Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine, kontorovich-Lebedev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  NGUYỄN ĐỨC THỤY TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE, KONTOROVICH–LEBEDEV Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Tuân HÀ NỘI, 2012 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám hiệu trường THPT Tự Lập – Mê Linh – Hà Nội cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Hà Nội, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Học viên Nguyễn Đức Thụy 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Nguyễn Đức Thụy 4 MỤC LỤC Trang Các kí hiệu dùng trong luận văn 5 Mở đầu 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ……………. 9 1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân …………………………………………………………… 13 1.3 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân ……………… 15 Kết luận …………………………………………………………. 17 Chương 2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev 18 2.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa ……………………… 18 2.2 Một số tính chất của toán tử ………………………………… 24 2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân ………………… 29 Kết luận …………………………………………………………. 38 Chương 3. Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev 39 3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa ………………………. 39 3.2 Các tính chất toán tử của đa chập ………………… 43 3.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân …………………………………………………………… 46 Kết luận …………………………………………………………. 56 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 5 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • F : Phép biến đổi Fourier. • 1 F − : Phép biến đổi Fourier ngược. • s F : Phép biến đổi Fourier sine. • c F : Phép biến đổi Fourier cosine. • K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev. • 1 K − : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược. • ( ) f g ∗ : Tích chập của hai hàm , f g . • ( ) f g γ ∗ : Tích chập của hai hàm , f g với hàm trọng γ . • ( ) T f g ∗ : Tích chập của hai hàm , f g đối với phép biến đổi T . • ( ) T f g γ ∗ : Tích chập có trọng γ của hai hàm , f g đối với phép biến đổi tích phân T . • 1 *( , , ) f g h : Đa chập của ba hàm , , f g h . • { } : 0 . x x + = ∈ ≥ ℝ ℝ • ( ) 1 L ℝ là tập hợp tất các hàm f xác định trên ( ; ) −∞ +∞ sao cho ( ) f x dx +∞ −∞ < +∞ ∫ . • ( ) 1 L + ℝ là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( ) 0; +∞ sao cho ( ) 0 f x dx +∞ < +∞ ∫ . • 1 1 , L x +       ℝ là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên ( ) 0; +∞ sao cho ( ) 0 1 f x dx x +∞ < +∞ ∫ . 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1951 nhà toán học người Mỹ I.N. Sneddon (xem [12]) đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine. Mãi đến năm 1998 (xem [10]) nhờ kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân 1 2 3 , , K K K bất kỳ của V.A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo kết quả đó được tóm tắt bằng sơ đồ sau ( ) ( )( )( )( )( ) 1 2 3 * K f g y y K f y K g y γ   = γ       Trong đó, f và g là những hàm thuộc không gian hàm xác định, ( ) y γ là hàm trọng. Từ kỹ thuật đó, trong thời gian gần đây đã có một số kết quả công bố về tích chập suy rộng trên các tạp chí có uy tín trong nước và quốc tế (xem [7], [14], [15], [17], [19], ) Song song với việc nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng thì cũng chính năm 1998 V.A. Kakichev (xem [9]) đã xây dựng sơ đồ về đa chập với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân , ( 3, ) i K K i n = ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 * , , , , 3 n n i i i K f f f y y K f y n γ =   = γ ≥       ∏ Trong đó ( 3, ) i f i n = là những hàm thuộc không gian hàm xác định, ( ) y γ là hàm trọng. Nhờ đó đã có các kết quả công bố về đa chập (xem [13], [16], [18]). Sự phát triển của tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích 7 phân đã cho ta những ứng dụng phong phú, chẳng hạn là giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập, nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng và đặc biệt là phương trình tích phân Toeplitz–Hankel. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS Trịnh Tuân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich–Lebedev ”. Luận văn được trình bày thành ba chương và phần tài liệu tham khảo. Để tiện cho việc theo dõi luận văn thì phần đầu chúng tôi có trình bày thêm bảng ký hiệu toán học dùng để viết luận văn. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống về tích chập suy rộng và đa chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev (nghiên cứu sự tồn tại trong không gian ( ) 1 L + ℝ , đẳng thức nhân tử hóa, các tính chất đại số của tích chập, đa chập và ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy rộng và đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev. - Tìm hiểu các tính chất của nó. - Ứng dụng để giải đóng một số phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập. 4. Đối tượng nghiên cứu - Tích chập suy rộng và đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev. 8 - Định nghĩa, tính chất, sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa, các tính chất đại số, ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như (không gian hàm, lý thuyết toán tử, ….). - Sử dụng các kỹ thuật về phép biến đổi tích phân cũng như các đánh giá bất đẳng thức với các phép biến đổi tích phân. - Sử dụng kiến thức về hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm Macdonald, … 6. Dự kiến những đóng góp mới - Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết tích chập và đa chập. - Trình bày được chi tiết tích chập suy rộng với hàm đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev cũng như đa chập của các phép biến đổi này. Từ đó cho ứng dụng để giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập. 9 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách tóm tắt một số kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân này, tích chập suy rộng và đa chập. Sau mỗi phần trình bày chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập suy rộng và đa chập làm ví dụ minh họa. Các ví dụ này sẽ được dùng cho việc nghiên cứu các chương sau. Nội dung trình bày của chương này được dựa vào các tài liệu (xem [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [14], [18], [19], [20]) 1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev 1.1.1 Định nghĩa tích chập Định nghĩa 1.1 (xem [12]) Cho 1 2 ( ), ( ) U X U X là các không gian tuyến tính, ( ) V Y là đại số. Khi đó 1 2 (*) : ( ) ( ) ( ) U X U X V Y × → ( , ) ( * )( ) f g f g y ֏ được gọi là phép toán tích chập. Kí hiệu: (*) . Giả sử : ( ) ( ) K U X V Y → là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính ( ) U X vào đại số ( ) V Y . Tích chập của hai hàm 1 2 ( ), ( ) f U X g U X ∈ ∈ đối với phép biến đổi K là một hàm, kí hiệu ( ) f g ∗ , sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn ( * )( ) ( )( )( )( ) K f g y Kf y Kg y = Khi đó ( ) U X cùng phép nhân chập như trên xác định một đại số. 10 1.1.2 Các ví dụ về tích chập Định nghĩa 1.2 Phép biến đổi Fourier của hàm 1 ( ) ( ) f x L ∈ ℝ là một hàm kí hiệu Ff và được xác định bởi công thức (xem [12]): 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 iyx f x Ff x e f y dy π +∞ − −∞ = = ∫ ɶ với x ∈ ℝ (1.1) Ở đó F được gọi là toán tử Fourier hoặc phép biến đổi Fourier. Định nghĩa 1.3 Phép biến đổi Fourier ngược của hàm 1 ( ) ( ) f x L ∈ ℝ được xác định bởi công thức (xem [12]): 1 1 ( )( ) ( ) 2 iyx F f x e f y dy π +∞ − −∞ = ∫ ɶ ɶ với x ∈ ℝ (1.2) Ở đó 1 F − gọi là toán tử Fourier ngược hoặc phép biến đổi Fourier ngược. Ví dụ 1.1 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier Cho 1 , ( ) f g L ∈ ℝ . Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) của hai hàm f và g , kí hiệu ( )( ), F f g x ∗ được xác định bởi công thức (xem [12]) 1 ( )( ) ( ) ( ) 2 F f g x f x y g y dy π +∞ −∞ ∗ = − ∫ với x ∈ ℝ (1.3) Tích chập (1.3) thuộc không gian 1 ( ) L ℝ và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa ( )( ) ( )( )( )( ) F F f g y Ff y Fg y ∗ = với y ∈ ℝ (1.4) Định nghĩa 1.4 (xem [12]) Cho hàm 1 ( ) ( ) f x L + ∈ ℝ . Phép biến đổi Fourier cosine ( ) c F của hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức 0 2 ( )( ) cos . ( ) c F f x xy f y dy π +∞ = ∫ với 0 x > (1.5) [...]... các phép biến đổi tích phân K i (i = 1, n ) - Trình bày các ví dụ minh họa tích chập suy rộng và đa chập để thấy sự khác biệt rõ rệt là đối với tích chập trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân tham gia còn trong tích chập suy rộng và đa chập có nhiều phép biến đổi tích phân khác tham gia 18 Chương 2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier. .. sơ đồ (1.21) đã có nhiều đa chập mới đối với các phép biến đổi tích phân được xây dựng và nghiên cứu Chẳng hạn, đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine; Fourier sine, Fourier Cosine và Kontorovich-Lebedev (xem [13], [16], [18]) Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết đa chập (1.21), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các đa chập này còn dùng để nghiên... đa chập (1.24) thuộc L1(ℝ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ ( ) Fs (*( f , g, h ))(y ) = sin y (Fs f )(y ) (Fs g )(y ) Kiy h (y ), ∀y > 0 (1.25) 17 Kết luận - Trình bày một số phép biến đổi tích phân và tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich–Lebedev - Trình bày và hệ thống sơ đồ về tích chập suy rộng có hàm trọng và đa chập của các. .. ) với y > 0 (1.7) 1 Định nghĩa 1.5 (xem [12]) Cho hàm f (x ) ∈ L1(ℝ + ) Phép biến đổi Fourier sine (Fs ) của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức (Fs f )(x ) = 2 π +∞ ∫ sin xy.f (y ) , dy với x > 0 (1.8) 0 Ví dụ 1.3 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine Cho f , g ∈ L1(ℝ + ) Tích chập với hàm trọng γ(x ) = sin x của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier. .. minh họa cho các tích chập đó 1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân 1.2.1 Định nghĩa (xem [10]) Cho các toán tử tuyến tính K i : U i (Xi ) → V (Y ), i = 1,2, 3 Trong đó U i (Xi ) là các không gian tuyến tính, còn V (Y ) là đại số Tích chập suy rộng với hàm trọng γ ( y ) của hai hàm f ∈ U 2 (X 2 ) và g ∈ U 3 (X 3 ) đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì K 1, K 2,... về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân (xem [7], [14], [15], [17], [19]) Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng (1.16), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các tích chập suy rộng này còn dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận văn 1.2.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1.5 (xem [12]) Cho f , g ∈ L1(ℝ + ) Tích chập suy rộng đối với. .. ) (1.16) Với bộ gồm ba phép biến đổi tích phân bất kì (K m , K n , K p ) m, n, p = 1, 3 , thì sơ đồ (1.16) cho ta 24 tích chập suy rộng (chưa kể đến hàm trọng γ ( y ) ) Một số trường hợp riêng: Khi K 1 = K 2 = K 3 = F , với F là phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) thì ta được tích chập (1.3) Khi K 1 = K 2 = K 3 = Fc , với Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine (1.5) thì ta được tích chập (1.6)...  γ γ Trong phần tiếp theo chúng tôi sử dụng hai tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev (2.1), (2.2) cùng với một số tích chập đã biết để giải đóng một lớp hệ phương trình tích phân dạng chập 2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân 2.3.1 Xét hệ phương trình tích phân f (x ) + λ1 +∞ λ2 +∞ +∞ ∫ ∫ θ1 (x, u, v )ϕ (u... K 1 = K 2 = K 3 = Fs , γ(y ) = sin y , với Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.8) thì ta được tích chập (1.8) Khi K 1 = K 2 = K 3 = K , với K là phép biến đổi tích phân Kontorovich Lebedev (1.14) thì ta được tích chập (1.14) Khi K 1 = K 2 = Fs , K 3 = Fc , thì ta được tích chập suy rộng (1.17) Khi K 2 = K 3 = Fs , K1 = Fc , thì ta được tích chập suy rộng (1.19) Nhờ kỹ thuật (xem [10]) mà...11 Ví dụ 1.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Cho f , g ∈ L1(ℝ + ) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (1.5) của hai hàm f và g , kí hiệu: (f ∗ g )(x ), được xác định bởi công thức 1 (xem [12]): 1 (f ∗ g )(x ) = 1 +∞ ∫ 2π f (y ) g( x − y ) + g(x + y ) dy với x > 0   (1.6) 0 Tích chập (1.6) thuộc không gian L1(ℝ + ) và thỏa mãn đẳng thức nhân . 1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ……………. 9 1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân. một phép biến đổi tích phân tham gia còn trong tích chập suy rộng và đa chập có nhiều phép biến đổi tích phân khác tham gia. 18 Chương 2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích. nhiều đa chập mới đối với các phép biến đổi tích phân được xây dựng và nghiên cứu. Chẳng hạn, đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine; Fourier sine, Fourier