Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

Trang 1

Luận văn được thực hiện vă hoăn thănh tại trường Đại học sư

phạm Hă Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giâo TS Trịnh Tuđn, người thầy đê hướng dẫn vă truyền cho tâc giả những kinh nghiệm quý bâu trong học tập vă nghiín cứu khoa học Thầy luôn động viín vă khích lệ để tâc giả vươn lín trong học tập, vượt qua những khó khăn trong

chuyín môn Tâc giả xin băy tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sđu sắc

nhất đối với thầy

Tâc giả xin chđn thănh cảm ơn Ban giâm hiệu trường Đại học Sư

phạm Hă Nội 2, phòng Đăo tạo sau đại học, câc thầy cô giâo trong nhă trường vă câc thầy cô giâo dạy cao học chuyín ngănh Toân giải tích đê

giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tâc giả trong suốt quâ trình học tập

Tâc giả xin chđn trọng cảm ơn Ban giâm hiệu, câc thầy cô giâo, bạn bỉ đồng nghiệp trường THPT Tam Nông, Phú Thọ đê quan tđm, động viín vă tạo điều kiện để tâc giả hoăn thănh khóa học Thạc sĩ vă hoăn thănh luận văn năy

Hă Nội, ngăy 20 thâng 8 năm 2012

Tâc giả

Trang 2

Tôi xin cam đoan Luận văn lă công trình nghiín cứu của riíng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trịnh Tuđn

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện

Trang 3

1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BỊ 5

1.1 Một số phĩp biến đổi tích phđn vă tính chất 5

1.1.1 Phĩp biến đổi Fourier, Fourier sine vă Fourier cosine 5 1.1.2 Phĩp biến đổi Laplae

1.2 Tích chập vă tích chập suy rộng 9

1.2.1 Tíchchập co 9

1.2.2 Tích chập suy rộng với hăm trọng đối với câc phĩp biến đổi teh phđn 12

2_ Tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi

tich phan Laplace 17

2.1 Một số không gianhăm 17

2.2 Dinh nghĩa tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp

biến đổi tích phđn Laplace vă đẳng thức nhđn tửhóa 19

2.21 Định nghĩa QC 19

2.2.2 Câc đăng thức nhđn tửhóa 19 2.3 Câc tính chất toân tử của tích chập suy rộng với hăm

trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace 25

Trang 4

2.3.2 Dịnh lý kiểu Titchmarch 33

2.3.3 Câc tính chất khâc 35

3 Ung dung 38

3.1 Ứng dụng giải phương trình tích phđn 38 3.2 Ung dụng giải hệ phương trình tích phđn 43

Tăi liệu tham khảo 50

Trang 5

F : Phĩp biến đổi Fourier

Fo : Phĩp biến đổi Fourier ngược F, : Phĩp biến ddi Fourier sine

E1 : Phĩp biến đổi Fourier sine ngược

F, : Phĩp biĩn ddi Fourier cosine

Fo! : Phĩp biĩn ddi Fourier cosine ngược

K : Phĩp biĩn doi Kontorovich-Lebedev

K1 : Phĩp biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược L : Phĩp biến đổi Laplace

lề : Phĩp biến đổi Laplace ngược (f *g) : Tích chập của hai hăm f vă g

(f * 9) : Tích chập có hăm trọng của hai hăm Ÿ vă g

L,(R) : lă tập hợp tất cả câc hăm f xâc định trín (—eo; +00) sao cho ! |f(x)|da < +00

Lp7(R.) = Lạ(R,,z*e ”*dz) với chuẩn được định nghĩa như sau

If6l,;ag.) = ( Í 6)fa*e >a:)Ÿ

Trang 6

1 Lý do chọn đề tăi

Phĩp biến đổi tích phđn được ra đời từ rất sớm vă đóng vai trò quan trọng trong toân học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khâc, đặc biệt trong việc giải câc giải câc băi toân với điều kiện ban đầu vă điều kiện biín của phương trình vi phđn, phương trình đạo hăm riíng, phương trình tích phđn vă câc băi toân của vật lý toân Phĩp biến đổi

tích phđn đầu tiín lă phĩp biến đổi Fourier được khai sinh bởi nhă toân học vă vật lý nổi tiếng người Phâp lă Josepl Fourier (1768-1830), tiếp

theo lă sự ra đời của câc phĩp biến đổi Laplace, Melin, Hankel

Từ những năm đầu của thế kỉ 20 đê xuất hiện một hướng nghiín cứu mới lă xđy dựng tích chập đối với câc phĩp biến đổi tích phđn vă

ứng dụng Lịch sử của hướng nghiín cứu năy có thể tính bằng câc mốc

thời gian chính như sau

Từ những năm 1951 trở về trước đó đê xđy dựng được tích chập đối với câc phĩp biến đổi tích phđn Fourier, Laplace, Melin (xem{[11])

Đến năm 1951 lần đầu tiín nhă tôn học người Mỹ LNĐ Sneddon đê xđy

dựng được tích chập suy rộng đầu tiín đối với phĩp biến đổi Fourier

sine, Fourier cosine (xem [11]) Dĩn nam 1967 nha toân học người Nga

V A Kakichev đê xđy dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập với hăm trọng (xem|6]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :

K(†*ø)(w) = +(0)(Kf))(Kø)0)

Đến năm 1998 V A Kakichev vă Nguyễn Xuđn Thảo đê xđy dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng đối với 3 phĩp biến đổi tích phđn

bất kì Ky, Ky, Kz (xem [7]) dudc tóm tắt bằng sơ đồ sau :

Trang 7

Từ đó đến nay đê có một số kết quả nghiín cứu về tích chập suy

rộng với hăm trọng, xem [12], [13], [14], [I5], [16] Sự khâc biết rõ rệt

nhất của tích chập vă tích chập suy rộng lă trong đẳng thức nhđn tử hóa của tích chập suy rộng có nhiều phĩp biến đổi tích phđn tham gia Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn

Cùng với phĩp biến đổi tích phđn Fourier, phĩp biến đổi tích phđn Laplace cũng ra đời rất sớm Tích chập của phĩp biến đổi tích phđn

Laplace cũng đê được xđy dựng (xem [I1], [12)

(xø)ứ j= J rete z>U

Tích chập năy thoả mên đẳng thức nhđn tử hoâ

Lf * 9)(y) = (LF)(y)-(L9)(y)

Cho đến thời điểm hiện nay vẫn chưa có một kết quả năo công bố về

tích chập suy rộng đối với phĩp biến đổi Laplace ngoăi tích chập cổ điển

đê níu ra ở trín

Theo hướng nghiín cứu đó với mong muốn được tiếp tục được tìm

hiển tích chập suy rộng của câc phĩp biến đổi tích phđn, dưới sự hướng dan cia TS Trinh Tuan tôi đê chọn đề tăi

“Tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi tich phan Laplace vă ứng dụng ”

Luận văn được trình băy trong 52 trang A4 ngoăi phần mở đầu Luận văn được chia thănh 3 chương

Chương 1: Trình băy tóm tắt một số kiến thức của câc phĩp biến đổi tich phan Fourier sine, Fourier cosine, Laplace Tích chập của câc phĩp

biến đổi tích phđn đó vă sơ đồ tích chập suy rộng có ví dụ minh họa

Chương 2 vă chương 3 lă nội dung chính của luận văn Trong chương

2 trình băy về tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi

Trang 8

Chương 3: Trình băy ứng dụng của tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace để giải đóng phương trình vă hệ phương trình tích phđn dạng chập

Sau mỗi chương đều có kết luận vă cuối cùng lă kết luận của luận văn Để tiín cho quâ trình theo dõi luận văn chúng tôi có đưa thím phần câc kí hiệu toân học dùng trong luận văn văo trước lời nói đầu

2 Mục đích nghiín cứu

+ Nghiín cứu câc công thức tích chập suy rộng với hăm trọng đối

với phĩp biến đổi tích phđn biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tại

của tích chập năy trín không gian ';(R,) Từ đó nhận được đẳng thức nhđn tử hóa của chúng

+ Nghiín cứu một số tính chất toân tử, tính chất đại số của câc tích chập suy rộng năy trín một số không gian hăm cụ thể

+ Ứng dụng tích chập năy để giải đóng phương trình, hệ phương trình tích phđn dạng chập

3 Nhiệm vụ nghiín cứu

+ Nghiín cứu câc công thức tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace

+ Trình băy được định lý tồn tại câc tích chập suy rộng năy vă từ đó đi chứng minh đẳng thức nhđn tử hóa của chúng

+ Nghiín cứu một số tính toân tử vă tính chất đại số của tích chập năy trín một số không gian hăm cụ thể

Trang 9

4 Đối tượng vă phạm vi nghiín cứu

Nghiín cứu tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến

đổi tích phđn Laplace bao gồm định nghĩa, đẳng thức nhđn tử hoâ, tính chất vă ứng dụng của tích chập năy văo việc giải đóng phương trình vă hệ phương trình tích phđn dạng chập

5 Phương phâp nghiín cứu

-+ Sử dụng lý thuyết tích chập vă tích chập suy rộng đối với câc

phĩp biến đổi tích phđn

+ Sử dụng một số công cụ của giải tích hăm như câc không gian hăm, lý thuyết toân tử

6.Đóồng góp mới

Luận văn trình băy một câch có hệ thống về tích chập suy rộng với

hăm trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace vă ứng dụng của tích

Trang 10

MỘT SỐ KIÍN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương năy chúng tôi trình băy một câch tóm tắt lại một số

kiến thức về câc phĩp biến đổi tích phđn Fourier, Fourier sine, Fourier

cosine vă Laplace, tích chập vă tích chập suy rộng của câc phĩp biến đổi

nói trín Đặc biệt lă sơ đồ kiến thiết tích chập vă tích chập suy rộng có hăm trọng Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều níu một số tích chập, tích

chập suy rộng lăm ví dụ minh hoạ vă câc tích chập năy còn dùng để nghiín cứu ở chương 2, chương 3

Nội dung chính của chương năy được dựa văo câc tăi liệu [2], [4],

[6], [7], [8),[11)-

1.1 Một số phĩp biến đổi tích phđn vă tính chất

1.1.1 Phĩp biín đổi Fourier, Fourier sine vă Fourier cosine

Định nghĩa 1.1.1 (Xem/5j, [11j) Phĩp biến đổi Fourier của hăm ƒ€ L¡(R) lă một hăm kí hiệu P`Ƒ oă được xâc định bởi công thúc

Trang 11

O d6 F được gọi lă phĩp biến đổi Fourier hoặc toân tử Fourier Vă F' có phĩp biến đổi Fourier ngược F1! được định nghĩa

Phĩp biến đổi Fourier ngược của một hăm được xâc định bởi công thức

1 +00

Ff) x = fens dy «ER 1.2

(FA @ == | e*f0)9 (1.2)

Nhận zĩt 1.1 Vi Je**| = 1 va f € L,(R.) nĩn tich phan (1.1), (1.2)

hội tụ v6i moiz € R

F,F7' la cdc toĩn tit tuyĩn tinh

Dinh nghia 1.1.2 (Xem [5], [11]) Phĩp biĩn doi Fourier cosine (F.)

của một hăm ƒ thuộc LI(Ñ ) lă một hăm uă được xâc định bởi công thúc

Fie) = f.DG) = VJỆ [ssewftyjdy, z>ú— trải

Phĩp biến đổi Fourier cosine ngược (F1) của một hăm được xâc định e€

bởi công thúc

-1 7) 2 i Ầ

(FR f(x) = f= [ coszu.fUu)dy, 2 > 0 T (14)

0

Định nghĩa 1.1.3 (Xem [5],/11]) Phĩp biĩn doi Fourier sine (F,) của

mot ham f thudc L,(R,) la mĩt ham va duoc xâc định bởi công thúc ~ 2 ri ; Êø) = (F/)) = 2 [ sema.fUdp, z>0 — 02) tị 0 Phĩp biến đổi Fourier sine ngược (FC!) của một hăm được âc định bởi công thức

(Fo'f\(x) = VỆ ƒ sinov Foran z>Ũ (1.6)

Trang 12

Định lý 1.1.1 (Xem jðj) Nếu ƒ() uă g(z)€ LI(R,) thi

2 1{0./)(1⁄0)NWa) = ~ | (âlg(e + Đ) + alle — elas

tas [rr )(E.g) }(y)cos(xy)dy = tr ø(z +€) + g(|z — €|)]d§

Chitng minh Ta c6

FO (F.f)(F.g)} = VF ff {(Fef) (F.g)} y)cos(xy)dy (1.7)

== / cos(zu)(F.0)(0)dụ [se f(€)cos(yĩ)ae

Trang 13

Dinh ly 1.1.2 (Xem [5]) Nĩu f(x) va g(a) € L1(R.) thi

F(PRA(P.a)y(o) == f Gla +2) + a6 — ables

Hay [ (FFD Hydeostendy => f Fale +8) + g€ = z)itg

Định lý (1.1.2) ta chứng minh tương tự như định ly (1.1.1)

1.1.2 Phĩp biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.4 (Xem J4) Giả sử uới mỗi hăm ƒ(t) lă hăm phúc của +00 biến số thực † sao cho tích phđn / ƒ(t)€"°” “dt hội tụ ít nhất uới một số 0 phite s =a+ib Ham F duoc vac định bởi công thúc sau = / f(t)e “dt (1.9)

Khi dĩ F(s) duoc goi la phĩp biĩn doi Laplace ctia ham f(t) ( Hay got

la anh cia phĩp biĩn doi Laplace cia ham f(t))

Vi du 1.1.1 Cho ham f(t) = e” Khi đó +00 +00 1 +% 1 — J ƒ()e" "t4 — J ete dt —_— PhHng — 5s—a t=0 5—a4 0 0 vdi res(s —a) > 0

Định lý 1.1.3 (Xem/2)) New ham F(s) la anh ctia ham gĩc f(t) vdi

Trang 14

Dinh ly 1.1.4 (Xem [4]).(Tinh gidi tích của phĩp biến đổi Laplaee) Nếu biến doi Laplace F(s) ctia ham gĩc f(t) vdi chi số tăng pạ thì hăm F(s) la ham gidi tich trong nita mat phang Res > py

Định lý 1.1.5 (Xemj4j).(Mellin) Cho hăm ƒ(f) lă hăm gốc uới chỉ số

tăng pạ tă F(s) lă ảnh của nó Khi đó tại mọi điểm t ma f(t) lien tuc,

hăm ƒ(f) được biểu diễn theo công thúc 1 a+ioo 1 a+ib fo =— e“ F(s)ds = lim — J e"' F(s)ds 271 b—>oc 271 a—ico a—ib Trong đó tích phđn lấy dọc theo đường thang bat ki Res = p > po 1.2 Tích chập vă tích chập suy rộng 1.2.1 Tích chập

Định nghĩa 1.2.1 (Xem j0), [7j, [12]) Cho U;(X), U2(X) la cdc khĩng gian tuyến tính, V(Y) lă đại số Khi đó

(*):¡(X) x U;(X) > Vy)

(ƒ,ø) — (ƒ * ø)0)

được gọi lă phĩp toân tích chập Kí hiệu :(*)

Giả sử K lă một toân tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U(X) văo đại số V(Y)

K:U(X) ¬ V(Y)

Tích chập của hai hăm ƒ € U¡(X),gø € U;(X) đối với phĩp biến đổi K lă một hăm, kí hiệu (ƒ x ø) sao cho đẳng thức nhđn tử hóa sau đđy được thỏa mên

Trang 15

Khi đó U(X) cùng với phĩp nhđn chập như trín xâc định một đại số Cho đến nay hầu hết câc phĩp biến đổi tích phđn đê được xđy dựng

tích chập chang hạn như phĩp biến đổi Fourier, phĩp biến đổi Fourier

sine, phĩp biến đổi Fourier cosine, phĩp biến đổi Hilbert, phĩp biến đổi

Stieltjes, phĩp biến đổi Laplace, phĩp biến đổi Mellin, phĩp biến đổi

Jontorovich-Lebedev,

Ví dụ 1.2.1 (Xem[11) Cho ƒ,ø € L¡(R,) Tích chập đối với phĩp biến đổi tích phđn Fourier cosine (1.3) của hai hăm ƒ vă ø kí hiệu Ứz 4) (x),

được xâc định bởi công thức

(7*ø)œ) == | flo +9) + ø(lz — g)jdụ z>0— (119)

Tích chập (1.10) thuộc không gian Ƒ;(IR,) vă thỏa mên đẳng thức nhđn

tử hóa :

F.(f*9)(y) = (Feu) Fea)(v) (1.11)

Vi du 1.2.2 (Xem [11], [12]).Cho f,g € L¡(R,) Tích chập đối với phĩp

biến đổi tích phđn Laplace (1.9) cia hai ham ƒ vă ø được xâc định bởi

công thức

(+5) (z) = [ie —9)ø(u)dụ, x >0 (1.12)

Tích chập năy giao hoân được vă thuộc không gian L;(R.), đồng thời thoả mên đẳng thức nhđn tử hóa

L(fea)(y) =(LN Lay), y>0 (1.13)

Tuy nhiín trước những năm 50 của thế kỉ trước, câc tích chập đê

được biết đến lă câc tích chập không có hăm trọng Đến năm 1967, V.A

Kakichev đê đưa ra phương phâp kiến thiết tích chập đối với phĩp biến

Trang 16

thức nhđn tử hóa (ƒ * ø)(0) = +(w)(K f)(w)(Kø)(0)

Nhờ phương phâp năy một số tích chập với hăm trọng đê được

xđy dựng vă nghiín cứu ( xem [6])

Vi du 1.2.3 (xem|[6], [12]).Cho f,g € L,(R,) Tich chap có hăm trọng

+i() = sing của hai hăm f va ø đối với phĩp biến đổi tích phđn Fourier

sine (Ƒ;) (1.5) được xâc định như sau (Fa) (0) = se f6lluŒ+1+1)3 sipmf + 1S f)g(|z + 1S) + øign(z — 1+ £)g(|z — 1+ †|) + sign(z — 1— †)g(|z — 1— t|)|dt,z > 0 (1.14) Tích chập (1.14) thuộc không gian ;(R ) vă thoả mên đẳng thức nhđn tử hóa P.(f¥9)(y) = sinu(ff)(0)(f44)0) 9 >0 (115)

Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phĩp biến đổi tích phđn

Fourier sine của hai hăm ƒ vă g vẫn chưa được xđy dựng khi không có

hăm trọng +() tham gia văo

Ví dụ 1.2.4 (Xem [6]).Cho ƒ,ø € L¡(R,) Tích chập có hăm trọng

+s() = cosu của hai hăm ƒ vă ø đối với phĩp biến đổi tích phđn Fourier

Trang 17

Câc tích chập (1.10), (1.12), (1.14), (1.16) đều có một đặc điểm

chung lă trong đẳng thức nhđn tử hóa chỉ có một phĩp biến đổi tích phđn tham gia Do đó câc tích chập năy không phải lă câc tích chập suy rộng, điều đó ít nhiều lăm hạn chế ứng dụng của nó Năm 1998, V.A.Kakichev

vă Nguyễn Xuđn Thảo đê xđy dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quât nhất của tích chập suy rộng với hăm trọng đối với ba phĩp biến đổi tích phđn bất kì(xem|8]) Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình băy một số tích

chập suy rộng như những ví dụ minh hoạ cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.18) đồng thời câc tích chập năy còn được sử dụng trong chương 2, chương 3

1.2.2 Tích chập suy rộng với hăm trọng đối với câc phĩp biến đổi tích phđn

Nam 1998, V.A.Kakichev va Nguyĩn Xuan Thao (xem[8]) đê cho kết quả xđy dựng tích chập suy rộng với ham trọng đối với 3 phĩp biến

đổi tích phđn vă được tóm tắt như sau: Xĩt câc phĩp biến đổi tích phđn

Ky : U;(X;) > V(Y),j= 1,2,3

Fw) = (KAN) = f kiln )A(edey VY)

Ở đó U;(X,) lă câc không gian tuyến tinh, V(Y) lă đại số

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập tổng quât đối uới câc phĩp biến đổi tích

phđn K,,Ky,K3 vdi ham trong y, ctia hai ham f va g lă biểu thức (¿? ?) sao cho thỏa mên:

Kì (f3 ø) 00) = x(0)sf)(0)(Ksø)(),Vụ € Y (1.18)

Trang 18

(7Ÿ ø), thỏa đẳng thức nhđn tử hóa:

K; (ƒ Ÿø) (0) = +s(0)(Kif)(0)ag)(0) (1.19)

(7Ÿ ø) thỏa mên đẳng thức nhđn tử hóa

Ks (27 ?) (y) = ya(y) (Ai f(y) (Keg) (y) Khi K, = Ko, thì có : ( „ 4); thỏa mên đẳng thức nhđn tử hóa Ki (F49) ©) = WW Kaa) ( fe 4) thỏa mên đẳng thức nhđn tử hóa Kì (f?6) tu) = 3a)./)0)(6ø)0) (2 ?) , thỏa mên đẳng thức nhđn tử hóa i (5) (0) = +s(w)(K:#)(w)(ag)0) Khi Kk, = K; = #⁄;, thì có tích chập với hăm trọng (72) thỏa mên đẳng thức nhđn tử hóa Kì (ƒ*9) (0) = 3(0)(Kif)0)(9)0) Tổng số có 24 tích chập tổng quât vă 3 tích chập (chưa kể đến câc hăm trọng) Để minh họa cho câc sơ đồ về tích chập suy rộng với hăm trọng

đối với câc phĩp biến đổi tích phđn khâc nhau sau đđy ta xĩt một số ví dụ:

Ví dụ 1.2.5 (Xem[§])Cho ƒ,ø € F;(R.) Tích chập suy rộng đối với

Trang 19

(1.5) của hai hăm ƒ vă ø, kí hiệu (ƒ * g), được xâc định bởi công thức 2 (+ø)(e) = CC | f(u)[sign(a — x)g(|u — z|) + g (w+ 2) Jdu,z > 0 (1.20) Tích chập suy rộng (1.20) thuộc không gian Z,(R,) va thoa man dang thức nhđn tử hóa: Ff * 9)) = (Ff) (y) (Fg) (y) Vy > 0 (1.21) Trong d6:K, = F., Ky = K3 = Fy,y = 1

Trong những năm gần đđy nhờ kĩ thuật [8] cũng đê có một số kết

quả công bố trín câc tạp chí trong nước vă quốc tế về tích chập suy

rộng đối với câc phĩp biến đổi tích phđn Fourier sine, Fourier cosine vA Kontorovich-Lebedev (xem [12], [13, [14], [15], [16] )

Nhận sĩt 1.3 Câc tích chập suy rộng (1.20) vă trong câc kết quả [12], [13, [14], [15], [16] hoăn toăn khâc biệt rõ răng so với câc tích chập (1.10),

(1.12), (1.14) ở chỗ lă trong đẳng thức nhđn tử hoâ của chúng có nhiều

phĩp biến đổi tích phđn tham gia Câc tích chập năy không có tính chất

giao hoân vă kết hợp

Trong quâ trình lăm luận văn chúng tôi sử dụng thím tích chập

suy rộng đối với phĩp biến đổi Fourier sine vă Fourier cosine Đđy cũng

chính lă tích chập suy rộng đầu tiín được I.N Sneddon công bố năm

1951 (xem [11])

Ví dụ 1.2.6 (Xem [11I]) Cho f,g € L¡(R,) Tích chập suy rộng đối

phĩp biĩn dĩi tich phan Fourier sine (F,)(1.5) va Fourier cosine (F,) (1.3) của hai hăm f vă ø, kí hiệu (ƒ * g), duoc xdc định bởi công thức sau

1

Trang 21

KET LUAN CHUONG I

Trong chương 1 chúng tôi đê trình băy một số kiến thức của câc

phĩp biến đổi tích phđn dùng trong luận văn đó lă phĩp biến đổi tích

phđn Fourier sine, Fourier cosine, Laplaee, sơ đồ xđy dựng tích chập với hăm trọng vă tích chập suy rộng với hăm trọng của câc phĩp biến đổi

tích phđn Đồng thời trình băy một số ví dụ về tích chập vă tích chập

suy rộng liín quan đến câc phĩp biến đổi tích phđn năy Qua đó chúng

tôi cũng muốn nhấn mạnh sự khâc biệt rõ răng giữa tích chập vă tích

Trang 22

Tích chập suy rộng với hăm trọng

đối với phĩp biến đổi tích phđn

Laplace

Sử dụng kĩ thuật xđy dựng tích chập suy rộng với hăm trọng của 3

phĩp biến đổi tích phđn K¡, K;¿, K;¿ (xem [7]) Trong chương năy chúng

tôi trình băy câc tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tại của tích chập (2.1), (2.2) trong một

số không gian hăm cu thĩ do 1A L, (R,), L2°(R,) va tit do nhan được

đẳng thức nhđn tử hoâ của chúng Dồng thời nghiín cứu một số tính

chất toân tử, tính chất đại số của câc tích chập năy trín một số không

gian hăm cụ thể Nội dung chính của chương dựa văo tăi liệu [15]

2.1 Một số khơng gian hăm

e L¡(RĐ) lă tập hợp tất cả câc hăm ƒ xâc định trín (—oo; +œ) sao cho J |f (x)\dx < +00

Trang 23

Vă L¡ (Ñ) lă một không gian định chuẩn với chuẩn được xâc định :

+00

Illi = f Leelee

L¡(R,) lă tập hợp tất cả câc ham ƒ xâc định trín (0;-+œ) sao cho

J |ƒ (z)|dz < +œ Vă L¡ (R,) lă một không gian định chuẩn với chuẩn được xâc định : fle = J |f(x)| dx

L, (R,) lă tập hợp tất cả câc hăm ƒ xâc định trín (0; +o) sao cho

/ |ƒ (z)|“dz < +œ Vă L„(R,) lă một không gian định chuẩn với chuẩn được xâc định : IIf llr, -(ju [f(a)|? dz)

L, (R,,e%”) lă tập hợp tất cả câc hăm ƒ xâc định trín (0; +oo) sao

Oo / |f (x)? edz < +00,p > 1 va L, (R,,e*”) 1a một không gian định chuẩn với chuẩn được xâc định : |/ÌÌL„ ) = ( / |f (x)? e"'de)" L°”(R,) lă tập hợp tất cả câc ham f xâc định trín (0; +oe) sao

0 / [f (a) 2%e7?"dax < +o0,r 31,8 >0,a>—1 va Le (R,) 1a không gian định chuẩn với chuẩn được xâc định :

1

s2 = ( Mr G)Y a°e zâ)

Trang 24

2.2 Định nghĩa tích chập suy rộng với hăm trọng

đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace vă đẳng

thức nhđn tử hóa

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 (Xem [15j) Tích chập suy rộng uới ham trong

yy) = eM siny, wp > 0 của hai hăm ƒ 0ă g đối uới phĩp biến đổi tích phan Fourier sine va Laplace dugc xaĩc dinh nhu sau (fF LIL y+ py + y+ pe 9) ~ Ot ly +(œ—1—1u)? (U+)?+(z—1+úu)? 00 _ V+ pb 4 + (V+) +(a@tl—u) (vt)? + (e+ l+u)? \ F(u)g(v)dudy, x>0 (2.1) Dinh nghĩa 2.2.2 (Xem [15]) Tich chap suy rộng vdi ham trong yy) = eM siny, > 0 ctia hai hăm ƒ oă g đối tới phĩp biến đổi tích

phan Fourier cosine va Laplace dugc xâc định như sau

owe 2] Herre ear I — 2 (¿z+m)?+(œ—1—u)?— (y+)*+(z—1+u)2 „+ ⁄ + pb ; _ z+g®+(z+l—1? (vt p+ (et 1+ ape SF (wale dud 2 >9 (2.2) 2.2.2 Câc đẳng thức nhđn tử hóa

Dinh ly 2.2.1 (Xem [15]) Gia st f(x) va gựz ) lă hai hăm thuộc không

gian L\Ị(Ñ,) Khi đó tích chập suy rong (f *g Da) thudc L,(Ry) va thod man đẳng thức nhđn tử hóa

%

Trang 25

va ta co

IUf* Dalley < Wille Ulla.)

Trang 26

Ta có [iesunilar < J — 1h — (+ m)? +†° pine Lo — TH (z+)? +1? 0 —1—w —l+u U+ pb y+ pb (z+)? +† (v+p)?+t —w 1+ " UF (z+)3+†2 iy og (2.7) Suy ra

fro z)|dz < ma fia )l# = IIflli,s 2 llølÌx,s

Mă ƒ,ø€ L¡(R,) nín i |(ƒ *8)ạj(e)ldz < +00 Vay

0

(f *ø)a) € L¡(R,) (2.8)

va

Ife aa nw <Mflvey Ile,

Đđy giờ ta sẽ chứng minh tích chập (ƒ * ø)¿) thoả mên đẳng thức nhđn tử hoâ (2.3) Thật vậy: Từ (2.1) vă sử dụng công thức biến đổi oo [eo coseude = 2 ; pe >0 0 Ta có 7 1 Vv LL ) 1

(Fede) = 55 f, Fare “et [eos(a = 1 = uly + cose = 1+ u)y]

— teos(z- +1—1)y+cos(+ 1+ wy) }dudvdy 2

= ƒ(u)g()e~**Usinz.simg.cosudududy

Trang 27

2 ƒ†ƒ ữ = =| [ [ Faeosuydn f g(vje ar] e- siny.sineydy T 0 0 0 = VỆ Í t.D0)04)0)eˆ#siny-sinsdy (2.9)

Day lă đẳng thức kiểu Parseval (2.4)

Từ (2.8) vă (2.9) ta có được đẳng thức nhđn tử hóa + TS * 9)4)(0) = © ""sinU(F.J)(0)(L4)(0) Mặt khâc từ (2.4), kết hợp với bổ đề Riemann- Lebesgue ta suy ra + (f * Ia) € Co(R.) LÌ Dinh ly 2.2.2 (Xem [15]) Gia st f(x) va g(x) la hai ham thudc khơng % gian LỊ(RĐ,) Khi đó tích chập suy rong (f * Ø)(o) thuộc LI(Ñ,) uă thoả mên đẳng thúc nhđn tử hóa Ff *g)y(y) =e siny(F.f)(y(La(y), Vy >0 (2210) va ta co

IF * 9) eyllee.y SMF lee U9llese

Trang 28

Khi „ > 0, > 0 ta có (+ ú)? + (œ—1— u})? vee << +] `M Do đó 4 |Øz(œ,u,⁄)| Š — u (2.12) Từ đó suy ra

|(f*ø9)s <ẩIj [nan (u)g(v)dudv|

Trang 29

vă ta có \(f * 9) (2yllo.0R,) < | ||: ) løÌÌr,= ,) Từ (2.2) vă sử dụng công thức biến đổi a e ““costydz = ——.,a > 0 e+ y? Ta có _1 ~+H)

(ƒ *9)¿j(z) = om l ƒ(u)g()c {lcos(z — l— tu) — cos(# — 1 + u)9| — [cos(# + 1— u}U — cos(œ + 1+ w)g| }dududy 2 =—— F(wg(ve’*" cosry.siny.sinuydudvdy T JR °% oo 2 CO = =| Lf Fedsinuyan f g(vje av] e-M'siny.cosrydy T = -VỆ [DOMED ME Msiny)-coseydy (216) Đđy lă đẳng thức kiểu Parseval Từ (2.15) vă (2.16) ta có được đẳng thức nhđn tử hóa (Ữ * Ø)@¿))Ú0) = —€ ""simU(f⁄ƒ)(0)(L3)00) Từ (2.11), kết hợp bổ đề Riemann- Lebesgue suy ra (F * go) € CoB.) Oo Định lý 2.2.1 vă 2.2.2 chỉ ra sự tồn tại của tích chập (2.1), (2.2)

trong không gian Ƒ;(R.) vă ta có được đẳng thức nhđn tử hóa của nó Dđy lă một kết quả quan trọng trong chương năy Phần tiếp theo ta sẽ

Trang 30

2.3 Câc tính chất toân tử của tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn Laplace

2.3.1 Câc bất đẳng thức

Phần tiếp theo sau đđy chúng tôi trình băy một số bất đẳng thức chuẩn của câc tích chập (2.1), (2.2) trín một số không gian hăm khâc nhau

Dinh ly 2.3.1 (Xem /15]) Chop >1,r >1,0<8<1,f(x) € L,(R.), g(x) € L,(R.) Khi dĩ cdc tich chap (f * Day tồn tại, liín tục, bị chan,

trong không gian L‡?(R,) tă có +

If * Mayle, ) < Cllflz,a ligne (2.17)

2 atl

Trong dĩ C = (—)*/?.p-* T/"(a +1), P(x) la ham Gamma Euler Tf 2 Hon nita nĩu f(x) € L1(R,) NL, (R.) thă tích chập suy rộng (ƒ * Da)

thuộc không gian Cg(R.) đồng thời thỏa mên đẳng thúc nhđn tử hóa (2.3), nă thoả mên đẳng thúc kiểu Parseual (2.4)

Trang 31

2 = Ga) Ì/|„= ) |ølÌz.,= ) Do đó tích chập (2.1) tồn tại vă liín tục Từ đó vă sử dụng công thức trong [10, tr.115] ta có [erred (x )Ƒ ‘dx < Cc WF Mr, ce ) l|øØ|l,w 0 Suy ra (2.17), vă tích chập (2.1) thuộc L2"(R.)

Từ câc giả thiết của định lý 2.3.1, lập luận tương tự định lý 2.2.1 ta nhận được đẳng thức nhđn tử hóa kiểu Parseval (2.4) Từ đó suy ra đẳng thức nhđn tử hóa (2.3) Kết hợp với bổ đề Riemamn -Lebesgue ta được (ƒ * Day(2) €C,(R,) O Định lý 2.3.2 (Xem [15]) Chop >1,r> 1,0<Øs 1,ƒ(z) € L,(R,) g(x) € LI(R,) Khi đó câc tích chập suụ rộng (ƒ * J)(2) ton tại, liín tục, bị chặn, thuộc L£”(Ñ,) uă có + IF * Deyllcer@,) S Clfle lg (2.18) 2 atl

Trang 32

oo <xL/ iru) Pla(e)|2auar] [ Í tana 2 ` Ty = ( YU Fllc jae glee - Do đó tích chập (2.2) tồn tại vă liín tục Từ đó vă sử dụng công thức trong [10, tr.115] ta có [+ * *9)gje)Ifdz < Clic lls): 0 Suy ra (2.18) , vă tích chập (2.2) thuộc #”(R,)

Từ câc giả thiết của định lý 2.3.2, lập luận tương tự định lý 2.2.2

ta nhận được đẳng thức nhđn tử hóa kiểu Parseval (2.11) Từ đó suy ra đẳng thức nhđn tử hóa (2.10)

Kết hợp với bổ đề Riemann -Lebesgue ta được (ƒ * Ø)¿j() € C(R.) LÍ

Dinh ly 2.3.3 (Xem/15/) Choa > —1,r>1,0<Ø8<1,p,q>1, 1 1 thoả mên — + — = 1 thì uới ƒ(œ) € L„(R.),g(z) € Lạ(R.,e=1*), tích p + chập suụ rộng (f * Da) tồn tại, liín tục, bị chăn, thuộc L?”(.) va If NDayllee*(e,) < C|ƒlL,œ ) Ì9ÏÏ„œ.,.c4-2 (2.19) atl 2 1 1 Trong đó Ở = (——)*.0~~ I> (a+1), Ty Hon nita nĩu f(x) € Li(R.)n L,(R,), g(x) € I1(R,) OL, (R., e4)*) %

thă tích chập suy rộng (f *g)\y thuộc không gian €n(R.) va thoa man đẳng thúc nhđn tử hóa (2.3), đẳng thúc biểu Parseual (2.4)

Chitng minh Ap dụng bất đẳng thức Holder với p,gø > 1 thoả mên 1 1

Trang 33

IŒ*ø)0y|< | [ U(0)Pllits,s,v)|e /4uav|7 R2 x [ f laterite 25, re duar] R} < slJ 006m [ 2c *âv] [ Íu09‹e*tY2mg]} 27 u 0 0 0 — cự 2V

= (Fe Fcc Mlle, etme) +

Do đó tích chập (2.1) tồn tại vă liín tục Từ đó vă sử dụng công trong

[10, tr.115] ta có

[ONE dO de <€ Ti, 0i, „e2:

0

Suy ra (2.19), vă tích chập (2.1) thuộc Ƒ##(R.)

Từ câc giả thiết của định lý 2.3.3, lập luận tương tự định lý 2.3.1 ta nhận được đẳng thức nhđn tử hóa kiểu Parseval (2.4) Từ đó suy ra

đẳng thức nhđn tử hóa (2.3)

Kết hợp với bổ đề Riemanmn -Lebesgue ta được (ƒ x Ø)j() €Cs(R.) LÍ

Định lý 2.3.4 (Xem [15j) Cho œ > —1.0< 8<1p,q>1,r >1, thoả 1 1 mên —+— = 1 thă uới Ƒ(x) € L,(R,), g(z) € L„(R.,e=*), Khi đó câc p d tích chập suy rong (ƒ * 9) 2) ton tai, liĩn tuc, bi chan trong L&?(R.) va có 7 IƯ *ø)øjÌ>ss,y < Clflli,s.lgllo,a,„2-⁄) (2-20) 2 1 œ‡1 1 Trong đó Ở = (—)+.0~~ E7 (œ+1), Tl

Trang 34

Chitng minh Ap dụng bất đẳng thức Holder với p,gø > 1 thoả mên 1 1 —+—= | vă sau đó sử dụng (2.12) vă (2.14) ta có Pq x | * Dio) mel f ve )|? |A2 (a, th, )|€ ~“dudv]' “foe v)|e~Đ⁄4udy]" ‘ Rị œ oo oo < | J nen [2c s|ˆ[ [Inetiet=92sw]} 0 0 0 21 = (i li, › |ÌØÌÌ„œ, 6-9) - Do đó tích chập (2.2) tồn tại vă liín tục Từ đó vă sử dụng công thức trong [10, tr.115] ta có Y [PME alee < CIF cy alia 0

Suy ra (2.20), va tich chap (2.2) thudc L°°(R,)

Từ câc giả thiết của định lý 2.3.4, lập luận tương tự định lý 2.3.2 ta nhận được đẳng thức nhđn tử hóa kiểu Parseval (2.11) Từ đó suy ra

đẳng thức nhđn tử hóa (2.10)

Kết hợp với bổ đề Riemann -Lebesgue ta được (ƒ * 9)@¿y(#) € Co(R+) O

Hệ qua 2.3.1 (Xem[15]) Voi diĩu kiĩn nhu trong định lý 2.3.3, tích

chập suy rộng (2.1) tồn tại, liín tục trong không gian L,(R,) va thoa

mên bất đẳng thúc sau

Ư * ø)¿›l[r„œ.) S |.) [9 Ìu„œ, ).e«—92) (2.21)

Đặc biệt trong trường hợp p = 2, ta có đẳng thúc Parseval

Trang 35

Chứng mình Âp dụng bất đẳng thức Holder vă (2.7) ta có œ 1 [ite noes ay | {[ fe vir lai(e,u,»)ldudr]’ 0 Re x [feet la(ep [ti su, v) dt] Ft Re 1 oo < (27)? [fete pPlemdudy| [ fem la(e) 2nd] oo oo : J u94: ƒ | | / 0 0 I g(v)[hdv] = II, „9|, œ,.„«-52) +

suy ra (2.21) vă tích chập (ƒ * ø)¿,(z) thuộc khơng gian L„(Đ ) Mặt khâc trong không gian ”;(R,) ta có đẳng thức Parseval

Fs filles.) = Flic

Từ đó kết hợp với (2.3), ta được đẳng thức Fourier kiểu Parseval (2.22)

LI

Hệ quả 2.3.2 (Xemj15j) Với điều hiện như trong định lý 2.3.4, tích

Trang 36

Suy ra (2.23) va tich chap(f * 9)(2) (2) thuộc không gian L,(R+)

Mặt khâc trong không gian ;(IR,) ta có đẳng thức Parseval

lF./l.,œ.› = ll7Ì.œ )

Từ đó kết hợp với (2.10), ta được đẳng thức Parseval kiểu Fourier (2.24)

LI

Hệ quả 2.3.3 (Xem [15])

a,Cho f(x) € Lo(R,) oă g(z) € LI(R) Khi đó tích chập suy rong (2.1) ton tai va thudc L°?(R,)(r > 1,8 > 0,a > —-1) tă ta có bất đẳng thúc

sau

7 2 atl Qi

IF *Dylierey <a, Fr PP (OF DilFlliw olla.) (225)

b, Nếu ƒ(z), g(z) € L.(R,) thì tích chập suy rộng (2.1) tồn tại uă thuộc

L22(R.),(r >1,830,a— 1) ø

Trang 37

Chứng mình a, Ấp dụng bắt đẳng thức Schwartzs vă (2.5), (2.7)ta có œ FD) < 52 | 2rlg(»)Iwz]Ï lu (700g) uan]Ï = lle, Iløllz,œ Từ đó sử dụng công thức trong [10, tr.115] ta có l(ƒ * Ø)u)l[z5¿œ„) € )s 2 og TL Tr DF llz.cxw )llølÌ œ.) Như vậy ta đê chứng minh được (2.25) b, Âp dụng bất đẳng thức Schwartz's vă eo) ta cÓ IF Dea (al <5 [i (u)||ø( )I du Lf )||øg(⁄ Tai = mm oldie Từ đó sử dụng công thức trong [10 tr.115] ta có (2.26) O Hệ quả 2.3.4 (Xem [15])a,Cho f(x) € Lo(R,) va g(x) € LI(R.) Khi

đó tích chập suy rộng (9.2) tồn tại uă thuộc L†°{(R,)(r 3> 1,83 0,a >

—1) tă †a có bất đẳng thúc sau

1 2 an vị

* Ø)e)ÏÏ„¿»(=, S am? TD (at Ville liglize.) (2-27)

b, Nĩu f(x), g(x) € L1(R,) thi tich chap suy rong (2.2) ton tai va thudc

L°7(R,), (r > 1,8 >0,a—-1) va

IF * Delle, < ¬¬ Ry) Su 1)||/l œ.j|ÌølÌ.œ (2-28)

Trang 38

oo + UF * ell) <5| [we yan] [fe UM) dua] = (Fila )l|ølÌ: Từ đó sử dụng công thức (3.225.3), p115, trong [14] ta có 3 2 "“

IF * Ø)@œ)ÌÏ;z”œ,) < Vin Boe Pe (a+ VIF lle lgllc.ce,)

Như vậy ta đê chứng minh được (2.27) O

b, Ấp dụng bất đẳng thức Schwartz's vă ¬ CÓ

lỨ * 9), mel fm LF) dua] Lf If00)Ilgt)I duar]Ï

Tđy, (Ry) gle, ce

Từ đó sử dụng công thức trong [10, tr.115] ta có (2.28)

Vậy hệ quả được chứng minh

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình băy một số tính chất đại

số của tích chập suy rộng với hăm trọng đối với phĩp biến đổi tích phđn

Laplace (2.1), (2.2) chang han nhu tinh chất có ước của không, tính chất giao hoân, kết hợp vă một số biểu diễn của câc tích chập năy với một số

tích chập đê biết

2.3.2 Định lý kiểu Titchmarch

Dinh ly 2.3.5 Cho cĩc ham g € LI(R.), ƒ € L:(R.,e°*),+ > 0

Trang 39

Chitng minh Ta có " T | — (cosy f(x))| = |f(a)2"cos( yx + n&)| dy 2 —# x m + < |e”“z"||e'“ƒ(z)| < THỂ /()| (2.29) ¬ a _„(%z)" m ¬¬ AT Mặt khâc 0 <e '*z"”=e '”*————<c ?*e*—= — vă n! +" +” +" „ ƒ€ L¡(R,,ec?”*) Từ đó vă từ (2.29) ta có (cosuzƒ(z)) € L¡(R,) Mặt khâc L,(R,),e7") C L,(R,) Suy ra (F,ƒ)(9) giải tích trín R, vă (Lø)(y) cũng giải tích trín R, Stt dung dang thitc nhđn tử hoâ (2.3) dụ" 3 đối với tích chập (ƒ x Day(2) =0 Ta có (Fi f)(y)(La)(y) = 0 Vy > 0 Suy ra f(x) = 0 Vx > 0 hoặc g(x) = 0 Vx > 0 Oo

Định lý 2.3.6 Cho cĩc ham g € L,(R,), f € Li (Rz,€"),y > 0 Nĩu

L(R,,e°”) Từ đó vă từ (2.30) ta có dy" (sinyxf(x)) € L,(R,) Mat

khac L,(R,),e”) C L,(R,) Suy ra (F, f)(y) giai tich trĩn R, va (Lg)(y)

cũng giải tích trín R, Stt dung đẳng thức nhđn tử hoâ (2.10) đối với tích chập (ƒ 4 9) 2)(@) = 0

Ta 6 (Fi f)(y)(Lg)(y) = 0 Vy > 0

Trang 40

2.3.3 Câc tính chất khâc

Mệnh đề 2.3.1 (zem[15])Tích chập suy rộng (2.1) khơng có tính chất

giao hôn, kết hợp nhưng thỏa mên đẳng thúc sau (F 9a) fo + (Gana +u)? + werd Sp) |@ fer (2.31) O day f(x), g(x) la cdc ham thuộc L\(R ) oă tích chập (.*), duoc dinh nghia nhu (1.22) Chiing minh Tw (2.1) va âp dung (1.22) ta có Powe 2] N2 rmrmtrmm “a On (z+)?+(œ—1—0)? (y+)?+(z—1~+u)? mm y+ p — l dud " +”)?+(z+1—1w)? t (z+)*+(z+1+ md jroo) uy “1 Jot Jroleraet On av (Vth? t(a-l-uy? (y+)*+(z+1+~+u}? , Sử 0 0 : U+ fb y+ pe — durd + fro (v +p)? + (a -—1+u)? wat rou J ữ i y+ p y+ pe Bz d = va J ,9{| /9†(DTaprnrat wees toa) |} “ Ol

Mệnh đề 2.3.2 Tích chập suụ rộng (2.2) không có tính chất giao hoân,

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	6,03 MB