Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

Tích chập của phép biến đổi tích phânLaplace cũng đã được xây dựng xem [11], [12] “Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổitích phân Laplace và ứng dụng ”.. Luận văn được t

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Trịnh Tuân, ngườithầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báutrong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập, vượt qua những khó khăn trongchuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắcnhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đãgiúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,bạn bè đồng nghiệp trường THPT Tam Nông, Phú Thọ đã quan tâm,động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ vàhoàn thành luận văn này

Hà Nội , ngày 20 tháng 8 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hòa

i

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trịnh Tuân.

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiệnluận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn

Mở đầu 1

1.1 Một số phép biến đổi tích phân và tính chất 51.1.1 Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 51.1.2 Phép biến đổi Laplace 81.2 Tích chập và tích chập suy rộng 91.2.1 Tích chập 91.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép

biến đổi tích phân 12

2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi

2.1 Một số không gian hàm 172.2 Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép

biến đổi tích phân Laplace và đẳng thức nhân tử hóa 192.2.1 Định nghĩa 192.2.2 Các đẳng thức nhân tử hóa 192.3 Các tính chất toán tử của tích chập suy rộng với hàm

trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace 25

iii

2.3.2 Định lý kiểu Titchmarch 332.3.3 Các tính chất khác 35

F : Phép biến đổi Fourier

F−1 : Phép biến đổi Fourier ngược

Fs : Phép biến đổi Fourier sine

Fs−1 : Phép biến đổi Fourier sine ngược

Fc : Phép biến đổi Fourier cosine

Fc−1 : Phép biến đổi Fourier cosine ngược

K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev

K−1 : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược

L : Phép biến đổi Laplace

L−1 : Phép biến đổi Laplace ngược

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân được ra đời từ rất sớm và đóng vai tròquan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khác,đặc biệt trong việc giải các giải các bài toán với điều kiện ban đầu vàđiều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,phương trình tích phân và các bài toán của vật lý toán Phép biến đổitích phân đầu tiên là phép biến đổi Fourier được khai sinh bởi nhà toánhọc và vật lý nổi tiếng người Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiếptheo là sự ra đời của các phép biến đổi Laplace, Melin, Hankel

Từ những năm đầu của thế kỉ 20 đã xuất hiện một hướng nghiêncứu mới là xây dựng tích chập đối với các phép biến đổi tích phân vàứng dụng Lịch sử của hướng nghiên cứu này có thể tính bằng các mốcthời gian chính như sau

Từ những năm 1951 trở về trước đó đã xây dựng được tích chậpđối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Melin (xem[11]).Đến năm 1951 lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N Sneddon đã xâydựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với phép biến đổi Fouriersine, Fourier cosine (xem [11]) Đến năm 1967 nhà toán học người Nga

V A Kakichev đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập với hàmtrọng (xem[6]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :

K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y)γĐến năm 1998 V A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựngđược sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phânbất kì K1, K2, K3 (xem [7]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :

K1

γ

(f ∗ g)(y) = γ(y)(K2f )(y)(K3g)(y)

Từ đó đến nay đã có một số kết quả nghiên cứu về tích chập suyrộng với hàm trọng, xem [12], [13], [14], [15], [16] Sự khác biết rõ rệtnhất của tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tửhóa của tích chập suy rộng có nhiều phép biến đổi tích phân tham gia.

Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn

Cùng với phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phânLaplace cũng ra đời rất sớm Tích chập của phép biến đổi tích phânLaplace cũng đã được xây dựng (xem [11], [12])

“Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổitích phân Laplace và ứng dụng ”

Luận văn được trình bày trong 52 trang A4 ngoài phần mở đầu.Luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức của các phép biến đổitích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace Tích chập của các phépbiến đổi tích phân đó và sơ đồ tích chập suy rộng có ví dụ minh họaChương 2 và chương 3 là nội dung chính của luận văn Trong chương

2 trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổiLaplace và nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng này

Chương 3: Trình bày ứng dụng của tích chập suy rộng với hàm trọngđối với phép biến đổi tích phân Laplace để giải đóng phương trình và hệphương trình tích phân dạng chập

Sau mỗi chương đều có kết luận và cuối cùng là kết luận của luận văn

Để tịên cho quá trình theo dõi luận văn chúng tôi có đưa thêmphần các kí hiệu toán học dùng trong luận văn vào trước lời nói đầu

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đốivới phép biến đổi tích phân biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tạicủa tích chập này trên không gian L1(R+) Từ đó nhận được đẳng thứcnhân tử hóa của chúng

+ Nghiên cứu một số tính chất toán tử, tính chất đại số của cáctích chập suy rộng này trên một số không gian hàm cụ thể

+ Ứng dụng tích chập này để giải đóng phương trình, hệ phươngtrình tích phân dạng chập

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đốivới phép biến đổi tích phân Laplace

+ Trình bày được định lý tồn tại các tích chập suy rộng này và từ

đó đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa của chúng

+ Nghiên cứu một số tính toán tử và tính chất đại số của tích chậpnày trên một số không gian hàm cụ thể

+ Ứng dụng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biếnđổi Laplace giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạngchập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biếnđổi tích phân Laplace bao gồm định nghĩa, đẳng thức nhân tử hoá, tínhchất và ứng dụng của tích chập này vào việc giải đóng phương trình và

hệ phương trình tích phân dạng chập

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng lý thuyết tích chập và tích chập suy rộng đối với cácphép biến đổi tích phân

+ Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như các không gianhàm, lý thuyết toán tử

6.Đóng góp mới

Luận văn trình bày một cách có hệ thống về tích chập suy rộng vớihàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và ứng dụng của tíchchập suy rộng mới để giải đóng phương trình tích phân và hệ phươngtrình tích phân dạng chập

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tóm tắt lại một sốkiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fouriercosine và Laplace, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổinói trên Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng cóhàm trọng Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều nêu một số tích chập, tíchchập suy rộng làm ví dụ minh hoạ và các tích chập này còn dùng đểnghiên cứu ở chương 2, chương 3

Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [2], [4],[6], [7], [8],[11]

1.1 Một số phép biến đổi tích phân và tính chất

1.1.1 Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine

Định nghĩa 1.1.1 (Xem[5], [11]) Phép biến đổi Fourier của hàm

f ∈ L1(R) là một hàm kí hiệu F f và được xác định bởi công thức

Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier

Và F có phép biến đổi Fourier ngược F−1được định nghĩa

Phép biến đổi Fourier ngược của một hàm được xác định bởi công thức



F−1fe

(x) = √1

∞

Z

0

sinxy ef (y)dy, x > 0 (1.6)Nhận xét 1.2 Vì | cos(xy)| 6 1, | sin(xy)| 6 1 và f (x) ∈ L1(R+) nên cáctích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đều hội tụ với mỗi x ∈ R

Z

0

n(Fcf )(Fcg)

o(y)cos(xy)dy (1.7)

= 2π

r2π

idξ

Định lý (1.1.2) ta chứng minh tương tự như định lý (1.1.1)

1.1.2 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.4 (Xem [4) Giả sử với mỗi hàm f (t) là hàm phức củabiến số thực t sao cho tích phân

Khi đó F (s) được gọi là phép biến đổi Laplace của hàm f (t) ( Hay gọi

là ảnh của phép biến đổi Laplace của hàm f(t))

Định lý 1.1.3 (Xem[4]) Nếu hàm F (s) là ảnh của hàm gốc f(t) vớichỉ số tăng p0 Thì tích phân

Định lý 1.1.4 (Xem [4]).(Tính giải tích của phép biến đổi Laplace)Nếu biến đổi Laplace F (s) của hàm gốc f (t) với chỉ số tăng p0 thì hàm

F (s) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Res > p0

Định lý 1.1.5 (Xem[4]).(Mellin) Cho hàm f (t) là hàm gốc với chỉ sốtăng p0 và F (s) là ảnh của nó Khi đó tại mọi điểm t mà f(t) liên tục,hàm f (t) được biểu diễn theo công thức

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U (X)vào đại số V (Y )

K : U (X) → V (Y )Tích chập của hai hàm f ∈ U1(X), g ∈ U2(X) đối với phép biến đổi K

là một hàm, kí hiệu (f ∗ g) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây đượcthỏa mãn

K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y)

Khi đó U (X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số

Cho đến nay hầu hết các phép biến đổi tích phân đã được xây dựngtích chập chẳng hạn như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fouriersine, phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổiStieltjes, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổiKontorovich-Lebedev,

Ví dụ 1.2.1 (Xem[11) Cho f, g ∈ L1(R+) Tích chập đối với phép biếnđổi tích phân Fourier cosine (1.3) của hai hàm f và g kí hiệu



f ∗ g

F c

(x),được xác định bởi công thức

Ví dụ 1.2.2 (Xem [11], [12]).Cho f, g ∈ L1(R+) Tích chập đối với phépbiến đổi tích phân Laplace (1.9) của hai hàm f và g được xác định bởicông thức



f ∗ g

L

(x) =

Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỉ trước, các tích chập đãđược biết đến là các tích chập không có hàm trọng Đến năm 1967, V.A.Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biếnđổi tích phân K với hàm trọng γ(y), kí hiệu

 γ

f ∗ g



và thoả mãn đẳng

thức nhân tử hóa K

 γ

f ∗ g

(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y)

Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã đượcxây dựng và nghiên cứu ( xem [6])

Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phép biến đổi tích phânFourier sine của hai hàm f và g vẫn chưa được xây dựng khi không cóhàm trọng γ(y) tham gia vào

2√2π

∞

Z

0

f (x)[g(x + 1 + t) + g(|x + 1 − t|)+ g(|x − 1 + t|) + g(|x − 1 − t|)]dt, x > 0 (1.16)Tích chập (1.16) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân

Các tích chập (1.10), (1.12), (1.14), (1.16) đều có một đặc điểmchung là trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phântham gia Do đó các tích chập này không phải là các tích chập suy rộng,điều đó ít nhiều làm hạn chế ứng dụng của nó Năm 1998, V.A.Kakichev

và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quát nhấtcủa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phânbất kì(xem[8]) Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tíchchập suy rộng như những ví dụ minh hoạ cho sơ đồ tích chập suy rộng(1.18) đồng thời các tích chập này còn được sử dụng trong chương 2,chương 3

1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến

đổi tích phân

Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo (xem[8]) đã chokết quả xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với 3 phép biếnđổi tích phân và được tóm tắt như sau:

Xét các phép biến đổi tích phân

Kj : Uj(Xj) → V (Y ), j = 1, 2, 3e

fj(y) = (Kjfj)(y) =

Z

X j

kj(y, xj)fj(xj)dxj ∈ V (Y )

Ở đó Uj(Xj) là các không gian tuyến tính, V(Y) là đại số

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập tổng quát đối với các phép biến đổi tíchphân K1, K2, K3 với hàm trọng γ1 của hai hàm f và g là biểu thức

f ∗ gγ , thỏa mãnđẳng thức nhân tử hóa

K1



f ∗ gγ (y) = γ(y)(K1f )(y)(K1g)(y)Tổng số có 24 tích chập tổng quát và 3 tích chập (chưa kể đến các hàmtrọng) Để minh họa cho các sơ đồ về tích chập suy rộng với hàm trọngđối với các phép biến đổi tích phân khác nhau sau đây ta xét một số vídụ:

Ví dụ 1.2.5 (Xem[8])Cho f, g ∈ L1(R+) Tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) (1.3) và Fourier sine (Fs)

(1.5) của hai hàm f và g, kí hiệu (f ∗ g

Nhận xét 1.3 Các tích chập suy rộng (1.20) và trong các kết quả [12],[13, [14], [15], [16] hoàn toàn khác biệt rõ ràng so với các tích chập (1.10),(1.12), (1.14) ở chỗ là trong đẳng thức nhân tử hoá của chúng có nhiềuphép biến đổi tích phân tham gia Các tích chập này không có tính chấtgiao hoán và kết hợp

Trong quá trình làm luận văn chúng tôi sử dụng thêm tích chậpsuy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine Đây cũngchính là tích chập suy rộng đầu tiên được I.N Sneddon công bố năm

1951 (xem [11])

Ví dụ 1.2.6 (Xem [11]) Cho f, g ∈ L1(R+) Tích chập suy rộng đốiphép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs)(1.5) và Fourier cosine (Fc) (1.3)của hai hàm f và g, kí hiệu (f ∗ g

Fs(f ∗ g

1

)(y) = (Fsf )(y)(Fcg)(y), ∀y > 0 (1.24)

KẾT LUẬN CHƯƠNG ITrong chương 1 chúng tôi đã trình bày một số kiến thức của cácphép biến đổi tích phân dùng trong luận văn đó là phép biến đổi tíchphân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, sơ đồ xây dựng tích chập vớihàm trọng và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổitích phân Đồng thời trình bày một số ví dụ về tích chập và tích chậpsuy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân này Qua đó chúngtôi cũng muốn nhấn mạnh sự khác biệt rõ ràng giữa tích chập và tíchchập suy rộng.

số không gian hàm cụ thể đó là L1(R+), Lα,βr (R+) và từ đó nhận đượcđẳng thức nhân tử hoá của chúng Đồng thời nghiên cứu một số tínhchất toán tử, tính chất đại số của các tích chập này trên một số khônggian hàm cụ thể Nội dung chính của chương dựa vào tài liệu [15]

Và L1(R) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định :

2.2 Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng

đối với phép biến đổi tích phân Laplace và đẳng

thức nhân tử hóa

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 (Xem [15]) Tích chập suy rộng với hàm trọng

γ(y) = e−µysiny, µ > 0 của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích

phân Fourier sine và Laplace được xác định như sau

γ(y) = e−µysiny, µ > 0 của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích

phân Fourier cosine và Laplace được xác định như sau

Định lý 2.2.1 (Xem [15]) Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm thuộc không

gian L1(R+) Khi đó tích chập suy rộng

γ

(f ∗ g)(1) thuộc L1(R+) và thoảmãn đẳng thức nhân tử hóa

(Fs

γ

(f ∗ g)(1))(y) = e−µysiny(Fcf )(y)(Lg)(y), ∀y > 0 (2.3)

(f ∗ g)(1)(x) =

r2π

ν + µ(ν + µ)2 + (x − 1 − u)2

6

6 2πµ

Z

−1+u

ν + µ(ν + µ)2 + t2dt

∞

Z

1+u

ν + µ(ν + µ)2 + t2dt

γ

f ∗ g)(1) ∈ L1(R+) (2.8)và

R3+

f (u)g(ν)e−(ν+µ)y

n[cos(x − 1 − u)y + cos(x − 1 + u)y]

− [cos(x + 1 − u)y + cos(x + 1 + u)y]odudνdy

= 2πZ

R3+

f (u)g(ν)e−(ν+µ)ysinxy.siny.cosuydudνdy

Z

0

(Fcf )(y)(Lg)(y)e−µysiny.sinxydy (2.9)

Đây là đẳng thức kiểu Parseval (2.4)

Từ (2.8) và (2.9) ta có được đẳng thức nhân tử hóa

γ

(f ∗ g)(2)(x) = −

r2π

Khi µ > 0, ν > 0 ta có

ν + µ(ν + µ)2 + (x − 1 − u)2

...

ν + µ(ν + µ)2 + (x − − u)2

Bây ta chứng minh tích chập (2.2) thoả mãn đẳng thức nhân tử hố(2.10) Ta có

∞

Z

−1+u...

R3+

f (u)g(ν)e−(ν+µ)ysinxy.siny.cosuydudνdy

Z... t2dt

γ

f ∗ g)(1) ∈ L1(R+) (2.8 )và

R3+

f (u)g(ν)e−(ν+µ)y

n[cos(x