Tích chập, Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và ứnh dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM H NđI CAO VN NHắM TCH CHắP, TCH CHắP SUY RđNG OI VộI CC PHẫP BIEN OI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIÃI TÍCH Mã so: 60 46 01 Ngưèi hưéng dan khoa hoc: TS Nguyen Minh Khoa Hà N®i - 2011 LèI CÃM ƠN Trưóc tiên tơi xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói Tien sĩ Nguyen Minh Khoa - Trưóng khoa Khoa hoc bán Trưòng Đai hoc Đi¾n lnc, ngưòi thay hưóng dan, chí báo t¾n tình cho tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen thay cô tham gia giáng day, cơng tác ó phòng Sau đai hoc trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Các thay nhi¾t tình giáng day tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành khóa hoc tai trưòng Đong thòi tơi xin đưoc bày tó lòng biet ơn tói tat cá ban bè, đong nghi¾p ngưòi thân đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p viet lu¾n văn M¾c dù dành nhieu thòi gian nghiên cúu tìm hieu song bán lu¾n văn khơng the tránh khói nhung han che, thieu sót Vì v¾y tơi rat mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cúa tat cá quý v% đe lu¾n văn đưoc hon thiắn hn H nđi, thỏng 12 nm 2011 Hoc viên Cao Văn Nh¾m LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan rang so li¾u ket nghiên cúu lu¾n văn trung thnc khơng trùng l¾p vói đe tài khác Tơi xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n lu¾n văn đưoc cám ơn thơng tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Tác giá Cao Văn Nh¾m Mnc lnc Mnc lnc Mé đau Các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 1.1 Phép bien đoi Fourier 8 1.2 Phép bien đoi Fourier cosine Fourier sine 15 1.3 Úng dnng phép đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giái phương trình vi phân phương trình đao hàm riêng 22 Tớch chắp, tớch chắp suy rđng đoi véi phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 27 2.1 Tích ch¾p vói hàm γ2(y) = cos y đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier cosine 27 2.2 Tớch chắp suy rđng oi vúi cỏc phộp bien đoi tích phân Fourier sine, Fourier cosine 38 2.3 Tớch chắp suy rđng vói hàm γ3(y) = sign y đoi vói ba phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 46 Úng dnng giái phương trình h¾ phương trình tích phân dang ch¾p 53 3.1 Các phương trình tích phân Toeplitz - Hankel 53 3.2 Các h¾ phương trình tích phân dang ch¾p 59 Ket lu¾n 65 Tài li¾u tham kháo .67 -4- Me ĐAU Lý chon đe tài Phép bien đoi tích phân m®t nhung van đe quan cúa giái tích tốn hoc đưoc phát trien liên tnc khống hai trăm năm tró lai Phép bien đoi tích phân đóng vai trò quan trong toán hoc nhieu lĩnh vnc khoa hoc tn nhiên khác, đ¾c bi¾t vi¾c giái tốn vói đieu ki¾n ban đau đieu ki¾n biên cúa phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, phương trình tích phân, tốn cúa v¾t lý - tốn Các phép bien đoi tích phân nhung cơng cn có hi¾u lnc đe chuyen toán tú vi phân, toán tú đao hàm riêng, tốn tú tích phân ve tốn tú đai so đong thòi đưa h¾ phương trình vi phân, tích phân ve h¾ phương trình đai so tuyen tính quen thu®c Nhung phép bien đoi tích phân bien nhat, có úng dnng r®ng rãi nhat đòi sóm nhat phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Cùng vói sn phát trien cúa lý thuyet phép bien đoi tích phân, m®t hưóng phát trien mói cúa lý thuyet phép bien đoi tích phân tích ch¾p cúa phép bien đoi tích phân xuat hi¾n vào khống đau the ký 20 Các tích ch¾p đưoc nghiên cúu đau tiên là: Tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier F cúa hai hàm f g đưoc xác đ%nh sau [4, 9, 15] +∞ ¸ ( f ∗ g) (x) = √ f (x − y)g(y)dy, x ∈ R F 2π −∞ Tích ch¾p thóa mãn thúc nhân tú hóa F( f ∗g )(y) = (F f )(y) (Fg)(y), ∀y ∈ R, ∀ f , g ∈ L1(R) F Tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier cosine Fc cúa hai hàm f g đưoc xác đ%nh sau [9, 15] +∞ ( f ∗ g) (x) =1 √ 2π Fc ¸ f (y)[g (|x − y|) + g (x + y)] dy, x > 0 Tích ch¾p thóa mãn thúc nhân tú hóa Fc ( f ∗ g )(y) = (Fc f )(y) (Fc g) (y), ∀y > 0, f , g ∈ L1 (R+) Fc Tiep đen tích ch¾p đoi vói phép bien đoi Laplace [9, 15], Mellin, Hilbert [9], Hankel [5] Stieltjes [6, 10] Các tích ch¾p nói đeu có cựng mđt thuđc tớnh ắc trng ú l ang thúc nhân tú hóa cúa chúng chí có nhat m®t phép bien đoi tích phân tham gia Đieu nhieu làm han che đen cau trúc vi¾c úng dnng chúng vào giái các phương trình, h¾ phương trình tích phân dang ch¾p tốn thnc te Năm 1951, I N Sneddon xây dnng oc tớch chắp suy rđng au tiờn oi vúi hai phép bien đoi tích phân Fourier sine Fourier cosine [9] +∞ ( f ∗ g)(x) = ¸ f (t) [g (|x −t|) − g(x + t)] dt, x > √ 2π Tích ch¾p thóa mãn thúc nhân tú hóa Fs ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) (Fc g) (y), ∀y > (R+) 0, f , g ∈ L Năm 1958, lan đau tiên tích ch¾p vói hàm đòi Đó tích ch¾p vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân Mehler – Fox đưoc khám phá bói Vilenkin Y Ya Sau đó, năm 1967, m®t cơng trình cơng bo tap chí D.A.N [5], V A Kakichev xây dnng phương pháp kien thiet tích ch¾p vói hàm γ(y) đoi vói phép bien đoi tích phân K bat kì, thóa mãn thúc nhân tú hóa sau γ K ( f ∗ g)(y) = γ(y)(K f )(y)(Kg)(y) Nhò phương pháp ny m mđt so tớch chắp vúi hm ó đưoc xây dnng nghiên cúu [6] Đen đau nhung năm 90 cúa the ký trưóc, S B Yakubovich ó a mđt so tớch chắp suy rđng oi vói phép bien đoi tích phân vói chí so, chang han tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Mellin, tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Kontorovich - Lebedev, bien đoi G, bien đoi H Vào năm 1998, V A Kakichev Nguyen Xuân Tháo đưa phương pháp mói kien thiet tích chắp suy rđng cỳa ba phộp bien oi tớch phõn bat kì K1, K2, K3 vói hàm γ (y) thóa mãn thúc nhân tú hóa [6] γ K1 ( f ∗ g)(y) = γ (y) (K2 f )(y) (K3 g)(y) Tù ý tưóng cúa báo vòng sáu, bay năm tró lai Nguyen Xuân Tháo Nguyen Minh Khoa xây dnng nghiên cúu hàng chnc tích ch¾p, tích ch¾p suy rđng v a chắp oi vúi chựm ba phộp bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine [2, 8, 1114] Chang han nh: Tớch chắp suy rđng oi vúi phép bien đoi Fourier cosine Fourier sine [7] đưoc xác đ%nh bói +∞ ¸ ( f g) (x) = √ f (t) [sign(t − x)g (|t − x|) + g(t + x)] dt, x > ∗ 2π (0.1) Khi f g hàm thuđc L (R+) thỡ tớch chắp ( f g) thu®c vào L1 (R+) thóa mãn thúc nhân tú hóa sau Fc ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) (Fs g) (y), ∀y > (0.2) Tớch chắp suy rđng vúi hm γ1(y) = sin y đoi vói phép bien đoi Fourier cosine Fourier sine [12] đưoc xác đ%nh bói γ1 ( f ∗ g)(x) = +∞ 2π √ ¸ f (t) [g (|x + t − 1|) + g (|x −t + 1|) − g(x + t + 1) −g (|x −t − 1|)] dt, x > γ1 (0.3) Khi f g hm thuđc L1 (R+) thỡ tớch chắp ( f g) thu®c vào L (R+) thóa mãn thúc nhân tú hóa sau γ1 Fc ( f ∗ g)(y) = sin y (Fs f )(y) (Fc g) (y), (0.4) ∀y > = = (Fs h) (y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) (Fs h = Fs h − λ1 (ϕ ∗ k) (y) ) (y) − λ1 (Fs ϕ ∆1 ) = ∆1 [1 + (Fc l) (y)] (y) ∆ (Fc k ) (y) = (Fs h) (y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) [1 + (Fc l) (y)] = (Fsh) (y) − λ1 Fs (ϕ ∗ k)(y) + Fs (h ∗ l)(y) − λ1 Fs [(ϕ ∗ k) ∗ l] (y) 1 Suy f (x) = h(x) − λ1 (ϕ ∗1 k)(x) + (h ∗1 l) (ϕ ∗1 k) (x) (x) − λ1 ∗ l T a c ó f ∈ L ( R + ) l d o Đ % n h l í ( ) T n g t n = ∆ ∆2 ∆2 = γ1 T a c ũ n g + ( F(Fc l) s (y) h ) ( y ) c ó = (Fc k) (y) − λ2 F c (h ∗ + (Fc l) (y) ψ ) (y ) g ∈ L ( R + γ ) = (Fc k) (y) − λ2 Fc (h ∗ ψ) (y) + (Fc k) (y) (Fc l) (y) = −λ2 Fc (h ∗ ψ)(y) y (Fc l) (y) ( γ1 l)(y) (h − λ2 ∗ Fc ψ) = (Fc k) (y) S u y r a Ta đưoc ( (y) F = ∆ c − λ2 Fc (h ∗ ψ) (y) + Fc (k ∗ F ∗l F γ g(x) = k(x) − λ2 (h ∗ c ψ)(x) + (k g ) F ∗ ψ) (x) c l)(x) λ2 (h l Fc F c − ( ) c v γ1 ( l d o γ ( = ψy) ) xác đ %nh bói (3.2.2) nhat h¾ (3.2.3) có đ %nh thúc khác khơng Q ( y ) ( ) N g h i ¾ m c ∗ú a h ¾ ∗ 3.2.2 Giái h¾ phươn g trình tích phân Xét h¾ ph ươ ng trìn h:  + ∞  g(x,  f (x) (t)dt + λ1¸ t= )k(x + θ, x 1>  f (t)θ2 λ2 (x, ¸ t)dt +g (|x|) sign x= h(x), x∈ R  vó i θ1(x, t) = √ [ϕ (|x −t|) −ϕ (|x + t|)] , i2π θ2(x, t) = √ [ψ (|x −t|) −ψ (|x + t|)] 2π λ1, λ2 hang so phúc; ϕ, ψ, k, h hàm thu®c L1(R+) f , g an hàm M¾nh đe 3.2.2 Vói đieu ki¾n − iλ1λ2 Fc (ϕ ∗ ψ)(y) ƒ= 0, ∀y > F c h¾ (3.2.4) cú nhat nghiắm thuđc L1(R+) ì L1(R+) v đưoc xác đ%nh sau  γ3 γ3  f (x) = k(x) − λ (h ∗ ϕ)(x) + (k ∗ l)(x) 1 − λ1 (l ∗ (ϕ ∗ h))(x)  5 γ3 γ3 g(x) = h(x) − λ (ψ ∗ k)(x) − (h ∗ l)(x) + λ2 (l ∗ (k ∗ ψ))(x) 5 (3.2 5) O l ∈ L1 (R+) đưoc xác đ ψ) (y) %nh bói −iλ1λ2 Fc (ϕ ∗ F (Fc l) (y) = − iλ1λ2 Fc ψ)(y) F (ϕ ∗ c c ChNng minh H¾ (3.2.4) đưoc viet lai ó dang  f (x) + λ1 (g ∗ ϕ)(x) = k(x), x  >0 γ3 x|) λ sig n ( x, ψ x ∈ ∗ R f ) ( x ) + g ( | x |) si g n x = h ( | Sú dn ng cá c đa ng th úc nh ân tú hó a (2 2), (2 2) ta có (Fs f (y) + λ1 (Fs g) (y) (Fc ϕ) (y) = (Fs k) (y), y > λ2 (Fc ψ) (y)(Fs f )(y) − i (Fsg) (y) = −i (Fs h) (y), y > (3.2 6) Đây h¾ tuyen tính vói an (Fs f )(y) (Fs g) (y), ta có λ1 (Fc ϕ) (y) ∆ = .λ2 (Fc ψ) (y) −i = −i − λ1 λ2 (Fc ϕ) (y)(Fc ψ) (y) = ƒ= 0, − iλ1λ2 Fc (ϕ ψ)(y) −i F ∗ suy  c  1 1− = i = − ∆ −i − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ)(y) −λ1λ2 Fc (ϕ ∗ c λ2 F Fc − λ1 c ψ)(y) F (ϕ ψ)(y)  ∗ Fc (Fs k) (y) λ1 (Fc ϕ) (y) ∆1 = −i (Fs h) (y) −i = −i (Fs k) (y) + iλ1 Fs (h ∗ ϕ)(y) γ3 = −i (Fs k) (y) + λ1 Fs (ϕ ∗ h)(y) Do  (Fs f )(y) ∆1 = ∆1 = ∆  −iλ1 λ2Fc (ϕ ψ)(y)  ∗ Fc ψ)(y) − iλ1 λ2 Fc (ϕ 1 − −i F ∗ c Theo Đ%nh lí Wiener - Lévy [3] ton tai hàm l ∈ L (R+) cho (Fc l) (y) = s dan tói Đieu −iλ1 λ2Fc (ϕ ∗ ψ)(y) Fc − iλ1 λ2 Fc (ϕ ψ)(y) (F f )(y) = ∆1 ∗ F −i c − ∆1 −i (Fc l) (y), y > γ3 = (Fs k) (y) − λ1 Fs (h ∗ ϕ)(y) − (Fs k) (y) + iλ1 Fs (ϕ ∗ h)(y) γ3 (Fc l) (y) γ3 = (Fsk) (y) − λ1 Fs (h ∗ ϕ)(y) − Fs (k ∗ l)(y) − iλ1 F (l ∗ (ϕ ∗ h))(y) 1 γ3 γ3 = (Fs k) (y) − λ1 Fs (h ∗ ϕ)(y) − Fs (k ∗ l)(y) − λ1 Fs (l ∗ (ϕ ∗ h))(y) 1 Suy γ3 γ3 f (x) = k(x) − λ1 (h ∗ ϕ)(x) + (k ∗ l)(x) − λ1 (l ∗ (ϕ ∗ h))(x) Tương tn ∆2 = (Fs k) (y) λ2 (Fc ψ) (y) −i (Fs h) (y) = −i (Fs h) (y) − λ2 (Fs k) (Fs ψ) (y) T a c ó γ3 ∆= −i (Fs h) (y) − λ2 F (ψ ∗ k)(y) γ3 ∆ = −i (Fs h) (y) + iλ2 Fs (ψ ∗ k)(y) ( F ∆ g − ) i ( y ) = ∆2 = (F c l) (y) −i γ.3 − s =( − ∗ γ3 k)(y) F( −cy l) ( ) ∗ (ψ ∗ k)) γ3 γ3 5 (y) = (Fs h) (y) = − λ2 Fs (ψ ∗ (F k)(y) − Fs (h s h) ∗ l)(y) (y) − iλ2 Fs (l ∗ − (ψ ∗ k))(y) λ2 Fs − λ2 Fs (ψ ∗ ∗ k)(y) − Fs (h k) ∗ l)(y) + (y) λ2 Fs (l ∗ (k − (h γ3 γ3 = (Fs h) (y) (ψ Fs γ3 γ3 γ3 ∗ ψ))(y) Tù suy γ ∗ l) γ (y) g(x) = h(x) − λ2 + (ψ ∗ k)(x) − (h λ2 ∗ l)(x) + λ2 (l F ∗ (k ∗ ψ))(x) (l 5 Ta có f , g ∈ L1 (R+) tù ket cúa Đ%nh lí (2.2.1), (2.3.1) Nghi¾m cúa h¾ (3.2.4) xác đ%nh bói (3.2.5) nhat h¾ (3.2.6) c ó đ % n h t h ú c k h c k h n g Q KET LU¾N Lu¾n văn xây dnng lai nghiên cúu tính chat cỳa ba tớch chắp, tớch chắp suy rđng oi vói phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Đong thòi lu¾n văn đưa ỳng dnng cỳa cỏc tớch chắp, tớch chắp suy rđng nói vào vi¾c giái phương trình tích phân Toeplitz - Hankel h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Tù ket đat đưoc, tác giá hy vong có the tiep tnc nghiên cúu m®t so van đe như: • Nghiên cúu bo xung tính chat cỳa cỏc tớch chắp, tớch chắp suy rđng trờn • Nghiên cúu tính chat cúa tích ch¾p, tích chắp suy rđng ú cỏc khụng gian Lp (R) , Lp (R+) vói p ≥ • Tìm úng dnng mói cúa tích ch¾p, tích ch¾p suy rđng trờn vo viắc giỏi cỏc phng trỡnh v hắ phương trình tích phân Danh mnc cơng trình cúa tác giá có liên quan đen lu¾n văn Nguyen Minh Khoa Cao Văn Nh¾m, “On the generalized convolution for Fourier sine and cosine tranfroms” Báo cáo khoa hoc tai h®i ngh% “Tốn – Tin úng dnng” nhân d%p ký ni¾m 55 năm thành l¾p Trưòng Đai hoc Bách Khoa H Nđi thỏng 10 nm 2011 Ti liắu tham kháo [1] Đ¾ng Đình Áng, Tran Lưu Cưòng, Huỳnh Bá Lân, Nguyen Văn Nhân, Pham Hoàng Quân (2009), Bien đoi tích phân, NXB Giáo dnc Vi¾t Nam [2] Nguyen Minh Khoa (2008), Generalized Convolutions of the Fourier, Fourier Cosine and Sine Integral Transforms and their Applications, PhD Dissertation, Hanoi University of Science [3] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science Publishing House, Moscow [4] L Debnath and D Bhatta (2007), Integral Transforms and Their Ap- plications (Second Edition), Chapman & Hall/CRC, New York, pp 9-100 [5] V A Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms Izv AN BSSR, Ser Fiz.Mat., 2, 48-57 [6] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design method for the generalized integral convolution, Izv Vuzov Mat., 1, 31-40 (In Russian) [7] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms, East-West J.Math., 1, 85-90 [8] Nguyen Minh Khoa (2009), On the Generalized convolution with a weight-function for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol 33, 285-289 [9] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, MC Gray Hill, New York [10] Nguyen Xuan Thao (2001), On the generalized convolution for Stielt- jes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Ukrainian Mathemat- ical Journal, 53, 560-567 (In Russian) [11] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2004), On the generalized convolution with a weight-function for the cosine-Fourier inte- gral transforms, Acta Mathematica Vietnam, 29, 149-162 [12] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa (2004), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms, Frac Calc Appl Anal , 7, 323337 [13] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier, Fourier co- sine and sine transforms, Vietnam J Math, 33, 412-436 [14] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2006), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier, Fourier co- sine and sine transforms, Integral Transforms Spec Funct, 17, 673- 685 [15] E C Titchmarch (1937), Introduction to the Theory of Fourier integrals, Oxford University Press ... phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giái phương trình vi phân phương trình đao hàm riêng 22 Tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng đoi véi phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine. .. bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Xây dnng lai nghiên cúu tính chat cúa ba tích ch¾p, tích ch¾p suy r®ng đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine... Các phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 1.1 Phép bien đoi Fourier 8 1.2 Phép bien đoi Fourier cosine Fourier sine 15 1.3 Úng dnng phép đoi tích