TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** PHẠM THỊ PHƯỢNG PHÉP VỊ TỰ TRONG E , E KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2013 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ***** PHẠM THỊ PHƯỢNG PHÉP VỊ TỰ TRONG E , E KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GVC PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NI - 2013 LI NểI U Khóa luận trình bày số kiến thức kĩ thuật, cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải số lớp toán có liên quan tới hình đồng dạng: toán tính toán, toán chứng minh, toán dựng hình, toán quỹ tích Bên cạnh đó, khóa luận cố gắng mở rộng toán, qua nêu lên số suy nghĩ, đề xuất giảng dạy Em xin đợc bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ thầy, cô đặc biệt hớng dẫn tận tình thầy Phan Hồng Trờng giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Phạm Thị Phợng LI CAM OAN Em xin cam đoan khóa luận đợc hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân hớng dẫn, giúp đỡ thầy giáo Phan Hồng Trờng Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Phợng A.PHN M U LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn trường phổ thông, học sinh làm quen với phép biến hình Đây vừa cơng cụ để giải toán đồng thời bồi dưỡng giới quan vật biện chứng cho học sinh Trong nhiều trường hợp, phép biến hình thể rõ hiệu việc giải tốn Tuy nhiên việc sử dụng phép biến hình vào giải tốn khơng đơn giản với giáo viên học sinh Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp tơi chọn nghiên cứu phép vị tự ứng dụng nhằm trình bày số kiến thức kĩ thuật, cách tiếp cận, ứng dụng phép vị tự để giải số lớp tốn có liên quan tới hình đồng dạng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu phép vị tự ứng dụng lớp tập hình học ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Phép vị tự E , E NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Trình bày sở lí thuyết phép vị tự - Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép vị tự lớp tập hình học: Bài tốn tính tốn Bài tốn chứng minh Bài tốn dựng hình Bài tốn quỹ tích PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu B NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THC CHUN B Đại cơng phép biến hình 1.1 Định nghĩa Giả sử cho tập hợp T Một song ánh f: T T từ T vào đơc gọi phép biến hình tập T 1.2 Phép biến hình đảo ngợc Cho phép biến hình f: T T Khi ánh xạ ngợc f-1 phép biến hình, gọi phép biến hình đảo ngợc phép biến hình f 1.3 Tích hai phép biến hình Giả sử f g hai phép biến hình tập T cho, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh từ T vào T nên tích phép biến hình T Ta gọi phép biến hình phép biến hình cđa f vµ g KÝ hiƯu: g f 1.4 Phép đồng dạng 1.4.1 nh nghĩa Phép biến hình không gian En (n=2,3) biến điểm M thành điểm M cho với cặp điểm M, N cặp ảnh tơng ứng M, N MN= kMN ( k số dơng cho trớc) đợc gọi phép biến hình đồng dạng tỉ số k Kí hiệu: Zk 1.4.2 chất a)Phép đồng dạng phép afin b)Phép đồng dạng biến đờng tròn thành đờng tròn E2, biến mặt cầu thành mặt cầu E3 c)Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng 1.4.3 ều kiện xác định phép đồng dạng a)Trong E2, phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn tam giác đồng dạng b)Trong E3, phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn tứ diện có cạnh tơng ứng tỉ lệ 2.Phép vị tự 2.1 Định nghĩa Trong En (n=2,3) cho điểm O số thực k khác Phép biến hình không gian biến điểm M thành điểm M cho OM' kOM đợc gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiƯu: V(O,k) hc V O 2.2 k TÝnh chÊt a.PhÐp vị tự V(O, k)là phép đồng dạng tỉ số k mà đờng thẳng nối điểm với ảnh qua O b.Với k 1, phép vị tự V(O,k) có điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phơng đờng thẳng d.Trong E2, phép vị tự thuận phép đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự âm hay dơng 2.3 Tích hai phÐp vÞ tù 2.3.1 TÝch cđa hai phÐp vÞ tù tâm Cho hai phép vị tự tâm: V1 = V(O, k1), V2 = V(O, k2) TÝch cña V1 V2 phép vị tự: V1 V2 = V(O, k1.k2) 2.3.2 ch cđa phÐp vÞ tù khác tâm Cho phép vị tự khác tâm: V1 = V(O1, k1), V2 = V(O2, k2) - NÕu k1.k2 = tích V1 V2 phép tịnh tiến - Nếu k1.k2 tích V1 V2 phép vị tự V(O, k1.k2) với O đợc xác định hệ thức: O O 1 k O 1O 1 k1.k2 Vì Q trung điểm CM nên CM 2CQ Xét phép vị tự V(C, 2):Q M (O) (O’) Do Q (O) nªn M (O’) = V(C,2)[(O)] VËy quü tÝch M đờng tròn (O) = V(C, 2)[(O)] +) Tìm quỹ tích N PQ thay đổi Do N trung điểm CQ nên CQ 2CN XÐt phÐp vÞ tù V(C, ): Q N (O) (O’’) Do Q (O) nªn N (O’’) = V(C, )(O) VËy quỹ tích điểm N đờng tròn (O) = V(C, )[(O)] Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O, R) (O, R) tiếp xúc với A (R > R) Đờng kính qua A cắt đờng tròn tâm (O,R) B cắt (O,R) C Một đờng thẳng biến thiên qua A cắt (O,R) M cắt (O,R) N Gọi S = BN CM Tìm quỹ tích S Lời giải: M N S B OO' C A Ta cã: BM // CN (cùng vuông góc với AM) Khi đó, ta có tam giác BMS NCS đồng dạng nên: CS CN AC 2R' R' SM BM AB 2R R Do ®ã: CS SM CS CS = R' hay R' = R+R' CS R+R' SM R' CM R+R' XÐt phÐp vÞ tù V(C, R' ): M S R+R' (O) (O’’) V× M (O) nªn S (O’’) = V(C, )[(O)] R' R+R' Vậy quỹ tích S đờng tròn (O) ảnh (O) qua phép vị tự V(C, R' R+R' ) Ví dụ 4: Cho đờng tròn (O,R) (O,R) tiếp xúc với A Kẻ dây AB (O) AC (O) BAC = 90 , M điểm chia cho BC theo tỉ số k Tìm quỹ tích điểm M Lêi gi¶i: C B I O M A O' D Đặt h = R' , lấy I cho I chia ngoµi O’O theo tØ sè h R IO' hIO V(I, h): O O (O) (O) Kẻ đờng kính AD (O), ta cã V(I, h): A D L¹i cã: AB // DC (cùng vuông góc với AC) nên V(I, h): tia AB tia DC Do B thuéc (O) vµ tia AB nên V(I, h)(B) thuộc (O) tia DC V(I, h)(B) = C IC hIB V× M chia BC theo tØ sè k nªn ta cã: MB kMC IB IM k(IC IM) (k+1)IM IB kIC k k IM IC IB hIB 1+kh k+1 k+1 k+1 k+1IB k+1 IB 1+kh XÐt phÐp vÞ tù V(I, ): B M k+1 (O) (O’’) Do B (O) nªn M (O’’) = V(I, 1+kh k+1 )[(O)] Vậy quỹ tích điểm M đờng tròn (O) ảnh (O) qua 1+kh V(I, ) k+1 ®ã h = R R' 2.4 Ứng dụng phép vị tự vào giải toán tính toán hình học Trong ví dụ 2, ví dơ ta sư dơng c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam giác ảnh tam giác qua phép vị tự tỉ số k công thức tính thể tích tứ diện ảnh tø diƯn qua phÐp vÞ tù tØ sè k: DiƯn tích tam giác k Diện tích tam giác tạo ảnh ¶nh = ThĨ tÝch tø diƯn k ThĨ tÝch tứ diện tạo ảnh ảnh = Trong mặt phẳng cho Ví dụ 1: đờng tròn (O1, R1) (O2, R2), (R2=2R1) cắt điểm A, B Các tiếp điểm tiếp tuyến chung với (O1) (O2) lần lợt P1, P2 tiếp điểm tiếp tuyến chung lại với (O1) (O2) lần lợt Q1, Q2 M1, M2 lần lợt trung điểm P1Q1 P2Q2 TMAM biết O O = R Ý n h 1 2 Lêi gi¶i: P C T P1 O A M O1 O M1 Q1 Q2 Theo vÝ dơ phÇn 2.1.3 ta cã O□AO XÐt tam gi¸c AO1O2 cã: M□AM 2 cos 2 2 O□AO = R1 R O1O R1 4R 3R 1 1 2R R 4R O□1 AO2 = 60 M1AM2 = 60 □ 2 VÝ dụ 2: Cho tam giác ABC, P điểm nằm tam giác G1, G2, G3 lần lợt trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB Biết diện tÝch tam gi¸c ABC b»ng S, tÝnh diƯn tÝch tam giác G1G2G3 Lời giải: Gọi A1, A2, A3 lần lợt trung điểm BC, CA, AB, G trọng t©m ABC A P G3 G G G1 B C A1 Ta cã: GA1 1 GA , GA 1 GB , GA 1 GC 3 3 V(G, 1 ): A, B,C A , A , A V(G, 1 ): ABC A A A 3 Vì G1, G2, G3 lần lợt trọng tâm tam giác PBC, PCA, PAB nên ta có: PG 2 PA , PA , PG PG 2 PA 3 V(P, ,A ):A ,A V(P, G ,G ,G A ): A A G G G 3 2 3 1 1 Ta cã: ( ) 2 nªn V(P, 1 ) V(G, ) phép vị tự tỉ số 3 2 bi Õ n ta m giác ABC thành tam giác G1G2G3 2 Di Ö n tÝ ch (G 1G 2G 3) = ( diÖ S 81 n tÝc h (AB C) = ) VÝ dơ 3: Cho tø h lµ träng tâm diện ABCD, P tứ diện điểm bất k× ABCD, A1, A2, n»m tø G A3, A4 lần lợt diện G1, G2, G3, trọng tâm G4 lần lợt trọng tâm PBCD, PCDA, PDAB, PABC Biết ABCD tích V tam giác G BCD, ACD, ABD, ABC Khi ta cã: G T n h GA1 G G A A1 G B G D G ,G A GC A G Ý C , , 3 L V(G, ê 1 ): ABCD A A A A i t h Ó g i ¶ i t A : Ý P G G c äi G G A1 B D Do G1, G2, G3, G4 lÇn lợt trọng tâm PBCD, PCDA, PDAB, PABC nên ta cã PG1 PA1 , PG2 PA2 , PG3 PA3 , PG4 PA4 4 : V(P, A ): A A A Ta cã: ( 1 V(P, G G G G 3 4 ) = 4 1 1 ) V(G, tù tØ sè 1 ) lµ mét phÐp vÞ 1 : ABCD G G G G ThÓ tÝch(G1G2G3G4) = 1 thÓ tÝch(ABCD) = 64 V C.KẾT LUN Qua khóa luận rút số kết luận sau: - Các phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng cung cấp công cụ hữu hiệu việc giải toán Đối với nhiều toán giải phơng pháp thông thờng dài phức tạp nhng sử dụng phép biến hình lời giải ngắn gọn dễ hiểu - Khi dựa vào toán nhờ phép biến hình, ta mở rộng, sáng tạo nhiều toán Từ gây hứng thú cho việc học tập nghiên cứu - Việc dạy học phép biến hình giúp bồi dỡng giíi quan vËt biƯn chøng cho häc sinh: nh×n nhận vật, tợng trạng thái biến đổi không ngừng Bên cạnh đó, nhận thấy số khó khăn giải toán nhờ phép vị tự nh: - Tìm phép vị tự phù hợp với lời giải nhiều toán nhiều khó Không thế, nhiều toán không sử dụng đơn phép vị tự mà tích phép vị tự với phép biến hình - Nhiều toán giải phơng pháp biến hình Từ đó, xin đa số suy nghĩ giảng dạy phép biến hình nói chung phép vị tự nói riêng nh sau: - Cần cho học sinh thấy đợc chất phép biến hình, giống khác phép biến hình - Khi áp dụng phép biến hình vào giải tập cần đa lớp toán phong phú (chứng minh, quỹ tích, dựng hình, tính toán), có phân bậc từ dễ đến khó - RÌn lun cho häc sinh dïng mét phÐp biÕn h×nh giải nhiều dạng tập nh giải tập nhiều phép biến hình Do thời gian lực hạn chế nên khóa luận chắn nhiều thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận đợc hoàn thiện TI LIU THAM KHO Bùi Văn Bình, 1993, Giáo trình hình học sơ cấp tập 2, ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình, 1993, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội Nguyễn Mộng Hy, 1996, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục Phan Huy Khải, 1998, Toán nâng cao cho học sinh hình học 11, NXB ĐHQG Hà Nội Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán hình học 11, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh (Chủ biên), 2010, Tài liệu chuyên toán tập hình học 11, NXB Giáo dục Vũ Dơng Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế NXB Giáo dục Toán học tuổi trẻ số 350, 2006, NXB Gi¸o dơc ... vị tự V(O, k)là phép đồng dạng tỉ số k mà đờng thẳng nối điểm với ảnh qua O b.Với k 1, phép vị tự V(O,k) có điểm bất động O c Phép vị tự bảo tồn phơng đờng thẳng d .Trong E2, phép vị tự thuận phép. .. đồng dạng thuận Trong E3, phép vị tự phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số vị tự âm hay dơng 2.3 Tích hai phÐp vÞ tù 2.3.1 TÝch cđa hai phÐp vÞ tự tâm Cho hai phép vị tự tâm: V1 = V(O,... xác định phép đồng dạng a )Trong E2, phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn tam giác đồng dạng b )Trong E3, phép đồng dạng đợc xác định hoàn toàn tứ diện có cạnh tơng ứng tỉ lệ 2 .Phép vị tự 2.1 Định