Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian

1 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng người thầy tận tình hướng dẫn tri thức, phương pháp kinh nghiệm nghiên cứu q trình thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, q Thầy, Cơ giáo khoa Tốn - trường Đại học Sư phạm Hà nội quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập, Trường Cao đẳng nghề Việt-Đức Vĩnh Phúc, gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Bình LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng, thầy, cô giáo hội đồng bảo vệ đóng góp bạn nhóm Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng trình bày kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Học viên Nguyễn Thị Bình MỤC LỤC Trang Mở đầu ………………………………………………………… Chương Khái niệm thang thời gian ……………………………… 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.1.1 Thang thời gian 1.1.2 Các khái niệm 1.2 Tôpô đại cương 1.2.1 Không gian tôpô 1.2.2 Hàm số liên tục 1.2.3 Hàm số khả vi 1.3 Nguyên lí quy nạp thang thời gian Chương Phép tinh vi phân thang thời gian ………… 2.1 Phép tính vi phân cấp 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger 2.1.2 Đạo hàm Hilger số thang thời gian 2.2 Các tính chất đạo hàm Hilger 2.3 Phép tính vi phân cấp cao Chương Phép tính tích phân thang thời gian ……… 3.1 Hàm quy hàm rd-liên tục, hàm tiền khả vi 3.1.1 Các định nghĩa 3.1.2 Các tính chất 3.2 Phép tính tích phân 3.2.1 Tích phân 3.2.2 Các tính chất tích phân 3.3 Quy tắc xích 3.4 Một số ứng dụng tích phân Kết luận Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn Giáo sư Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian phát triển lý thuyết Giải tích Hệ động lực thang thời gian Từ tới nay, có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng ngàn báo nghiên cứu giải tích (Phép tốn vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất giới thực, tính liên tục tính rời rạc Trong tốn học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống mơ hình rời rạc liên tục khái niệm cơng cụ Giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian nhiều nhóm nhà tốn học ngồi nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) nước (GS Nguyễn Hữu Dư học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) quan tâm Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu toán tối ưu phép tính biến phân, mơ hình kinh tế vĩ mơ, áp dụng vào tốn trò chơi, hệ sinh thái, Với mong muốn tìm hiểu vấn đề thời giải tích, từ hiểu giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi chất kiến thức giải tích học chương trình đại học cao học, đồng thời hy vọng với kiến thức này, tơi giảng dạy tốt mơn tốn, đặc biệt mơn Giải tích, chương trình phổ thơng, tơi chọn đề tài Phép tính vi phân tích phân thang thời gian làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày khái niệm giải tích thang thời gian khuôn khổ luận văn cao học Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu (chủ yếu tiếng Anh) trình bày luận văn cao học kiến thức giải tích thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Thang thời gian Phạm vi nghiên cứu: Các sách, báo tài liệu chủ yếu tiếng Anh viết Giải tích thang thời gian Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức cơng cụ giải tích giải tích hàm để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp trình bày tài liệu có liên quan, đặc biệt báo tiếng Anh vấn đề mà luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp luận văn Chủ yếu dựa sách [6], có tham khảo thêm tài liệu [3], [4], [5], [7], luận văn trình bày có hệ thống lý thuyết Giải tích thang thời gian Cố gắng xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học giải tích thang thời gian Chương KHÁI NIỆM THANG THỜI GIAN 1.1 Khái niệm thang thời gian 1.1.1 Thang thời gian Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực ℝ Thang thời gian thường ký hiệu T Ví dụ 1.1 1.1.1) Các tập ℝ, ℤ, ℕ, ℕ , [ 0;1] ∪ [ 2;3] , T= gian 1.1.2) Các tập ℚ, ℝ \ ℚ , [0;1) ∞ ∪ [2k, 2k k =0,k∈ℕ + 1] thang thời thang thời gian chúng nằm ℝ khơng phải tập đóng ℝ 1.1.3) Mặt phẳng phức ℂ khơng phải thang thời gian tập đóng khơng nằm ℝ 1.1.2 Các định nghĩa Định nghĩa 1.2 Cho T thang thời gian Toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử σ : T → T xác định công thức σ (t) := inf{s ∈T: s > t} Toán tử nhảy lui (backward jump) toán tử ρ : T → T xác định công thức ∈ T: ρ(t) := sup{s s < t} Định nghĩa 1.3 Cho T thang thời gian Điểm t ∈T gọi điểm cô lập phải (right-scattered) σ (t) > t Điểm t ∈T gọi điểm cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t Điểm t ∈T gọi điểm cô lập (isolated) ρ (t) < t < σ (t) Định nghĩa 1.4 Cho T thang thời gian Điểm t ∈T gọi trù mật phải (right-dence) σ (t) = t Điểm t ∈T gọi trù mật trái (left-dence) ρ (t) = t Điểm t ∈T gọi trù mật (dence) ρ(t) = t = σ (t) Ta có bảng tóm tắt 1.1 t điểm cô lập phải t t right-scattered t điểm trù mật phải < σ (t) t = σ (t) t điểm cô lập trái ρ (t) < t t left-scattered t điểm trù mật trái ρ(t) = t t left-dense t right-dense t điểm cô lập ρ (t) < t < σ (t) t isolated t điểm trù mật ρ (t) = t = σ (t) t dense Bảng 1.1 Ta có bảng 1.2 hình ảnh hình học điểm mơ tả sau t1 : Điểm trù mật (trù mật trái trù mật phải) t2 : Điểm trù mật trái cô lập phải t3 : Điểm trù mật phải cô lập trái t4 : Điểm cô lập (cô lập trái cô lập phải) Bảng 1.2 Định nghĩa 1.5 Cho T thang thời gian Hàm hạt (grainiess) hàm µ: T→ [ 0;∞) xác định cơng thức µ(t) := σ (t) − t Định nghĩa 1.6 Cho T thang thời gian hàm f :T→ ℝ Ta kí hiệu hàm hợp f σ σ f : T→ ℝ xác định theo công thức f (σ (t)) σ f (t) = Ví dụ 1.2 1.2.1) Cho thang thời gian T= ℝ σ (t) = ρ (t) = t, µ (t) = Mọi với t ∈T điểm t ∈T điểm trù mật 1.2.2) Cho thang thời gian T = ℤ σ (t) = t + 1, µ (t) = ρ(t) = t − với t ∈T Mọi điểm t ∈T điểm cô lập n  1.2.3) Cho thang thời gian T =  : n ∈ℕ  với ℕ tập số tự nhiên 2  số Ta có σ (t) = t + , ρ(t) = t − µ (t) = Điểm t = điểm cô lập phải t ∈T, t ≠0 1.2.4) Cho điểm cô lập h > số cố định Xác định thang thời gian hZ sau T= hZ = {hn : n ∈ Z} = { , −3h, −2h, −h,0, h, 2h,3h, } Ta có σ (t) = t + h, Vì h >0 ρ (t) = t − h, µ(t) = h nên điểm t ∈T điểm lập Chú ý h >0 số vơ tỉ, thí dụ h = 1.2.5) Cho T= ∞ ∪ [2k, 2k + 1] Ta có k =0,k∈ℕ Nếu t ∈ ( 2k, 2k + 1) σ (t) = t = ρ (t) Nếu t = 2k + σ (t) = 2t + >t điểm trù mật trái Nếu t = 2k nên t điểm trù mật ρ (t) =t σ (t) = t = 2k nên t điểm cô lập phải và ρ (t) = 2k −1 < t k +∑ (−1) µ ( ρ (t) ) f k k =0 m ∆ (t) ) g k =0 m−1 (ρ ∆ (t) )  g  m = ∑ (−1) (t) ) g k= m−1 =∑ k= (−1) k (t),t ) ∆ m ∆ (ρ (ρ m  ∆ m ( f k )(σ ( ρ ) m−1 k ( f k ) (ρ (t) ) g m (t) ) + µ ( ρ (t) ) ( f ) σ k (ρ ( ρ k m−1 = ∑ (−1) k  f k 1 ∆ k (ρ m k m−1 (ρ (t),t ) m− (t),t ) k m− (t),t ) m−1 k =∑ =0 (−1) ( f ∆ k ) m −1 (ρ f (t) ( ρ m (t),t − k )= (t))g k n = m + Vậy công thức (3.8) với Bổ đề chứng minh Định lý 3.13 (Công thức Taylor’s) Cho n ∈ℕ Giả sử f hàm khả vi cấp n T kn Cho α ∈T k gk công thức (3.1) t ∈T định nghĩa hàm , n −1 (3.2), nghĩa r ∀k ∈ℕ gk +1 (r, s) = ∫ gk (σ (τ ), s g0 (r, s) ≡ )∆τ s Khi ta có n−1 −1 ρ n (t ) f (t) = ∑ (−1) g k k k k =0 (α ,t) f (α ) + ∆ ∫ α (−1) g n −1 n−1 n (σ (τ ),t ∆ )f (τ )∆τ Chứng minh Từ Bổ đề 3.1 ta có n−1 ∑  (−1) k k g =0 k (.,t) f Với τ ∈T kn ∆ k ∆ n−1  n −1 (σ (τ ),t  (τ ) = (−1)  g )f∆ α , ρ n− (t) ∈T kn α ∫ (−1) g ∆ (σ (τ ),t )f n −1 −1 ρ n (t ) n (τ ) ta nhận −1 −1 ρ n (t ) n  g(−1) k n− (τ ) ∆τ = α∫ ∑ n−1  k =o (⋅,t) f = ∑ (−1) gk ( ρ k k =0 n−1 n−1 (t),t ) f ∆ (t)) − k k (ρ n−1 ∑ (−1) k =0 k ∆   k n−1 ∆ k k gk (α ,t) f ∆ (α ) (τ ) ∆ τ = f (t) ∑ (−1) gk (α ,t) f (α ) ∆ k − =o dựa vào công thức (3.8) Bổ đề 3.3 Ta có điều phải chứng minh k Định lí 3.14 Nếu hàm gk (3.2), (3.3) hk định nghĩa theo công thức (3.1), hn (t, s) = (−1) g (s,t) n k n kn t ∈T s ∈T Chứng minh Cho t ∈T, s ∈T áp dụng Định lí 3.12 với α = s f = hn (⋅, s) ∆ Từ f = h (⋅, (công thức (3.3)) n−1 f s) ∆ f ∆ (s) = hn−k (s, s) =0 n k ta có ∀0 ≤ k ≤ n −1 k f∆ = hn−k (⋅, s) ≤ k ≤n (s) = h0 (s, s) = f∆ (τ ) ≡ n +1 Áp dụng Định lí 3.13 ta ρ n (t ) n k hn (t, s) f (t) = = ∑ (−1) k =0 n =∑ gk (α ,t )f (α ) + ∫) (−1 gn (σ (τ ),t) f (τ ) ∆ τ α (−1) k gk n k =0 ∆ ∆n +1 n k ∆ ( s,t )f k + (s) ρ n (t ) ∫ (−1) n gn (σ (τ ),t) f ∆n +1 (τ ) ∆τ s n ∆n = (−1) gn (s,t) f Định lí 3.15 Cho hàm hk (s) = (−1) gn (s,t) n ∈ ℕ Giả sử f hàm khả vi cấp n T k n Cho α ∈T k n −1 định nghĩa công thức (3.1) (3.2) với r h0 (r, s) ≡ hk +1 (r, s) = ∫ hk (τ , ∀k ∈ ℕ s)∆τ Khi ta có s n n−1 f (t) = ∑ hk (t,α ) f k =0 ∆ ρ n−1 (t k + (α ) ) ∫ α hn−1 (t,σ (τ )) f ∆ (τ )∆τ Định lí 3.16 (Định lí giá trị trung gian-Intermediate Value Theorem) Giả sử x : T→ ℝ hàm liên tục a điểm thuộc T x(a)x(b) < a Giả thiết [a,σ (t) ] Giả sử ε> với ∆ f (t,.) hàm rd- liên tục lân cận U t không phụ thuộc vào τ ∈[a,σ (t)] cho f f (σ (t),τ ) − ( s,τ ) ∆ f (t,τ )( σ (t) − s ) ≤ ε σ (t) − −s ∆ Ở f đạo hàm f theo biến thứ Khi ∀s ∈U t i) ii) g(t) := ∫ f (t,τ )∆τ ∆ g (t) := ∫ f ∆ th ì a b t (t,τ )∆τ + f (σ (t),t); f (σ (t),t) a b ∆ h(t) := ∫ f h (t) := ∫ f ∆ (t,τ )∆τ t (t,τ )∆τ − t Chứng minh Ta chứng minh phần i) Cho ε > tồn lân cận U1 t thỏa mãn: f (σ (t),τ ) − f ∆ ( s,τ ) − f ε (t,τ )(σ (t) − s ≤ (t) − s σ 2(σ(t) − a) Vì f hàm liên tục (t,t) ( s,τ ) − tồn lân cận U t thỏa mãn ε f s∈U f ( t,t ) ≤ s,τ ∈U2 Ta đặt: U = U1 ∩U cho s ∈U Khi   g (σ (t) ) − g(s) − f (σ (t)) + ∫t ∆ f (t,τ )∆τ  ( σ (t)  a − s)  σ (t ) = ∫ a s f (σ (t),τ )∆τ − ∫ f (s,τ )∆τ −( σ (t) − s ) f (σ (t),t ) a t −(σ (t) − s ) ∫ f (t,τ )∆τ ∆ a σ (t ) = ∫ a  f (σ (t),τ ) − s − ∫ − s) σ (t ) σ (t ) f (s,τ ) ∆ f (t,τ )(σ (t) − s)∆τ − f (s,τ )∆τ − (σ (t) − s ) f (σ (t),t ) − (σ (t) ∫ t σ (t ) = ∫ a ∆ f (t,τ )∆τ  f f (s,τ ) ∆ f (t,τ )(σ (t) − s)∆τ − s (σ (t),τ ) − − ∆ ∫ f (s,τ )∆τ − (σ (t) − s ) f (σ (t),t ) + (σ (t) − s ) µ (t) f (t,t) σ (t ) σ (t ) ∫ = f (s,τ ) ∆ f (t,τ )(σ (t) − s)∆τ −  f a (σ (t),τ ) − σ (t ) + f (s,τ )∆τ − (σ (t) − s ) f (t,t) ∫ s σ (t ) ∫ = f (s,τ ) f ∆ (t,τ )(σ (t) − s) ∆τ  −  f (σ (t),τ ) − a σ (t ) + ∫ [ f (s,τ ) s f (t,t)] ∆ τ − σ (t ) ≤ ∫ a σ (t ) + ∫ s σ (t ) f (σ (t),τ ) − f (s,τ ) ∆ f (t,τ )(σ (t) − s) ∆τ − f (s,τ ) f (t,t) ∆τ − ε ≤ ∫ ∆τ + ∫ a ( σ (t) − a) σ (t ) ε σ (t) − s) ∆τ = s ε ε σ (t) − s + σ (t) − s = ε σ (t) − s Ở ta sử dụng Định lí 3.6 phần iv) Định lí 2.1 Vậy t f (σ (t),t) ∆ g (t) := ∫ f ∆ (t,τ )∆τ + a Định lí 3.18 (Quy tắc L’Hôpital) Cho hàm f , g khả vi T lim f (t) = lim g(t) = − − t→t0 t→t0 Với t0 điểm trù mật trái t0 ∈ Τ (3.9) Giả thiết tồn ε > cho (t) < g(t) > 0, g ∀t ∈ Lε (t0 ∆ ) Khi ta có ∆ liminf f (t) → − ≤ liminf ∆ t t0 Chứng minh Cho δ ∈ ( 0, ε ] g (t) t →− t0 ∆ f (t) f (t) ≤ limsup ≤ limsup g(t) đặt (3.10) − t →t0 g(t) f (t) − t →t0 ∆ g (t) ∆ ) ∆ ∆ α g (τ ) ≥f (τ ) f β , ∆ g (τ ) = infτ∈Lδ (t Khi (τ ) f α = supτ∈Lδ (t ) ∆ (τ ) ≥ β (τ g ) ∆ ∆ g (τ ) τ ∈ Lδ (t0 ) Dựa vào cơng thức (3.10) phần vii) Định lí 3.7 ta có t ∫α g s ∆ t (τ )∆τ ≥ ∫ f ∆ t ∆ (τ )∆τ ≥ ∫ β (τ )∆ τ g s α g(t) − α g(s) f (t) s f (s) ≥ β g(t) − β g(s) − ≥ Cho t → t − s,t ∈ Lδ (t0 ), s < t s,t ∈ Lδ (t0 ), s < t áp dụng công thức (3.9) ta −α g(s) ≥ − f (s) ≥ −β g(s) ∀s ∈ Lδ (t0 ) Dựa vào công thức (3.10) ta suy inf f (τ ) τ∈L (t ) g (τ ∆ ) ∆ δ Cho + δ →0 =α ≤ inf s∈Lδ (t0 ) (s) f ( s) ≤ sup f ( s) s∈L (t ) g ( s ) g δ sup τ∈Lδ (t0 ) ∆ g ( s ) (s) ta đến ∆ limin f (t) ≤ liminf f (t) f ∆ → ≤ limsup → − − t ≤β = ∆ f t0 g (t) t − t →t0 g(t) t0 ∆ f (t) f (t) ≤ limsup g(t) − t →t0 ∆ g (t) Định lí 3.19 (Quy tắc L’Hôpital) Cho hàm f , g khả vi T lim g(t) = ∞ từ điểm trù mật trái t0 ∈Τ − t→t (3.11) Giả thiết tồn ε > cho g(t) > 0, Nếu ∆ g (t) >0 ∀t ∈ Lε (t0 ) (3.12) lim f∆ ) (t f (t) = r = r ∈ ℝ li m − t→t0 g ∆ (t) t→t − g(t) Chứng minh Cho r ∈ ℝ với c > Khi tồn δ ∈[0,ε ] f () g () − r với ≤ c τ ∈ Lδ cho (t0 ) Áp dụng cơng thức (3.12) ta có: ∆ ∆ −cg (τ ) ∆ f (τ ) − rg (τ ) ≤ cg ≤ ∆ (τ ) với τ ∈ Lδ (t0 ) Theo Định lí 3.17 cơng thức (3.12) ta có: g ( s ) f (t) f (s) g ( s )    (r − c) − g(t) ≤ g(t) − g(t) ≤ (r + c) −g(t)     với s,t ∈ Lδ (t0 ); s < t Cho t → t − sử dụng công thức (3.11) ta r−c ≤ liminf t→t0− Bây cho f (t) f (t) − ≤ limsup g(t) t→t ≤ r + c g(t) f (t) f (t) c ta có lim tồn r t→t + = lim g(t) →0 g(t) t→t − − Nếu r = ∞ (hoặc r = −∞ ) chọn cho c > Tồn cho δ ∈ ( 0, ε ] ∆ f (τ ) ≥ với τ ∈ Lδ (t0 ) c ∆ g (τ ) Áp dụng công thức (3.12) ta ∆ f (τ ) ≥ ∆ g (τ ) c với τ ∈ Lδ Vậy ta có f (t) g(t) Cho t → t − g(t) c f (s)  g(s) với s,t ∈L ≥ −   g(t) g(t) c  (t ); s < t δ  sử dụng công thức (3.11) ta đến limin f (t) f t→t0− − (t0 ) − c ≥ → 0+ ta lim− t→t0 f (t) g(t) =∞=r 11 KẾT LUẬN Luận văn đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn nghiên cứu phép tính vi phân tích phân thang thời gian Luận văn tham chiếu kết Giải tích thang thời gian với khái niệm kết có Giải tích lý thuyết sai phân Hi vọng tài liệu hữu ích cho sinh viên học viên cao học bước đầu tìm hiểu Giải tích thang thời gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kì Anh (2008), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Bùi Đắc Tắc –Nguyễn Thanh Hà (1999), Khơng gian tơpơ – Độ đo –Tích phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] R Agarwal, C Ahlbrandt, M Bohner, anh A Peterson (1999), “Discrete linear Hamiltonian sys-tem: A survey”, Dynam Systems Appl., 8(3-4):307-33 [4] R P Agarwal and M.Bohner (1998), “Quadratic functionals for second order matrix equations on time scales”, Nonlinear Anal.,33:675-692 [5] Ravi Agarwal, Martin Bohner, Donal O’Regan, Allan Peterson (2002), “Dynamic equations on time scales: a survey”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 141, 1–26 [6] Martin Bohner, Allan Peterson (2001), Dynamic Equations on Time Scales Birkhäuser [7] G S Guseinov (2003), “Integration on time scales”, Anal Appl., 285, 107–127 J Math ... giải tích (Phép tốn vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất giới thực, tính liên tục tính. .. quy nạp thang thời gian Chương Phép tinh vi phân thang thời gian ………… 2.1 Phép tính vi phân cấp 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger 2.1.2 Đạo hàm Hilger số thang thời gian ... biểu S với t ∈ ( −∞,t ] (t) Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Phép tính vi phân cấp 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger Định nghĩa 2.1 Cho thang thời gian T Ta kí hiệu tập T k sau Nếu