Phép đối xứng tâm trong E2, E3

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, hình học mơn khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Đặc biệt phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học cơng cụ hữu ích tốn hình học phẳng hình học khơng gian Việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình tốn bậc trung học sở trung học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để giải tốn mà tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Phép đối xứng tâm phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải tốn dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính tốn… Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm E ,E để giải tốn hình học khơng phải việc dễ dàng Thực tế phần khó giáo viên học sinh Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày kiến thức phép đối xứng tâm E ,E Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu phép đối xứng tâm ứng dụng lớp tập hình học Đối tượng nghiên cứu Phép đối xứng tâm E , E Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng tâm Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép đối xứng tâm lớp tốn hình học sau:  Chứng minh tính chất hình học  Dựng hình  Tập hợp điểm  Bài toán cực trị Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phép đối xứng tâm Nội dung đề tài Phần Mở đầu Phần Nội dung Đại cương phép biến hình Định nghĩa tính chất phép đối xứng tâm Ứng dụng phép đối xứng tâm việc giải số lớp tốn hình học Phần Một số kết luận kiến nghị Kế hoạch nghiên cứu Tháng 9/2012 đến tháng 1/2012 nhận đề tài hoàn thành đề cương Tháng 2/2013 đến tháng 3/2013 tìm hiểu sở lý thuyết, tìm tài liệu tham khảo Tháng 4/2013 đến tháng 5/2013 hoàn thành đề tài PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa n n Mỗi song ánh f: E → E gọi phép biến hình khơng gian n E (n=2,3) Định nghĩa n n Cho phép biến hình f: E → E ta có khái niệm sau: n  Điểm M thuộc E gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M n  Hình H nằm E gọi hình kép f(H) = H  Hình H gọi hình bất động phép biến hình f nếu: M H: f(M)=M Định nghĩa n n Phép biến hình f: E → E gọi phép biến hình đối hợp nếu: f = IdE Ví dụ: Phép đối xứng tâm… Chương PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM Định nghĩa n n Trong không gian E (n=2,3) cho điểm O phép biến hình E biến M thành M’ cho: OM ' = - OM gọi phép đối xứng qua O O: gọi tâm đối xứng Kí hiệu: ĐO Tính chất  Trong E : Phép đối xứng tâm phép bảo tồn phương E : Phép đối xứng tâm phản chiếu bảo tồn phương 3 f: E → E biến điểm M thành M’, biến điểm N thành N’ ta có: M ' N' = - MN  Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động  Phép đối xứng tâm ĐO phép biến hình 1-1  Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm Ứng dụng phép đối xứng qua tâm § CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Ví dụ Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh mà trùng tam giác tam giác cân A D B C A’ Giải: Thật , giả sử tam giác ABC có đường trung tuyến AD đồng thời đường phân giác Dễ thấy B,C đối xứng với qua D Gọi A’=ĐD(A) tứ giác ABA’C hình bình hành tâm D Bởi vậy, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra: Tam giác BAA’ cân B BA’=BA suy ra: AB=AC tam giác ABC cân A Chú thích: Về tốn đòi hỏi vận dụng kiến thức SGK hình học 7, nhiên cần phải vẽ thêm hình phụ Ở sử dụng ngơn ngữ biến hình việc trình bày lời giải toán (cụ thể phép đối xứng tâm) Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC,CA,AB ta lấy điểm A1 A2, B1 B2, C1 C2 cho điểm nằm đường tròn Chứng minh đường thẳng qua A1 vng góc với BC, qua B1 vng góc với AC, qua C1 vng góc với AB đồng quy đường thẳng qua A2 vng góc với BC, qua B2 vng góc với AC, qua C2 vng góc với AB đồng quy Giải: A x B1 C2 x’ C1 A’1 B B2 A2 C A1 Gọi x dường thẳng qua A1 vng góc với BC, (O) đường tròn qua điểm nêu toán Gọi A’1 giao diểm thứ x với (O) rõ ràng A’1A2 đường kính (O) Vì phép đối xứng ĐO biến A’1 thành A2 Do biến đường thẳng x thành đường thẳng x’ qua A2 x//x’ hay x’ BC Tương tự ĐO biến đường thẳng y thành đường thẳng y’ qua B2 vng góc với AC, biến đường thẳng z thành đường thẳng z’ qua C2 vng góc với AB(trong y, z đường thẳng qua B1 vng góc với AC, qua C1 vng góc với AB) Vậy S điểm chung x, y, z ảnh S’ S qua phép đối xứng tâm ĐO điểm chung x’, y’, z’ Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho hình bình hành ABCD đường tròn bàng tiếp (O) tam giác ABD tiếp xúc với phần kéo dài AB AD tương ứng điển M N Đoạn thẳng MN cắt BC DC tương ứng điểm P,Q Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với cạnh BC, DC P Q Giải: A M’ N’ O’ B H I K M P Q O D N C Gọi K tiếp điểm (O) với BD (O’) đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với AB M’, AD N’ với BD H I trung điểm BD Dễ thấy MM’ = BK+BH, NN’ = DK+DH MM’ = NN’ BH+HK+BH=DK+DK+HK BH=DK mà IB=ID nên IH=IK Rõ ràng phép đối xứng tâm ĐI biến B thành D, H thành K Tam giác AMN cân A DQ // AM nên tam giác DQN cân D suy DQ = DN = DK = BH = BM’ Thế Q ảnh M’ qua ĐI Tương tự P ảnh N’ qua ĐI Ta có ĐI biến A,B,D thành C,D,B nên ĐI biến tam giác ABD thành tam giác CDB Vậy ĐI biến đường tròn (O’) nội tiếp tam giác ABD thành đường tròn (O’’) nội tiếp tam giác CDB Mà ĐI biến M’,N’,H thành Q,P,K (O’) qua M’,N’,H nên (O’’) qua Q,P,K Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn cho trước Từ M,N P,Q trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA ta vẽ đường thẳng vng góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh đường thẳng đồng quy Giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Dễ thấy MNPQ hình bình hành Gọi I tâm tứ giác MNPQ Ta có phép đối xứng tâm ĐI biến M,N,P,Q thành P,Q.M,N Ta có OM,ON,OP,OQ vng góc với AB,BC,CD,DA Do tính chất phép đối xứng tâm nên đường thẳng OM qua M biến thành đường thẳng qua P song song với OM Đó đường thẳng qua P vng góc với AB Những tập luyện tập tương ứng Dựng tam giác ABC biết độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A,B góc C HD: Kí hiệu AM,BN trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC Phép đối xứng tâm ĐM biến B thành C biến G thành G’ Khi G’C=GB= 2mb điều chứng tỏ C nằm đường tròn tâm G’ với bán kính R’= 2mb mặt khác C nằm cung chứa góc dựng AM Cho đường tròn tâm O đường thẳng d điểm A khơng nằm d (O) Tìm điểm B (O) cho BA cắt d C thỏa mãn AB=AC HD: Phép đối xứng qua A biến C thành B nên biến d thành d’ cắt đường tròn (O) B Cho góc xOy điểm A,C nằm góc Hãy dựng điểm B,D cạnh Ox,Oy cho tứ giác ABCD hình bình hành HD: Gọi I trung điểm AC Phép đối xứng qua I biến B thành D nên biến Ox thành tia O’x’ qua D D giao điểm tia O’x’ với tia Oy § TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Ví dụ Cho mặt phẳng (P) điểm A,B,C,D Với điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức MA + MB + MC + MD =2 MN Tìm tập hợp điểm N M biến thiên (P) Giải: Gọi G trọng tâm điểm A,B,C,D Với điểm M Theo cơng thức trọng tâm ta có: MG = MA + MB + MC + MD 4 MG =2 MN 2 MG = MN 2 MG = MG + GN MG =- NG Hệ thức chứng tỏ tập hợp N mặt phẳng đối xứng với (P) qua G Nhận xét: Ta mở rộng tốn E ta toán sau: Cho mặt cầu (O) điểm A,B,C,D Với điểm M thuộc mặt cầu ta xác định điểm N theo hệ thức MN =2 MA +3 MB +4 MC +5 MD Tìm tập hợp điểm N M biến thiên mặt cầu Giải: Gọi G điểm cho GA +3 GB +4 GC +5 GD = O ta có MN =14 MG hay MG +7 GN =14 MG tương đương với GN =- GM suy tập hợp N mặt cầu đối xứng với (O) qua G Ví dụ Cho tam giác ABC đường tròn (O) Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho BE=2AE F trung điểm cạnh AC I đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF với điểm P đường tròn (O) ta dựng điểm Q cho PA +2 PB +3 PC =6 IQ Tìm tập hợp điểm Q P thay đổi A F E I C B P Giải Gọi K điểm thỏa mãn điều kiện KA +2 KB +3 KC = O  AK =2 KB +3 KC AK =2( KA + AB ) +3( KA + AC )6 AK =2 AB +3 AC (1) Ta có: AI = AE + AF = AB + AC 6 AI =2 AB +3 AC (2) Từ (1)(2) suy K≡I IA +2 IB +3 IC = O Theo giả thiết: PA +2 PB +3 PC =6 IQ PI + IA +2 PI +2 IB +3 PI +3 IC =6 IQ 6 PI =6 IQ IP =- IQ P,Q đối xứng qua I Vậy tập hợp Q đường tròn (O’) ảnh (O) qua ĐI Ví dụ Cho tam giác ABC gọi A’,B’,C’ trung điểm cạnh BC,CA,AB Tìm tập hợp M tam giác cho ảnh M qua phép đối xứng tâm ĐA’, ĐB’, ĐC’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giải: A M2 M C B M1 M2= ĐB’(M), M1=ĐA’(M) đó: CM =- AM =- BM1 suy ra: ABM1M2 hình bình hành Hơn ABM1M2 hình bình hành nội tiếp đường tròn nên ABM1M2 hình chữ nhật CMAB Chứng minh tương tự ta có BMAC Vậy M giao điểm ba đường cao tam giác Vậy ABC tam giác nhọn tập hợp điểm trực tâm tam giác Nếu ABC tam giác khơng nhọn tập hợp M tập rỗng Ví dụ Cho đường tròn (O) ba điểm A,B,C phân biệt Với điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 ảnh P phép đối xứng ĐA, P2 ảnh P1 qua phép đối xứng ĐB, P’ ảnh P2 phép đối xứng ĐC Tìm tập hợp P’ P biến thiên đường tròn (O) Giải: P1 A D P’ P B C P2 Ta có: ĐA biến P thành P1 ĐB biến P1 thành P2 ĐC biến P2 thành P’ Theo tính chất tích phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm Nên ĐD=ĐC.ĐB.ĐA biến P thành P’ D dễ dàng xác định hệ thức BD = BA + BC D điểm cố định Vậy tập hợp P’ đường tròn (O’) (O’) ảnh đường tròn (O) ) phép đối xứng ĐD Những tập luyện tập tương ứng Cho đoạn thẳng BC cố định số k>0 Với điểm A ta xác định điểm D cho AD = AB + AC Tập hợp điểm D A thay đổi thoả mãn 2 điều kiện AB + AC = k HD: Gọi I trung điểm BC AI = AB + AC = AD suy I trung điểm AD ĐI biến A thành D mà tập hợp A thỏa mãn điều kiện cho đường tròn điểm rỗng tập hợp D đường tròn điểm rỗng Cũng đề thay tìm tập hợp điểm D A thay đổi 2 thỏa mãn điều kiện AB – AC = k HD: Tập hợp A đường thẳng d vng góc với BC Gọi I trung điểm BC I cố định A đối xứng với D qua I Vậy tập hợp D đường thẳng Cho đoạn thẳng AB hai tia Ax,Ay vng góc với AB nằm phía với đường thẳng AB Xét hình thoi MNPQ có đỉnh M nằm đoạn AB, đỉnh P Ax đỉnh Q By có góc nhọn đỉnh M 60 Tìm tập hợp đỉnh N HD: Gọi I giao điểm đường chéo hình thoi I cố định phép đối xứng qua I biến M thành N § BÀI TỐN CỰC TRỊ Ví dụ: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi A’,B’,C’ ảnh A,B,C qua phép đối xứng tâm O T đa giác tạo phần chung hai tam giác ABC A’B’C’ Tìm vị trí O cho T có diện tích lớn Giải: B’ C’ A K O H A’ B C M Ta có hai trường hợp TH1: A’ ảnh A qua ĐO nằm tam giác Vì ĐO biến A thành A’, B thành B’ nên AB//A’B’ (1) Vì ĐO biến A thành A’, C thành C’ nên AC//A’C’(2) Từ (1)(2) suy ra: T hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm AB,AC đường chéo AA’ Gọi M giao điểm AA’ với BC Dựng hình bình hành AKMH có MK//AC MH//AB (KAB,HAC) rõ ràng T bị chứa hình bình hành AKMH Do đó: dt(T) dt(AKMH) Ta có dt( AHK ) AK = ABC ) dt( AB AH AC Do MK//AC,MH//AB nên AK AB = CM ,BC AH = BM AC BC Và AK AH AB + AC = Theo bất đẳng thức cauchy ta có: AK AH AK  AB ( + AB AH ) = AC AC  dt(AHK)  dt(ABC) tương đương với dt(AKMH) dt(ABC) Vậy dt(T) lớn phần hai diện tích ABC Dấu xảy AK AH AB = AC = suy A’ ≡ M, M trung điểm BC O trung điểm AM A S1 Q C’ R P B B’ S O S3 S2 N M C A’ TH2: A’,B’,C’ nằm ngồi tam giác ABC Khi T lục giác Phép đối xứng tâm ĐO biến A,B,C thành A’,B’,C’ nên T lục giác có cặp cạnh đối song song Gọi S1,S2,S3 diện tích tam giác nhỏ bị cắt từ tam giác ABC đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’(hình vẽ) S diện tích tam giác tam giác ABC Ta có S1 AQ ) S =( S2 BP S = ( AB ) AB S3 PQ S = ( AB ) Suy ra: S1+S2+S3 = S[( AQ AB ) +( BP AB ) +( PQ AB )] Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có S1+S2+S3 S (  AQ S BP ) = + AB + PQ AQ S A B AB Vậy min(S1+S2+S3) = tam giác ABC BP = xảy AB = PQ AB hay O trọng tâm AB Ta xét diện tích T rõ ràng dt(T) lớn S1+S2+S3 nhỏ Vậy max dt(T) = S PHẦN BA: MỘT SỐ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ LỜI KẾT LUẬN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy khoa tốn nói riêng, tận tình giảng dạy , truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt thời gian qua Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến thầy Phan Hồng Trường tận tình giúp đỡ, trực tiếp bảo, hướng đẫn em suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Trong thời gian làm việc với thầy, em không ngừng tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích mà học tập tinh thần làm việc, thái độ nghiêm cứu khoa học nghiêm túc, hiệu quả, điều cần thiết cho em q trình học tập cơng tác sau Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Thanh Nga TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học số vấn đề liên quan Nhà xuất giáo dục Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), xuất năm 2008 Phương pháp giải tốn hình học 11 theo chủ đề Nhà xuất giáo dục Việt Nam Đỗ Thanh Sơn (chủ biên), xuất năm 2010 Tài liệu chun tốn hình học 10 Nhà xuất giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chuyên tốn tập hình học 10 Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chun tốn hình học 11 Nhà xuất giáo dục Việt N am Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chuyên toán tập hình học 11 Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2011 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian vừa qua, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên lớp Em hồn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phép đối xứng tâm E , E ” Em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo tổ hình học tạo điều kiện cho em hồn thiện khóa luận Và đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người trực tiếp hướng dẫn em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp cơng trình nghiên cứu thân em hướng dẫn thầy Phan Hồng Trường Các kết nêu khóa luận tốt nghiệp trung thực, khơng phải chép tồn văn cơng trình Sinh viên Nguyễn Thanh Nga MỤC LỤC PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu .2 Phương pháp nghiên cứu Nội dung đề tài Kế hoạch nghiên cứu PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa Định nghĩa 3 Định nghĩa Chương PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM Định nghĩa Tính chất Ứng dụng phép đối xứng qua tâm § CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC § DỰNG HÌNH 15 § TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 28 § BÀI TOÁN CỰC TRỊ 33 PHẦN BA: MỘT SỐ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 36 LỜI KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO .37 ... ĐO có điểm bất động  Phép đối xứng tâm ĐO phép biến hình 1-1  Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm 3 Ứng dụng phép đối xứng qua tâm § CHỨNG MINH TÍNH CHẤT... Phép đối xứng tâm Chương PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM Định nghĩa n n Trong không gian E (n=2,3) cho điểm O phép biến hình E biến M thành M’ cho: OM ' = - OM gọi phép đối xứng qua O O: gọi tâm đối xứng. ..  Trong E : Phép đối xứng tâm phép bảo tồn phương E : Phép đối xứng tâm phản chiếu bảo tồn phương 3 f: E → E biến điểm M thành M’, biến điểm N thành N’ ta có: M ' N' = - MN  Phép đối xứng tâm