Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với chùm các phép biến đổi tích phân dạng Fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH ĐỒN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH ĐỒN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi tích phân Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine 13 1.2.1 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier cosine 13 1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine 15 1.2.4 1.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier Cosine 13 Tính chất phép biến đổi Fourier sine 15 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt 17 1.3.1 Bài tốn phương trình truyền nhiệt 17 1.3.2 Thuật toán giải cách sử dụng biến đổi Fourier 17 Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng chùm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine 19 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i 2.1 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine 19 2.1.1 Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine 19 2.1.2 2.2 Hệ phương trình tích phân 21 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine 24 2.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 (y) = sin ay phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine 2.2.2 24 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 (y) = sin ay phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine 29 2.3 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 32 2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 32 2.3.2 Hệ phương trình tích phân 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 38 Soá hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo:TS Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa Khoa học - Trưởng mơn Tốn Trường Đại học Điện Lực hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K5B quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 05 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thành Đồn Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thành Đồn Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ iv MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN R+ : Tập số thực dương L(R) = +∞ |f (x)| dx < +∞ f (x) : −∞ +∞ L(R+ ) = |f (x)| dx < +∞ f (x) : √ L ( + x2 , R) = f (x) : +∞ √ + x2 |f (x)| dx < +∞ −∞ Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cùng với phát triển lí thuyết phép biến đổi tích phân, hướng phát triển lí thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ XX Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier F hai hàm f g xác định sau [7,8] +∞ (f ∗ g)(x) = √ F 2π f (x − y)g(y)dy , x∈R (0.1) −∞ Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: F (f ∗ g)(y) = (F f )(y).(F g)(y) , ∀y ∈ R , ∀f, g ∈ L(R) F (0.2) Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc hai hàm f g xác định sau [7,8] +∞ (f ∗ g)(x) = √ Fc 2π f (y) [g(|x − y|) + g(x + y)]dy , x > (0.3) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y).(F c g)(y) , ∀y > ; f, g ∈ L(R+ ) Fc (0.4) Tiếp đến tích chập phép biến đổi Laplace[7,8], Mellin, Hilbert [7],Hankel Stieltjes Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các tích chập nói có thuộc tính đặc trưng đẳng thức nhân tử hóa chúng có phép biến đổi tích phân tham gia Điều hạn chế đến cấu trúc việc ứng dụng chúng vào giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập tốn thực tế Năm 1958, lần tích chập với hàm trọng đời Đó tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Mehler – Fox khám phá Vilenkin Y.Ya Sau năm 1967, cơng trình cơng bố tạp chí D.A.N [2] V.A Kakichev xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng γ (y) phép biến đổi tích phân K bất kỳ, thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: γ K(f ∗ g)(y) = γ(y)(Kf )(y)(Kg)(y) Nhờ phương pháp mà số tích chập với hàm trọng xây dựng nghiên cứu Dẫu năm 1951, I.N Sneddon xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine [7] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (t) [g (|x − t|) − g (x + t)]dt , x > (0.5) Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(F c g)(y) , ∀y > ; f, g ∈ L(R+ ) (0.6) Nhưng phải đến năm 90 kỷ trước S.B.Yakubovich xây dựng số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân với số, chẳng hạn tích chập phép biến đổi tích phân Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mellin, tích chập phép biến đổi tích phân Kontorovich – Lebedev, biến đổi G, biến đổi H Năm 1998, V.A Kakichev Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 Với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ K1 (f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 g)(y) Từ ý tưởng báo vòng thập niên trở lại Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa xây dựng nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộng đa chập chùm ba phép biến đổi tích phân tiếng Fourier, Fourier sine, Fourier cosine [4,5,6] chẳng hạn như: Tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine [3] xác định bởi: +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (t) [sign(t − x)g(|t − x|) + g(t + x)]dt , x > (0.7) Khi f g hàm thuộc L(R+ ) tích chập (f ∗ g) thuộc L(R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(F s g)(y) , ∀y > (0.8) Tích chập suy rộng γ (y) = sin y phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine [4] xác định : γ1 (f ∗ g)(x) = √ 2π ∞ f (t) [g(|x + t − 1|) + g(|x − t + 1|) − −g(x + t + 1) − g(|x − t − 1|)] dt , x>0 γ1 (0.9) Khi f , g hàm thuộc L (R+ ) tích chập (f ∗ g) thuộc L (R+ ) Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 26 γ2 Vậy ta có: f ∗ g (x) ∈ L (R+ ) Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.2.2) Vì: +∞ +∞ sin ay (Fc f ) (y) (Fc g) (y) = π sin ay cos (yu) cos (yv) f (u)g (v) dudv 0 Và: sin ay cos yu cos yv = sin ay [cos y (u + v) + cos y (u − v)] = = [sin y (u + v + a) + sin y (a − u − v) + sin y (a + u − v) + sin y (a − u + v)] Nên ta nhận được: sin ay (Fc f ) (y) (Fc g) (y) = 2π +∞ +∞ [sin y (u + v + a) − sin y (u − a + v) − sin y (u − a + v) + 0 + sin y (a + u − v) − sin y (u − a − v)] f (u) g (v) dudv (2.2.5) Sử dụng phép đổi biến: u = x , u + a + v = t ta được: 2π +∞ +∞ sin y (u + a + v)f (u) g (v) dudv = − 2π = 2π +∞ +∞ sin (yt)f (x) g (t − x − a) dxdt x+a +∞ +∞ sin (yt)f (x) g (|t − x − a|) dxdt− 0 − 2π +∞ x+1 sin (yt)f (x) g (x + a − t) dtdx (2.2.6) Tương tự, với phép đổi biến: u = x , u + a − v = −t ta được: 2π +∞ +∞ sin y (u + a − v)f (u) g (v) dudv = − 2π = − 2π +∞ +∞ sin (yt)f (x) g (t + x + a) dxdt −a−x +∞ +∞ sin (yt)f (x) g (t + x + a) dxdt− 0 − 2π +∞ sin (yt)f (x) g (t + x + a) dxdt −a−x Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.2.7) 27 Hơn nữa: +∞ sin (yt)f (x) g (t + x + a) dxdt = −a−x +∞ sin (yt).f (x) g (x + a − t) dxdt = a+x +∞ =− sin (xt).f (x) g (x + a − t) dxdt (2.2.8) a+x Từ (2.2.6), (2.2.7), (2.2.8) ta đến: 2π = +∞ +∞ [sin y (u + a + v) + sin y (u + a − v)]f (u) g (v) dudv 2π +∞ +∞ sin (yt) [g (|t − x − a|) − g (|t + x + a|)].f (x) dtdx (2.2.9) Tương tự: 2π = = +∞ +∞ sin y (u − a + v)f (u) g (v) dudv = 2π 2π +∞ +∞ sin (yt) f (x) g (t − x + a) dxdt x−a a +∞ sin (yt) f (x) g (t − x + a) dxdt+ x−a + 2π = 2π sin (yt) f (x) g (t − x + a) dxdt a x−a +∞ +∞ sin (yt) f (x) g (|t − x + a|) dxdt+ 0 + 2π − 2π +∞ +∞ a sin (yt) f (x) g (|t − x + a|) dxdt− x−a +∞ x−a sin (yt) f (x) g (|x − a − t|) dxdt a Soá hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.2.10) 28 Với phép đổi biến : u = x , u − a − v = −t ta được: +∞ +∞ 2π sin y (u − a − v)f (u) g (v) dudv = = − 2π = − 2π +∞ +∞ sin (yt) f (x) g (t + x − a) dxdt a−x a +∞ sin (yt) f (x) g (t + x − a) dxdt− a−x − − 2π = 2π sin (yt) f (x) g (t + x − a) dxdt a a−x +∞ +∞ sin (yt) f (x) g (|t + x − a|) dxdt+ 0 + 2π − 2π +∞ +∞ a a−x sin (yt) f (x) g (|a − x − t|) dxdt− 0 +∞ sin (yt) f (x) g (|t + x − a|) dxdt (2.2.11) a a−x Mặt khác: a sin (yt)f (x) g (|t − x + a|) dxdt = x−a a x−a =− sin (yt) f (x) g (|a − x − t|) dtdx 0 +∞ x−a sin (yt) f (x) g (|x − a − t|) dxdt = a (2.2.12) +∞ sin (yt) f (x) g (|t + x − a|) dxdt =− (2.2.13) a a−x Từ: (2.2.10); (2.2.11); (2.2.12); (2.2.13), ta có: − 2π = 2π +∞ y−a [sin y (u − a + v) + sin y (u − a − v)] f (u) g (v) dudv 0 +∞ +∞ sin (yt) [g (|t + x − a|) − g (|t − x + a|)] f (x) dtdx (2.2.14) Cuối từ: (2.2.5);(2.2.9);(2.2.14) ta có: sin ay (Fc f ) (y) (Fc g) (y) = = 2π +∞ +∞ f (x) [g (|t − x − a|) + g (|t + x − a|) − sin yt 0 − g (|t − x + a|) − g (t + x + a)] dx} dt Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.2.15) 29 Từ (2.2.1) (2.2.15) dẫn tới: γ2 sin ay (Fc f ) (y) (Fc g) (y) = Fs f ∗ g (y) , ∀y > Ta chứng minh xong định lí 2.2.2 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng với hàm trọng γ2 (y) = sin ay phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Xét hệ phương trình tích phân: +∞ f (y) + λ1 +∞ λ2 ϕ (t) θ1 (y, t)dt = p (y) ψ (t)θ2 (y, t) dt + g (y) = q (y) , y > (2.2.16) Ở λ1 , λ2 số phức; ϕ, ψ, p, q hàm cho thuộc L (R+ ) f, g ẩn hàm θ1 (y, t) = √ [sign (t − y) g (|t − y|) + g (t + y)] 2π θ2 (y, t) = √ [g (|y + t − a|) + g (|y − t − a|) − g (y + t + a) − g (|y − t + a|)] 2π Định lí: 2.2.2 γ2 Với điều kiện: − λ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) = hệ (2.2.16) có nghiệm thuộc L (R+ ) xác định bởi: f (y) = p (y) − λ1 ϕ ∗ q (y) + l ∗ p (y) − λ1 l ∗ ϕ ∗ q γ2 Fc g (y) = q (y) − λ2 ψ ∗ p (y) + q ∗ l (y) − λ2 Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Fc γ2 (y) ψ ∗ p ∗ l (y) 30 γ2 Ở l ∈ L (R+ ) (Fs l) (y) = λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) γ2 1−λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) Với: γ2 ϕ ∗ ψ (x) = √ 2π +∞ f (y) [g (|x + y − a|) + g (|x − y + a|) − − g (x + y + a) − g (|x − y − a|)] dy , x>0 Trong (0.11) Chứng minh: Hệ (2.2.16) viết lại dạng: f (y) + λ1 ϕ ∗ g (y) = p (y) , γ2 λ2 f ∗ ψ (y) + g (y) = q (y) y>0 , y>0 Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập (0.7) tích chập xét (2.2.1) ta có: (Fc f ) (y) + λ1 (Fs ϕ) (y) (Fs g) (y) = (Fc p) (y) λ2 sin ay (Fc f ) (y) (Fc ψ) (y) + (Fs g) (y) = (Fs q) (y) Để giải hệ phương trình ta xét định thức: λ1 (Fs ϕ) (y) λ2 sin ay (Fc ψ) (y) = − λ1 λ2 sin ay (Fs ϕ) (y) (Fc ψ) (y) γ2 = − λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) ∆= Từ ta có: γ2 λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) 1 = =1+ γ2 γ2 ∆ − λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) − λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) 4 Theo định lí Wiener- Lévy [1] tồn hàm l ∈ L (R+ ) cho: γ2 λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) (Fs l) (y) = γ2 − λ1 λ2 Fs ϕ ∗ ψ (y) Soá hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 Điều dẫn tới: = + (Fs l) (y) ∆ Ta lại có: (Fc p) (y) λ1 (Fs ϕ) (y) (Fs q) (y) = (Fc p) (y) − λ1 (Fs ϕ) (y) (Fs q) (y) = (Fc p) (y) − λ1 Fc ϕ ∗ q (y) ∆1 = Từ ta nhận được: (Fc f ) (y) = ∆1 ∆ = (1 + (Fc l) (y)) (Fc p) (y) − λ1 Fc ϕ ∗ q (y) = (Fc p) (y) − λ1 Fc ϕ ∗ q (y) + (Fc l) (y) (Fc p) (y) − λ1 (Fc l) (y) Fc ϕ ∗ q (y) 2 = (Fc p) (y) − λ1 Fc ϕ ∗ q (y) + Fc l ∗ p (y) − λ1 Fc l ∗ ϕ ∗ q Fc Fc (y) Do suy ra: f (y) = p (y) − λ1 ϕ ∗ q (y) + l ∗ p (y) − λ1 l ∗ ϕ ∗ q Fc (y) Fc Mặt khác ta lại có: (Fc p) (y) λ2 sin ay (Fc ψ) (y) (Fs q) (y) = (Fs q) (y) − λ2 sin ay (Fc ψ) (y) (Fc p) (y) γ2 = (Fs q) (y) − λ2 Fs ψ ∗ p (y) ∆2 = Do ta nhận được: (Fs g) (y) = ∆2 ∆ γ2 = (1 + Fc l) (y) (Fs q) (y) − λ2 Fs ψ ∗ p (y) γ2 γ2 = (Fs q) (y) − λ2 Fs ψ ∗ p (y) + (Fc l) (y) (Fs q) (y) − λ2 (Fc l) (y) Fs ψ ∗ p (y) γ2 = (Fs q) (y) − λ2 Fs ψ ∗ p (y) + Fs q ∗ l (y) − λ2 Fs 4 γ2 ψ ∗ p ∗ l (y) Cuối ta có: γ2 g (y) = q (y) − λ2 ψ ∗ p (y) + q ∗ l (y) − λ2 γ2 ψ ∗ p ∗ l (y) ∈ L (R+ ) Định lí chứng minh Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 32 2.3 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Định nghĩa:2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng γ3 (y) = signy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine hàm f, g xác định bởi: +∞ i f ∗ g (x) = √ 2π γ3 g (u) [f (|x − u|) − f (|x + u|)]du , x ∈ R (2.3.1) Định lí:2.3.2 Giả sử f, g hàm thuộc L (R+ ) Khi tích chập suy rộng với hàm trọng γ3 (y) = signy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine hàm f, g thuộc L (R) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: γ3 F f ∗ g (y) = signy (Fc f ) (|y|) (Fs g) (|y|) , ∀y ∈ R (2.3.2) Chứng minh: Dựa vào (2.3.1) giả thiết f, g ∈ L (R+ ) ta có: +∞ γ3 √1 2π f ∗ g (x) dx = −∞ ≤ √1 2π =2 +∞ +∞ |g (u)| |f (|x − u|) − f (|x + u|)| dudx ≤ −∞ +∞ +∞ |g (u)| π +∞ +∞ |f (|x − u|)| dx + −∞ |f (|x + u|)| dx du = −∞ +∞ |g (u)|du Số hóa Trung tâm học liệu |f (u)|du < +∞ http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 γ3 Do đó: f ∗ g (x) ∈ L (R) Hơn ta có: signy (Fc f ) (|y|) (Fs g) (|y|) = (Fc f ) (y) (Fs g) (y) = = = = = π π π π +∞ +∞ cos (yu) sin (yv) f (u) g (v) dudv 0 +∞ +∞ [sin y (u + v) − sin y (u − v)]f (u) g (v) dudv 0 +∞ +∞ +∞ +∞ sin (yt) f (t − v) g (v) dtdv − v +∞ +∞ sin (yt) f (|t + v|) g (v) dtdv −v sin (yt) [f (|t − v|) − f (|t + v|)] g (v) dtdv− 0 −π −π +∞ v sin (yt) [f (|t − v|) − f (|t + v|)] g (v) dtdv− 0 +∞ sin (yt) [f (|t − v|) − f (|t + v|)] g (v) dtdv −v Mặt khác: v sin (yt) [f (|t − v|) − f (|t + v|)] dt = − −v sin (yt) [f (|t − v|) − f (|t + v|)] dt Do đó: signy (Fc f ) (|y|) (Fs g) (|y|) = = √1 2π π +∞ +∞ [f (|t − v|) − f (|t + v|)] g (v) dv dt (2.3.3) sin (yt) 0 Hơn h (x) hàm lẻ ta có: (F h) (x) = −i (Fs h) (x) , x ∈ R (2.3.4) Từ (2.3.3) (2.3.4) ta có: signy (Fc f ) (|y|) (Fs g) (|y|) = i +∞ −iyt = √ √ e 2π 2π −∞ γ3 = F f ∗ g (y) +∞ [f (|t − v|) − f (|t + v|)] g (v) dv dt Định lí chứng minh Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 2.3.2 Hệ phương trình tích phân Xét hệ phương trình tích phân: +∞ f (x) + λ1 g (t)θ1 (x, t) dt = k (x) ,x > (2.3.5) +∞ θ2 (t) [f (|x − t|) − f (|x + t|)] dt + g (|x|) signx = h (|x|) signx , x ∈ R λ2 Ở λ1 , λ2 số phức, ϕ, ψ, h, k ∈ L (R+ ) f, g ẩn hàm, còn: θ1 (x, t) = √ [sign (t − x) ϕ (|t − x|) + ϕ (t + x)] 2π i θ2 (t) = √ ψ (t) 2π Định lí: 2.3.3 Với điều kiện: − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) = , y > Hệ (2.3.5) tồn nghiệm L (R+ ) xác định sau: f (y) = k (y) − λ1 h ∗ ϕ (y) − k ∗ l (y) + λ1 γ3 Fc g (y) = h (y) − λ2 k ∗ ϕ (y) − h ∗ l (y) + λ2 h ∗ ϕ ∗ l (y) γ3 Fc k ∗ ψ ∗ l (y) Ở đây: l ∈ L (R+ ) xác định: −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) (Fc l) (y) = − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Chứng minh: Hệ (2.3.5) viết lại dạng sau: f (x) + λ1 ϕ ∗ g (x) = k (x) γ3 , x>0 λ2 f ∗ ψ (x) + g (|x|) signx = h (|x|) signx , x ∈ R Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.3.1) tích chập (0.7) ta có: (Fc f ) (y) + λ1 (Fs ϕ) (y) (Fs g) (y) = (Fc k) (y) , λ2 (Fc f ) (y) (Fs ψ) (y) − i (Fs g) (y) = −i (Fs h) (y) , y > Từ ta có: λ1 (Fs ϕ) (y) λ2 (Fs ψ) (y) −i = −i − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) = ∆= Và: (Fc k) (y) λ1 (Fs ϕ) (y) −i (Fs h) (y) −i = −i (Fc k) (y) + iλ1 (Fs h) (y) (Fs ϕ) (y) ∆1 = Ta có:   −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) 1   = = − 1 −  , y>0 ∆ −i − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) i − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) 2 Theo định lí Wiener- Lévy [1] , tồn hàm l ∈ L (R+ ) cho: −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) (Fc l) (y) = − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Vậy: 1 = − [1 − (Fc l) (y)] ∆ i Điều dẫn tới: ∆1 ∆1 − (Fc l) (y) −i −i = (Fc k) (y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) − (Fc k) (y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) (Fc l) (y) (Fc f ) (y) = 2 = (Fc k) (y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) − Fc k ∗ l (y) + λ1 Fc Soá hóa Trung tâm học liệu Fc http://lrc.tnu.edu.vn/ h ∗ ϕ ∗ l (y) , y > Fc 36 Do ta nhận được: f (y) = k (y)−λ1 h ∗ ϕ (y)− k ∗ l (y)+λ1 h ∗ ϕ ∗ l (y) ∈ L (R+ ) Fc Fc Tương tự ta có: (Fc k) (y) λ2 (Fs ψ) (y) −i (Fs h) (y) = −i (Fs h) (y) − λ2 (Fc k) (y) (Fs ψ) (y) γ3 = −i (Fs h) (y) + iλ2 Fs k ∗ ψ (y) ∆2 = Do ta nhận được: ∆2 ∆2 − (Fc l) (y) −i −i γ γ3 = (Fs h) (y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) − (Fs h) (y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) (Fc l) (y) (Fs g) (y) = γ3 = (Fs h) (y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) − Fs h ∗ l (y) + λ2 Fs γ3 k ∗ ψ ∗ l (y) Từ ta có: γ3 g (y) = h (y) − λ2 k ∗ ψ (y) − h ∗ l (y) + λ2 γ3 k ∗ ψ ∗ l (y) ∈ L (R+ ) Ta chứng minh xong định lí Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 37 Kết luận Luận văn nghiên cứu tính chất phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine đưa ví dụ áp dụng Luận văn xây dựng tích chập suy rộng (2.2.1), đưa chứng minh tính chất nhân tử hóa đặc trưng nó, thiết lập hệ phương trình dạng chập mơ tả cho loại hệ phương trình dạng chập với tích chập suy rộng có hàm trọng hai ba phép biến đổi Đồng thời luận văn nghiên cứu hệ dạng chập cho tích chập suy rộng với hai phép biến đổi Cuối luận văn mô tả lớp hệ phương trình dạng chập cho tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi sau giới thiệu nghiên cứu tính chất đặc trưng tích chập suy rộng tích chập suy rộng ba phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine Một tranh hệ phương trình tích phân dạng chập mơ tả luận văn Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 38 Tài liệu tham khảo [1] N I Achiezer, Lectures on Approximation theory, Science Publishing House, Moscow,1965, pp 157-162 [2] V.A Kakichev, On the Convolution for integral transforms (in Russian) Izv AN BSSR, Ser Fiz Mat 1967, N 2, 53 - 62 (in Russian) [3] J Kakichev V A Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms East - West Journal of Mathematics, Vol.1, No.1 85 – 90 [4] Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa, A generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms Fractional Calculus and Applied Analysis Vol 7, No 3, 323 – 337.(2004) [5] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms Viet nam Journal of Mathematics 33 : 4, 421 – 436 [6] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2006), On the generalized convolution with a weight-function for the Fourier sine and cosine transforms Integral transforms and Special Functions.Vol September, 673 – 685 Soá hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 39 [7] I.N.Sneddon (1972) The use of Integral transforms, MC Gray - Hill, NewYork [8] H M Titchmarch, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Clarendon Press, Oxford, UK, znd Edition, 1967 Soá hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn với đề tài: "Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng chùm phép biến đổi tích phân dạng Fourier” học viên: Nguyễn Thành Đoàn chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp Hội đồng chấm luận văn họp Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, ngày 15 tháng 06 năm 2013 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Minh Khoa Số hóa Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ... Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng chùm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine 2.1 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier. .. 2.3 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 32 2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier. .. 32 2.3 Hệ phương trình tích phân tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier