Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Trịnh Tuân, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập, vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Tam Nông, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội , ngày 20 tháng 8 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hòa i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trịnh Tuân. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hòa ii Mục lục Mở đầu 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất . . . . . . . 5 1.1.1. Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 5 1.1.2. Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Tích chập và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace 17 2.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và đẳng thức nhân tử hóa . . 19 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Các đẳng thức nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Các tính chất toán tử của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace . . . . . . 25 iii 2.3.1. Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Định lý kiểu Titchmarch . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3. Các tính chất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Ứng dụng 38 3.1. Ứng dụng giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . 38 3.2. Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . 43 Tài liệu tham khảo 50 iv CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN F : Phép biến đổi Fourier F −1 : Phép biến đổi Fourier ngược F s : Phép biến đổi Fourier sine F −1 s : Phép biến đổi Fourier sine ngược F c : Phép biến đổi Fourier cosine F −1 c : Phép biến đổi Fourier cosine ngược K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev K −1 : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược L : Phép biến đổi Laplace L −1 : Phép biến đổi Laplace ngược (f ∗ g) : Tích chập của hai hàm f và g (f γ ∗ g) : Tích chập có hàm trọng của hai hàm f và g L 1 (R) : là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (−∞; +∞) sao cho +∞  ∞ |f(x)|dx < +∞ L α,β p (R + ) ≡ L p (R + , x α e −βx dx) với chuẩn được định nghĩa như sau f(x) L α,β p (R + ) =  ∞  0 |f(x)| p x α e −βx dx  1 p MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân được ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt trong việc giải các giải các bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân và các bài toán của vật lý toán. Phép biến đổi tích phân đầu tiên là phép biến đổi Fourier được khai sinh bởi nhà toán học và vật lý nổi tiếng người Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiếp theo là sự ra đời của các phép biến đổi Laplace, Melin, Hankel Từ những năm đầu của thế kỉ 20 đã xuất hiện một hướng nghiên cứu mới là xây dựng tích chập đối với các phép biến đổi tích phân và ứng dụng. Lịch sử của hướng nghiên cứu này có thể tính bằng các mốc thời gian chính như sau Từ những năm 1951 trở về trước đó đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Melin (xem[11]). Đến năm 1951 lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ I.N Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine (xem [11]). Đến năm 1967 nhà toán học người Nga V. A. Kakichev đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập với hàm trọng (xem[6]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau : K(f γ ∗ g)(y) = γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y) Đến năm 1998 V. A. Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng đối với 3 phép biến đổi tích phân bất kì K 1 , K 2 , K 3 (xem [7]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau : K 1 γ (f ∗ g)(y) = γ(y)(K 2 f)(y)(K 3 g)(y) 2 Từ đó đến nay đã có một số kết quả nghiên cứu về tích chập suy rộng với hàm trọng, xem [12], [13], [14], [15], [16]. Sự khác biết rõ rệt nhất của tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng có nhiều phép biến đổi tích phân tham gia. Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn. Cùng với phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Laplace cũng ra đời rất sớm. Tích chập của phép biến đổi tích phân Laplace cũng đã được xây dựng (xem [11], [12]) (f ∗ L g)(x) = x  0 f(x −t)g(t)dt, x > 0 Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá L(f ∗ L g)(y) = (Lf )(y).(Lg)(y). Cho đến thời điểm hiện nay vẫn chưa có một kết quả nào công bố về tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace ngoài tích chập cổ điển đã nêu ra ở trên Theo hướng nghiên cứu đó với mong muốn được tiếp tục được tìm hiểu tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân, dưới sự hướng dẫn của TS. Trịnh Tuân tôi đã chọn đề tài “Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và ứng dụng ”. Luận văn được trình bày trong 52 trang A4 ngoài phần mở đầu. Luận văn được chia thành 3 chương Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức của các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace. Tích chập của các phép biến đổi tích phân đó và sơ đồ tích chập suy rộng có ví dụ minh họa Chương 2 và chương 3 là nội dung chính của luận văn. Trong chương 2 trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace và nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng này. 3 Chương 3: Trình bày ứng dụng của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace để giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập Sau mỗi chương đều có kết luận và cuối cùng là kết luận của luận văn Để tịên cho quá trình theo dõi luận văn chúng tôi có đưa thêm phần các kí hiệu toán học dùng trong luận văn vào trước lời nói đầu 2. Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân biến đổi Laplace. Chứng minh sự tồn tại của tích chập này trên không gian L 1 (R + ). Từ đó nhận được đẳng thức nhân tử hóa của chúng . + Nghiên cứu một số tính chất toán tử, tính chất đại số của các tích chập suy rộng này trên một số không gian hàm cụ thể. + Ứng dụng tích chập này để giải đóng phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace. + Trình bày được định lý tồn tại các tích chập suy rộng này và từ đó đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa của chúng. + Nghiên cứu một số tính toán tử và tính chất đại số của tích chập này trên một số không gian hàm cụ thể. + Ứng dụng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace bao gồm định nghĩa, đẳng thức nhân tử hoá, tính chất và ứng dụng của tích chập này vào việc giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. 5. Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng lý thuyết tích chập và tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân. + Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như các không gian hàm, lý thuyết toán tử. 6.Đóng góp mới Luận văn trình bày một cách có hệ thống về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và ứng dụng của tích chập suy rộng mới để giải đóng phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tóm tắt lại một số kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và Laplace, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổi nói trên. Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng. Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều nêu một số tích chập, tích chập suy rộng làm ví dụ minh hoạ và các tích chập này còn dùng để nghiên cứu ở chương 2, chương 3. Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [2], [4], [6], [7], [8],[11]. 1.1. Một số phép biến đổi tích phân và tính chất 1.1.1. Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine Định nghĩa 1.1.1. (Xem[5], [11]). Phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L 1 (R) là một hàm kí hiệu F f và được xác định bởi công thức  f (x) = (F f) (x) = 1 √ 2π +∞  −∞ e −iyx f (y) dy x ∈ R (1.1) 5 [...]... tích chập và tích chập suy rộng Chương 2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace Sử dụng kĩ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của 3 phép biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 (xem [7]) Trong chương này chúng tôi trình bày các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tại của tích chập (2.1), (2.2) trong một số không gian hàm. .. các phép biến đổi tích phân dùng trong luận văn đó là phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, sơ đồ xây dựng tích chập với hàm trọng và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổi tích phân Đồng thời trình bày một số ví dụ về tích chập và tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân này Qua đó chúng tôi cũng muốn nhấn mạnh sự khác biệt rõ ràng giữa tích. .. tích chập với hàm trọng f ∗ g , thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ K1 f ∗ g (y) = γ(y)(K1 f )(y)(K1 g)(y) Tổng số có 24 tích chập tổng quát và 3 tích chập (chưa kể đến các hàm trọng) Để minh họa cho các sơ đồ về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau sau đây ta xét một số ví dụ: Ví dụ 1.2.5 (Xem[8])Cho f, g ∈ L1 (R+ ) Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích. .. và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì(xem[8]) Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tích chập suy rộng như những ví dụ minh hoạ cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.18) đồng thời các tích chập này còn được sử dụng trong chương 2, chương 3 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với. .. Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Stieltjes, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, Ví dụ 1.2.1 (Xem[11) Cho f, g ∈ L1 (R+ ) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (1.3) của hai hàm f và g kí hiệu f ∗ g (x), Fc được xác định bởi công thức ∞ 1 f ∗ g (x) = √ 2π Fc f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy x>0 (1.10) 0 Tích chập (1.10) thuộc... tham gia Các tích chập này không có tính chất giao hoán và kết hợp Trong quá trình làm luận văn chúng tôi sử dụng thêm tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine Đây cũng chính là tích chập suy rộng đầu tiên được I.N Sneddon công bố năm 1951 (xem [11]) Ví dụ 1.2.6 (Xem [11]) Cho f, g ∈ L1 (R+ ) Tích chập suy rộng đối phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fs )(1.5) và Fourier... ) Tích chập của hai hàm f ∈ U1 (X), g ∈ U2 (X) đối với phép biến đổi K là một hàm, kí hiệu (f ∗ g) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được thỏa mãn K(f ∗ g)(y) = (Kf )(y)(Kg)(y) 10 Khi đó U (X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số Cho đến nay hầu hết các phép biến đổi tích phân đã được xây dựng tích chập chẳng hạn như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier sine, phép biến đổi. .. các phép biến đổi tích phân Năm 1998, V.A.Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo (xem[8]) đã cho kết quả xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với 3 phép biến đổi tích phân và được tóm tắt như sau: Xét các phép biến đổi tích phân Kj : Uj (Xj ) → V (Y ), j = 1, 2, 3 kj (y, xj )fj (xj )dxj ∈ V (Y ) fj (y) = (Kj fj )(y) = Xj Ở đó Uj (Xj ) là các không gian tuyến tính, V(Y) là đại số Định nghĩa 1.2.2 Tích chập. .. r α −βx |f (x)| x e = 0 dx 1 r 1 p 19 2.2 Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và đẳng thức nhân tử hóa 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 (Xem [15]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy siny, µ > 0 của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine và Laplace được xác định như sau ∞ ∞ γ ν+µ ν+µ + (ν + µ)2 + (x − 1 − u)2 (ν + µ)2 +... (y) = siny(Fs f )(y)(Fs g)(y), y > 0 (1.15) Fs Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine của hai hàm f và g vẫn chưa được xây dựng khi không có hàm trọng γ(y) tham gia vào Ví dụ 1.2.4 (Xem [6]).Cho f, g ∈ L1 (R+ ) Tích chập có hàm trọng γ2 (y) = cosy của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc ) (1.3) được xác định như sau ∞ γ2 1 f ∗ g (x) . về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace và nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng này. 3 Chương 3: Trình bày ứng dụng của tích chập suy rộng với hàm trọng đối. rộng có nhiều phép biến đổi tích phân tham gia. Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn. Cùng với phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Laplace cũng ra. 12 2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace 17 2.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng