Lipschitz đ u T : M  M , M m t t p h p khơng gian Banach X ó u ki n c a không gian X , t p h p M h s lipschitz k N i dung khóa lu n chia làm ch Ch ch ng: ng 1: Nh c l i m t s ki n th c c b n làm công c nghiên c u ng sau nh : khái ni m không gian l i đ u , ánh x không giãn, ánh x Lipschitz đ u Ch ng 2: Gi i thi u m r ng k t qu c a Goebel-Kirk c a Lipschitz Ph n đ u ch ng hai nh lý v s t n t i m b t đ ng c a n a nhóm ánh x k  Lipschitz đ u c a ánh x k  Lipschitz đ u không gian Banach X v i u ki n đ c tr ng l i c a X   x   k    X  ,   X  đ c xác đ nh b i modul l i c a X Ti p theo đ nh lý c a Lifschitz (1975) m t k t qu m r ng c a đ nh lý n a nhóm c a Ch H ng Tân (2000) ng 3: Gi i thi u nh lý Casini-Maluta v s t n t i m b t đ ng c a ánh x k  Lipschitz đ u không gian Banach v i c u trúc chu n t c Khóa lu n đ th y Phùng c hồn thành t i khoa Tốn d is h ng d n c a c Th ng Em xin t lòng bi t n sâu s c v s giúp đ ch b o t n tình c a th y q trình em làm khóa lu n Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      2  Khóa lu n t t nghi p Em xin chân thành c m n ban lãnh đ o khoa toán, ban ch nhi m khoa Toán th y cô giáo quan tâm giúp đ em su t th i gian h c t p t i tr ng HSP Hà N i Xuân Hòa, ngày tháng n m 2013 Sinh viên Nguy n Th Kim Dung Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      3  Khóa lu n t t nghi p Ch ng M T S 1.1 KHÔNG GIAN L I KI N TH C C S U Trong giáo trình Gi i tích hàm, ta bi t : không gian Hilbert tr ng h p riêng c a không gian Banach v i hai tính ch t quan tr ng : - M i không gian Hilbert đ u ph n x - M i t p h p l i, đóng khơng gian Hilbert đ u ch a m t m g n nh t đ i v i m t m b t kì cho tr c c a không gian Trong s không gian Banach, có m t l p đ c bi t ch a l p không gian Hilbert mà v n gi đ c hai tính ch t trên, không gian Banach l i đ u Clarkson đ xu t n m 1936 n n m 1965, hai nhà toán h c Browder Gohde đ c l p ch ng minh đ c m t đ nh lý quan tr ng v s t n t i m b t đ ng cho ánh x không giãn l p không gian ó lí chúng tơi dung m c đ gi i thi u nh ng khái ni m c a không gian l i đ u c n s d ng ch ng sau nh ngh a 1.1.1 Không gian Banach  X ,  đ c g i l i đ u n u   0,      cho: x, y  X , x  1, y  1, x  y   ta có: x y      Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      (1) 4  Khóa lu n t t nghi p Nói cách khác, v i hai m khác b t k x, y thu c hình c u đ n v , m x y ph i có kho ng cách d ng đ n biên c a hình c u đó, mà kho ng cách ch ph thu c vào kho ng cách c a x y , ch khơng ph thu c vào v trí c a chúng (tính đ u) Tính l i đ u th ng đ c kí hi u UC (uniformly convex) Chú ý i u ki n 1 có th thay b i: x  d, y  d, x  y    x y  d 1       v i d  tùy ý Ví d 1.1.1 - Khơng gian  v i chu n x  x12  x22 không gian l i đ u - Không gian  v i chu n: x  x1  x2 x   max  x1 , x2  không gian l i đ u ( x   x1 , x2    ) - T ng quát h n, l p Lp  a, b  v i  p   l i đ u, v i p  p   không l i đ u - D ki m tra đ c r ng không gian C  a, b  không l i đ u ti n trình bày, ta ki m tra đ i v i không gian C  0,1 Th t v y, ta xét hai hàm sau  0,1 : Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      5  Khóa lu n t t nghi p x  t   1, t   0,1 ,   1 t  0,   1,   2 y t    2t  2, t   ,1     x, y  C  0,1 Rõ ràng x  1, y  1, x  y  có nh ng x y  Suy v i m i   0, không t n t i      cho v i x, y  C  0,1 mà x y      x  1, y  1, x  y   Do C  0,1 khơng l i đ u Ví d 1.1.2 M i khơng gian Hilbert l i đ u x  1, y  1, x  y   , t đ ng th c hình bình hành Th t v y, gi s ta suy ra: x  y  x  y  x  y  2 22   2 2 x  y 1 4  2 2 x y  1   1    4  Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán          6  Khóa lu n t t nghi p Vì v y, v i   0, ta đ t        2 hi n nhiên      x y      Do đó, m i khơng gian Hilbert l i đ u 1.2 ÁNH X KHÔNG GIÃN Nguyên lý ánh x co phát bi u cho ánh x co Nguyên lý khơng áp d ng đ i c cho m t l p ánh x r ng h n nh ta s th y d nh ngh a 1.2.1 Cho X m t không gian mêtric, ánh x T : X  X đ c g i không giãn (nonexpansive) n u : d Tx , Ty   d  x, y  , x, y  X nh ngh a 2.1.2 T p D  X đ c g i có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn t D vào D đ u có m b t đ ng D Chú ý: - M t không gian Banach không nh t thi t có tính ch t m b t đ ng đôi v i ánh x không giãn (Ph n ví d : X  , Tx  x  ánh x không giãn nh ng khơng có tính ch t m b t đ ng ) - M t t p h p l i, đóng, b ch n m t khơng gian Banach khơng nh t thi t có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn Th t v y, xét c0 không gian dãy h i t v v i chu n x  sup xn n Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      7  Khóa lu n t t nghi p t D   x  c0 : x  1 hình c u đ n v đóng c0 Ta xét ánh x T : D  D nh sau: V i m i x   x1, x2 , , xn ,   D, ta đ t: Tx  1, x1 , x2 , , xn ,  Hi n nhiên Tx  D H n n a T ánh x khơng giãn vì: Tx  Ty  sup xn  yn  x  y n Gi s t n t i m b t đ ng x* D , t c Tx*  x* Th thì:  x , x , , x ,   1, x , x , , x ,  * * * n * * * n T suy x1*  1, x2*  x1*  1, , t c ta có xn*  , n   Hi n nhiên x*  c0 V y T khơng có m b t đ ng c0 V n đ đ t là: C n u ki n không gian Banach X đ m i t p h p l i, đóng, b ch n đ u có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn? Câu tr l i t ng quát cho câu h i đ c Brouwer Gohde đ c l p đ a n m 1965 nh lý 1.2.1 (Brouwer-Gohde) Cho X không gian Banach l i đ u, M t p h p l i, đóng, b ch n X T : M  M ánh x khơng giãn Khi t p h p m b t đ ng c a T , ký hi u Fix T  , khơng r ng, l i đóng Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      8  Khóa lu n t t nghi p 1.3 ÁNH X LIPSCHITZ X không gian Banach, T : X  X m t ánh nh ngh a 1.3.1 Gi s x T đ U c g i ánh x Lipschitz n u t n t i h ng s k  cho: d Tx, Ty   kd  x, y  , x, y  X Ví d sau ch ng t nh lý Browder – Gohde khơng cịn cho ánh x Lipschitz v i k  Gi s B hình c u đ n v đóng l ,    0,1 V i m i x   x1 , x2 ,   l , ta đ t:   Tx   1  x  , x1 , x2 , Th T  B   B Th t v y, v i x   ta có: Tx   1  x   x  1  x   x (do    0,1)   x  x   x 1  x   (do x  1) Suy T  B   B Bây gi ta s ch ng minh T ánh x Lipschitz v i h s   Th t v y: Tx  Ty    x  y   x y 2 x y  x y 2     1 x  y     1 x  y 2 2  Tx  Ty     1 x  y Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      9  Khóa lu n t t nghi p V y T ánh x Lipschitz v i h s   Cu i ta ch ng minh T khơng có m b t đ ng B Gi s ng c l i: T n t i x*   x1* , x2* , x3*   B cho x*  Tx* , ta có:  x , x ,    1  *  *  x* , x1* , x2* ,   Suy xi*    x* , i  1,2, Vì v y: N u x*   xi*  0, i  1,2,  x*  ; N u x*   xi*  const  0, i  1,2,  x*  l C hai tr ng h p đ u g p mâu thu n Do T khơng có m b t đ ng B T ví d ta rút k t lu n sau : Dù l không gian Hilbert t c có nhi u tính ch t t t, nh ng h s Lipschitz b ng   (v i   tùy ý) hình c u đ n v đóng c ng khơng có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x lo i M t khác n u T : K  K (v i K m t t p h p khơng gian Banach X ) ánh x khơng giãn ta ln có: T n x  T n y  T n1 x  T n1 y   x  y , n  * Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      10  Khóa lu n t t nghi p z *  T n z *  z *  zm  zm  T n zm  T n zm  T n z *  1  k  z *  zm  zm  T n zm  cn  z *  limsup z *  T n z *  Suy ra: n  Do z * m b t đ ng c a T Ch ng minh đ 2.3 M R NG nh ngh a 2.3.1 đ c hoàn thành NH LÝ LIPSCHITZ RA N A NHÓM c tr ng Lipschitz c a m t không gian mêtric  M , d  c xác đ nh nh sau:   M   sup   :   cho : x, y  M , r  0, d  x, y   r  z  M cho : B  x,  r   B  y, r   B  z , r  Trong B  , r  kí hi u hình c u đóng tâm z, bán kính r sH ng s Lipschitz   X  c a không gian Banach  X ,  xác đ nh b i:   X   inf   C  : C   m t t p l i, đóng , b ch n X  nh lý 2.3.1 (Lipschitz [9]} Cho M m t không gian mê tric đ y đ b ch n, T ánh x k  Lipschitz đ u M Khi T có m b t đ ng n u k    M  nh lý 2.3.2 (D.H.Tân) Cho M m t không gian metric đ y đ ,   Ts : s  S  n a nhóm kh ngh ch trái c a ánh x Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      ks  Lipschitz M v i 34  Khóa lu n t t nghi p limsup k s  k    M  Gi s t n t i x0  M , s0  S cho: s0  x0  b s ch n Khi t n t i z  M cho: Tz  z v i m i T   Ch ng minh L y b t kì k '   k ,   M   Theo gi thi t: limsup k s  k    M  nên t n t i s1  S cho: s ki  k '    M  , i  s1 Ch n s2  s1 , s2  s0 đ t: r  y   inf    : x  M , i  s cho i  x   B  y,   Th ta có r  y  h u h n theo gi thi t s t n t i x0  M , s0  S cho s0  x0  b ch n Do đó: s2  x0   s0  x0   B  y, R   B  y, R  d  y, y0   Suy ra: r  y   R  d  y, y0   , y  M Ta t y r ng n u r  y   thì:   0, x  M , i  s2 : d  y, Tx    , T  i Do đó, v i m i T  i ta có: d Ty, y   d Ty, T x   d T x, y   ki d  y, Tx   d T x, y     ki  1 Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      35  Khóa lu n t t nghi p Suy Ty  y, T  i L y    k ,   M   Ch n   cho v i m i u , v  M r  th a mãn d  u, v   r t n t i w  M cho: B  u , r   B  v,  r   B  w, r  (1)    Ch n   cho    ,   Khi l y y1 tùy ý l p dãy k'    yn  b ng quy n p: Gi s có r  yn   Vì   nên  r  yn   r  yn  , x  M , p  s2 ta có:  p  x   B  y n ,  r  yn   V y: v i m i x  M , p  s2 , Ts   p cho: d Ts x, yn    r  yn  c bi t, v i x  yn ta có: d Ts yn , yn    r  yn  V i   xác đ nh (2) thì:  r  yn   r  yn  nên t n t i x0  M , t  s2 cho: d Txo , yn    r  yn    r  yn  , T  t (3) t Tu  Ts Tt Do  kh ngh ch trái nên t n t i Tv  t  u Vì ~ u sinh b i Tu , v sinh b i Tv nên v  t  u Do T  v , T   ~ ~ cho: T  Tu T  Ts Tt T V y v i m i T  v ta có: Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      36  Khóa lu n t t nghi p ~    ~  d Txo , Ts yn   d  Ts Tt T x0 , Ts yn   k ' d  Tt T x0 , yn       k ' r  yn    r  yn  (4) (vì Ts   p  s2  s  s2  s1 nên s  s1  k s  k ' ) Vì v  t nên t (3) (4) ta có : v  x0   B  yn , r  yn    B Ts yn ,  r  yn   , T  v K t h p (1) (2) ta nh n đ c yn1  M cho: Tx0  B  yn1 ,  r  yn   , T  v (5) M t khác: v  t  v  t  s2  r  yn1    r  yn  (6) T (3) (5) ta có: d  yn , yn1     1  r  yn      1  n r  y1  (7) K t h p (6) (7) ta suy  yn  dãy Cauchy lim r  yn   n  t z  lim yn Khi v i m i   , ta có th ch n n0 cho: n    d yn0 , z   r  yn    Th t n t i x  M , s  S cho:    d Tx, yn0  , T  s Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      37  Khóa lu n t t nghi p T suy ra: d Tx, z    , T  s , Do r  z    , t c r  z   V y Tz  z , T  s L y T j   b t kì đ t Th  T j Ts l y Tl  h  s Khi đó: v i ~ m i T  l , t n t i T   cho: ~ ~ T  Th T  T j Ts T ~ ~ L y T  l  s , ta có T  T j Ts T T Ts T đ u thu c s nên: ~   d T j z , z   d  T j z , T j Ts T z   d Tz , z    ~    kd  z , Ts T z   d Tz , z     V y T j z  z Vì T j b t kì  nên đ nh lý đ c ch ng minh Nh n xét:  N u S  N (t p h p s t nhiên) đ nh lý trùng v i đ nh lý Lipschitz  nh lý v n thay M b i m t t p l i, đóng, b ch n không gian Banach X   M  thay b i   M  Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      38  Khóa lu n t t nghi p Ch ng : I U KI N CASINI-MALUTA Trong ph n này, gi i thi u m t cách v n d ng c u trúc chu n t c vào Lý thuy t i m b t đ ng xu t phát t m t k t qu bi t b i Goebel Kirk V n đ ph i ch ng không gian Banach X , tính ph n x c u trúc chu n t c đ đ m b o cho v i k  thích h p, m i t p h p khơng r ng, l i, đóng b ch n c a X đ u có tính ch t m b t đ ng đ i v i ánh x k  Lipschitz đ u Trong [7] tác gi ch ng minh r ng n u đ c tr ng l i c a X   X   ánh x k  Lipschitz đ u s có m b t đ ng n u k    X  ,   X  đ đ c xác đ nh b i modul l i c a X M t k t qu khác c Lipschitz [9] ch ng minh không gian metric gian Banach: u ki n   X   t đ ng đ i v i không ng v i u ki n   X   c ch ng minh [6], đ nh lý Lipschitz cho ta c n c a k t t h n   X  , đ c bi t không gian Hilbert M t k t qu t đ c Casini Maluta ch ng minh n m 1985 [5] ng t nh lý phát bi u r ng: khơng gian có c u trúc chu n t c đ u, ánh x k  Lipschitz đ utrong    m t t p h p l i, đóng b ch n s có m b t đ ng n u k   N  X   ,   ~ ~ N  X  h ng s c a c u trúc chu n t c đ u s đ d i Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán    c đ nh ngh a   39  Khóa lu n t t nghi p M t s kí hi u Cho X l m t không gian th c hay ph c vô h n chi u v i m i t p A X ta s d ng kí hi u sau: A bao đóng, coA bao l i c a t p h p A , co  A  bao l i đóng c a t p A d  A  đ ng kính c a t p h p A x  X r  A, x   sup  x  y : y  A bán kính Chebyshev c a A t i x V i B  X r  A, B   inf sup x  y bán kính Chebyshev c a xB yA A B Rõ ràng là: r  A, B   inf r  A, x  xB   A, B    x  B : r  A, x   r  A, B  đ c g i tâm Chebyshev c a A B Gi s đ  xn   X m t dãy b ch n, x  X Khi khái ni m: ng kính, bán kính tâm ti m c n A c a dãy  xn  đ ngh a t c đ nh ng ng nh sau: d a  xn    limsup  xn  xm : n, m  k , k k      xn  , x   limsup xn  x ,  xn  ,A   inf  xn  , x  : x  A , a  xn  ,A   x  A :  xn  , x    xn  ,A  , Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      40  Khóa lu n t t nghi p l pn không gian n chi u v i chu n p nh ngh a 4.1.1 Không gian Banach X đ c g i có c u trúc chu n t c (normal structure) n u m i t p h p H l i, b ch n c a v i d  H   đ u ch a m t m z  H cho: sup z  x  d  H  xH c bi t, u x y n u t n t i c  đ cho: sup z  x  c.d  H  xH nh ngh a 4.1.2 Gi s X không gian Banach t: N  X   sup r  C , coC  : d  C   1, C  X  , ~ r  C , coC  bán kính Chebyshev c a C đ i v i bao l i c a C ~ Khi N  X  đ c g i h ng s c a c u trúc chu n t c đ u (the constant of uniformity of normal structure) ~ L u ý r ng ta có th tính N  X  theo cách sau:  r  C , coC   : d  C   0, C  X  N  X   sup   d  C   ~ ~ N u N  X   X đ c g i không gian v i c u trúc chu n t c đ u (spaces with uniformly normal structure) Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      41  Khóa lu n t t nghi p Hi n nhiên khơng gian có c u trúc chu n t c đ u c ng có c u trúc chu n t c ngồi ng i ta ch ng minh đ c r ng không gian v i c u trúc chu n t c đ u ph n x B đ 4.1.1 Cho X không gian Banach N u dãy  xn   X b chawnj hàm  xn  ,. n a liên t c d i y u B đ 4.1.2 Cho X không gian Banach v i c u trúc chu n t c đ u Khi đó, v i m i dãy  xn  b ch n X , đ u t n t i z  co  xn  th a mãn:  i   xn  , z   N  X  da  xn  ; ~  ii  y  X ta có: x  y   xn  , y  nh lý 4.1.1 (Casini-Maluta) [5] X khơng gian Banach có c u trúc chu n t c đ u Khi Gi s m i ánh x k  Lipschitz đ u t t p h p l i, đóng, b ch n K  X vào    có m b t đ ng n u k   N  X     ~ Ch ng minh Gi s K t p h p l i, đóng, b ch n, không r ng X    T : K  K ánh x k  Lipschitz đ u v i k   N  X   Khi đó, v i m i   ~ x  K , dãy T n x b ch n K Theo b đ 4.1.2, t n t i z  z  x  Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      42  Khóa lu n t t nghi p th a mãn tính ch t  i   ii  , đ ng th i K ánh x k  Lipschitz đ u nên ta có:     T n x , z  N  X  d a T n x  N  X  lim sup T n x  T m x ~ ~ k  m n k ~  k N  X  limsup T mn x  x i  m  n  t r  x   limsup T i x  x Ta có: i   T x , z  k N  X  r  x  n ~ V i m i N  , l y T N z đóng vai trị c a y  ii  nh n đ b đ 4.1.2., ta c:   z  T N z  T n x , T N z  limsup T n x  T N z n    limsup T n N x  z  k T n x , z j  n  N   ~  k N  X  r  x  T suy ra: ~ r  z   limsup T n  z  k N  X  r  x  n ~ 2 t   k N  X  Vì k   N  X   nên   , đó:   ~ r  z   r  x Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      43  Khóa lu n t t nghi p Ta xây d ng dãy  xn  K nh sau: L y tùy ý x1  K (đi u có th K   ) đ t: xn1  z  xn  Th ta có: xn1  xn  xn1  T k xn  T k xn  xn  xn1  T k xn  r  xn   limsup xn1  T k xn  r  xn  k    ~    T k xn  , xn1  r  xn   1  k N  X   r  xn    ~ ~       1  k N  X   r  xn1     n1 1  k N  X   r  x1      Do đó, v i m i p  1,2, xn p  xn  xn p  xn p 1   xn1  xn ~ ~       n p 2 1  k N  X   r  x1     n1 1  k N  X   r  x1      ~     n1. p 1     1 1  k N  X   r  x1    ~  n1    k N  X   r  x1   1   Ch ng t  xn  dãy Cauchy (do   ) Vì K t p h p đóng nên t n t i lim xn  y  K Khi ta có: n  y  Ty  y  xn  xn  Txn  Txn  Ty  y  xn  r  xn   k xn  y Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      44  Khóa lu n t t nghi p Cho n   bi u th c cu i c a b t đ ng th c ti n đ n Do y  Ty  hay Ty  y V y T có m b t đ ng K đ nh lý c ch ng minh Nh n xét ~ Trong [4] ch ng minh r ng N  x     X 1 Do   x   suy X có c u trúc chu n t c đ u ~ Tuy nhiên , ch có m t h th c liên quan gi a N  x   X    ~ N  x     X 1 H th c thô đ có câu tr l i chung cho câu h i:   Ph i ch ng u ki n k   N  X     ~ [7]  y u h n so v i u ki n đ a ch có th tr l i kh ng đ nh cho câu h i b ng cách tính tốn tr c ti p m t không gian mà ta bi t giá tr c a ~ N  X  c bi t không gian Hilbert, c n c a Lifschitz tôt h n   so v i  N  X     ~  242 (đã tính đ c 0  đ i v i không gian Hilbert, c n c a Lifschitz   ) C n m i c a k nh n đ c g n cho không gian Lp b i Lim b ng cách s d ng k thu t đ c bi t c a L p Ngh ch đ o c a biên có kh n ng giá tr c a N  L p  nh ng ch a đ ~ Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      c kh ng đ nh 45  Khóa lu n t t nghi p K T LU N Nh nói ph n m đ u, m c đích c a khóa lu n gi i thi u ng quan tr ng c a Gi i tích hàm phi n ó lý thuy t m b t m th đ ng đ i v i ánh x k  Lipschitz đ u Các k t qu c a lu n v n d a c u trúc hình h c đ c tr ng c a không gian Banach liên quan đ n m b t đ ng Vì th ch c a Khóa lu n gi i thi u m t s ki n th c b tr cho ch Ch ng ng sau ng u ki n Goebel-Kirk-Thele u ki n Lifschitz K t qu c a ch ng nh lý m b t đ ng không gian Banach v i c u trúc chu n t c M c dù có nhi u c g ng, xong kh n ng ki n th c h n ch nên b n khóa lu n v n khơng tránh kh i nh ng thi u xót, r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y cô giáo Nguy n Th Kim Dung – k35C Tốn      46  Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O 1 H ng Tân., Nguy n Th Thanh Hà Các đ nh lý m b t đ ng Nhà xu t b n  2 i h c s ph m, 2008 ng L u., Phan Huy Kh i, Gi i tích l i, Nhà xu t b n Khoa h c k thu t 3 Hoàng T y, Gi i tích hi n đ i, Nhà xu t b n Giáo d c, 1979  4 Bynum W L Normal structure coefficients for Banach space, Pacific J Math 86 (1980),427-436  5 Casini.E., Maluta.E Fixed points of uniformly lipschitzian mappings in spaces with uniformly normal structure, Nonlinear Analysis 9(1985),103-108  6 Downing.D.J, Turett.B Some properties of the characteristic of converxity relating to fixed point theory, Pacific J Math 104(1983), 343350 7 Gobel.K., Kirk.W.A A fixed point theorem for transformations whose iterates have uniform Lipschitz constant, Studia Math 47(1973), 135-140  8 Gobel.K., Kirk.W.A., Thele.R L Uniformly Lipschitzian families of trasformations in Banach spaces, Canad J Math 26(1974), 1245-1256 9 Lifschitz E.A Fixed point theorems for operators in strongly convex spaces,Voronez Gos Univ Trudy Math Fak 16(1975), 23-28.(Ti ng Nga) Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      47  Khóa lu n t t nghi p 10 Do Hong Tan, Ha Duc Vuong On eventually and asymptotically Lipschitzian mappings, Vietnam J Math Nguy n Th Kim Dung – k35C Toán      48  ... i đ u 1.2 ÁNH X KHÔNG GIÃN Nguyên lý ánh x co phát bi u cho ánh x co Ngun lý khơng áp d ng đ i c cho m t l p ánh x r ng h n nh ta s th y d nh ngh a 1.2.1 Cho X m t không gian mêtric, ánh x T :... gian l i đ u , ánh x không giãn, ánh x Lipschitz đ u Ch ng 2: Gi i thi u m r ng k t qu c a Goebel-Kirk c a Lipschitz Ph n đ u ch ng hai nh lý v s t n t i m b t đ ng c a n a nhóm ánh x k  Lipschitz... ng đ i v i ánh x không giãn t D vào D đ u có m b t đ ng D Chú ý: - M t không gian Banach khơng nh t thi t có tính ch t m b t đ ng đôi v i ánh x khơng giãn (Ph n ví d : X  , Tx  x  ánh x khơng