Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân trong giải tích toán học

Các kết quả nghiên cứu đượctrong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn ápdụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, thiên văn học… Để có các kiế

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong Toán học,giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng Các kết quả nghiên cứu đượctrong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn ápdụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, thiên văn học…

Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thìviệc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức cơ bản ban đầu của giải tích:

“Phép tính vi phân” là điều cần thiết và quan trọng Vì những lý do trên tôi lựa chọn đề tài khóa luận: “Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân trong giải tích toán học” Hi vọng đề tài nghiên cứu này sẽ góp một phần hữu

ích trong việc tìm hiểu khám phá các kiến thức về giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích, đặc biệt là những nội dung cơ bản của phép tính vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu theo đề cương nghiên cứu đã đề ra nhằm đạt được mụcđích nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng: Phép tính vi phân trong giải tích toán học

Phạm vi nghiên cứu: Những kiến thức trong giải tích toán học

5 Phương pháp nghiên cứu.

Khoá luận được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương phápnghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp…

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Nghiên cứu sâu các nội dung cơ bản của phép tính vi phân sẽ tạo điềukiện cho chúng ta nghiên cứu các chuyên đề khác của giải tích như phươngtrình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, lý thuyết không gian ToPo lýthuyết giải tích hàm, và các ứng dụng thực tế của nó như tìm giới hạn, tìm cựctrị hàm số, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, phương trình tiếp xúc củamột mặt phẳng cong …

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tư liệu tham khảo phần nội dung củakhóa luận được chia thành 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến

Chương 3: Phép tính vi phân trên Rn

1.1 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Một tập X được gọi là một không gian tuyến tính nếu:

a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có theo một quy tắc nào đómột phần tử của X , goị là tổng của x và y được kí hiệu là x y , ứng với

mỗi phần tử x của X và mỗi số thực ta có theo một quy tắc nào đó , mỗiphần tử của X gọi là tích của x và và được kí hiệu

b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:

Số x được gọi là chuẩn của vector x Không gian định chuẩn là X .

Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (x n ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x X , nếu lim x

x

n

0 Ký hiệu

n

1.2 Tôpô trong gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Cho không gian định chuẩn X , và a X và số r

r 0 gọi là lân cận của điểm x X

Định nghĩa 1.8 Cho không gian định chuẩn X , và tập hợp A

Tập A gọi là tập mở trong không gian X , , nếu:

Tập A gọi là tập đóng trong không gian X , , nếu:

Định lý 1.1 Trong không gian định chuẩn mọi hình cầu mở là tập mở, mọi

hình cầu đóng là tập đóng.

Định lý 1.2 Trong không gian định chuẩn X , , tập A X và A

hợp A đóng trong không gian X khi và chỉ khi mọi dãy điểm

n

n m

x n

đến điểm x thì x A.

A hội tụ

Định lý 1.3 Trong không gian định chuẩn X , ,

i) Giao của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập đóng.

ii)Hợp của một họ tùy ý các tập mở là một tập mở, giao của một họ hữu hạn các tập mở là một tập mở

Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X , và tập A X Hợp của

tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A , ký hiệu

Định lý 1.4 Trong không gian định chuẩn X ,

i) Bao đóng của hình cầu mở là hình cầu đóng cùng tâm cùng bán kính.

ii)Phần trong của hình cầu đóng là hình cầu mở cùng tâm cùng bán kính.

Định lý 1.5 Trong không gian định chuẩn

trong X lập thành một tôpô trên X

X , , họ tất cả các tập mở

Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X , Tập K X gọi là tập compact trong không gian X , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K

đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K

Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian X , nếu mọi dãy

vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X

1.3 Không gian Euclide Rk

Định nghĩa 1.11 Cho không gian vector thực k chiều Rk

x2 ) Ax1 Ax2 ( x1, x2 X )

A(x, y) Z Ta nói

x2 ) f (x1 ) f (x2 ),x1, x2 X

Khi đó là một chuẩn (gọi là chuẩn Euclide).

Không gian vector thực k chiều R k

cùng với chuẩn Euclide được gọi là

cùng với chuẩn Euclide là không gian Banach

Định lý 1.6 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides

k tương

Định lý 1.7 Trong không gian định chuẩn

chỉ khi A đóng và bị chặn.

1.4 Toán tử tuyến tính.

Rk

, tập

Để cho gọn ta viết Ax thay

cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.

Định nghĩa 1.13 Cho X ,Y , Z là ba không gian tuyến tính định chuẩn, A làmột ánh xạ từ X Y vào Z ,biến mỗi cặp x X , y Y thành phần tử

z A là một toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định A(x, y) là một toán tử tuyến tính từ X vào Z và với mỗi x cố định A(x, y) là

một toán tử từ Y vào Z

Định nghĩa 1.14 Cho một không gian tuyến tính X Một hàm số f (x) xác

định trên X và lấy trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay

phức) gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

1) f (x1

2) f ( x) f (x), x X , K.

Như vậy một phiếm hàm trên X chẳng qua là một toán tử tuyến tính từ

X vào R hay £ (tùy theo X là không gian thực hay phức )

Định nghĩa 2.1 Giả sử U là một tập hợp mở R, f :U R và x0 U Cho x0

một số gia h khá bé sao cho x0 h U Khi đó số

được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số h tại điểm x0 Nếu tỷ số

Định nghĩa 2.2 Cho tập hợp mở U R và hàm số f :U R Hàm f được

gọi là khả vi tại x0

f (x0

(2.2)

Trong đó A R là đại lượng chỉ phụ thuộc x0 và hàm f mà không phụ thuộc vào h

, o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h

Khi đó, hàm tuyến tính h a Ah,

h

R được gọi là vi phân của hàm f tại

Điều này có nghĩa

Trong đó (h) là vô cùng bé khi

h

f (x0

0 Từ đó:

h) f (x0 ) Ah o(h)

f '

x thì

'dfx t fx tdt fx x t dt' '

f ' x0

f ( x0h)f ( x0 ) , xh

Hàm có giới hạn tại điểm

x0 U khi và chỉ khi tại x0 tồn tại các giới hạnmột phía x0

,

nên giới hạn

x0 và bằng nhau Vì

'

Vậy ta được điều phải chứng minh.

2.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Định nghĩa 2.4 Cho hàm f :U R trong đó U là tập mở trong R , f khả

vi trên U Khi đó có xác định hàm f ' :U R Nếu tại x khả vithì ta gọi đạo hàm của

x0 gọi đạo hàm của f n 1

tại x là của f tại đạo hàm cấp n x và kí

Định nghĩa 2.5 Cho tập hợp mở U

i)

Hàm f : U R được gọi là khả vi cấp n ( n lần khả vi) trên U nếu nó

có đạo hàm cấp n tại mỗi điểm x U.

ii) Hàm f được gọi là khả vi liên tục cấp n (hay hàm thuộc lớp C n

U ),

0

0

ký hiệu f

C n

U nếu nó có đạo hàm liên tục đến cấp n.

x ( 1)n!,

( n )

x 0

x( n 1)m(m(xm )( n ) 1) (m n 1)xm n

iii)Hàm f được gọi là khả vi vô hạn trên U hay thuộc lớp C trên U ,

ký hiệu f C U nếu với mọi n hàm f thuộc lớp C trên U

Công thức (2.4) gọi là công thức Leibniz

Từ định nghĩa và các phép toán về đạo hàm cấp cao ta có đạo hàm cấpcao một số hàm số sơ cấp cơ bản sau:

1) (a x

)( n ) 2) (e x )( n ) a x lnn

7) (cos x) ( n)

sin x n

2

cos x n 2

d (df )

f ' x dx 'dx f '' x dxdx

d n 1 fd

Tổng quát vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d d n 1

f , kí hiệu là d n

f :

d n f

Ở đây f , g là những hàm khả vi cấp n trên U Công thức xác định bởi

(iii) được gọi là công Leibniz về vi phân cấp cao

Kết luận: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một.

2.3 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân

Định nghĩa 2.7 Cho tập hợp mở U R và hàm số f :U R Ta nói hàm

f đạt cực đại địa phương tại

f x Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại x0

f x Điểm mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương gọi chung là điểm cực trị

Chứng minh:

nếu f :U R khả vi trên U (U mở) thì những điểm cực trị của f phải nằm

trong số các điểm dừng của f

điểm bất kỳ trên a,b

Nếu m M từ điều kiện f (a) f

(b) suy rằng hai điểm mà tại đó hàm

f đạt max và min không thể là các đầu mút của a,b

Thật vậy, nếu chúng là các đầu mút của a,b thì

M Như vậy tại c hàm đạt nhận giá trị lớn nhất

trên a,b Nhưng khi đó hàm f đạt cực đại địa phương tại c Vì hàm f khả vi tại nên theo định lý Fermat f '(c)

Chú ý :

1.Giả thiết f (x) liên tục trên a,b là một giả thiết không bỏ qua được

Ví dụ: Xét hàm số f (x)

Dù f

(0) f (1) nhưng hàm số gián đoạn tại điểm x

2.Định lý Rolle không đúng nữa nếu c a,b mà f '(c) 0 không tồn tại

x víi 0x

12

Chẳng hạn hàm f x

ii) f khả vi trong a,b

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a,b sao

a,b vì nó là hiệu của hàm liên tục f (x)

và hàm tuyến tính Trong khoảng

F '(x)

a,b hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng

Mặt khác ta có F

(a) F (b) 0 Theo định lý Rolle tồn tại một điểm

c a,b sao cho F '(c) 0 Như vậy

f '(c)

f (b)

b a

trong đó a b Vì vậy (2.9) đúng trong cả hai trường hợp a

3) Công thức (2.9) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange Công thức này viết như sau:

Hệ quả 1: Giả sử hàm số f : a,b R liên tục trên đoạn a,b và khả vi

trong khoảng a,b Khi đó:

1) Nếu f '(x) 0 với

mọi

x a,b thì f là một hằng số trên a,b

g(a) 0thì hàm

f (b)g(b) f (a)g(a) f '( ) g '( )

g(b) g(a) 0 Thật vậy nếu g(b) g thỏa mãn

các điều kiện của định lý Rolle, do đó

trái với giả thiết (iii)

f (a)

g '( ) 0 g(a)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Công thức (2.10) gọi là công thức số gia hữu hạn Cauchy

Nhận xét:

x

b

1) Công thức số gia hữu hạn Lagrange la trường hợp riêng của công thức

số gia hữu hạn Cauchy tương ứng với hàm g(x)

2) Công thức Cauchy (2.10) đúng cả trong trường hợp a b lẫn trong trường hợp a

g ' c

Một trong những ứng dụng quan trọng của công thức Lagrange vàCauchy là dùng để “khử các dạng vô định” Thực chất của vấn đề này là sửdụng các phương pháp của phép tính vi phân để tìm giới hạn của tỉ số vô các

vô cùng bé hay các vô cùng lớn

x x0 g ' x

Khi đó tồn

tại

f x

g(x)

theo định lí Rolle tồn tại c ở giữa x

và xcho0 sao g '(x0 ) 0 trái với giả thiết

U của c sao cho

f , g là hai hàm xác định trên một lân cận

Định lý 2.11 Giả sử P n (x) là một đa thức đại số bậc n :

k 0 k !

Taylor bậc n của tâm a của hàm f , khả vi cấp n tại điểm a Đặt

1n! f(a)(xa)n n

f (a) f '(a)(x a) R ( f ; x).n

Tn ( f ; x) Rn ( f ; x)

(a) '(a) n (a) 0

(x)a)n 0(x a)

a 0 thì (2.14) gọi là công thức Maclorin Biểu thức Rn ( f ; x) được

gọi là phần dư của công thức Taylor

Với những điều kiện khác nhau của hàm f ,phần dư sẽ được biểu diễn

bởi những công thức khác nhau

Bổ đề 2.1 Nếu hàm có đạo hàm đến cấp n tại điểm a và

x a,b bất kỳ tồn tại điểm c sao cho

Công thức (2.15) được gọi là công thức Taylor đối với hàm f với phần

dư R n 1 dưới dạng Schlomilch-Roche

Chứng minh:

Để cho xác định ta cho rằng x x0 Ta xét hàm

n! p

f(t)k! (xt)k

Ta thấy rằng mọi số hạng ở vế phải của (2.20) trừ hai số hạng cuối cùngđều khử nhau hết Từ đó thay t c ta thu được (2.19) Từ (2.19) ta có

Thay từ (2.21) vào (2.20) thu được (2.15) và (2.16)

(2.21)

Bằng cách chọn các giá trị

trường hợp riêng đối với phần dư R n 1 ( f ; x)

Xét những trường hợp quan trọng nhất khi p

p

x0 Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0 ta có

f (x)

Công thức trên gọi là công thức khai triển Tay lor của hàm f trong lân cận của điểm x0

Số

dư R n (x) (x x0 ) của khai triển Tay lor gọi là số dư dạng Peano.

Khai triển Maclorin của một số hàm sơ cấp cơ bản theo số dư dạng Peano

n

0 ta có:

02

x(t) và y y(t) C( k ) a,b , R

2.4 Không gian định chuẩn C ( k )

a,b Không gian C ( k )

a,b gồm tất cả các hàm x(t) xác định

trên

a,b và có đạo hàm liên tục đến cấp k là không gian tuyến tính với các phép toán:

x

y)(t) x(t) y(t)

kx(t) a x max x(i ) (t)

x(i ) (t) 0 ( i 1, k) t a,b

(x ( x)(t) x(t), t a,b

Với mỗi

hàm x(t) C (k ) a,b , chuẩn x xác định bởi ánh xạ:

: C ( k ) a,b x

i 0 a ,b

Tiên đề

( k ) a,b ta có x (i )

y(i ) (t) x(i ) (t) y(i ) (t) ( i 1, k) t a,b

max x(i ) (t)a,b max y(i ) (t) ( i

Vậy thỏa mãn tiên đề 3

Vậy là một chuẩn trên C ( k )

a,b

2) Chứng minh C ( k )

a,b là không gian Banach.

Trong không gian C ( k )

a,b xét một dãy cơ bản bất kỳ

n, p n0 ) :

x n

Từ đó với mỗi i

(2.23)

Vậy với mỗi t a,b dãy x (i )

(t) là dãy cơ bản trong R nên nó hội tụ đến

1, k dãy 0(i ) (t) i(t) t a,b , i 1, k

n0 :

(i ) (t) i 1, 2, , k0

k 2k

(i ) (t) (i ) (t)max xa t b n 0

Chứng minh (x ) hội tụ về trong C ( k ) a,b

Từ (2.24) suy ra với mọi n

Vậy f có đạo hàm trái tại x

Tương tự f có đạo hàm phải tại x

Vì f ' (x0

) f ' (x0 ).nên f không có đạo hàm tại

x

0 Do đó, f không khả vi tại x 0.

Bài tập 2.2 Giả sử

n 0

f '(x) khi x0b

2ax

f ' (0) khi x

b khi x 00

12

f " (0) hay a f " (0)

hay F '

(0)

F ' (0)

có đạo hàm

cấp 2 hữu hạn tại x 0

Hay c f (0), b f

' (0),

a

1

f " (0) là điều kiện để

2

F (x)

f (1) 0 , hay f f (1) khi

1 Từ lý

1,

x luận trên suy ra giá trị bé nhất của hàm số trên 0,1 không thể

xảy ra ở hai đầu mút 0 và 1 Vậy giá trị bé nhất đạt được tại 0,1 Theo

định lý Ferma ta có f '( ) 0

f (x0 ) (x) (x0 ), x x0

f (x)(x) f (x

0 ) f '(c) ,

'(c) x0 c x(x )0

và '(

x) đều thỏa mãn các giả thiết

của định lý Cauchy nên ta có :

0 nên f ( n )

(x)

là hàm tăng với x

f ( n) (n! )xn 1n! f ( n) (x).xn , n ¥

f ( n) (n!

được gọi là vi phân Frechet

Vì thế

h 0 lim f a h f a

0 Vậy hàm f liên tục tại a

D i f x hay D i f x1, , x n h

Khi đạo hàm riêng theo một biến i nào đó tồn tại ở mọi điểm thì nó cũng

là một hàm số và hàm số này thường được lý hiệu D i f

x a f ' a ei i

Vậy đạo hàm riêng thứ i của f tồn tại và

Chú ý: Điều ngược lại của định lý nói chung không đúng Tuy nhiên nếu

bổ sung thêm một điều kiện phụ nữa thì ta có định lý sau:

Tổng quát cho trường hợp n biến ta được công thức (3.2)

Định nghĩa 3.5 Ta gọi đại lượng

f tại a và ký hiệu:

grad f a

.h là vi phân toàn phần của hàm

Rn , f :U

R và

hay f v '(a)

hoặc D v (a) Như vậy:

f (a) g '(0) lim f ( a tv ) f ( a )

Hay

Khi v có chuẩn bằng 1, thì ta gọi giới hạn này là đạo hàm của f theo hướng v Giống như nhiều kết quả trên, ta có f có đạo hàm theo hướng v khi và chỉ khi các hàm tọa độ của nó có đạo hàm theo hướng v

Định lý 3.5 Nếu f khả vi tại a thì nó có đạo hàm theo mọi hướng theo mọi hướng tại a

và

f (a) (a) 1 với mọi v (v1,v2 , ,v n )

f av

f (a t v)f (a)t

Ta gọi vi phân yếu ( hay vi

phân Gato(Gateaux)) của ánh xạ f tại điểm

giới hạn (nếu tồn tại)

ma trận A x m, n sao cho

d G f x,h

Thì ánh xạ tuyến tính được thực hiện bởi ma trận đó được gọi là đạo ánh

yếu hay đạo ánh Ga tô của f tại x và được ký hiệu là '

f G

f G

f G

f i rằng các hàm tọa độ f i có đạo hàm riêng Khi ấy ma trận

x i

f1 x

x1M

fn x x1

f1 x

xmM

grad fn x

D f1, , fn

D x1, , xn

R

được gọi là ma trận Jacobi của f tại x và ký hiệu là J f x

Nhận xét: Hàng của ma trận Jacobi chính là Grandient của các hàm

f1, f2 , , f n Do vậy ta có thể viết ma trận Jacobi như sau: