Về một tích chập suy rộng mới và ứng dụng

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS.Trịnh Tn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người ln quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Sự tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình học tập làm luận văn giúp trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy, giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhiệt tình cung cấp tri thức khoa học giúp tơi nâng cao trình độ, hồn thành tốt q trình học tập làm luận văn Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường THPT Việt Trì quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để yên tâm học tập suốt hai năm vừa qua Cuối cùng, xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên kịp thời để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 07 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Thu Oanh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS.Trịnh Tuân Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thị Thu Oanh MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Các ký hiệu dùng luận văn Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Một số phép biến đổi tích phân tính chất 10 1.1.1 Phép biến đổi Fourier .10 1.1.2 Phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine 11 1.1.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev 11 1.2 Một số ví dụ tích chập tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân .13 Kết luận chương 19 Chương Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine Kontorovich-Lebedev 20 2.1 Một số định nghĩa 20 2.1.1 Một số không gian hàm dùng luận văn 20 2.1.2 Định nghĩa 21 2.2 Đẳng thức nhân tử hóa tính chất 22 2.2.1 Đẳng thức nhân tử hóa 2.2.2 Các tính chất 28 Kết luận chương 36 Chương 3: Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân 37 3.1 Hệ phương trình tích phân tổng qt dạng chập .37 3.2 Các ví dụ minh họa 42 Kết luận chương 52 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  F  F : phép biến đổi Fourier : phép biến đổi Fourier sine s F  : phép biến đổi Fourier cosine c  K : phép biến đổi Kontorovich-Lebedev  L : phép biến đổi Laplace  J : phép biến đổi Hankel  f  : Tích chập hai hàm f , g g   g    f : Tích chập hai hàm f , g với hàm trọng    : Tích chập hai hàm f , g phép biến đổi T   fT  g       g :Tích chập hai f hàm  T  f , g phép biến đổi T với hàm trọng   □  L1  □  x □ : x 0  tập hợp tất hàm f xác định ;  cho:   f x dx  (xem [3])     L1  □ tập hợp tất hàm f xác định cho:  0;     f x dx  (xem [3])  Lp  □  tập hợp tất hàm f p xác định  0;      ,  L   f p x dx (xem [3])   □   là tập hợp tất hàm f xác định  0;   x   cho:  cho: f x x dx   L □ , tập hợp tất hàm f xác định  0;   3 1  x     cho: □   f   tập hợp tất hàm f xác định  0; x3      cho: x  dx  3x  , L  x3   x x 3 f x dx  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân nói chung lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân nói riêng phát triển mạnh mẽ thu hút nhà toán học nước giới quan tâm Lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng tốn học giải tích nhiều ngành tốn học khác đặc biệt cho nhiều ứng dụng quan trọng vật lý lý thuyết, học… Lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân bắt đầu nghiên cứu từ khoảng kỷ XIX Đầu tiên tích chập phép biến đổi Fourier (xem [12]): ( f * g)(x)  f (x y)g( y)dy, f , g  L (□ )  (0.1)  2 tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (0.2) F ( f * g)( y) (Ff )( y)(Fg)( y) Sau tích chập phép biến đổi tích phân Fourier tích chập cho phép biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, biến đổi Hilbert, biến đổi Kontorovich – Lebedev, biến đổi Stieltjes…(xem [12]) Năm 1951 lần nhà toán học người Mỹ I.N.Sneddon xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine cho hai hàm f , g L1  □ (xem [12]):   f g  x  2  f y g x y g x  y dy (0.3) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fs f g y Fs f y Fc g y  ,y 0 (0.4) Trong khoảng thời gian có số kết tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân theo số phép biến đổi G, phép biến đổi H phép biến đổi Kontorovich – Lebedev Đến năm 1998 V.A.Kakichev Nguyễn Xuân Thảo xây dựng tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân K1, K2 , K3 với hàm trọng ( y) tóm tắt đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [7]): (0.5)  K1 ( f * g)( y) ( y)(K2 f )( y) (K3 g)( y) Từ đến có số kết nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng nhờ kết nói Và cho ứng dụng phong phú, chẳng hạn: giải đóng phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập Ngoài số kết nghiên cứu gần giải số lớp phương trình hệ phương trình với nhân Toeplitz – Hankel (xem [8], [9], [10], [15]) Với hướng nghiên cứu vậy, hướng dẫn TS Trịnh Tuân chọn hướng nghiên cứu tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Kontorovich – Lebedev ứng dụng Luận văn chia thành chương phần tài liệu tham khảo Để tiện cho q trình viết luận văn chúng tơi đưa thêm phần ký hiệu toán học dùng cho luận văn trước lời nói đầu Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng cơng thức tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine Kontorovich – Lebedev, chứng minh tồn tích chập khơng gian L1 (□ )  chúng từ nhận đẳng thức nhân tử hóa - Nghiên cứu tính chất tốn tử tích chập suy rộng khơng gian L1 (□  ) - Ứng dụng để giải đóng số lớp hệ phương trình tích phân dạng chập Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu cụ thể số phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev… - Nghiên cứu số tính chất phép biến đổi tích chập Fourier sine, tích chập Fourier cosine, tích chập Kontorovich – Lebedev… - Từ xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Kontorovich – Lebedev…, nghiên cứu tính chất tốn tử chúng ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine Kontorovich – Lebedev bao gồm định nghĩa, tính chất, chứng minh tồn định nghĩa tính chất tích chập suy rộng Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng số công cụ giải tích hàm khơng gian hàm, lý thuyết tốn tử - Sử dụng kỹ thuật phép biến đổi tích phân đánh giá bất đẳng thức phép biến đổi tích phân - Sử dụng số kiến thức hàm đặc biệt: chẳng hạn hàm Macdonald… Dự kiến đóng góp mới: Luận văn trình bày cách có hệ thống tích chập suy rộng nói chung tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich – Lebedev nói riêng, nghiên cứu ứng dụng việc giải hệ phương trình tích phân dạng chập Fsk y  22 Fs q  y  s  F    g x k x s   *  Vì *h  y F k   *h     *q y , y >            k *q  *h x (x)   L 2    *q 1  *h Từ công thức (3.6), (3.7) cho ta thấy nghiệm  x1 (□  ) (3.7) f , g nhận biểu thức giải tích biểu diễn thơng qua tích chập (2.1) số tích chập biết Mà tích chập thuộc nhận hoàn toàn thuộc L  □ L1  □ do nghiệm    Định lí chứng minh Ví dụ 2: (Xem [16]) Xét hệ phương trình tích phân:  f x 1 1 x,u g u  du k x, x > 0,  3 3 x, v f  v  dv g x k x, Ở (3.8) x> 0  u   x, 1  e u coshx v eu.coshx v v  dv; u 4 Và  3 x, v   2   u cosh( x t )  (u){[sinh(x t)e sinh(x  t)e u cosh( x t ) ] 0 [sign(v t)( v t ) (v t)]}dudt, x 0   Trong , k,, h, hàm cho trước, L1 □ , ; x      , k,, h 1 , số; f , g hàm L □ L1 □ , 1 ; 2 x  cần tìm Định lí 3.3 (Xem [16])  1  12 Fc * *   4 y 0,y >   xác định hệ (3.8) có nghiệm thuộc L1  □ Với điều kiện  f (3.9)  xh x 1 * k x h*l  (x) 1 * k  l x,            k g x      h* x k *l (x) *l     x   x    h*   * * 2     31       1  với l L1 xác định  □     12 Fc * *   y   (Fcl)( y),  1   12 Fc * *   y   1 1   Trong tích chập  * , ..,    ,3         định (2.1), (1.15), (1.20), (1.21) (1.18) Chứng minh  xác   Hệ (3.8) viết dạng f x 1 * g x h x  ,   1 f * x g x k x  , *         x > Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2), (1.16), (1.22), (1.23) (1.19) ta có Fs f y 1 Ky Fs g y Fs h y  , 21( y)(K)( y)Fc  y > yFs g f * (3.10) y  Fs k y  , Để tìm (Fs f )( y) (Fs g)( y)  từ hệ (3.10) ta có định thức 1 21 ( y)(K )( y) (Fs) y  K  y  1 12 y Ky Fs * y   1  1 12 Fc *  *   4y 0,   y > Suy  1   12 Fc * *   y  1    1   12 Fc *   *   y  Theo định Wiener-Levi [4], với điều kiện (3.9) tồn hàm cho Do    12 Fc * *   y   (Fc l)( y)  1   12 Fc * *   y    1 F l y  c    l(x) L1  □  Xét định thức Fs h  1 Ky  y 1  s  F k y   Fs h y 1 (K )( y)(Fsk ) y  Fs h y 1Fs * k y  Do 1 F l  ( y)F h y Fs f y  c s   s F * k y   Fs h y 1Fs * k y Fcl Fs h  y  1  Fcl y Fs (* k)( y)  Fs h y 1Fs * k  y Fs h*l y  1Fs * k *l  ( y), Suy f y 0 xhx *1 k x hl1  x1 * k l x  L □   (3.11) Tương tự ta xét định thức F h y  s    ( y)(K)( y)(F  )( y) s F k y  s Fsk  ( y) 21 ( y)(K)( y) Fs ( y) Fs h  ( y) Fs k  ( y) 21 ( y)(K2)( y)Fc y)  k  F y  F s  s  *  h*  y    1   h*( Do F g y   s   1 F l y   F k y F    s  c F k y  F  1  * y k      y)FF l  (  s s 1  F h*  Suy g x k  x      y     y F l  F c s   y    y F  hl s  h* x  k *l  (x)      y >  *l , y  * s    1       h*     h*  * s h * c s        F k Fy 1 h*   *y   s s     1 *         *lx  L  h* *        □ Từ công thức (3.11), (3.12) cho ta thấy nghiệm   (3.12) f , g nhận  biểu thức giải tích biểu diễn thơng qua tích chập (2.1) số tích chập biết Mà tích chập thuộc nhận hồn tồn thuộc L □ 1 Định lí chứng minh   L1  □ , nghiệm Kết luận chương - Trong chương muốn trình bày hướng ứng dụng sử dụng tích chập tích chập suy rộng để giải đóng hệ phương trình tích phân dạng chập - Trình bày hệ hai phương trình tích phân dạng chập tổng quát sau nghiên cứu giải đóng hệ phương trình cụ thể cơng cụ tích chập suy rộng (2.1) Các định lý chương định lý 3.2, định lý 3.3 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fs , K đưa ứng dụng để giải lớp hệ phương trình tích phân dạng chập Những kết luận văn đạt là:  Xây dựng tích chập suy rộng (2.1) nghiên cứu tồn chúng không gian L1  □  đẳng thức nhân tử hóa   Nghiên cứu tính chất đại số tốn tử chập (2.1) khơng gian L1  □    Tìm mối liên hệ tích chập suy rộng với số tích chập tích chập suy rộng biết  Ứng dụng tích chập (2.1) để giải nghiệm đóng lớp hệ phương trình tích phân dạng chập Luận văn mở số hướng nghiên cứu là:  Xây dựng đa chập phép biến đổi tích phân F , F , K (Xem [17]) s c  Nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng chập tích chập suy rộng (2.1) (Xem [18]) Tuy nhiên thời gian trình độ có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.Tài liệu Tiếng Việt [1] Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXB Giáo dục [2] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục [3] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh [4] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science publishing House, Moscow [5] H Bateman and A Erdelyi (1954), Tables of Integral Tranforms, V Mc Graw – Hill, New York [6] V A Kakichev (1967), On the Convolution for Integral Transforms, Izv AN BSSR, Ser Fiz.Mat, No 2, 48-57 [7] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design Method for the Generalized Integral Convolution, Izv Vuzov Mat, No 1, 3140 (In Russian) [8] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1997), Convolution for Integral Transform and their Application, Russian Academy Moscow [9] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms, EastWest J.Math No 1, 85-90 [10] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolution of Interal Kontorovich- Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp, Vol 25, 37-51 [11] Trinh Tuan (2007), On the Generalized Convolution with a weight fuction for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich – Lebedev integral transformations, Nonlinear Funct Anal & Appl, Vol 12 No 2, pp 325-341 [12] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, Mc Gray Hill, Newyork [13] S B Yakubovich (1987), On the Convolution for KontorovichLebedev Integral Transform and its Application to Integral Transform, Dokl Akad Nauk BSSR 31, 101-103 (in Russian) [14] S B Yakubovich (1996), Index Transforms World Scientific Publishing Company, Singapore, New Jersey, London and Hong Kong [15] H J Glaeske, A P Prudnikov, K A Skornik (2006), Operational Calculus and Related Topics, Taylor and Francis, LLC [16] Trinh Tuan, Nguyen Xuan Thao, Nguyen Van Mau (2010), On the Generalized Convolution for the Fourier Sine and the KontorovichLebedev transforms, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 35, No 2, pp.303-317 [17] Trinh Tuân and Nguyen Xuan Thao (2011), A New Polyconvolution and Its Application to Solving a Class of Toeplitz Plus Hankel Integral Equations and Systems of Integral Equations, Vietnam Journal of Mathematics 39: 2, 217 – 235 [18] Nguyen Thanh Hong, Trinh Tuân and Nguyen Xuan Thao (2012), On the Fourier cosine,Kontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics Praha (Acceptable) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ======== oOo======== NGUYỄN THỊ THU OANH VỀ MỘT TÍCH CHẬP SUY RỘNG MỚI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ===========oOo========== NGUYỄN THỊ THU OANH VỀ MỘT TÍCH CHẬP SUY RỘNG MỚI VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Tuân HÀ NỘI, 2012 ... Lebedev, tích chập tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân nói Đặc biệt sơ đồ kiến thiết tích chập tích chập suy rộng với hàm trọng Sau sơ đồ chúng tơi trích dẫn số tích chập, tích chập suy rộng. .. ràng tích chập tích chập suy rộng 20 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE ( Fs ) VÀ KONTOROVICH-LEBEDEV ( K ) Sử dụng kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng. .. biến đổi tích phân tham gia Do nhiều làm hạn chế ứng dụng Phần trình bày chúng tơi nêu số tích chập suy rộng ví dụ minh họa cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.17) đồng thời tích chập suy rộng dùng