Về một tích chập suy rộng mới và ứng dụng

2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Sự tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình học tập và làm luận văn đã giúp tôi trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp cận một vấn đề mới. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tôi nâng cao trình độ, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi cũng xin được cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường THPT Việt Trì đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi yên tâm học tập trong suốt hai năm vừa qua. Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên kịp thời để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 07 tháng 07 năm 2012. Học viên Nguyễn Thị Thu Oanh. 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Nguyễn Thị Thu Oanh 4 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 2 Lời cam đoan 3 Các ký hiệu dùng trong luận văn 5 Mở đầu 7 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất 10 1.1.1 Phép biến đổi Fourier 10 1.1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine 11 1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev 11 1.2. Một số ví dụ về tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổi tích phân 13 Kết luận chương 1 19 Chương 2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine và Kontorovich-Lebedev 20 2.1. Một số định nghĩa 20 2.1.1. Một số không gian hàm dùng trong luận văn 20 2.1.2. Định nghĩa 21 2.2. Đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất 22 2.2.1. Đẳng thức nhân tử hóa 2.2.2. Các tính chất 28 Kết luận chương 2 36 Chương 3: Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân 37 3.1. Hệ phương trình tích phân tổng quát dạng chập 37 3.2. Các ví dụ minh họa 42 Kết luận chương 3 52 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 5 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  F : phép biến đổi Fourier.  s F : phép biến đổi Fourier sine.  c F : phép biến đổi Fourier cosine.  K : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.  L : phép biến đổi Laplace.  J  : phép biến đổi Hankel.    f g : Tích chập của hai hàm ,f g .  f g         : Tích chập của hai hàm ,f g với hàm trọng  .    T f g : Tích chập của hai hàm ,f g đối với phép biến đổi T .  T f g         :Tích chập của hai hàm ,f g đối với phép biến đổi T với hàm trọng  .    : 0 . x x         1 L  là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   ;   sao cho:   f x dx      (xem [3]).    1 L   là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   0;  sao cho:   0 f x dx     (xem [3]). 6    p L   là tập hợp tất cả các hàm p f xác định trên   0;  sao cho:   0 p f x dx     (xem [3]).  1 1 , L x         là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   0;  sao cho:   0 1 f x dx x     .  1 3 1 ,L x         là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   0;  sao cho:   3 0 1 f x dx x     .  3 1 3 1 , x L x            là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   0;  sao cho:   3 3 0 1 x f x dx x      . 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân nói chung và lý thuyết về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân nói riêng đã và đang được phát triển rất mạnh mẽ thu hút được các nhà toán học trong nước và thế giới quan tâm. Lý thuyết về phép biến đổi tích phân cũng như tích chập đối với phép biến đổi tích phân đóng một vai trò rất quan trọng trong toán học giải tích cũng như nhiều ngành toán học khác và đặc biệt cho nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý lý thuyết, trong cơ học… Lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân bắt đầu được nghiên cứu từ khoảng thế kỷ XIX. Đầu tiên là tích chập của phép biến đổi Fourier (xem [12]): 1 ( * )( ) ( ) ( ) , 2 f g x f x y g y dy       1 , ( ) f g L     (0.1) tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa ( * )( ) ( )( )( )( ).F f g y Ff y Fg y (0.2) Sau tích chập của phép biến đổi tích phân Fourier là tích chập cho phép biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Kontorovich – Lebedev, biến đổi Stieltjes…(xem [12]). Năm 1951 lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N.Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine cho hai hàm   1 ,f g L    (xem [12]):          0 1 . 2            f g x f y g x y g x y dy  (0.3) Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: 8         , 0.    s s c F f g y F f y F g y y (0.4) Trong khoảng thời gian này cũng đã có một số kết quả về tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân theo chỉ số như phép biến đổi G, phép biến đổi H và phép biến đổi Kontorovich – Lebedev. Đến năm 1998 V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo xây dựng tích chập suy rộng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ 1 2 3 , ,K K K với hàm trọng ( )y  được tóm tắt bằng đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [7]): 1 2 3 ( * )( ) ( )( )( )( )( ).K f g y y K f y K g y    (0.5) Từ đó đến nay đã có một số kết quả nghiên cứu về tích chập suy rộng với hàm trọng nhờ kết quả nói trên. Và đã cho những ứng dụng phong phú, chẳng hạn: giải đóng được phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập. Ngoài ra trong một số kết quả nghiên cứu gần đây đã và đang giải được một số lớp phương trình và hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel (xem [8], [9], [10], [15]). Với hướng nghiên cứu như vậy, dưới sự hướng dẫn của TS. Trịnh Tuân tôi đã chọn hướng nghiên cứu về tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Kontorovich – Lebedev và ứng dụng. Luận văn được chia thành 3 chương và phần tài liệu tham khảo. Để tiện cho quá trình viết luận văn chúng tôi đã đưa thêm phần các ký hiệu toán học dùng cho luận văn ở trước lời nói đầu. 2. Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng công thức tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine và Kontorovich – Lebedev, chứng minh sự tồn tại của tích chập này trong không gian 1 ( ) L   và từ đó nhận được đẳng thức nhân tử hóa của chúng. 9 - Nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy rộng này trên không gian 1 ( ) L   . - Ứng dụng để giải đóng một số lớp hệ phương trình tích phân dạng chập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu cụ thể một số phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev… - Nghiên cứu một số tính chất đối với phép biến đổi này như tích chập Fourier sine, tích chập Fourier cosine, tích chập Kontorovich – Lebedev… - Từ đó xây dựng tích chập suy rộng mới đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Kontorovich – Lebedev…, nghiên cứu tính chất toán tử của chúng và ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu tích chập suy rộng đối với phép biến đổ i tích phân Fourier sine và Kontorovich – Lebedev bao gồm định nghĩa, tính chất, chứng minh sự tồn tại của định nghĩa và các tính chất của tích chập suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như các không gian hàm, lý thuyết toán tử. - Sử dụng các kỹ thuật về phép biến đổi tích phân cũng như các đánh giá bất đẳng thức đối với các phép biến đổi tích phân đó. - Sử dụng một số kiến thức về hàm đặc biệt: chẳng hạn hàm Macdonald… 6. Dự kiến những đóng góp mới: Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống về tích chập suy rộng nói chung và tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev nói riêng, nghiên cứu được ứng dụng của nó trong việc giải hệ phương trình tích phân dạng chập. 10 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tóm tắt lại một số kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân nói trên. Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng. Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập, tích chập suy rộng làm ví dụ minh họa và các tích chập này còn dùng để nghiên cứu chương 2, chương 3. Nội dung chính của chương này được trình bày dựa vào các tài liệu (xem [3], [5], [6], [7], [8], [10], [12], [13], [14]). 1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất: 1.1.1. Phép biến đổi Fourier Cho hàm   1 f L  Định nghĩa 1.1.1. (Xem [5], [12]) Phép biến đổi Fourier của hàm f là một hàm, kí hiệu F f và được xác định bởi công thức:      1 2 ixy Ff y e f x dx       với y  (1.1) Ở đó F đươc gọi là toán tử Fourier hoặc phép biến đổi Fourier. Nhận xét 1.1.1. - Vì 1 iyx e   và   1 f L  nên tích phân (1.1) hội tụ với mỗi x  . - F là các toán tử tích phân tuyến tính. 11 1.1.2. Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Cho hàm   1 f L    Định nghĩa 1.1.2. (Xem [5], [12]) Phép biến đổi Fourier cosine   c F của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức:      0 2 cos . c F f y xy f x dx     , với 0 y  (1.2) Định nghĩa 1.1.3. (Xem[5], [12]) Phép biến đổi Fourier sine   s F của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức:      0 2 sin . s F f y xy f x dx     , với 0 y  (1.3) Nhận xét 1.1.2. Vì     cos 1, sin 1 xy xy   và   1 f L    nên các tích phân (1.2), (1.3) hội tụ với mỗi x   . 1.1.3. Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev Cho hàm   1 f L    Định nghĩa 1.1.4. (Xem [5], [14]) Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev   K của một hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức:      1 2 0 2 ( ) , iy Kf y K x x f x dx      y>0 (1.4) ở đó ( ) iy K x là hàm Macdonald ( xem 1.98 [14], p.14)     .cosh 0 cos , 0, 0 x u iy K x e yu du y x       . (1.5) [...]... trình bày một số phép biến đổi tích phân dùng trong luận văn đó là các phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev Đồng thời trình bày một số tích chập và tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân này Qua đó cũng muốn nhấn mạnh sự khác biệt rõ ràng giữa tích chập và tích chập suy rộng 20 Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN... 15 Một số điều đáng nói ở đây là các tích chập (1.8), (1.10) và (1.13) ở trên đều có chung một đặc điểm là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân tham gia Do đó ít nhiều làm hạn chế ứng dụng của nó Phần trình bày tiếp theo chúng tôi sẽ nêu một số tích chập suy rộng như là những ví dụ minh họa cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.17) đồng thời các tích chập suy rộng. .. tích chập với hàm trọng:       f * g  , thỏa đẳng thức nhân tử hóa: K1  f * g  ( y )  ( K1 f )( y )( K1 g )( y )      Tổng số có 24 tích chập tổng quát và 3 tích chập (chưa kể đến các hàm trọng) Để minh họa cho các sơ đồ về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau sau đây ta xét một số ví dụ: Ví dụ 1.5 (Xem [9]) Cho f , g  L1    Tích chập suy. .. ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE ( Fs ) VÀ KONTOROVICH-LEBEDEV ( K ) Sử dụng kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của ba phép biến đổi tích phân K1, K2, K3 (xem [7]) Chương này chúng tôi trình bày tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân Fourier sine và Kontorovich – Lebedev (2.1) Chứng minh sự tồn tại của tích chập (2.1) trong không gian L1   và nhận được đẳng thức nhân tử hóa... Định lí được chứng minh Đây là định lý chính trong chương 2 và hầu hết các kết quả nhận được sau đây đều phải sử dụng định lý này 2.2.2 Các tính chất Mệnh đề sau đây cho ta mối quan hệ giữa tích chập suy rộng mới (2.1) với một số tích chập đã biết  Mệnh đề 2.1: (Xem [16])Cho f ( x)  L1    , 1   và g  L1  x3    , tích chập suy rộng (2.1) có thể biểu diễn dưới dạng:  f * g  x  2  ... chúng tôi đưa ra một lớp hệ phương trình tích phân dạng chập sau đó sử dụng công cụ tích chập suy rộng (2.1) và một số tích chập khác để giải đóng hệ phương trình tích phân dạng chập Nội dung chính của chương này là các định lý 3.1, 3.2 và 3.3 Kết quả của chương 3 được trình bày từ tài liệu (Xem [16] ) 3.1 Hệ phương trình tích phân tổng quát dạng chập: f  x    ( x, , , y) g ( y)dy  h( x) (3.1)... xác định bởi (1.2), (1.3), (1.4), (1.6) Nhận xét: Các tích chập suy rộng (1.15), (1.18), (1.20), (1.21) hoàn toàn khác biệt rõ ràng so với các tích chập (1.8), (1.10) và (1.13) ở chỗ là trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng có nhiều phép biến đổi tích phân khác nhau tham gia Và các tích chập này không có tính giao hoán, kết hợp và đặc biệt tích chập (1.20), (1.21) còn không có phần tử đơn vị trên không... signvg( v )dv]du  0u  Sử dụng (1.8) ta có:  f * g  x  2    1 u cosh v  u f u[(signvg( v )*e )(x)]du F 0 Mệnh đề được chứng minh Các kết quả sau đây cho ta thấy tích chập suy rộng mới (2.1) không có tính chất giao hoán, tính chất kết hợp nhưng lại cho ta các quan hệ với các tích chập khác  Mệnh đề 2.2.(Xem [16]) Cho f , g  L1    1  x3   , tích chập suy rộng , x3   (2.1) không... g  y    Fs f  y  Fc g  y  , y  0 1 (1.16) Đây cũng chính là tích chập suy rộng đầu tiên được I.N.Sneddon công bố năm 1951 Đến năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo (xem[7]) đã cho kết quả xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân và được tóm tắt như sau: Xét các phép biến đổi tích phân K j : U j ( X j )  V (Y ), j  1,2,3 f j ( y )  ( K j f j )(... tích chập đã được biết đến là các tích chập không có hàm trọng Đến năm 1967, V.A.Kakichev (xem [6]) đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến đổi    tích phân K với hàm trọng   y  , kí hiệu  f  g  và thỏa mãn đẳng thức   nhân tử hóa:    K  f * g   y     y  Kf  y  Kg  y    (1.12) Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng và . 1.2. Một số ví dụ về tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổi tích phân 13 Kết luận chương 1 19 Chương 2. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân. cosine, Kontorovich – Lebedev, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân nói trên. Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng với hàm trọng. Sau mỗi sơ. hạn chế ứng dụng của nó. Phần trình bày tiếp theo chúng tôi sẽ nêu một số tích chập suy rộng như là những ví dụ minh họa cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.17) đồng thời các tích chập suy rộng này