Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hồn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Hà Đức Vượng, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quí báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn trình hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng, lịng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn Tổ Giải tích với q thầy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hồn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn Sở GD ĐT Bắc Giang, Trường THPT Lạng Giang số tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương 1.1.1 Tập lồi, tập cân, tập hút không gian vectơ 1.1.2 Không gian tôpô 12 1.1.3 Không gian vectơ tôpô 14 1.1.4 Không gian lồi địa phương 17 1.2 Không gian định chuẩn xác suất 31 1.2.1 Chuẩn tam giác 31 1.2.2 Một số chuẩn tam giác 32 1.2.3 Không gian định chuẩn xác suất 33 Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương 39 iii iv 2.1 Ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương 41 2.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương 44 Một số kết điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất 48 3.1 Ánh xạ không giãn xác suất 49 3.1.1 Ánh xạ không giãn xác suất 49 3.1.2 Cấu trúc chuẩn tắc xác suất 50 3.1.3 Không gian lồi chặt xác suất 52 3.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất 53 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiều toán khác khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X không gian, ánh xạ T : M → M ánh xạ từ tập M không gian X vào Xét phương trình phi tuyến T x = x (x ∈ M ), điều kiện cụ thể khẳng định tồn nghiệm phương trình đó? Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x gọi điểm bất động ánh xạ T tập M Việc nghiên cứu vấn đề góp phần đắc lực cho việc giải hàng loạt toán quan trọng Tốn học nói riêng, Khoa học kỹ thuật nói chung Điều dẫn đến hướng nghiên cứu Tốn học hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động” Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực quan trọng Giải tích hàm phi tuyến Ngay từ đầu kỉ 20 nhà toán học giới quan tâm đến lĩnh vực khẳng định lý thuyết điểm bất động phát triển sâu rộng, trở thành công cụ thiếu để giải nhiều toán khác Sự phát triển lĩnh vực gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn giới Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, Những kết kinh điển lý thuyết điểm bất động, đồng thời cơng trình khởi đầu cho lĩnh vực nghiên cứu Nguyên lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer áp dụng nhiều lĩnh vực Toán học đại như: Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu hóa, Đại số, Giải tích số, Trên sở nguyên lý trên, Lý thuyết điểm bất động phát triển theo hướng chính: - Hướng thứ nghiên cứu điểm bất động ánh xạ dạng co, mở đầu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) - Hướng thứ hai nghiên cứu điểm bất động ánh xạ liên tục, mở đầu Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Vào năm 60 kỉ 20, hướng xem trung gian hai hướng xuất Lý thuyết điểm bất động Đó việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach Một câu hỏi đặt là: cần điều kiện tập M không gian X để tồn điểm bất động ánh xạ không giãn T : M → M? Vì biết, ánh xạ co ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn liên tục nên điều kiện phải mạnh điều kiện Nguyên lý ánh xạ co Banach yếu điều kiện Nguyên lý điểm bất động Brouwer Câu trả lời xác phi i n nm 1965 mi c Browder v Găohde độc lập tìm Để giải tốn này, hai nhà toán học sử dụng kĩ thuật độc đáo dựa vào thành tựu hướng nghiên cứu có tên là: “Hình học không gian Banach” Clarkson khởi xướng năm 1936 Năm 1942 Lý thuyết không gian metric xác suất giới thiệu Menger Đó mở rộng “xác suất” khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảng cách d(x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y (t) biểu diễn xác suất d(x, y) < t, với t số thực Khái niệm thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, đặc biệt Schweizer Sklar xây dựng thành lý thuyết không gian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất năm 1983 Sau phát triển có ứng dụng quan trọng Vật lý lượng tử, Lý thuyết dòng Lý thuyết bậc nghiên cứu El Naschie Abdolrahman Razani Maryam Shirdarvazdi Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình TS Hà Đức Vượng, mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Ánh xạ không giãn xác suất điểm bất động” Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương nội dung: Chương 1: trình bày khơng gian vectơ tơpơ, khơng gian lồi địa phương, không gian định chuẩn xác suất, mối liên hệ không gian lồi địa phương khơng gian định chuẩn xác suất Chương 2: trình bày ánh xạ không giãn định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương Chương 3: trình bày ánh xạ không giãn xác suất định lý điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn xây dựng tổng quan ánh xạ không giãn xác suất điểm bất động lớp ánh xạ Cơng trình nghiên cứu dựa kết TS Hà Đức Vượng báo “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces” đăng tạp chí Vietnam Journal of Mathematics năm 2006 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Nghiên cứu không gian lồi địa phương điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương - Nghiên cứu không gian định chuẩn xác suất, mối liên hệ không gian lồi địa phương không gian định chuẩn xác suất - Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn là: Ánh xạ không giãn xác suất điểm bất động lớp ánh xạ 5 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức Dự kiến đóng góp Đây tổng quan ánh xạ không giãn, không giãn xác suất điểm bất động chúng Giúp người đọc hiểu mối liên hệ không gian lồi địa phương khơng gian định chuẩn xác suất Từ dựa kết điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương để tìm kết điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất không gian định chuẩn xác suất Chương Kiến thức chuẩn bị Mở đầu Một cách đơn giản để đưa tôpô vào khơng gian vectơ cho tơpơ tương thích với cấu trúc đại số cho trước chuẩn Tuy nhiên, lớp khơng gian chưa đủ rộng để nghiên cứu vấn đề cụ thể giải tích, nhiều khơng gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tơpơ tự nhiên khơng thể cho chuẩn Ta khảo sát lớp không gian này, chúng tổng quát không gian định chuẩn gọi không gian vectơ tôpô Ở chương này, chúng tơi trình bày số kết cần thiết tập lồi, tập cân, tập hút - công cụ quan trọng việc khảo sát tôpô không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương - không gian tổng quát không gian định chuẩn bảo tồn nhiều tính chất khơng gian định chuẩn, nửa chuẩn, mối liên hệ họ nửa chuẩn 45 C tập compact yếu nên họ {Kα } có tính chất giao tồn thể, tức ∩α Kα = ∅ T (∩α Kα ) ⊂ ∩α Kα Vậy ∩α Kα cận G Theo bổ đề Zorn tồn phần tử cực tiểu H F Ta chứng minh H tập hợp gồm điểm phản chứng Giả sử ngược lại tồn p0 ∈ P cho δp0 (H) = d > Vì C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn z0 ∈ H cho: r = sup {p0 (z0 − x) : x ∈ H} < d Do ta có tập hợp D = {z ∈ H : p0 (z − x) r, ∀x ∈ H} khác rỗng có z0 ∈ D Mặt khác p0 hàm lồi liên tục nên D lồi đóng Bây ta chứng minh D bất biến T Lấy z thuộc D ta có: p0 (z − x) r, ∀x ∈ H Vì T ánh xạ khơng giãn nên p0 (T z − T x) Vì ta có: p0 (T z − x) p0 (z − x) , ∀x ∈ H r, ∀x ∈ T (H) Lại p0 hàm lồi liên tục nên ta suy ra: p0 (T z − x) r, ∀x ∈ convT (H) Từ tính bất biến H T tức T (H) ⊂ H suy convT (H) ⊂ conv (H) = H Vì ta có: T (convT (H)) ⊂ T (H) ⊂ convT (H) Chứng tỏ convT (H) bất biến T Vậy convT (H) ∈ F 46 Vì H phần tử cực tiểu F convT (H) ⊂ H ta suy convT (H) = H Do ta có: p0 (T z − x) r, ∀x ∈ H Điều chứng tỏ T z ∈ D Vì z D nên T (D) ⊂ D Vậy D ∈ F, từ tính cực tiểu H suy D = H Khi với u, v ∈ D ta có p0 (u − v) r, hay d = δp0 (H) = δp0 (D) = sup p0 (u − v) ≤ r u,v∈D điều mâu thuẫn Vậy δp (H) = 0, ∀p ∈ P Chứng tỏ H = {x} ta có T x = x Bây ta chứng minh tập hợp điểm bất động T (kí hiệu: F ixT ) tập lồi Lấy u, v ∈ F ixT , ta có u = T u, v = T v Đặt z = λu + (1 − λ)v với λ ∈ (0, 1) Khi ta có u − z = (1 − λ)(u − v) v − z = λ(v − u) Do T ánh xạ P - không giãn nên với p ∈ P ta có: p(u − T z) + p(T z − v) Mặt khác p(u − v) p(u − z) + p(z − v) = p(u − v) p(u − T z) + p(T z − v) Vậy ta có p(u − v) = p(u − T z) + p(T z − v) Bây ta chứng minh p(u − T z) = p(T z − v) = Thật vậy: Nếu p(u − T z) = p(u − v) = p(T z − v) = p(v − T z) = p(T v − T z) Mặt khác ta lại có p(T v − T z) p(v − z) = λp(v − u) < p(v − u) Mâu 47 thuẫn Vậy p(u − T z) = 0, tương tự ta có p(v − T z) = Đặt x = u − T z y = T z − v ta có p(x) + p(y) = p(x + y) Vì X khơng gian lồi chặt nên theo Mệnh đề 2.1.1 tồn αp > cho x = αp y, nghĩa là: u − T z = αp (T z − v) Do : Tz = Ta chứng minh λ = Giả sử λ < 1+αp , αp u+ v + αp + αp 1+αp ta có: p(v − T z) = p(T v − T z) = p(u − v) − p(u − T z) = p(u − v) − αp (T z − v) Suy p(u − v) = (1 + αp )(T z − v) Do ta có: p(T z − T v) = p(T z − v) = p(u − v) > λp(u − v) = p(z − v) + αp Điều vô lý T ánh xạ P - khơng giãn Chứng minh tương tự, λ > 1+αp ta điều mâu thuẫn Vậy ta có T z = λu + (1 − λ)v = z Chứng tỏ z ∈ F ixT điều cần chứng minh Chương Một số kết điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Mở đầu Trong chương này, chúng tơi trình bày ánh xạ không giãn xác suất, mối liên hệ ánh xạ không giãn xác suất với ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương tương ứng, cấu trúc chuẩn tắc xác suất đều, mối liên hệ cấu trúc chuẩn tắc xác suất với cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi địa phương tương ứng, cuối định lý điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất 48 49 3.1 Ánh xạ không giãn xác suất 3.1.1 Ánh xạ không giãn xác suất Định nghĩa 3.1.1 [31] Một ánh xạ T không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) gọi ánh xạ không giãn xác suất ∀x, y ∈ X ∀t ∈ R ta có: FT x−T y (t) ≥ Fx−y (t) Bổ đề 3.1.1 [31] Mọi ánh xạ không giãn xác suất không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) ánh xạ P - không giãn không gian lồi địa phương tương ứng (X, {pλ }) Chứng minh Giả sử T ánh xạ không giãn không gian định chuẩn xác suất (X, F, min), ta chứng minh T ánh xạ pλ - không giãn với λ ∈ (0, 1) không gian lồi địa phương tương ứng phản chứng Giả sử ∃λ ∈ (0, 1) x, y ∈ X cho pλ0 (T x − T y) > pλ0 (x − y) Đặt pλ0 (T x − T y) = t0 ta có pλ0 (x − y) < t0 Từ (2) suy Fx−y (t0 ) > − λ0 Mặt khác từ (1) ta có FT x−T y (t0 ) = FT x−T y (pλ0 (T x − T y)) ≤ − λ0 Do ta nhận Fx−y (t0 ) > − λ0 ≥ FT x−T y (t0 ) điều mâu thuẫn Bổ đề chứng minh 50 3.1.2 Cấu trúc chuẩn tắc xác suất Định nghĩa 3.1.2 [31] Tập hợp C không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) gọi có cấu trúc chuẩn tắc xác suất tập lồi, đóng, bị chặn H C mà chứa nhiều điểm, tồn x0 ∈ H < k < cho: inf Fx0 −y (kt) ≥ inf Fx−y (t) , ∀t ≥ y∈H x,y∈H Bổ đề 3.1.2 Giả sử không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) thỏa mãn điều kiện: với t cố định thuộc R, hàm Fx (t) : X → [0, 1] nửa liên tục yếu theo x ∈ X Khi C tập compact yếu X, có cấu trúc chuẩn tắc xác suất C có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi địa phương tương ứng (X, {pλ }) Chứng minh Lấy D tập lồi đóng tùy ý C Vì C tập compact yếu nên D tập compact yếu Bây ta chứng minh với λ ∈ (0, 1) : sup sup {t ∈ R : Fx (t) ≤ − λ} = sup t ∈ R : inf Fx (t) ≤ − λ (3) x∈D x∈D Đặt F (t) = inf Fx (t) x∈D ta có F (t) ≤ Fx (t) với x ∈ D Khi : a = sup {t : F (t) ≤ − λ} ≥ sup sup {t : Fx (t) ≤ − λ} = b x∈D Nếu a > b ta có Fx (t) > − λ với x ∈ D 51 Từ giả thiết tính nửa liên tục yếu hàm Fx (t) suy F (a) > − λ, ta có a > a Đây điều vô lý, suy a = b, tức sup sup {t ∈ R : Fx (t) ≤ − λ} = sup t ∈ R : inf Fx (t) ≤ − λ x∈D x∈D Bây ta chứng minh nội dung Bổ đề Từ giả thiết cấu trúc chuẩn tắc xác suất tập D ta có : inf Fx0 −y (kt) ≥ inf Fx−y (t) y∈D x,y∈D ta nhận t : inf Fx0 −y (kt) ≤ − λ ⊂ t : inf Fx−y (t) ≤ − λ t : inf Fx0 −y (t) ≤ − λ ⊂ t : inf Fx−y (t) ≤ − λ y∈D x,y∈D hay k y∈D x,y∈D t : inf Fx0 −y (t) ≤ − λ y∈D ⊂ k t : inf Fx−y (t) ≤ − λ x,y∈D Từ suy sup t : inf Fx0 −y (t) ≤ − λ y∈D ⊂ k sup t : inf Fx−y (t) ≤ − λ x,y∈D Theo (3) ta có sup sup {t : Fx0 −y (t) ≤ − λ} ≤ k sup sup {t : Fx−y (t) ≤ − λ} y∈D x,y∈D hay sup pλ (x0 − y) ≤ k sup pλ (x − y) = kδpλ (D) < δpλ (D) y∈D x,y∈D 52 Chứng tỏ D có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi địa phương (X, {pλ }) 3.1.3 Không gian lồi chặt xác suất Định nghĩa 3.1.3 [31] Không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) gọi lồi chặt xác suất ∀x, y ∈ X, x = y, tồn k > cho: F x+y (t) ≥ {Fx (kt) , Fy (kt)} , ∀t ≥ Bổ đề 3.1.3 Nếu không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) lồi chặt xác suất khơng gian lồi địa phương tương ứng (X, {pλ }) không gian lồi chặt Chứng minh Chọn t = 1, từ định nghĩa không gian lồi chặt xác suất ta có: F x+y (1) ≥ {Fx (k) , Fx (k)} Khi lấy pλ (x) = pλ (y) = ta có pλ (x) < k, pλ (y) < k Từ (2) suy Fx (k) > − λ Fy (k) > − λ Do ta nhận F x+y (1) > − λ Điều tương đương với pλ x+y < Vậy (X, {pλ }) không gian lồi chặt 53 3.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Định lý 3.2.1 [31] Cho C tập lồi, compact yếu, khác rỗng có cấu trúc chuẩn tắc xác suất không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) thỏa mãn điều kiện: với t cố định thuộc R, hàm Fx (t) : X → [0, 1] nửa liên tục yếu theo x ∈ X, T : C → C ánh xạ khơng giãn xác suất Khi T có điểm bất động C Hơn X không gian lồi chặt xác suất tập hợp điểm bất động T tập lồi Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.2, C tập lồi, compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi địa phương (X, {pλ }) tương ứng với không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) Theo Bổ đề 3.3.1, T ánh xạ không giãn từ C vào C Vậy theo Định lý 2.2.1, T có điểm bất động C Lại theo bổ đề 3.3.3 (X, {pλ }) tương ứng với không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) khơng gian lồi chặt, tập hợp điểm bất động ánh xạ T tập lồi KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách ngắn gọn, có hệ thống Cụ thể: Chương 1: Trình bày số kiến thức tập lồi, khơng gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương, nửa chuẩn, mối liên hệ họ nửa chuẩn không gian lồi địa phương, chuẩn tam giác, không gian định chuẩn xác suất ứng với khơng gian định chuẩn xác suất ta xây dựng không gian lồi địa phương mà tơpơ chúng trùng Chương 2: Trình bày ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian lồi địa phương Chương 3: Trình bày ánh xạ khơng giãn xác suất, định lý điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Với phạm vi thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Mong q thầy cơ, bạn độc giả góp ý để luận văn hồn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Bài tập giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học kỹ thuật [4] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, Nxb Đại học Sư Phạm [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [6] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed point theory, Springer, New York [7] A N Kolmogorov, S V Fomin (1975), Introductory Real Analysis, Dover Publications Inc, New York 55 56 [8] A P Robertson, W Robertson (1964), Topological Vector spaces, Cambridge University Press, Cambridge [9] A T Bharucha-Reid, (1976), “Fixed point theorems in probabilistic analysis”, Bull Amer Math Soc, 82, 641 - 657 [10] B LafuerzaGuillén, J A Rodríguez Lallena, C Sempi, (1995), “Completion of probabilistic normed spaces”, Int J Math Math.Sci, 18, 649 - 652 [11] B Schweizer, A Sklar (1983), Probabilistic Metric Spaces, Elsevier North Holland [12] C Alsina, B Schweizer, A Sklar (1993), “On the definition of a probabilistic normed space”, Aequationes Math, 46, 91 - 98 [13] D E Alspach (1981), “A fixed point free nonexpansive map”, Proc Amer Math Soc, 82 (3), 423 - 424 [14] E P Klement, R Mesiar, E Pap (2000), Triangular norms, Kluwer, Dordrecht [15] E Ronald, J.R Bruck (1974), “A common fixed point theorem for a commuting family of nonexpansive mappings”, Pacific Journal of Mathematics, 53 (1), 59 - 71 [16] E P Klement, Radko Mesiar (2005), Logical, Algebraic, Analytic, and Probabilistic Aspects of Triangular Norms, Elsevier, Netherlands 57 [17] F E Browder (1965), “Fixed point theorems for noncompact mappings in Hilbert space”, Proc Nat Acad Sci USA, 43, 1272 – 1276 [18] F E Browder (1965), “Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space”, Proc Nat Acad Sci USA, 54, 1041 - 1044 [19] G Constantin, I Istrătescu (2003), Elements of Probabilistic Analysis with Applications, Kluwer Academic Publishers, London [20] J A Clarkson (1936), “Uniformly convex spaces”, Trans Amer Math Soc, 40, 396 – 414 [21] J M Ling (2000), “Fixed points of nonexpansive maps on locally convex spaces”, Bull Korean Math Soc, 37, 21 – 36 [22] K Goebel, W A Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, Cambridge [23] L P Belluce and W A Kirk (1967), “Nonexpansive mappings and fixed points in Banach spaces”, Illinois J Math, 11, 474 - 479 [24] Stojakovic (1985), “Fixed point theorem in probabilistic metric spaces”, Kobe J Math, 2, – [25] Nguyen Xuan Tan (1986), “Generalized probabilistic metric spaces and fixed point theorems”, Math Nachr, 129, 205-218 58 [26] Ha Duc Vuong (2006), “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (2), 149 – 155 [27] O Hadˇzi´c, E Pap (2001), Fixed point Theory in Probabilistic Metric spaces, Kluwer Academic Publishers, London [28] R Fritsche (1971), “Topologies for probabilistic metric spaces”, Fundamenta Mathematicae, 72, – 16 [29] R M Tardiff (1976), “Topologies for probabilistic metric spaces”, Pacific Journal of Mathematics, 65 (1), 233 – 251 [30] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [31] S Reich (1980), “The fixed point property for nonexpansive mappings”, Amer Math Monthly, 87, 292 - 294 [32] S S Chang (1983), “On some fixed point theorems in probabilistic metric spaces and its applications”, Z Wahr verw Gebtete, 63, 463 - 474 [33] S S Chang (1985), “Probabilistic metric spaces and fixed point theorems for mappings”, J Math Research Expos, 3, 23 - 28 [34] S S Chang, S W Xiang (1990), “Topological structure and metrization problem of probabilistic metric spaces and application”, J Qufu Normal Umv, 16 (3), – 59 [35] S S Chang, B S Lee, Y J Cho, Y Q Chen, S M Kang, J S Jung (1996), “Generalized contraction mapping principle and differential equations in probabilistic metric spaces”, Proc Amer Math Soc, 124 (8), 2367 – 2376 [36] T D Narang (1998), “Normal structure and fixed point property in linear metric spaces”, Acta Mathematica Vietnamica, 23 (2), 257 - 262 [37] Walter Rudin (1976), Functional Analysis, McGraw Hill, Inc, New York [38] Y J Cho, K S Park, S S Chang (1996), “Fixed point theorems in metric spaces and probabilistic metric spaces”, Internat J Math Math Sci., 19 (2), 243-252 ... bày ánh xạ không giãn xác suất định lý điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn xây dựng tổng quan ánh xạ không giãn xác suất điểm bất động lớp ánh xạ Cơng... Một số kết điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất 48 3.1 Ánh xạ không giãn xác suất 49 3.1.1 Ánh xạ không giãn xác suất 49 3.1.2 Cấu trúc chuẩn tắc xác suất ... chuẩn xác suất - Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn xác suất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn là: Ánh xạ không giãn xác suất điểm bất động lớp ánh xạ 5