TRUONG DAI HQC SU PHAM HA NỘI 2
NGUYEN DUC THUY
TiCH CHAP SUY RONG VA DA CHAP DOI VOI CAC
PHEP BIEN DOI TICH PHAN FOURIER SINE, FOURIER COSINE, KONTOROVICH-LEBEDEV
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Tuân
HA NOL, 2012
Trang 2Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình
thực hiện luận văn này
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các
thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này
Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám
hiệu trường THPT Tự Lập — Mê Linh — Hà Nội cùng bạn bè, đồng nghiệp đã
tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu
Hà Nội, ngày II tháng 7 năm 2012 Học viên
Trang 3Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ
cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Tác giả
Trang 4Trang
Cac kí hiệu dùng trong luận van 5
Mé đầu 6
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier,
Fourier sine, Fourier cosine va Kontorovich-Lebedev 9 1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi
tích phân .-c Ăn SE KH nh nh nh kh kg 13
1.3 Đa chập đối với các phép biến đối tích phân 15
Kết luận sành HH HH HH HH HH rên 17
Chương 2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích
phan Fourier sine, Fourier cosine va Kontorovich-Lebedev 18
2.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa .- 18
2.2 Một số tính chất của toán tử -scc set 24
2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân .- 29
Kết luận sành HH HH HH HH HH rên 38
Chương 3 Đa chập đối với các phép biến đối tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev 39
Trang 5F_ : Phép biến đổi Fourier
F' : Phép biến đổi Fourier ngược # : Phép biến đổi Fourier sine
F : Phép bién déi Fourier cosine
K _ : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev KT: Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược
(f *g) : Tich chap cia hai ham /,g
(f * ø) : Tích chập của hai hàm ƒ,g với hàm trọng Z
(/*ø) : Tích chập của hai hàm /,ø đối với phép biến đối 7
Trang 61 Ly do chon dé tai
Năm 1951 nhà toán học nguoi My I.N Sneddon (xem [12]) đã xây dựng
được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier
sine và Fourier cosine Mãi đến năm 1998 (xem [10]) nhờ kỹ thuật xây dựng
tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân
K,,K,, K, bất kỳ của V.A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo kết quả đó được tóm tắt bằng sơ đồ sau
K|']l)=z0)(6/)0)(xz)f)
Trong đó, ƒvà ø là những hàm thuộc không gian hàm xác định, r(0) là hàm
trọng
Từ kỹ thuật đó, trong thời gian gần đây đã có một số kết quả công bố về tích chập suy rộng trên các tạp chí có uy tín trong nước và quốc tế (xem [7], {14], [15], [17], [19], .) Song song với việc nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng thì cũng chính năm 1998 V.A Kakichev (xem [9]) đã xây dựng
sơ đồ về đa chập với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân
K,K (¡=3)
Miso) AMET A)loh m9 ;=l
Trong đó ƒ (¡= 3,n) là những hàm thuộc không gian hàm xác định, r(y) la ham trong
Nhờ đó đã có các kết quả công bố về đa chập (xem [13], [16], [18]) Sự
Trang 7phương trình tích phân dạng chập, nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng và đặc biệt là phương trình tích phân Toeplitz-Hankel
Với mong muôn tìm hiêu sâu hơn vê vân đê này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS Trịnh Tuân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
%Tích chập suy rộng và da chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier
sine, Fourier cosine, Konforovich-Lebedev ”
Luận văn được trình bày thành ba chương và phần tài liệu tham khảo Để
tiện cho việc theo dõi luận văn thì phần đầu chúng tôi có trình bày thêm bảng
ký hiệu toán học dùng để viết luận văn 2 Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống về tích chập suy rộng
và đa chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev (nghiên cứu sự tồn tại trong không gian L, (R 4) đăng thức nhân tử hóa, các tính chất đại số của tích chập, đa chập và ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân)
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy rộng và đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev
- Tìm hiểu các tính chất của nó
- Ứng dụng để giải đóng một số phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập
4 Đối tượng nghiên cứu
Trang 8số, ứng dụng
5 Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như (không gian hàm, lý
thuyết toán tử, )
- Sử dụng các kỹ thuật về phép biến đổi tích phân cũng như các đánh giá
bất đẳng thức với các phép biến đổi tích phân
- Sử dụng kiến thức về hàm đặc biệt, chăng hạn hàm Macdonald, 6 Dự kiến những đóng góp mới
- Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết tích chập và đa chập
- Trình bày được chỉ tiết tích chập suy rộng với hàm đối với các phép biến
Trang 9Kiên thức chuân bị
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách tóm tắt một số kiến thức về các phép biến đổi tích phan Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân này, tích chập suy rộng và đa chập Sau mỗi phần trình bày chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập suy rộng và đa chập làm ví dụ minh họa Các ví đụ này sẽ được dùng cho việc nghiên cứu các chương sau
Nội dung trình bày của chương này được dựa vào các tài liệu (xem [6],
[7], [8], [9], [10], [11], [12], [14], [18], [19], [20])
1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine va Kontorovich-Lebedev
1.1.1 Dinh nghia tich chap
Dinh nghia 1.1 (xem [12]) Cho U,(X).U,(X) là các không gian tuyến tính,
V(Y) là đại số Khi đó
(9):04(%)xU,(X) — V)
(f.9) > (ƒ* ø)0)
được gọi là phép toán tích chập Kĩ hiệu: (*)
Giả sử K :U(X) — V(Y) là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U(X) vào đại số V(Y)
Tích chập của hai hàm ƒ e U,(X).ø U,(X) đối với phép biến đổi K là một hàm, kí hiệu (ƒ x ø), sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn
XỨ* øg)0) = (KJ)0)(Kø)0)
Trang 101.1.2 Các ví dụ về tích chập
Định nghĩa 1.2 Phép biến doi Fourier cua ham f(x) € L,(R) là một hàm kí
hiệu Fƒ và được xác định bởi công thức (xem [12]):
f(x) = (Ff og fe e Y f(y\dy voice R (1.1)
Ở đó F được gọi là toán tử Fourier hoặc phép biển đổi Fourier
Định nghĩa 1.3 Phép biến đổi Fourier ngược của hàm ƒ(+) € L,(R) được xác định bởi công thức (xem [12]):
(Ff og fe ell” f (0)dụ với z €TR (1.2) Ở đó FT} gọi là toán tử Fourier ngược hoặc phép biển đổi Fourier ngược
Ví dụ 1.1 Tích chập đối với phép biến đỗi tích phân Fourier
Cho ƒ,ø € L,(R) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) của hai hàm ƒ và ø, kí hiệu (ƒ + ø)(z), được xác định bởi công thức (xem [12])
F
(fxg ad | te thu 0)dụ với z cIR (13)
Tích chập (1.3) thuộc không gian L,(IR) va thoa man đẳng thức nhân tử hóa
PỰ + ø)0) = (Ff)(y)(F9)(y) voi y ER (1.4) Dinh nghia 1.4 (xem [12]) Cho hdm f(«) € L,(R,) Phép biến đổi Fourier
cosine (F,) cua ham f la m6t ham va duoc xac dinh boi céng thitc
Trang 11Ví dụ 1.2 Tích chập đối với phép biến đổi tich phan Fourier cosine
Cho f,g€L,(R,) Tich chap đối với phép biến đổi tich phan Fourier cosine (1.5) của hai hàm ƒ và ø, kí hiệu: (ƒ+ø)(z), được xác định bởi công thức 1 (xem [12]): +00 (ƒ>ø)(z œ J [øz - ») + (2 + )|dụ với z > 0 (1.6) 0
Tích chập (1.6) thuộc không gian 0,(R ) và thỏa mãn đăng thức nhân tử hóa
FPS DY) = FAYE DY) vor y > 0 (1.7)
Định nghĩa 1.5 (xem [12]) Cho ham f(x) € L,(R,) Phép biến đối Fourier
sine (F`) của một hàm ÿ là một hàm và được xác định bởi công thức
o- Pf sinzy.f(y)dy, với ø>0 (1.8) Ví dụ 1.3 Tích chập đối với phép biến déi tich phan Fourier sine
Cho ƒ,øc r,(R,) Tích chập với hàm trọng +(z) = sinz của hai hàm ƒ và ø đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.5) được xác định bởi công thức (xem [8])
(*2)(z) = sóc froin +—1)ø|Ì# + w— 1ÌÌ— ø(œ +w+1)+
+sign(z — y + Valle —+ 1) — #ign(# — t — D||z —— 1Ì) dụ >0 — (1.9)
Tích chập (1.9) thuộc không gian 1,(R ,) và thỏa mãn đăng thức nhân tử hóa +
F(F* 9)(y) = simy(F,))Œ,ø)00), Vụ > 0 (1.10)
Định nghĩa 1.6 (xem [6], [19]) Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev (K) của
Trang 12f(t) )= f rox nde, Wte R, (1.11)
6 do K,, la ham Macdonald va được xác định bởi +00 K(x) = J e 7 O8hY cos(tu)du, a € R, (1.12) 0 Nhận xét Từ (1.12) ta có |K„(z)|< Kạ(z) do đó {= fie le lees fi (od Từ công thức 1.8.52 [6] ta có Kg(œ)~—logz/2_ khi z — 0T Và từ công thức 1.8.53 [6] ta có TT _», +
Ko(a) ~ (Se khi x > +00 Mat khae f(x) € ,(R,) nén tich phan (1.11) hdi tu
Định nghĩa 1.7 (xem [6], [19]) Phép biến đổi Komtorovich-Lebedev ngược
(K``') của một hàm được xác định bởi cơng thức sau
~ 2 +® ~
= J zsinh(xz)K,„(8£ ft}, z>0 (1.13)
x 9 ~
Trang 13Tích chập (1.14) thuộc không gian 0,(R ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
K(f * g9)0) = (Kƒ)0)(ø)0) Yụ > 0 (1.15) Dé y rang cac tich chap (1.6), (1.9) và (1.14) ở trên đều có chung một
đặc điểm là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia Do đó ít nhiều làm ảnh hưởng đến tính ứng dụng của nó Phần trình bày sau đây chúng tôi sẽ nêu sơ đồ kiến thiết tổng quát của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đối tích phân cũng như một số ví đụ minh họa cho các tích chập đó
1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đối tích phân 1.2.1 Định nghĩa (xem [10]) Cho các toán tử tuyến tinh
K,:U(X)—V(),i= 13,3
Trong đó U,(X,) là các không gian tuyến tính, còn V(Y) là đại số
Tích chập suy rộng với hàm trong y(y) cua hai hàm ƒ €U,(X,) và
g€U,(X,) đối với ba phép biến đổi tích phân bắt kì K,,K,,K, (xem [10]) la
biểu thức (ƒ*g) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn
K,(f*9)(y) = +(0)(,f)(0)(K;ø)(0) (1.16)
Với bộ gồm ba phép biến đổi tích phân bất kì (K,,K ,K,)
m,n, p = 13, thì sơ đồ (1.16) cho ta 24 tích chập suy rộng (chưa kế đến hàm trọng z(y)) Một số trường hợp riêng:
Khi Kk, = K, = K, = F, voi F là phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) thì ta được tích chập (1.3)
Trang 14Khi K, = K, = K, = F,y(y) = siny, voi F 1a phép bién déi tich phan Fourier sine (1.8) thi ta dugc tich chap (1.8)
Khi K, = K, = K, = K, voi K la phép biến đối tích phân Kontorovich - Lebedev (1.14) thì ta được tích chập (1.14)
Khi K, = K, =F,K, = F, thì ta được tích chập suy rộng (1.17) Khi K, = K, =F,K, = F, thì ta được tích chập suy rộng (1.19)
Nhờ kỹ thuật (xem [10]) mà từ đó đến nay đã có một số kết quả công bố về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đối tích phân (xem
[7], [14], [15], [L7], [19]) Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết tích chập suy
rộng (1.16), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các tích chập suy rộng này còn dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận văn
1.2.2 Một số ví dụ minh họa
Vi du 1.5 (xem [12]) Cho ƒ,ø !;(R,) Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phan Fourier cosine (1.5) va Fourier sine (1.8) của hai hàm f va
ø, kí hiệu (ƒ *ø)(+), được xác định bởi công thức 2
+
Ứ*ø)œ)= = J fu)lgl|e — ul) - g(a + u)]du,z > 0 (1.17)
Tích chập suy rộng (1.17) thuộc không gian /,(R,) và thỏa mãn đăng thức nhân tử hóa
T.39)0) = (Œ/))Œ,9)00),Vụ > 0 (1.18)
Ví dụ 1.6 (xem [14]) Cho ƒ,ø e !;(R,) Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine va sine của hai hàm ƒ,ø, kí hiệu (ƒ *ø)(2),
Trang 15được xác định bởi công thức
Lf ft )[sign(u - x) 9( |u- a) t+g(ut+z)|duc>O (1.19)
0
fi
Tích chập (1.19) thuộc không gian 7,(R,) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
FLL * 9)(y) = EDF 9)(y), Vy > 0 (1.20)
1.3 Đa chập đối với các phép biến đối tích phân
1.3.1 Định nghĩa (xem [9]) Cho các toán tw tuyển tính
K,:U(X,) > V(Y),i=1,2,3
Trong đó U(X,) là các không gian tuyến tinh, con V(Y) là đại số
Da chập của các hàm J € U.(XJ), € U¿(Ä;), , ƒ, € U,(X,„) với hàm trọng
+(w) đối với các phép biến đổi tích phân K,K,,K,, ,K,, la m6t hàm, ký hiệu + ; *fis fre ty): Hu2 — V(Y) sao cho đăng thức sau được thỏa mãn n KU fon Fl =o] (KAW) ø>3 — 20 i=1
Nhờ sơ đồ (1.21) đã có nhiều đa chập mới đối với các phép biến đổi
tích phân được xây dựng và nghiên cứu Chẳng hạn, đa chập đối với các phép
biến đổi tích phan Fourier cosine và Fourier sine; Fourier sine, Fourier Cosine
va Kontorovich-Lebedev (xem [13], [16], [18])
Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết đa chập (1.21), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các đa chập này còn dùng để
nghiên cứu cho chương 3 của luận văn
1.3.2 Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1.7 (xem [13]) Cho f,9,h € L,(R,) Da chập đối với các phép biến đổi
Trang 16*(f,9,h)(x )=5- ff Hedateytn (le + ua) + (few af) -
—h(|e—u—o])—h(2 + w+ v) dude, >0 (122)
Khi đó đa chập (1.22) thuộc 7, (R 4) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
?@Œø.))0) = Œ.0)0)-Œ.ø)0)-Œ,h)(0) Vụ >0 (1.23)
Ví dụ 1.8 (xem [18]) Cho 7°” = L, [R.t°K, ()).a cR,0< <1 là tập tất ca các hàm ƒ xác định trên (0;+oo) sao cho
1
lies = “J |/(ĐỊ” Kạ(8t°at)" <
trong đó (0) là phép biến đổi tích phan Kontorovich-Lebedev (1.11) Cho f,geL(R,),he 1,0 <B <1 Đa chập với hàm trọng +(z) = sinz của
các hàm ƒ,ø và h đối với các phép biến đổi tích phan Fourier sine, Kontorovich-Lebedev xác định như sau
*(f, g,h)( “Wi fe (2, u,v, w))f(u)g(w)h(w)dudvdw,x > 0 (1.24)
với 6, (a, u,v, w) — ø—0cosh(+u+u+l) _ e weosh(a+u+u-1) O(c, Uy 0, w) — ew cosh(a—u-+u-1) " e0 cosh(=u+u+1)
6 (ø, u,v, w) =e cosh(a+u—v—l) ew cosh(-++u—0-+])
0,(, uy, w) — e—0cosh(=u~u+]) _ ew cosh (2—u—v—1)
Khi đó đa chập (1.24) thuộc 7,(R „) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Trang 17Kết luận
- Trình bày một số phép biến đổi tích phân và tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich—Lebedev
- Trinh bay va hé thống sơ đồ về tích chập suy rộng có hàm trọng và đa
chập của các phép biến đồi tích phân K, (i = Ln)
- Trình bày các ví đụ minh họa tích chập suy rộng và đa chập để thấy sự
khác biệt rõ rệt là đối với tích chập trong đăng thức nhân tử hóa chỉ có
một phép biến đổi tích phân tham gia còn trong tích chập suy rộng và đa
Trang 18Chuong 2
Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân
Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev
Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng với hàm
trong y(y)=sinh (my) đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine,
Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev Từ đó nghiên cứu sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa cũng như các tính chất đại số của tích chập và ứng dụng
Các định lý chính của chương này là định lý (2.1) và (2.2) Nội dung
của chương 2 được trình bày từ tài liệu (xem [17]) 2.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tứ hóa
2.1.1 Định nghĩa (xem [17])
Tích chập suy rộng với hàm trọng () = sinh Ì{nụ) của hai hàm ƒ và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine vd
Komtorovich-Lebedev được xác định như sau
Trang 20Uv 1] “eoM(s- v) vo -u Ị =u cosh(x-v) +00 mm 0u” v = 1 |e” -e cosh "] _ 1 Ũ _ "| U U 5 e" —u.cosh (26) + U do đó từ (2.5) và (2.6) ta có { } 1 TH : —u.cosh(+) ƒ*g (e)d+<= | Ỉ [ [sinh(x +0) + ok 7 “000 + [sinh (z - | ce weosh(eme)y f (u) g (v) dudvdx +00 +90 1 LFF lr(ojoto) 0 0 +00 { | sinh ut v) Je” cosh( +0) + kinh (z — 9Ì eo conte 2| dudv < 0 < 2 +00 +00 e F 1 _ 2 +90 al P +00 F < sa JU “oan Le —li(u)]au f |a(») avs < fAr(u) (ff oe) (v)|dv < 420 0 Y Vậy (/*ø)(z)< r(R,)
Trang 21-+F00 +00 = sin tín) L2 ƒ J cos(yv )ysinh VK yl u)= flu)g()dudo 0 0 +00 +00 = 5 Pe J J cos(ye) f(u)gv) = UK, y(u)dude, Từ công thức I [4, tr 130], ta có 3(w)(K”`7)(w)(,ø)(w) = +oo +00
2 2 : —u Cosh &
Trang 24Suy ra y(y)(K~'f)(y)(F.g)(y) = v5 +00 +00 | +00 mag Sis J cosut) sinh(t-+ v).e ™ M+) — sinh(t = ve eos) att .ƒ(u)g()dudu c_w.cosh(Ptr) —sinh(t — TH dt
Vậy đẳng thức (2.4) được chứng minh
Trang 25-t%œ +00 42 — a sinh(a —v)e "°°" sh(#—0) F(a) g(v)dudu toad J _ 42 re ˆ TC J 16)6inhte 9 —ucosht * 1 g(t))(x)du + +00 +00 2 ay), cosh(a—v) + > J J sinh(a — vje f(u)g(v)dudu (2.11) 2 và (ƒ ; 9)() = +00 +00 = 5 J J sinh(œ + )e ” cosh(z†t?) _ sinh Í: — ofje costa] f(u)g(v)dudv — 0 0 -+Foo +00 -=f J sinh(o— ve teosh(e—”) Fu) g(v)dudv 0z Tv —ucosht *g sinh t.e x)du — J1 0 He CO +00 + J Fa sinh( (a — ve —w€osh(#— F(u)g (ø \dudv (2.12) 0 % Từ (2.11) và (2.12), ta có * * v2 Pe : —ucosht * W7øœ)+ 90) = we J f(u)[sinn te hí *z()|fe]ax+ +% + 42 tos 0 + 8 sinh( (=- v) eteosh( 2-0) f(u)g(v) dudv — a} 8 ¬ —¬
ks ¬ tứ (u){sinn te ueoshf No (le) du —
Trang 26Vậy ta có điều phải chứng minh
Định lí 2.2 (xem [17]) Các tích chập (2.1), (2.2) không giao hốn, khơng kết hợp nhưng nó thoả mãn các đẳng thức sau y YF + YF 1 (7 *h) — a*(#*# fe + 1) ƒ*(g*h)= g1(ƒ*h), với ƒục HT he L,(R,) 2) ƒ*(g*h)=g**h),với fg EL, |4,R,|,nez (E.) 31 221 : lạ) + 1Ì + 3) ƒ*(g*h) = Ƒ*g)*h, với ƒ€L,|*,B,|ghe1 (R,) a 172 Ty? Fy T+ 4) F*(g*h) =(feg*h voi fet \2,R loner (z,) 2° 2 g1 Ta? +] 1Ì + 5) Ƒ*(g*h) =h*(ƒ*g), với fet, {+R 0h 1° 3 3° 1 Tg? † € 1 1Ì + (R,,} ^ Trong đó, các tích chập (3): tố) (0) ch ( Nu x¬ ) lan lượt được xác dinh boi (1.6), (1.17), (1.19), (2.1), (2.2) Chứng minh 1) Từ các đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4), ta có P7 "30 ()= sinh '{my)|x—'7|(y)-F(0 ;Ð()
= sink {Az} sinh (0&0) (0)
= sink (ry)(149)(v) LU) (uy) =F ru) (v)
y 7 + +
Trang 272) Từ các đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4), ta có % T7 F f soe ity smr*(m)|i)(5)0)= ^ * 2 = sinh! (ry K'g)(y E(+R)(y)= #, g coo) + 3 +3 Vậy f*(g*h) = 9 *(f*h) 21 21 3) Từ các đẳng thức nhân tử hóa (1.7), (1.18), (2.3), ta có +
fg" 7 (y) = sinh™ (ay)(K~'/)(u) FCG) (y)
Trang 28— ll 8 Dd a h ¬ < = — x h ¬ —- —— = — ot — Ss F(f*(g*h))(y 1 3 Vậy ƒ*(g*h) = h*(f* 9) 173 371
Trang 29rf + 1Í 3 Vay |ƒ*|g*h||*k=ƒ* o [nea] 1 2 l2 1| 2 2 2) Từ các đăng thức nhân tử hóa (1.7), (2.3), (2.4), ta có 1Í + PÌJƒ*|g*h||*kE|=PF.|ƒ VW 2| 1! fla © + f* 2 * g*h 1 ¬ 1 2 Vậy * [nee] 1 1
Trang 30v) e" cosh(x+v) ) —uwcosh(œ—ø} + sinh (œ — e6 - Trong dé pe L, x +Ỉ: 0€ LJÍR,), À,À; là những hằng số và ƒ, ø là những hàm cần tìm
Trang 31Sử dụng tích chập (2.1) và (2.2), khi đó hệ (2.13) được viết dưới dạng hệ chập
se) + AR let a)(e)= A(x), AL¥)(2) + 9(z) = (2):
Từ các đăng thức nhân tử hóa (2.3) và (2.4) ta chuyển hệ trên vé dang
(Fo) +2 sinh (u)[K)(o} (Fao) = [EC d,.(F)(y).(E)(y) + (9) (y) = (FA)(y): (2.15) A= 1 \, sinh”! (rv) ( K1) (v) »(“9)0) | 1 =1-ALF ory (ø)= 0 (o16) h)(y) À sinh Ì (=z)|K—"2|() FA)(u) =(8)(y)~xsimh '[sy)|K "2|(y)-(#)Ú): A, “hes 1 K "| ~ Ae Từ (2.16) suy ra ÀIƑ, |w *¿|W)
1—AA le*lU] “le 5 Ụ
Định lí Wiener-Levy (xem [4]) nói rằng: Nếu ƒ là ảnh của phép biến đổi Fourier của một hàm thuộc L, (R 4): ó(z) là một hàm giải tích trong lân
Trang 32cận của tập hợp chứa miễn giá trị {/(s).z € R} va 9(0) = 0 thi 27) là ảnh của phép biến đôi Fourier của một hàm thuộc L(R,)
Chú ý rằng định lí Wiener-Levy vẫn đúng cho phép biến đổi Fourier cosine của một hàm thuộc 7;(R „)
Aro? 1—~ÀJÀ¿z
Ở đây ta áp dụng định lí trên cho trường hợp o(z) = , trong đó
Trang 33Tương tự, ta có (Eø)(u)= |*)(w)~(E =[I+(*4)(w)|(.#)(s)=5()(s)(®)(s|| =##)(]+(z4)(0)(F.#)Wu)—A›(R9)(v)=.")(w)~ =A;[za)(w)(F Do đó s(s)=#|s)+|s‡#|Íz)=A (z)=As|£;"Ì|le) (2.18) Từ cơng thức (2.17), (2.18) cho ta thấy rằng nghiệm (ƒ.ø) nhận được là > pth 2
một biểu thức giải tích biểu diễn thông qua tích chập (2.1), (2.2) và một số
tích chập đã biết Vì các tích chập này đều thuộc L,(R ,) nên nghiệm nhận
Trang 36nN < — | > wt 6 > ——— < — | c> — = S a — < — ; — ° <a > a — < a — ¬ om) — — < — f (z) =h (z) + : 5 ( (z) —ÀI [- *k (z) —ÀI |; i f h | (z) (2.22)
—AE.(01Rlly)= ‘ant '(ny)(K'8)(0)(RA)(u)(Aa)(y) =(*)(u)+ su? dịo)- A(01®lÌ0)=
—2, sinh (ny)(K-"e(v).#, [hg] (y)
Trang 37ì >
vale) ur(neg
a(x) = k(x) + [ae] (2) -r, |: (2.23)
Từ công thức (2.22), (2.23) cho ta thấy rằng nghiệm (ƒ,g) nhận được là một biểu thức giải tích biểu diễn thông qua tích chập (2.1) và (2.2) và một số tích chập đã biết Vì các tích chập nay đều thuộc L, (R,) nên nghiệm nhận
được cũng hoàn toàn thuộc 1; (R 4)
Định lí được chứng minh
Nhận xét
Ta thấy rằng đối với những hệ phương tình tích phân (2.13), (2.19)
Trang 38Kết luận
Trình bày được chỉ tiết hai tích chập suy rộng đối với các phép biến đồi tich phan Fourier sine, Fourier cosine va Kontorovich—Lebedev ngược với hàm trọng
Nghiên cứu sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất đại số của
hai tích chập trên các không gian khác nhau
Ứng dụng các tích chập suy rộng này để giải đóng một số lớp hệ
Trang 39Chương 3
Đa chập đối với các phép biến đối tích phan Fourier sine,
Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev
Trong chương này chúng tôi trình bày về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev Nghiên cứu các tinh chất của chúng và ứng dụng đề giải hệ phương trình tích phân và phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel
Các kết quả chính của chương là định lý (3.1), (3.3) và (3.4) Nội dung của chương được trình bày từ tài liệu (xem [16]) 3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa
3.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 (xem [16]) Đa chập của các hàm ƒ.g và h đối với các phép
bién doi Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev được xác định *.60)(+) x l Jf fa % u,v, w) f(u)g(v)h(w)dudvdw, z>0 (3.1) 0 0 0 odo h9 ¬ x
—0 cosh(x—u+u) —weosh(x—u—v) —0 cosh(x+u-+v) —ucosh(a-+u=—o)
O(a, u,v, w) = +e —€ —e
+00
Dinh nghia 3.2 (xem [16]) Cho L,(R,)=|f eR, | J |/(s)|d< +=| vả
L, (3(z),R,)= ụ€ R,| Ÿ2:)bls|& < +00
Chuẩn của hàm f thuộc bị (R,) và chuẩn của hàm g thuộc h (3 (z),R,)
Trang 40Ie ce ~ J; le) das va IA, (a(eye,) ~ J s(o)/o (2) dư
3.1.2 Đẳng thức nhân tử hóa
Định lí 3.1 (xem [16]) Gid sw ƒ,g là các hàm trong L,(R,) va h là hàm