Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna thay giáo TS Tr%nh Tuân, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý báu hoc t¾p nghiên cỳu khoa hoc Thay luụn đng viờn v khớch lắ đe tác giá vươn lên hoc t¾p, vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giỏm hiắu trũng hoc S pham H Nđi 2, phòng Đào tao sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá suot q trình hoc t¾p Tác giá xin chân cám ơn Ban giám hi¾u, thay giáo, ban bè đong nghi¾p trưòng THPT Tam Nơng, Phú Tho quan tõm, đng viờn v tao ieu kiắn e tỏc giỏ hồn thành khóa hoc Thac sĩ hồn thành lu¾n văn Hà N®i , ngày 20 tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thanh Hòa i LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Tr%nh Tuân Tôi xin cam đoan rang moi sn giúp đõ cho vi¾c thnc hi¾n lu¾n văn đưoc cám ơn thơng tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Hà N®i, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thanh Hòa ii Mnc lnc Má đau 1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 M®t so phép bien đoi tích phân tính chat 1.1.1 Phép bien đoi Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1.2 Phép bien đoi Laplace 1.2 Tớch chắp v tớch chắp suy rđng 1.2.1 Tích ch¾p 1.2.2 Tích chắp suy rđng vúi hm oi vúi cỏc phộp bien đoi tích phân 12 Tớch chắp suy rđng vỏi hm đoi vái phép bien đoi tích phân Laplace 17 2.1 M®t so khơng gian hàm 17 2.2 %nh ngha tớch chắp suy rđng vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace thúc nhân tú hóa 19 2.2.1 Đ%nh nghĩa 19 2.2.2 Các thúc nhân tú hóa .19 2.3 Các tính chat toỏn tỳ cna tớch chắp suy rđng vúi hm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace .25 iii 2.3.1 Các bat thúc 25 2.3.2 Đ%nh lý kieu Titchmarch 33 2.3.3 Các tính chat khác 35 Úng dnng 38 3.1 Úng dung giái phương trình tích phân 38 3.2 Úng dung giái h¾ phương trình tích phân 43 Tài li¾u tham kháo 50 iv CÁC KÍ HIfiU DÙNG TRONG LU¾N VĂN F F −1 : Phép bien đoi Fourier : Phép bien đoi Fourier ngưoc Fs : Phép bien đoi Fourier sine F s− Fc : Phép bien đoi Fourier sine ngưoc F c− K K−1 : Phép bien đoi Fourier cosine ngưoc L : Phép bien đoi Laplace L−1 : Phép bien đoi Laplace ngưoc (f ∗ g) : Tích ch¾p cna hai hàm f g (f ∗ g) : Tích ch¾p có hàm cna hai hàm f g L1(R) : t¾p hop tat cá hàm f xác đ%nh (−∞; +∞) +∞ ¸ cho |f (x)|dx < +∞ γ : Phép bien đoi Fourier cosine : Phép bien đoi Kontorovich-Lebedev : Phép bien đoi Kontorovich-Lebedev ngưoc ∞ e−β dx) vói chuan đưoc đ%nh nghĩa sau Lα, p (R+) ≡ Lp(R+, β α x x "f (x)"Lα,β p (R+) ∞ = ¸ |f (x)|pxα e−βx d x p1 Mé ĐAU Lý chon đe tài Phép bien đoi tích phân đưoc đòi tù rat sóm đóng vai trò quan trong toán hoc nhieu lĩnh vnc khoa hoc khác, đ¾c bi¾t vi¾c giái giái tốn vói đieu ki¾n ban đau đieu ki¾n biên cna phương trình vi phân, phương trình đao hàm riêng, phương trình tích phân tốn cna v¾t lý tốn Phép bien đoi tích phân đau tiên phép bien đoi Fourier đưoc khai sinh bói nhà tốn hoc v¾t lý noi tieng ngưòi Pháp Josepl Fourier (1768-1830), tiep theo sn đòi cna phép bien đoi Laplace, Melin, Hankel Tù nhung nm au cna the kớ 20 ó xuat hiắn mđt hưóng nghiên cúu mói xây dnng tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân úng dung L%ch sú cna hưóng nghiên cúu có the tính bang moc thòi gian sau Tù nhung năm 1951 tró ve trưóc xây dnng đưoc tích ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier, Laplace, Melin (xem[11]) Đen năm 1951 lan đau tiên nhà tốn hoc ngưòi My I.N Sneddon xây dnng oc tớch chắp suy rđng au tiờn oi vúi phép bien đoi Fourier sine, Fourier cosine (xem [11]) Đen năm 1967 nhà tốn hoc ngưòi Nga V A Kakichev xây dnng đưoc sơ đo kien thiet tích ch¾p vói hàm (xem[6]) đưoc tóm tat bang sơ đo sau : γ K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y) Đen năm 1998 V A Kakichev Nguyen Xuân Tháo xây dnng đưoc sơ đo kien thiet tích ch¾p suy r®ng đoi vói phép bien đoi tích phân bat kì K1, K2, K3 (xem [7]) đưoc tóm tat bang sơ đo sau : γ K1(f ∗ g)(y) = γ(y)(K2f )(y)(K3g)(y) Tù đen có m®t so ket quỏ nghiờn cỳu ve tớch chắp suy rđng vúi hàm trong, xem [12], [13], [14], [15], [16] Sn khác biet rõ r¾t nhat cna tích ch¾p tích ch¾p suy r®ng thúc nhân tú hóa cna tớch chắp suy rđng cú nhieu phộp bien oi tớch phân tham gia Vì v¾y vi¾c úng dung cna tích chắp suy rđng cng phong phỳ hn Cựng vúi phộp bien đoi tích phân Fourier, phép bien đoi tích phân Laplace đòi rat sóm Tích ch¾p cna phép bien đoi tích phân Laplace đưoc xây dnng (xem [11], [12]) x ¸ (f ∗ L g)(x) = f (x − t)g(t)dt, x > 0 Tích ch¾p thoá mãn thúc nhân tú hoá L(f ∗ g)(y) = (Lf )(y).(Lg)(y) L Cho đen thòi điem hi¾n van chưa có m®t ket q cơng bo ve tớch chắp suy rđng oi vúi phộp bien oi Laplace ngồi tích ch¾p co đien nêu ó Theo hưóng nghiên cúu vói mong muon đưoc tiep tuc oc tỡm hieu tớch chắp suy rđng cna phép bien đoi tích phân, dưói sn hưóng dan cna TS Tr%nh Tn tơi chon đe tài “Tích chắp suy rđng vỏi hm oi vỏi phộp bien đoi tích phân Laplace Nng dnng ” Lu¾n văn đưoc trình bày 52 trang A4 ngồi phan mó đau Lu¾n văn đưoc chia thành chương Chương 1: Trình bày tóm tat m®t so kien thúc cna phép bien đoi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace Tích ch¾p cna phép bien đoi tích phân ú v s o tớch chắp suy rđng cú vớ du minh hoa Chương chương n®i dung cna lu¾n văn Trong chương trình bày ve tớch chắp suy rđng vúi hm oi vúi phép bien đoi Laplace nghiên cúu tính chat cna tớch chắp suy rđng ny Chng 3: Trỡnh by ỳng dung cna tớch chắp suy rđng vúi hm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace đe giái đóng phương trình h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Sau moi chương đeu có ket lu¾n cuoi ket lu¾n cna lu¾n văn Đe t%ên cho q trình theo dõi lu¾n văn chúng tơi có đưa thêm phan kí hi¾u tốn hoc dùng lu¾n văn vào trưóc lòi nói đau Mnc đích nghiên cNu + Nghiên cúu cơng thúc tích ch¾p suy r®ng vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân bien đoi Laplace Chúng minh sn ton tai cna tích ch¾p khơng gian L1(R+) Tù nh¾n đưoc thúc nhân tú hóa cna chúng + Nghiên cúu m®t so tính chat tốn tú, tính chat so cna cỏc tớch chắp suy rđng ny m®t so khơng gian hàm cu the + Úng dung tích ch¾p đe giái đóng phương trình, h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Nhi¾m nghiên cNu + Nghiên cúu cơng thúc tích ch¾p suy r®ng vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace + Trình bày đưoc đ%nh lý ton tai cỏc tớch chắp suy rđng ny v tự ú i chúng minh thúc nhân tú hóa cna chúng + Nghiên cúu m®t so tính tốn tú tính chat so cna tớch chắp ny trờn mđt so khụng gian hàm cu the + Úng dung tích ch¾p suy r®ng vói hàm đoi vói phép bien đoi Laplace giái đóng phương trình h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiờn cỳu tớch chắp suy rđng vúi hm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace bao gom đ%nh nghĩa, thúc nhân tú hố, tính chat úng dung cna tích ch¾p vào vi¾c giái đóng phương trình h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Phương pháp nghiên cNu + Sú dung lý thuyet tớch chắp v tớch chắp suy rđng oi vúi cỏc phép bien đoi tích phân + Sú dung m®t so cơng cu cna giái tích hàm khơng gian hàm, lý thuyet tốn tú 6.Đóng góp mái Lu¾n văn trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong ve tớch chắp suy r®ng vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace úng dung cna tích ch¾p suy r®ng mói đe giái đóng phương trình tích phân h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Chương M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± Trong chương chúng tơi trình bày m®t cách tóm tat lai m®t so kien thúc ve phép bien đoi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine Laplace, tích ch¾p tích chắp suy rđng cna cỏc phộp bien oi núi trờn Đ¾c bi¾t sơ đo kien thiet tích ch¾p tớch chắp suy rđng cú hm Sau moi s o ú chỳng tụi eu nờu mđt so tớch chắp, tớch chắp suy rđng lm vớ du minh hoa v tích ch¾p dùng đe nghiên cúu ó chương 2, chương N®i dung cna chương đưoc dna vào tài li¾u [2], [4], [6], [7], [8],[11] 1.1 M®t so phép bien đoi tích phân tính chat 1.1.1 Phép bien đoi Fourier, Fourier sine Fourier cosine Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Xem[5], [11]) Phép bien đoi Fourier cúa hàm f ∈ L1(R) m®t hàm kí hi¾u Ff đưoc xác đ%nh bói cơng thúc +∞ f˜(x) = (F f ) (x) √ 2π = ¸ −∞ e−iy f (y) dy x x∈R (1.1) (Fcq)(y) = γ + Fc(ϕ ∗ ψ)(2) (y) (3.13) Tù (3.12), (3.13) q ∈ L1(R+) ta có (Fcf )(y) = (Fcg)(y) − (Fcg)(y)(Fcq)(y) = (Fcg)(y) − Fc(g ∗ q)y Fc Do f (x) = g(x) − (g ∗ q)(x), f (x) ∈ L1(R+) (3.14) Fc Nh¾n xét 3.4 Như v¾y nhò sú dung tích ch¾p (2.1), (2.2) ta giái đưoc nghi¾m cna phương trình (3.1), (3.8) v nghiắm (3.7), (3.14) nhắn oc ú õy l mđt bieu thúc giái tích bieu dien thơng qua m®t so tớch chắp ó biet Cỏc tớch chắp ny thuđc khụng gian L1(R+) nên nghi¾m nh¾n đưoc ó hồn ton thuđc khụng gian L1(R+) 3.2 ng dnng giỏi hắ phương trình tích phân Bài tốn : Xét h¾ phương trình tích phân sau  ¸∞   M1(x, u)g(u)du = f (x) + p(x)    g(x) ¸∞ + N1(x, u)f (u)du =  q(x) (3.15) é ¸ ∞ M1(x, u) = 2π0 − , ϕ(ν) (ν + ν+µ N1(x, u) = ν+µ µ)2 + (x − − ν+µ + (ν + µ)2 + (x − + u)2 , ν+µ dν u)2 + (ν + µ)2 + (x + − u)2 (ν + µ)2 + (x + + u)2 √ [ψ(u + x) + sign(u − x)ψ(|u − x|)] 2π Đ%nh lý sau chí sn ton tai nghi¾m cna h¾ (3.15) Đ%nh lý 3.2.1 (Xem[15]) Cho hàm ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1(R+) γ thóa mãn + Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) ƒ= 0, ∀y > h¾ (3.15) có nghi¾m nhat (f, g) thuđc L1(R+) ì L1(R+) v nghiắm oc bieu dien γ f (x) = p(x) − (q ∗ ϕ)(1)(x) − (p ∗ ξ)(x) + [(q ∗ ϕ)(1) ∗ ξ] (x), g(x) = q(x) − (ψ ∗ p)(x) − (q ∗ ξ)(x) + [(ψ ∗ p) ∗ ξ)](x) Fc γ Fc ó đây, ξ ∈ L1(R+) thóa mãn (Fcξ) = Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ + Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) Tích ch¾p ( ∗ ), (.c ∗ ), ( ∗ ) đươc đ%nh nghĩa (1.22), (1.10), (1.20) F Chúng minh Áp dung đ%nh lý (2.2.1), sú dung thúc nhân tú hóa (2.3) (1.21) đoi vói h¾ phương trình (3.15) ta đưoc (Fsf )(y) + e−µysiny(Fcg)(y)(Lϕ)(y) = (Fsp) (y) (Fcg)(y) + (Fsψ)(y)(Fsf )(y) = (Fcq)(y) (3.16) Giái h¾ phương trình tuyen tính (3.16) ta đưoc Fsp(y) − e−µy sin y(Fcq)(y)(Lϕ)(y) (Fsf )(y) − e−µy sin ψ)(y)(Lϕ)(y) = y(Fs γ = [(Fsp)(y) − Fs(q ∗ ϕ)(1) (y)][ ] + Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ = [(Fsp)(y) − Fs(q ∗ ϕ)(1)(y)] [1 − γ γ Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ ] (3.17) + Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) Theo đ%nh lý Wiener-Levy(xem [9, tr.63]), ton tai m®t hàm ξ ∈ L1(R+) cho ( Fcξ)(y) = γ Tù (3.17), (3.18), ta có (3.18) Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ + Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) γ (Fsf )(y) = [(Fsp)(y) − Fs(q ∗ ϕ)(1)(y)][1 − (Fcξ)(y)] γ γ = (Fsp)(y) − Fs(q ∗ ϕ)(1)(y) − Fs(p ∗ ξ)(x) + Fs[(q ∗ ϕ)(1) ∗ ξ](x) Do γ γ f (x) = p(x) − (q ∗ ϕ)(1)(x) − (p ∗ ξ)(x) + [(q ∗ ϕ)(1) ∗ ξ](x) 1 Tương tn ta có g(x) = q(x) − (ψ ∗ p)(x) − (q ∗ ξ)(x) + [(ψ ∗ p) ∗ ψ](x) 2 Fc F c Nh¾n xét 3.5 Nghi¾m (f,g) cna h¾ đưoc bieu dien thụng qua tớch chắp (2.1) v mđt so tớch chắp ó biet M cỏc tớch chắp ny thuđc khụng gian L1(R+) nờn nghiắm cna hắ (f, g) L1(R+) ì L1(R+) Bài tốn : Xét h¾ phương trình tích phân sau  ¸∞   M2(x, u)g(u)du = f (x) + p(x)    g(x) ¸∞ + N2(x, u)f (u)du =  q(x) (3.19) é () M2(x, u) = +à +à ( + µ)2 + (x − − u)2 2π0 N2(x, u) = , u)2 ν+µ − ν+µ (ν + µ)2 + (x − + , dν − (ν + µ)2 + (x + − u)2 − (ν + µ)2 + (x + + u)2 √ [ψ(u + x) − sign(u − x)ψ(|u − x|)] 2π Đ%nh lý 3.2.2 (Xem[15])Cho hàm ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x)∈ L1(R+) thóa γ mãn − Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) ƒ= 0, ∀y > h¾ (3.19) có nghi¾m nhat (f, g) thuđc L1(R+) ì L1(R+) v nghiắm oc bieu dien sau γ γ f (x) = p(x) − (q ∗ ϕ)(2)(x) + (p ∗ ξ)(x) − [(q ∗ ϕ)(2) ∗ ξ](x), Fc Fc g(x) = q(x) − (ψ ∗ p)(x) + (q ∗ ξ)(x) − [(ψ ∗ p) ∗ ξ](x) 1 1 ó đây, ξ ∈ L1(R+) thóa mãn (Fcξ) = γ Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ + Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) Tích ch¾p ( ∗ ), ( ∗ ), ( ∗ ) đươc đ%nh nghĩa (1.22), (1.10), F (1.20) c (2) Chúng minh Áp dung đ%nh lý (2.2.2), sú dung thúc nhân tú hóa (2.10) (1.24) đoi vói h¾ (3.19) ta đưoc (Fcf )(y) − e−µysiny(Fsg)(y)(Lϕ)(y) = (Fcp) (y) (Fsg)(y) + (Fsψ)(y)(Fcf )(y) = (Fsq)(y) (3.20) Giái h¾ phương trình tuyen tính (3.20) ta đưoc (Fcf )(y) = Fcp(y) + e−µy sin y(Fsq)(y)(Lϕ)(y) + e−µy sin ψ)(y)(Lϕ)(y) y(Fs γ ] = [(Fcp)(y) − Fc(q ∗ ϕ)(2) γ − Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) (y)][ γ γ = [(Fcp)(y) − Fc(q ∗ ϕ)(2)(y)] [1 + Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) γ ] (3.21) − Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) Theo đ%nh lý Wiener-Levy (xem [9, tr.63]), ton tai m®t hàm ξ ∈ L1(R+) cho γ (3.22) Fc(ψ ∗ ϕ)(2)(y) (Fcξ)(y) γ = − Fc(ψ ∗ ϕ)(2) (y) Tù (3.21), (3.22), ta có γ (Fcf )(y) = [(Fcp)(y) − Fc(q ∗ ϕ)(2)(y)][1 + (Fcξ)(y)] γ γ = (Fcp)(y) − Fc(q ∗ ϕ)(2)(y) + Fc(p ∗ ξ)(x) − Fc[(q ∗ ϕ)(2) ∗ ξ](x) Fc Do Fc γ γ f (x) = p(x) − (q ∗ ϕ)(2)(x) + (p ∗ ξ)(x) − (q ∗ ϕ)(2) ∗ ξ](x), f (x) ∈ L1(R+) Fc Fc Tương tn ta có g(x) = q(x) − (ψ ∗ p)(x) + (q ∗ ξ)(x) − [(ψ ∗ p) ∗ ψ](x), g(x) ∈ L1 (R+ ) 1 Nh¾n xét 3.6 Như v¾y ta thay nghi¾m nh¾n oc (f, g) cna hắ (3.15), (3.19) l mđt bieu thúc giái tích đưoc bieu dien thơng qua tích ch¾p suy rđng (2.1), (2.2) v mđt so tớch chắp ó biet M cỏc tớch chắp ny thuđc khụng gian L1(R+) nờn nghiắm nhắn oc hon ton thuđc khụng gian L1(R+) Can phái nhan manh rang nhung phương trình h¾ phương trình tích phân mà chúng tơi xem xét ó khó có the giái đưoc neu khơng dùng cơng cu tớch chắp suy rđng vúi hm oi vúi phép bien đoi tích phân Laplace (2.1), (2.2 m®t nhung úng dung cna m®t so năm gan KET LU¾N CHƯƠNG III Trong chng ny chỳng tụi sỳ dung tớch chắp suy rđng vói hàm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace (2.1), (2.2) đe giái đóng phương trình h¾ phương trình tích phân dang ch¾p Nghi¾m nh¾n đưoc bieu thúc tưòng minh bieu dien thơng qua tích ch¾p suy r®ng vói hàm đoi vói phép bien đoi Laplace v mđt so tớch chắp ó biet Ket quỏ cna chương đ%nh lý (3.1.1), (3.1.2), (3.2.1), (3.2.2) KET LUắN Luắn nghiờn cỳu tớch chắp suy rđng vói hàm đoi vói phép bien đoi Laplace Nhung ket quỏ chớnh luắn ó at oc l Nghiờn cỳu cụng thỳc tớch chắp suy rđng vúi hm đoi vói phép bien đoi tích phân Laplace (2.1), (2.2), sn ton tai cna tích ch¾p khơng gian L1(R+) thúc nhân tú hóa • Nghiên cúu m®t so tính chat tốn tú tính chat so cna cỏc tớch chắp suy rđng (2.1), (2.2) trờn mđt so khụng gian hm cu the ng dung tớch chắp suy rđng (2.1), (2.2) e giỏi úng mđt lúp phng trỡnh v hắ phng trỡnh tớch phõn dang chắp Luắn mỏ mđt so hỏng nghiên cNu mái 1- Nghiên cúu phép bien đoi tớch phõn Laplace kieu tớch chắp suy rđng v ỳng dung 2- Nghiên cúu đa ch¾p đoi vói phép bien đoi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace úng dung Tuy nhiên thòi gian kien thúc có han nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Tác giá rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna quý thay cô ban đoc đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n tot Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Đ¾ng Đình Áng, Tran Lưu Cưòng, Huỳnh Bá Lân, Nguyen Văn Nhân(2001),Bien đoi tích phân, Nhà xuat bán Giáo duc [2] Nguyen Văn M¾u(2006), Lý thuyet tốn tú phương trình tích phân kì d% , Nhà xuat bán đai hoc quoc gia Hà N®i [3] Hồng Tuy(2005), Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán Đai hoc Quoc Gia Hà Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] L Biryukov(2007), "Some theorems on integrability of Laplace transforms and their applications", Int Trans and Spec Func Vol.18(7), p459-469 [5] L Debnath , D Bhatta(2007), Integral Transforms and Their Applications, chapman and Hall/CRC, Boca Raton [6] V A Kakichev(1967), On the convolution for integral transforms, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat (2), p.53-62 (In Russian) [7] V A Kakichev and N X Thao(1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat (1), p.31-40 (In Russian) 51 [8] V A Kakichev, N X Thao and V K Tuan(1998), "On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", East-West Journal of Mathematics Vol.1(1), p.85-90 [9] R C Paley and N Wiener(1949), Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer Math Soc, Newyork [10] I.M Ryzhik and Gradshteyn (1951), Tables of Integrals, sum, series and products, I*L Moscow [11] I N Sneddon(1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [12] N X Thao and N T Hai(1997), Convolutions for integral transforms and their application, Computer Center of the Russian Academy Moscow, 44p (In Russian) [13] N X Thao and N M Khoa(2006), "On the generalized convolution with a weight function for the Fourier sine and cosine transforms", Int Trans and Spec Vol.9, p.673-685 [14] N X Thao and Trinh Tuan (2005), "On the generalized convolution of integral Kontorovich-Lebedev, Fourier sine and cosine transforms", Annales Univ Sci Budapest, Sect.Comp, Vol 25, 37-51 [15] Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy(2011) "The gen- eralized convolutions with a weight function for the Fourier sine, Fourier cosine and Laplace transforms"Vietnam Journal of Mathe- matics, (Acceptable) [16] Trinh Tuan(2007), "On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse KontorovichLebedev integral transformations", Nonlinear Funct Anal.Vol 12 No 2, p 325-341 [17] S B.Yakubovich(1991), On integral convolutions of the Laplace type for G-transforms, Izv Akad Nauk BSSR N6, p.11-16(in Russian) [18] S B.Yakubovich(2006), "Certain isometrics related to the bilaterral Laplace transforms" Mat Modeling and Analysis Vol.11(3), p331346 ... cna phép bien đoi tích phân dùng lu¾n văn phép bien đoi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplace, sơ đo xây dnng tích ch¾p vói hàm tích chắp suy rđng vúi hm cna cỏc phộp bien đoi tích phân. .. đoi tích phân Fourier, phép bien đoi tích phân Laplace đòi rat sóm Tích ch¾p cna phép bien đoi tích phân Laplace đưoc xây dnng (xem [11], [12]) x ¸ (f ∗ L g)(x) = f (x − t)g(t)dt, x > 0 Tích. .. 1.2.1 Tích ch¾p 1.2.2 Tớch chắp suy rđng vúi hm oi vúi phép bien đoi tích phân 12 Tớch chắp suy rđng vỏi hàm đoi vái phép bien đoi tích phân Laplace 17 2.1