Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m q báu hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn q trình hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn To Giái tích vói q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá chân thành cám ơn Só GD ĐT Bac Giang, Trưòng THPT Lang Giang so tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p hồn thành tot luắn H Nđi, thỏng nm 2010 Tỏc giỏ LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Lu¾n văn khơng he trùng l¾p vói đe tài khác Trong q trình nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2010 Tác giá Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian loi đ%a phương 1.1.1 T¾p loi, t¾p cân, t¾p hút khơng gian vectơ 1.1.2 Không gian tôpô 12 1.1.3 Không gian vectơ tôpô 14 1.1.4 Không gian loi đ%a phương 17 1.2 Không gian đ%nh chuan xác suat 31 1.2.1 Chuan tam giác 31 1.2.2 M®t so chuan tam giác bán 32 1.2.3 Không gian đ%nh chuan xác suat 33 Điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn không gian loi đ%a phương 39 iii 2.1 Ánh xa không giãn không gian loi đ%a phương 41 2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian loi đ%a phương 44 M®t so ket ve điem bat đ®ng cúa ánh xa khơng giãn xác suat 48 3.1 Ánh xa không giãn xác suat 49 3.1.1 Ánh xa không giãn xác suat 49 3.1.2 Cau trúc chuan tac xác suat 50 3.1.3 Khơng gian loi ch¾t xác suat 52 3.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn xác suat 53 Ket lu¾n 54 Tài li¾u tham kháo 55 Mé ĐAU Lý chon đe tài Nhieu toán khác cna khoa hoc ky thu¾t dan đen vi¾c nghiên cúu van đe sau: Cho X m®t khơng gian, ánh xa T : M → M ánh xa tù t¾p M cúa khơng gian X vào Xét phương trình phi tuyen Tx = x (x ∈ M ), dưói đieu ki¾n cn the khang đ%nh sn ton tai nghi¾m cúa phương trình đó? Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx = x đưoc goi điem bat đ®ng cúa ánh xa T t¾p M Vi¾c nghiên cúu van đe góp phan đac lnc cho vi¾c giái quyet hàng loat tốn quan trong Tốn hoc nói riêng, Khoa hoc ky thu¾t nói chung Đieu dan đen m®t hưóng nghiên cúu mói Tốn hoc hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng” Lý thuyet điem bat đ®ng m®t nhung lĩnh vnc quan cna Giái tích hàm phi tuyen Ngay tù đau the kí 20 nhà tốn hoc the giói quan tâm đen lĩnh vnc cho tói có the khang đ%nh lý thuyet điem bat đ®ng phát trien het súc sâu r®ng, tró thành cơng cu khơng the thieu đe giái quyet nhieu tốn khác Sn phát trien cna lĩnh vnc gan lien vói tên tuoi nhà tốn hoc lón the giói Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, Nhung ket kinh đien cna lý thuyet điem bat đ®ng, đong thòi nhung cơng trình khói đau cho lĩnh vnc nghiên cúu Nguyên lý ánh xa co Banach, Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer đưoc áp dung ó nhieu lĩnh vnc cna Tốn hoc hi¾n đai như: Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Lý thuyet đieu khien, Lý thuyet toi ưu hóa, Đai so, Giái tích so, Trên só nguyên lý bán trên, Lý thuyet điem bat đ®ng phát trien theo hưóng chính: - Hưóng thú nhat nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa dang co, mó đau Nguyên lý ánh xa co Banach (1922) - Hưóng thú hai nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc, mó đau Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) Vào nhung năm 60 cna the kí 20, m®t hưóng mói có the xem trung gian cna hai hưóng xuat hi¾n Lý thuyet iem bat đng ú l viắc nghiờn cỳu iem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian Banach Mđt cõu húi l: can ieu kiắn t¾p M khơng gian X đe ton tai điem bat đ®ng cna m®t ánh xa khơng giãn T :M→M? Vì biet, moi ánh xa co đeu ánh xa không giãn moi ánh xa không giãn đeu liên tuc nên đieu ki¾n phái manh đieu ki¾n Nguyên lý ánh xa co Banach yeu đieu ki¾n Ngun lý điem bat đ®ng Brouwer Câu trá lòi xác phái đoi đen năm 1965 mói đưoc Browder Gohde đc lắp tỡm e giỏi quyet bi toỏn này, hai nhà toán hoc sú dung kĩ thuắt đc ỏo dna vo nhung thnh tnu cna mđt hưóng nghiên cúu mói có tên là: “Hình hoc khơng gian Banach” Clarkson khói xưóng năm 1936 Năm 1942 Lý thuyet ve không gian metric xác suat đưoc giúi thiắu búi Menger ú l sn mú rđng xỏc suat” cna khái ni¾m metric thơng thưòng: thay cho vi¾c xét khống cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y(t) bieu dien xác suat đe cho d(x, y) < t, vúi t l mđt so thnc Khỏi niắm thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc, đ¾c bi¾t Schweizer Sklar xây dnng thành lý thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat bán năm 1983 Sau đưoc phát trien có úng dung rat quan trong V¾t lý lưong tú, Lý thuyet dòng Lý thuyet b¾c đưoc nghiên cúu bói El Naschie Abdolrahman Razani Maryam Shirdarvazdi Vói mong muon tìm hieu sâu ve van đe này, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna TS Hà Đúc Vưong, manh dan chon nghiên cúu đe tài: “Ánh xa khơng giãn xác suat điem bat đ®ng” Ngồi lòi mó đau, ket lu¾n tài li¾u tham khỏo, luắn cú ba chng nđi dung: Chng 1: trình bày ve khơng gian vectơ tơpơ, khơng gian loi đ%a phương, không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua khơng gian loi đ%a phương khơng gian đ%nh chuan xác suat Chương 2: trình bày ve ánh xa không giãn đ%nh lý ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian loi đ%a phương Chương 3: trình bày ve ánh xa khơng giãn xác suat đ%nh lý ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn xác suat Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna lu¾n văn xây dnng m®t tong quan ve ánh xa khơng giãn xác suat điem bat đ®ng cna lóp ánh xa Cơng trình nghiên cúu dna ket q cna TS Hà Đúc Vưong báo “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces” đăng tap chí Vietnam Journal of Mathematics năm 2006 Nhi¾m nghiên cNu Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn là: - Nghiên cúu ve không gian loi đ%a phương điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian loi đ%a phương - Nghiên cúu ve không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua khơng gian loi đ%a phương không gian đ%nh chuan xác suat - Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn xác suat Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn là: Ánh xa không giãn xác suat điem bat đ®ng cna lóp ánh xa Phương pháp nghiên cNu - Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Phân tích, tong hop kien thúc DN kien đóng góp mái Đây tong quan ve ánh xa không giãn, không giãn xác suat điem bat đ®ng cna chúng Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi liên h¾ giua khơng gian loi đ%a phương khơng gian đ%nh chuan xác suat Tù dna ket q ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian loi đ%a phương đe tìm ket q ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn xác suat không gian đ%nh chuan xác suat Chương Kien thNc chuan b% Má đau M®t cách đơn gián đe đưa m®t tơpơ vào m®t khơng gian vectơ cho tơpơ tương thích vói cau trúc đai so cho trưóc m®t chuan Tuy nhiên, lóp khơng gian chưa đn r®ng đe nghiên cúu van đe cu the cna giái tích, bói nhieu khơng gian vectơ quan náy sinh mà tôpô tn nhiên khơng the cho đưoc bói chuan Ta se kháo sát lóp khơng gian này, chúng tong qt không gian đ%nh chuan goi khơng gian vectơ tơpơ é chương này, chúng tơi trình by mđt so ket quỏ can thiet ve loi, t¾p cân, t¾p hút - cơng cu quan trong vi¾c kháo sát tơpơ cna khơng gian vectơ tơpơ, không gian loi đ%a phương - không gian tong quát khơng gian đ%nh chuan van báo tồn nhieu tính chat cna khơng gian đ%nh chuan, núa chuan, moi liên h¾ giua ho núa chuan 61 [8] A P Robertson, W Robertson (1964), Topological Vector spaces, Cambridge University Press, Cambridge [9] A T Bharucha-Reid, (1976), “Fixed point theorems in probabilis- tic analysis”, Bull Amer Math Soc, 82, 641 - 657 [10] B LafuerzaGuillén, J A Rodríguez Lallena, C Sempi, (1995), “Completion of probabilistic normed spaces”, Int J Math Math.Sci, 18, 649 - 652 [11] B Schweizer, A Sklar (1983), Probabilistic Metric Spaces, Elsevier North Holland [12] C Alsina, B Schweizer, A Sklar (1993), “On the definition of a probabilistic normed space”, Aequationes Math, 46, 91 - 98 [13] D E Alspach (1981), “A fixed point free nonexpansive map”, Proc Amer Math Soc, 82 (3), 423 - 424 [14] E P Klement, R Mesiar, E Pap (2000), Triangular norms, Kluwer, Dordrecht [15] E Ronald, J.R Bruck (1974), “A common fixed point theorem for a commuting family of nonexpansive mappings”, Pacific Journal of Mathematics, 53 (1), 59 - 71 [16] E P Klement, Radko Mesiar (2005), Logical, Algebraic, Analytic, and Probabilistic Aspects of Triangular Norms, Elsevier, Netherlands [17] F E Browder (1965), “Fixed point theorems for noncompact mappings in Hilbert space”, Proc Nat Acad Sci USA, 43, 1272 – 1276 [18] F E Browder (1965), “Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space”, Proc Nat Acad Sci USA, 54, 1041 - 1044 [19] G Constantin, I Istrătescu (2003), Elements of Probabilistic Analysis with Applications, Kluwer Academic Publishers, London [20] J A Clarkson (1936), “Uniformly convex spaces”, Trans Amer Math Soc, 40, 396 – 414 [21] J M Ling (2000), “Fixed points of nonexpansive maps on locally convex spaces”, Bull Korean Math Soc, 37, 21 – 36 [22] K Goebel, W A Kirk (1990), Topics in metric fixed point theory, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge Univer- sity Press, Cambridge [23] L P Belluce and W A Kirk (1967), “Nonexpansive mappings and fixed points in Banach spaces”, Illinois J Math, 11, 474 - 479 [24] Stojakovic (1985), “Fixed point theorem in probabilistic metric spaces”, Kobe J Math, 2, – [25] Nguyen Xuan Tan (1986), “Generalized probabilistic metric spaces and fixed point theorems”, Math Nachr, 129, 205-218 [26] Ha Duc Vuong (2006), “A fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (2), 149 – 155 [27] O Hadˇzi´c, E Pap (2001), Fixed point Theory in Probabilistic Met- ric spaces, Kluwer Academic Publishers, London [28] R Fritsche (1971), “Topologies for probabilistic metric spaces”, Fundamenta Mathematicae, 72, – 16 [29] R M Tardiff (1976), “Topologies for probabilistic metric spaces”, Pacific Journal of Mathematics, 65 (1), 233 – 251 [30] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [31] S Reich (1980), “The fixed point property for nonexpansive mappings”, Amer Math Monthly, 87, 292 - 294 [32] S S Chang (1983), “On some fixed point theorems in probabilistic metric spaces and its applications”, Z Wahr verw Gebtete, 63, 463 - 474 [33] S S Chang (1985), “Probabilistic metric spaces and fixed point theorems for mappings”, J Math Research Expos, 3, 23 - 28 [34] S S Chang, S W Xiang (1990), “Topological structure and metrization problem of probabilistic metric spaces and application”, J Qufu Normal Umv, 16 (3), – [35] S S Chang, B S Lee, Y J Cho, Y Q Chen, S M Kang, J S Jung (1996), “Generalized contraction mapping principle and differential equations in probabilistic metric spaces”, Proc Amer Math Soc, 124 (8), 2367 – 2376 [36] T D Narang (1998), “Normal structure and fixed point property in linear metric spaces”, Acta Mathematica Vietnamica, 23 (2), 257 - 262 [37] Walter Rudin (1976), Functional Analysis, McGraw Hill, Inc, New York [38] Y J Cho, K S Park, S S Chang (1996), “Fixed point theorems in metric spaces and probabilistic metric spaces”, Internat J Math Math Sci., 19 (2), 243-252 ... 3.1 Ánh xa không giãn xác suat 49 3.1.1 Ánh xa không giãn xác suat 49 3.1.2 Cau trúc chuan tac xác suat 50 3.1.3 Khơng gian loi ch¾t xác suat 52 3.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa... iii 2.1 Ánh xa không giãn không gian loi đ%a phương 41 2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn khơng gian loi đ%a phương 44 M®t so ket ve điem bat đ®ng cúa ánh xa khơng giãn xác suat... trình bày ve ánh xa khơng giãn xác suat đ%nh lý ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn xác suat Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna lu¾n văn xây dnng m®t tong quan ve ánh xa khơng giãn xác suat điem