Điểm bất động của ánh xạ không gian trong không gian banach

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HIỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GVC-Th.S PHÙNG ĐỨC THẮNG Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Để làm đƣợc khóa luận hồn thành khóa luận này, em xin đƣợc gửi lời cảm ơn đến tất quý thầy cô ngƣời thân em, cho em kiến thức, cho em ân tình Em xin chân thành cảm ơn thầy Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội cho em kiến thức quý báu thời gian em học trƣờng Em xin chân thành cảm ơn Thầy phản biện nhận xét đóng góp ý kiến cho em Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Nguyễn Thị Hiền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu em dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy Phùng Đức Thắng, với cố gắng thân em Bên cạnh em đƣợc quan tâm, tạo điều kiện thầy-cơ khoa Tốn trƣờng đại học Sƣ phạm Hà Nội Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “ Điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach” khơng có trùng lặp với đề tài khác MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn, không gian Banach ánh xạ không giãn 1.2 Định nghĩa điểm bất động 1.3 Định nghĩa hội tụ dãy 1.4 Giới thiệu số dãy hội tụ điểm bất động ánh xạ không giãn CHƢƠNG 2: DÃY CHẤP NHẬN ĐƢỢC VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 2.1 Định nghĩa dãy chấp nhận đƣợc 2.2 Một số định lý CHƢƠNG 3: CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 16 CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 16 3.1 Định lý 3.1 16 3.2 Ánh xạ demicompact điểm 20 3.3 Định lý 3.3 21 3.4 Ánh xạ inward yếu, ánh xạ sunny, ánh xạ co rút, ánh xạ sunny co rút không giãn 33 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong chƣơng trình đại học trƣờng, nội dung ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh xạ khơng giãn xa lạ sinh viên Qua phần không gian metric môn học không gian metric – tôp đại cƣơng, học sinh đƣợc lần biết đến biết đến khái niệm điểm bất động ánh xạ Trong môn hình học cao cấp,sinh viên vài lần bắt gặp tốn u cầu tìm điểm bất động ( điểm kép) phép biến hình afin, phép biến đổi xạ ảnh Nội dung khóa luận trình bày ánh xạ khơng giãn, điểm bất động ánh xạ không giãn, với dãy điểm có tínhchất đặc biệt liên hệ với ánh xạ không giãn hội tụ điểm bất động ánh xạ khơng giãn Trong q trình học tập đƣợc thầy cô giới thiệu, đặc biệt đƣợc hƣớng dẫn gợi ý thầy Phùng Đức Thắng,em muốn tìm hiểu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian, đặc biệt không gian Banach Để bƣớc đầu nghiên cứu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: “ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH” 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ khái niệm, tính chất, định lý,… điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach số ánh xạ đặc biệt nhƣ: ánh xạ inward yếu, ánh xạ sunny, ánh xạ co rút, 3.Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 3.2 Phạm vi nghiên cứu Những định nghĩa, tính chất,định lý vấn đề liên quan điểm bất động ánh xạ không giãn 4.Phƣơng pháp nghiên cứu Sƣu tầm tài liệu sở phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ trình bày cách có hệ thống để giải vấn đề đặt khố luận 5.Đóng góp khóa luận - Làm rõ ràng, chi tiết hệ thống tri thức mới,chuyên sâu môn giải tích hàm Đó khái niệm kiến thức nhƣ: dãy chấp nhận đƣợc, ánh xạ demicompact điểm, ánh xạ inward yếu,… - Khố luận cung cấp thêm định nghĩa tính chất số ánh xạ đặc biêt có liên quan 6.Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng đƣợc dành để đƣa số kiến thức không gian định chuẩn, không gian banach, ánh xạ không giãn, điểm bất động, số dãy điểm hội tụ điểm bất động ánh xạ khơng giãn Chƣơng có nội dung nói dãy chấp nhận đƣợc ánh xạ khơng giãn, cụ thể đƣa số định lý hội tụ dãy điểm không gian banach Chƣơng có nội dung sâu vào nghiên cứu định lý hội tụ điểm bất động ánh xạ không giãn NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn, không gian Banach ánh xạ không giãn 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trƣờng P ( P = với ánh xạ từ X vào tập số thực P = ) , ký hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1)  x  X  , x  , x   x   ( ký hiệu phần tử không  ); 2) (x  X ),(  P)  x   x ; 3) (x, y  X ) x  y  x  y Số x gọi chuẩn véctơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề 1.1.2 Định nghĩa không gian Banach Các không gian Banach đƣợc định nghĩa không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Hay nói cách khác khơng gian định chuẩn X đƣợc gọi không gian banach, dãy X hội tụ 1.1.3 Định nghĩa ánh xạ không giãn Cho  X ,d  không gian metric ánh xạ f :X X f đƣợc gọi ánh xạ không giãn d  f  x  , f  y   d  x, y  , x, y  X 1.2 Định nghĩa điểm bất động Cho ( X , d) không gian metric ánh xạ f : X  X Điểm x0  X gọi điểm bất động f f  x0   x0 1.3 Định nghĩa hội tụ dãy Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ đến điểm x  X , lim xn  x  Ký hiệu n lim xn = x hay xn  x  n    n 1.4 Giới thiệu số dãy hội tụ điểm bất động ánh xạ không giãn Theo nguyên lý ánh xạ co, ta biết với  X ,d  không gian metric đầy đủ, ánh xạ co T : X  X có điểm bất động Hơn nữa, với x0  X , dãy  xn n định xn1  T  xn  hội tụ đến điểm bất động T Đối với ánh xạ không giãn f điều nói chung khơng Chẳng hạn xét tập hợp K   x  quay / x  1 , f phép quay tâm O góc  Ta có f ánh xạ không giãn với O điểm bất động Khi dãy  xn n định xn1  f  xn  , với x0  (0,1)  K không hội tụ O Tuy nhiên, trƣờng hợp f có điểm bất động, xét dãy  xn n định xn1  1 xn  f  xn  dãy  xn n hội tụ điểm 2 bất động f Nói chung, X khơng gian định chuẩn K tập không rỗng, lồi X, f có điểm bất động xn1  1    xn   f  xn  , với  số khoảng (0,1) dãy  xn n hội tụ điểm bất động f Hơn nữa, xn1  1  Cn  xn  Cn f  xn  , n =0,1,2,…, dãy  Cn n   0,1 thỏa mãn số điều kiện cho trƣớc dãy  xn n hội tụ điểm bất động f Ta trình bày phần đề tài CHƢƠNG 2: DÃY CHẤP NHẬN ĐƢỢC VÀ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 2.1 Định nghĩa dãy chấp nhận đƣợc Cho  X ,  không gian định chuẩn trƣờng số thực Giả sử K tập hợp không rỗng X f : K  X ánh xạ không giãn Lấy x0  K Ta gọi dãy  xn n dãy chấp nhận đƣợc ( dãy admissible) có dãy giảm  Cn n khoảng (0,1) cho xn1  1  Cn  xn  Cn f  xn  , n = 0,1,2,… 2.2 Một số định lý 2.2.1 Định lý 2.2 ( Tính khơng bị chặn tập hợp chứa dãy chấp nhận ) Cho X,  không gian định chuẩn trƣờng số thực tập hợpkhông rỗng K  X Xét ánh xạ f : K  X ánh xạ không giãn Giả sử tồn tập hợp A  K cho với x0  A , có dãy chấp nhận đƣợc  xn n  A Hơn nữa, tồn số >0 cho với số nguyên dƣơng k cho trƣớc , có số nguyên N  k thỏa mãn xN 1  xN   Khi A khơng bị chặn Chứng minh: Giả sử ta có giả thiết nhƣ định lý, ta cần chứng minh A không bị chặn Ta chứng minh phản chứng, giả sử ngƣợc lại A bị chặn Khi đó, tồn    1 cho xn   , n   u  ztn , j xn  ztn    u  z    z  zt n  , j  x n    z    j xn  ztn  j  xn  z       u  z, j  xn  z   u  z, j xn  ztn  j  xn  z     z  ztn , j  xn  z    j xn  ztn  j  xn  z        u  z, j  xn  z   u  z , j xn  ztn  j  xn  z   z  ztn , j xn  ztn   u  z, j  xn  z     u  ztn , j xn  ztn     u  z, j xn  ztn  j  xn  z     z  ztn , j xn  ztn (3.12) Theo (3.8) ta có  lim sup u  ztn , j xn  ztn n   Theo giả thiết, lim ztn  z  F  S   F  f  Kết hợp với dãy n  xn  chặn, ta có  lim z  ztn , j xn  ztn n   Do lim ztn  z j liên tục tập đóng, bị chặn X nên n   lim u  z, j xn  ztn  j  xn  z   n Từ (3.11) kết trên, ta suy lim sup u  z, j  xn  z   n 31 bị  Cuối cùng, ta chứng minh lim xn  z (3.13) n Ta có xn1  z  1   n   S  xn   z    n  u  z   xn1  z  1   n  S  xn   z  2 n u  z, j  xn1  z  2  1   n  S  xn   S  z   2 n u  z, j  xn1  z  2 ( z  F  S  )  1   n  xn  z  2 n u  z, j  xn1  z      n  1 (3.14) Với n  0,1,2, , ta đặt an  xn  z  0;  n  u  z, j  xn1  z  ;  n  Khi đó, (3.14) trở thành an1  1   n  an   n n   n , n  điều kiện sau đƣợc thỏa mãn  i)  n n   0,1,  n   ; n 0 ii) lim sup n  0; n  iii)  n  0, n  ,   n   n 0 Áp dụng bổ đề 3.3.2, ta đƣợc lim an  n Vậy lim xn  z  n Từ đó, ta suy dãy  xn  hội tụ mạnh đến điểm bất động z f 32 3.4 Ánh xạ inward yếu, ánh xạ sunny, ánh xạ co rút, ánh xạ sunny co rút không giãn 3.4.1 Ánh xạ inward yếu Cho K tập hợp không rỗng không gian Banach X x  K - Ta gọi tập hợp I K  x    x    u  x  / u  K ,   1 inward K chứa x - Ánh f : K  X thỏa xạ mãn f  x   cl  I K  x  , x  K ( cl  I K  x  bao đóng I K  x  ) đƣợc gọi inward yếu 3.4.2 Ánh xạ sunny Cho K tập không rỗng không gian Banach X x  K Một toàn ánh g : X  K đƣợc goi sunny yếu   g g  x   t  x  g  x    g  x  , x  X , t  3.4.3 Ánh xạ co rút Cho không gian Banach X ánh xạ g : X  X Ta gọi g co rút yếu g  g Với g co rút, ta có g  z   z, z  R  g  R  g  tập giá trị g 3.4.4 Tập sunny không giãn co rút Cho không gian Banach X K tập không rỗng X Ta gọi K tập sunny không giãn co rút X tồn ánh xạ co rút sunny không giãn g : X  K 3.4.5 Định lý 3.4.5 Cho không gian Banach X K tập khơng rỗng, lồi đóng X 33 Giả sử f : K  X inward yếu g : X  K sunny không giãn co rút Khi đó, f g f có tập điểm bất động Chứng minh: Gọi F  f  tập điểm bất động f , F  g f  tập điểm bất động g f +Ta cần chứng minh F  f  = F  g f   Chứng minh F  f   F  g f  Lấy tùy ý x  F  f   f  x  x  g  f  x   g  x    g f  x   x  x  F  g f  Vậy: F  f   F  g f   Chứng minh F  g f   F  f  Ta chứng minh phản chứng, giả sử ngƣợc lại F  g f   F  f  Khi đó, tồn x  F  g f  x  F  f  - Vì f inward yếu nên u  K , u  x,   cho f  x   x    u  x  ( u  x , u  x f  x   x , điều mâu thuẫn với x  F  f  ) - Do g sunny khơng giãn co rút nên ta có g  g f  x   t  f  x    g f  x     g f  x   x , t  34  g  x  t  f  x   x   x, t   g tf  x   1  t  x   x, t  (*) + Đặt t0     0,1 , từ f  x   x    u  x  Ta suy u  t0 f  x   1  t0  x  u  g  u   g t0 f  x   1  t0  x   x ( (*)) Điều mâu thuẫn với u  x Vậy F g f   F  f  Từ ta có F  f  = Fg f  3.4.6 Định lý 3.4.6 ( Sự hội tụ mạnh dãy điểm điểm bất động ánh xạ khơng giãn có tính inward yếu) Cho khơng gian Banach X K tập khơng rỗng, đóng, lồi X Gọi f : K  X ánh xạ không giãn inward yếu thỏa mãn F  f    Giả sử K tập sunny không giãn co rút X với g co rút sunny tƣơng ứng Giả sử thêm có dãy  zt  hội tụ mạnh đến điểm bất động z g f t  ,  t  1, zt điểm K thỏa mãn zt  t.u  1  t  g f   zt  , với u  K 35 Gọi  n n dãy số khoảng (0,1) thỏa mãn điều kiện sau:   i) n 0 n   ;   ii) n 0 n   n1   Lấy x0  K , xét dãy  xn n định xn1   nu  1   n   g f   xn  Khi đó, dãy  xn n hội tụ mạnh đến điểm bất động f Chứng minh: Trong chứng minh định lý, ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 3.4.6.1( Thừa nhận, không chứng minh) Cho  an n dãy số thực không âm thỏa mãn an1  1   n  an   n , n  đó: i)   n  1, n  ;  ii)  n 0   ; n  iii)  n 0 n   Khi lim an  n Bây giờ, ta chứng minh định lý 3.4.6  Chứng minh g f không giãn: + x, y  K , ta có g f  x    g f  y   g  f  x    g  f  y   36  f  x   f  y  ( g ánh xạ khơng giãn)  x  y ( f ánh xạ khơng giãn) Vậy g f không giãn  Chứng minh dãy  xn  , g f  x  bị chặn Lấy x*  F  f  đặt   M  max x0  x* , u  x* Bằng phép quy nạp, tƣơng tự định lý 3.3, ta có xn  x*  M , n  Từ đó, dãy  xn  bị chặn Vì g f khơng giãn nên ta có g f   xn    g f   x*   f  xn   f  x*     g  f  xn    g f  x*   f  xn   f  x*   xn  x* ( f ánh xạ không giãn)  M , n  Vậy g f   xn    g f   x*   M Do dãy  g f   xn  bị chặn  Chứng minh lim xn1   g f   xn   (3.15) n +Do dãy  g f   xn  bị chặn nên H  :  g f   xn   H  xn1   g f   xn    nu  1   n   g f   xn    g f   xn    n u   g f   xn  37    n u   g f   xn    xn1   g f   xn    n  u  H  Ta có lim  n  u  H    u  H  lim  n  n n Từ lim xn1   g f   xn   n  Chứng minh lim xn1  xn  (3.16) n Ta có xn1  xn    nu  1   n   g f   xn    n1u  1   n1   g f   xn1    n   n1  u   g f   xn1   1   n1   g f   xn    g f   xn1    n   n1 u   g f   xn1   1   n1  g  f  xn    g  f  xn1     n   n1  u   g f   xn1    1   n1   f  xn   f  xn1     n   n1  u   g f   xn1    1   n1  xn  xn1 Vì dãy  g f   xn  bị chặn nên tồn số M  cho  u   g f   xn1    M   Khi đó, ta có xn1  xn  1   n1  xn  xn1   n   n1 M (3.17) Áp dụng bổ đề 3.4.6.1 với  n   n   n1 M cho (3.17), ta đƣợc lim xn1  xn  n Chứng minh lim xn   g f   xn   (3.18) n 38 Theo chứng minh trên, ta có lim xn1  xn  n lim xn1   g f   xn   n suy   lim xn1  xn  xn1   g f   xn   n Hơn nữa, ta lại có xn   g f   xn   xn1  xn  xn1   g f   xn  ( theo bất đẳng thức tam giác) Từ đó, ta có lim xn   g f   xn   n   Chứng minh lim sup u  ztn , j xn  ztn n -   (3.19) Với số nguyên dƣơng n  , ta chọn tn   0,1 cho tn  xn   g f  x  tn  n   - Gọi ztn  K điểm bất động ánh xạ co htn xác định htn  x  : tnu  1  tn   g f  x  , x  K Ta có   ztn  xn  htn ztn  xn    tnu  1  tn   g f  ztn   xn      1  tn   g f  ztn  xn   tn  u  xn    Áp dụng kết (3.9), ta có ztn  xn  1  tn  g    f  ztn  xn  2tn u  xn , j ztn  xn 39   1  tn   1  tn  2   g f  ztn  xn  2tn  g z tn      xn  u  ztn , j ztn  xn   f  ztn   g f   xn    g f   xn   xn     2tn ztn  xn  u  ztn , j ztn  xn  ( theo bất đẳng thức tam giác)  1  tn   ztn  xn   g f   xn   xn    2tn ztn  xn  u  ztn , j ztn  xn  ( g f ánh xạ không giãn)  1  tn  z tn  xn   g f   xn   xn    2tn ztn  xn  u  ztn , j ztn  xn  ( f ánh xạ không giãn)  1  tn  ztn  xn  2   1  tn  ztn  xn   g f   xn   xn  g f   xn   xn  2tn u  ztn , j ztn  xn   1  tn  ztn  xn  ztn  xn   g f   xn   xn   g 2tn u  ztn , j ztn  xn   u  ztn , j xn  ztn   40  f   xn   xn    tn  1   tn ztn  xn  ztn  xn   g f   xn   xn 2  g f   xn   xn tn (3.20)   Từ (3.20) dãy  xn  , ztn , g f  x  bị chặn, tn  xn   g f  x  tn  n   Ta suy  lim sup u  ztn , j xn  ztn n   Tiếp theo, ta chứng minh lim sup u  z, j  xn  z   n (3.21) Ta có  u  ztn , j xn  ztn         u  z   z  ztn , j  xn  z    j xn  ztn  j  xn  z       u  z, j  xn  z   u  z, j xn  ztn  j  xn  z     z  ztn , j  xn  z    j xn  ztn  j  xn  z       u  z, j  xn  z   u  z, j xn  ztn  j  xn   z   z  ztn , j xn  ztn     u  z, j  xn  z   u  z, j  xn  z   u  z, j xn  ztn  j  xn   z    z  ztn , j xn  ztn (3.22) Theo (3.19) ta có 41  lim sup u  ztn , j xn  ztn n   Theo giả thiết lim ztn  z  F  g f   F  f  ( F  g f   F  f  định lý 3.4.5) n Kết hợp với dãy  xn  bị chặn, ta có  lim z  ztn , j xn  ztn n   Do lim ztn  z j liên tục tập đóng, bị chặn X nên n   lim u  z, j xn  ztn  j  xn  z   n Từ (3.22) kết trên, ta suy lim sup u  z, j  xn  z   n  Cuối cùng, ta chứng minh lim xn  z (3.23) n Ta có xn1  z  1   n   g f   xn   z    n  u  z   xn1  z  1   n  g  1   n  g f   xn   z  2 n u  z, j  xn1  z  f   xn    g f  z   2 n u  z, j  xn1  z   z  F  g f   1   n  xn  z  2 n u  z, j  xn1  z  2     n  1 Với n  0,1,2, , ta đặt an  xn  z  0,  n  u  z, j  xn1  z  , 42 (3.24)  n  Khi đó, (3.4) trở thành an1  1   n  an   n n   n , n  điều kiện sau đƣợc thỏa mãn  i)  n n   0,1,  n   n 0 ii) lim sup n  n  iii)  n  0, n  ,   n   n 0 Áp dụng bổ đề (3.3.2) ta đƣợc lim an  n Vậy lim xn  z  n Từ đó, ta suy dãy  xn  hội tụ mạnh đến điểm bất động z f 43 KẾT LUẬN Trên em trình bày đƣợc số kết sau: Trình bày định nghĩa chứng minh tính chất điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Trình bày khái niệm tính chất số ánh xạ đặc biệt: ánh xạ inward yếu, ánh xạ sunny, ánh xạ co rút, Trình bày số định lý hội tụ dãy điểm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Tuy nhiên phạm vi khố luận dừng lại yêu cầu tìm hiểu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hoàng Tụy (2003) Giải tích đại, NXB đại học quốc gia Hà Nội Đậu Thế Cấp - Giải tích hàm PGS.TS Lê Hồn Hóa – Giải tích phi tuyến 4.Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlnear Iterations 45 ... ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 3.1 Định lý 3.1 ( Điểm tụ dãy chấp nhận điểm bất động ánh xạ không giãn) Cho ( X , ) không gian định chuẩn trƣờng số thực, K tập hợp không rỗng X ánh xạ không. .. kiến thức không gian định chuẩn, không gian banach, ánh xạ không giãn, điểm bất động, số dãy điểm hội tụ điểm bất động ánh xạ khơng giãn Chƣơng có nội dung nói dãy chấp nhận đƣợc ánh xạ khơng... điểm bất động ánh xạ không giãn không gian, đặc biệt không gian Banach Để bƣớc đầu nghiên cứu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài: “ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG