Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học xạ ảnh môn học chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Toán trường Đại học Sư Phạm nước Mục đích mơn học cung cấp cho sinh viên nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Đồng thời, hình học xạ ảnh giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số tốn thuộc chương trình phổ thơng Thế mạnh môn học giúp giải tốn tính đồng quy thẳng hàng (đặc biệt hình học phẳng ) cách tổng quát.Với niềm đam mê Toán học đặc biệt niềm yêu thích mơn Hình học, tơi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến hình học Trong trình học tập nghiên cứu nhận thấy khái niệm, định lý ánh xạ xạ ảnh biến đổi ánh xạ quan trọng giải tập tư hình học Dưới hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy tơi phần làm điều Trong khn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu nên tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh ” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh tính chất Đối tượng nghiên cứu Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất ánh xạ xạ ảnh Tìm hiểu phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ Định hướng cách giải số toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh” giúp em hiểu thêm hình học xạ ảnh biết cách áp dụng giải tập có nhìn đắn môn học Chương ÁNH XẠ XẠ ẢNH 1.1 Định nghĩa Cho K- không gian xạ ảnh (P,p, V) (P', p', V') Một ánh xạ f : P → P' gọi ánh xạ xạ ảnh có ánh xạ tuyến tính φ : V → V', cho véc tơ x C V đại diện cho điểm X C P véc tơ φ (x) C V' đại diện cho điểm f (X) C P' nói cách khác, p(   ) = X thì: x p ( x)  f ( X ) Khi ta nói ánh xạ tuyến tính φ đại diện ánh xạ xạ ảnh f 1.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh Cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P', có đại diện ánh xạ tuyến tính φ: V → V' Khi đó: 1.2.1 Ánh xạ tuyến tính φ đơn cấu Thật vậy, có véc tơ x C V \ {0 } đại diện cho điểm X C P,  véc tơ φ( x ) đại diện cho điểm f (X) nên φ( x ) C V' \{ }  Ker  0 1.2.2 Ánh xạ f ánh xạ đơn ánh Thật vậy, giả sử A B hai điểm P mà f (A) = f (B) Khi    đó, gọi a b véc tơ đại diện A B φ( a ) φ( b ) đại diện cho điểm f (A) = f (B) nên φ( a ) = kφ( b ), k ≠ Vì φ đơn cấu nên suy a = k b , tức A B trùng 1.2.3 Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập tính phụ thuộc hệ điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn độc lập tuyến tính hệ véc tơ) Từ suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn khái niệm: m - phẳng, số chiều phẳng, giao tổng phẳng, tỉ số kép hàng bốn điểm chùm bốn siêu phẳng 1.2.4 Ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỷ số kép    C A1  B Nếu1    D 1 A 1 B    F (C) 1F ( A) 1F (B)    F (D) 1F ( A) 1F (B)    C  A B hay  D 2 A2 B ( ABCD) ( ABCD) 1.2.5 Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P' Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' φ' : V → V' đại diện cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P' có số k C K \ {0 } cho φ = kφ' 1.3 Định lí xác định phép ánh xạ xạ ảnh 1.3.1 Định lý: Cho P mục tiêu xạ ảnh R=S ,U Pn i n  n mục tiêu RS, n n Khi có ánh xạ xạ ảnh f:P → P U n i cho f (Si ) Si(i  0, n) f (U ) U  Chứng minh +) Gọi ε,ε’ sở đại diện R R’ Khi có ánh xạ tuyến tính F : V   F (ei ) ei, (i o, n) Gọi f ánh xạ xạ ảnh xác định F n+1 n+1 → V’ cho f (Si )  : S i n  n n  F (  ei )  F (ei )  ei i0  nên F(U) = U’ (i o, n) n n +) Nếu có ánh xạ xạ ảnh g: P →P’ mà g (S i ) S i, g (U ) U (i 0, n) Gọi G ánh xạ đại diện g   G (ei ) ki ei (i 0, n) n  n   G ( ei ) k ( ei) n n 0 n n  n    Do G (  ei )  G (ei ) ki eik (  ei)  k.ei 0 n i i0  i0 0   (k ki).ei0 i0 k  i 0, n    ki Vậy G (ei ) k.eik.F (ei )i 0, n    n 1 hay G=k.F suy g = f G ( x) k F ( x)x V 1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh Dễ thấy ánh xạ xạ ảnh f : P → P' song ánh P P' có số chiều Khi đó, f gọi đẳng cấu xạ ảnh, hai không gian P P' gọi đẳng cấu n Nếu không gian xạ ảnh P cho hai mục tiêu xạ ảnh { S i ,E} n  { Si , E}, có phép biến đổi xạ ảnh f P , biến điểm Si thành điểm S i(i = 0,1, , n) biến E thành E' 1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh n n Cho f : P → P phép biến đổi xạ ảnh K - không gian xạ ảnh n P , liên kết với không gian véc tơ V n+1 Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si, E} Với điểm X bất kì, gọi (x0 : x1 : : xn) tọa độ ( x0 : x1 : : x n  xi xi ) tọa độ X' = f (X) Ta tìm liên kết n+1    Gọi ( e0 , e1, , en ) sở V φ: V n+1 →V n+1 đại diện cho mục tiêu {Si, E} biến đổi tuyến tính V n+1 đại diện cho biến đổi xạ ảnh f Giả sử sở đó, có biểu thức tọa độ: n k≠0 kxi a ij x j ,i  (0.0.1) 0,1, 2, ,n j0 Trong đó, ma trận A = ( aij ) có hạng n+1, tức det A ≠ Ma trận A ma trận chuyển từ sở ( ei ) sang sở ảnh qua phép φ Để ý đến mối quan hệ tọa độ xạ ảnh điểm với tọa độ véc tơ đại diện nó, ta suy biểu thức liên hệ tọa độ X X' là: kx  i n aij x j ,i 0,1,2, ,n;k 0 j0 Trong đó, ma trận A = ( aij ) ; i, j = ,1 , , , n có hạng n + (tức có định thức khác khơng), gọi ma trận phép biến đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E} Các cột A cột tọa độ điểm f (Si), phải chọn cho: n n j0 j0 n ( a0 j :  a1 j : :  anj ) j0 tọa độ điểm f (E) Biểu thức (0 ) viết dạng ma trận: k.x' =Ax , ' x x' ma trận cột tọa độ điểm X điểm X 1.6 Liên hệ biến đổi xạ ảnh biến đổi Afin n Trong không gian xạ ảnh P cho mục tiêu phẳng có phương trình Si ; E, gọi W siêu n x0 0 Xét phép biến đổi xạ ảnh f → Pn :P Do k = giá trị riêng bội ba Thay k = vào (*) giải hệ tương ứng ta được: x1 x2 x3 0  x1 x2 x3 x1 x2 x3 0  0 2 x1 2 x2 2 x3 0 Như vậy, d: x x x3 0 đường thẳng chứa tất điểm kép f, tức f (X) = X , x d Do đó, f phép thấu xạ với thấu xạ d (đpcm) Hơn nữa, tâm O f phải thuộc d Nên f thấu xạ đặc biệt Ta tìm tọa độ tâm O Lấy M P2 \ d (tùy ý) Khi OM đường thẳng bất biến f (M ) M 'OM Suy O = MM ' d Chọn M = ( 0: 0: ) Thay vào phương trình f ta : f(M) = M’ = ( 1: -1 : -3 ) Phương trình đường thẳng MM’: x1 + x2 = Khi đó: O= MM' 1 d=1    : : 0 1 1 (1:1:  2)   Bài 3: Trong P cho đường thẳng d hai điểm phân biệt M, M’ không thuộc d Chứng minh rằng: a Có phép thấu xạ đặc biệt f P nhận d làm thấu xạ biến M thành M’ Hãy dựng ảnh điểm N qua f b Cho tùy ý số k khác Chứng minh có phép thấu xạ tâm f P nhận d làm thấu xạ, k số thấu xạ biến thành M thành M’ Hãy dựng ảnh điểm N qua f Giải : a) Gọi Lấy Xét: S MM 'd Ta xây dựng phép biến đổi xạ ảnh sau : X P , X d , X {M , M '} X MX d f : P P M  M'= f (M) d  f (d) = d X  f ( X ) SX X M ' + f phép biến đổi xạ ảnh giữ bất động đường thẳng d + Mặt khác, X P , X d : X, f(X), S thẳng hàng hay f giữ bất biến đường thẳng qua S Suy f phép thấu xạ đặc biệt tâm S, đường thẳng d * Sự : F xây dựng khơng phụ thuộc vào điểm X; tức với điểm X cho ta kết xây dựng Điểm S MM xác định 'd Vậy tồn phép thấu xạ đặc biệt f nhận d làm biến M thành M’ * Dựng ảnh N qua f:  Cách dựng: S MM 'd X MN d f (N ) N ' SN X M ' Ta N’ điểm cần dựng Người thực hiện: PHAN ANH SƠN K35G Sư phạm Toán Page 41 Người thực hiện: PHAN ANH SƠN K35G Sư phạm Toán Page 42  Chứng minh: Ta có: X  f ( X ) X 0 d  Do M, N, X0 thẳng hang nên M’, f (N), X0 thẳng hang ( Do f bảo toàn điểm thẳng hàng ) Do f giữ bất biến đường thẳng qua S nên N, f (N), S thẳng hàng Vậy f (N ) N ' SN X M ' điểm cần dựng b) Ta xây dựng tương tự câu a * Dựng ảnh N qua f: S MM 'd Dựng A xác định cho (ASMM’) = k X MN d f (N ) N ' AN X M ' Bài 4: Trong P cho thấu xạ cặp f với sở (P,Q) có ma trận biểu diễn a mục tiêu  c b Hãy tính hệ số thấu xạ k d   Giải: a b  Gọi {A0,A1,E} mục tiêu P mà ma trận f   c d  P  x p : y p  ,Q  xq : ta có: Gọi yq  f P  axp byp : cxp dyp , f Q axq byq : cxq dyq do P , Q bất động nên ta có: axp  by p cx dyax  cx dy q q by  p p q ;  q yp xq yq xp Đặt x  p  q yp x ta được: ; yq a b  cd c. (d a).b 0 a b  cd c. (d a).b 0 Do P Q phân biệt nên α ≠ β Vậy α β hai nghiệm phương trình c.x2 (d a).x b 0 xp Gọi A’0 = f(A0) = (a:c) P Q phân biệt nên   xq hệ số thấu xạ :  k xp yp  PQA0 A'0  q  Ta có: yp yp c yq  q  MN    q c ca a  ay  ycx :  q c c a  ; N a  k N  c c M  M N   2  a c   a   cx p  ay p  q yq M a : xa x Đặt xp yp   0 yq    u  a d a d   a  c 2c c c a  b  a2 a d  ad bc a    M N  2   c c c c c  c c a a  Ta có: Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán Page 43  k 1  k    ad2   2 c  2 N M N  (M    a 2bc 2 Mk     N  d )    k M N MN ad  2  ad bc MN bc   c2 Vậy k k nghiệm phương trình 2bc  X 1 0 d ad bc  2 X  a   Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Tốn Page 44 KẾT LUẬN Qua q trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Đặc biệt khóa luận tơi nghiên cứu cách khái quát định nghĩa ánh xạ xạ ảnh, phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Bên cạnh tập áp dụng Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến mơn hình học xạ ảnh nói riêng hình học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp q báu thầy bạn sinh viên Sinh viên Phan Anh Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Phạm Bình Đơ, Tạ Mân (1984), Bài tập hình học cao cấp tập II, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương (1999), Giáo trình hình học xạ ảnh, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Văn Như Cương, Kiều Huy Luân (1978), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phạm Bình Đơ (2002), Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2008), Bài tập Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Cảnh Tồn (1979), Hình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy cơ, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy tổ hình học, thầy khoa tốn, thầy trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy – Người tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng song thời gian hạn chế khả thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận quan tâm, góp ý, bảo thầy, giáo bạn để khóa luận em hồn thiện Một lần em xin gửi lời cảm ơn kính chúc sức khỏe tới thầy cơ! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Anh Sơn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Tốn: Khóa luận “Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh” tơi viết, kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn thầy Đinh Văn Thủy, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận khơng trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Phan Anh Sơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Mức độ phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Chương 1: Ánh xạ xạ ảnh .3 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất ánh xạ xạ ảnh .3 1.3 Định lý xác định phép ánh xạ xạ ảnh 1.4 Đẳng cấu xạ ảnh Hình học xạ ảnh .5 1.5 Biểu thức tọa độ phép biến đổi xạ ảnh 1.6 Liên hệ biến đổi xạ ảnh biến đổi afin .6 Chương 2: Phép chiếu xuyên tâm 2.1 Định nghĩa 2.2 Một số định lý 2.3 Đối ngẫu phép chiếu xuyên tâm 13 2.4 Phép chiếu xuyên tâm đối ngẫu P 14 2.5 Một số ứng dụng 16 Chương 3: Phép thấu xạ xạ ảnh 18 3.1 Định nghĩa 18 3.2 Biểu thức tọa độ phép thấu xạ .18 3.3 Tính chất phép thấu xạ 19 3.4 Phép thấu xạ đơn .20 3.5 Các phép thấu xạ không gian xạ ảnh P P 21 3.6 Các phép biến đổi a fin sinh phép thấu xạ 23 Bài tập vận dụng hướng dẫn giải 25 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 ... hiểu tổng quan Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất ánh xạ xạ ảnh Tìm hiểu phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ Định hướng... toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm thấu xạ xạ ảnh giúp em hiểu thêm hình học xạ ảnh biết cách áp... xạ xạ ảnh Định lý 2: Điều kiện cần đủ để ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên siêu phẳng đường nối hai tâm phải tự ứng Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xun xạ ảnh phân tích thành khơng n + phép