Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace, fourier và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ X U Â N H U Y TÍCH C H Ậ P SU Y RỘNG LIÊN Q U A N Đ E N CÁC P H É P B IẾ N ĐỔI TÍCH P H Â N LAPLACE, FO URIER VÀ Ứ NG D Ụ N G LU Ậ N Á N TIẾN SĨ TO Á N HỌC Hà Nôi - 2016 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI HOC BÁCH KHOA HÀ NÔI LÊ X U Â N H U Y TÍCH C H Ậ P SU Y RÔNG LIÊN Q U A N Đ E N CÁC P H É P B IẾ N ĐỔI TÍCH P H Â N LAPLACE, FO URIER VÀ Ứ NG D Ụ N G LU Ậ N Á N TIẾN SĨ TO Á N HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG D Ẫ N KHOA HỌC: PGS TS N G U Y Ễ N X U Â N THẢO PGS TS TRỊNH TU Â N Hà Nôi - 2016 M UC LUC MỤC L U C LỜI CAM Đ O A N LỜI CẢM Ơ N MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN Á N MỞ ĐẦU Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-L aplace 1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm tr ọ n g 1.3 16 28 Mối liên hệ tích chập suy rộng Fourier-Laplace tích chập k h c 1.4 16 37 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm t r ọ n g 40 1.4.1 Định lý kiểu Y o u n g 42 1.4.2 Định lý kiểu S a ito h 44 Chương PHÉP BIẾN ĐổI TÍCH PHÂN KIEU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace 2.2 46 46 2.1.1 Định lý kiểu W a ts o n 47 2.1.2 Liên hệ phép biến đổi tích phân với đạo hàm 50 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineFourier sine-Laplace với hàm trọng 52 2.2.1 52 Định lý kiểu W a ts o n 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56 Chương MỘT SỐ ỨNG D Ụ N G 3.1 59 Giải phương trình hệ phương trình tích p h â n 59 3.1.1 Giải phương trình tích p h â n 60 3.1.2 Giải hệ phương trình tích p h â n 69 Giải phương trình vi-tích p h â n 75 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp h a i 75 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân 77 KẾT L U Ậ N 83 TÀI LIÊU THAM K H Ả O 84 3.2 D A N H M ỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91 LỜI CAM Đ O A N Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo PGS.TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình Thay m ặt tập th ể hướng dẫn P G S.T S N guyễn X uân Thảo Tác giả Lê X uân H uy LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn nghiêm túc thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Những người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, TS Nguyễn Thanh Hồng TS Nguyễn Minh Khoa Những người gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên, cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ môn Toán bản, thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Khoa học quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy làm NCS Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu nạng đến gia đình bố mẹ, vợ con, anh chị em bạn bè Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả M ỘT SỐ KÍ HIỆU D Ù N G TRO NG LU Ậ N Á N a M ột số phép biến đổi tích phân tích chập • L phép biến đổi tích phân Laplace (L f)(y) = / J0 f ( x ) e -yxdx, R e y > Fc phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F c f )(y) = \Ị~JQ f (x)cos xydx y > Fs phép biến đổi tích phân Fourier sine (Fsf ) (y) = \ f ~ J0 f (x)sin xydx y > ° • ( * ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace • ( * ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace • ( *.) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Y(y) = e—xy (ụ > 0) • ( * ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng Y(y) = e-My (ụ > 0) • ( * ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Y(y) = —sin y • ( * ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Y(y) = sin y • ( * ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Y(y) = —e— Mysiny (ịi > 0) • ( * ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng Y(y) = e—Mysin y (p > 0) b M ột số không gian hàm • R+ = {x E R, x > 0} • Lp(R+), < p < oo không gian hàm số f (x) xác định R+ cho ị J0 |f (x)|pdx < oo, chuẩn hàm f kí hiệu xác định llf I| lp(R +) = { Ị ữ |f (x)r dx)" • Lp(R +,p),p > 0, < p < oo không gian hàm số f(x ) xác định R+ cho ị If (x)|pp(x)dx < oo, chuẩn hàm f kí hiệu xác định Iif Hlp(r + p) = { Ị f ( x ) p p(x)dx Ỵ Đạc biệt, p(x) = x ae—^x ta nhận không gian hàm hai tham số a, kí hiệu (R+) • L to(R+) không gian hàm số f (x) xác định R+ cho sup |f (x)| < oo, xeR+ chuẩn hàm f kí hiệu xác định llf I|lto(R+) = suP |f (x)| xgR+ • A c không gian ảnh L i (R+) qua phép biến đổi Fourier cosine F c , với chuẩn ||f IIA = ||F c f ||l1(m+) • Co(R+) không gian hàm số liên tục R+ triệt tiêu oo • H (R +) = { f (x) : ( Lf ) {y) e L2{®+)} MỞ Đ Ầ U Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đề cập nghiên cứu từ sớm Cho đến nay, trở thành phận quan trọng Giải tích toán học Những phép biến đổi tích phân phải kể đến phép biến đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), Một vấn đề quan tâm phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập Đó phép nhân đạc biệt định nghĩa thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường đưa vào nghiên cứu không gian hàm mà phép nhân thông thường không tồn Giả sử U (X ) không gian tuyến tính, V ( Y ) đại số, ta xét phép biến đổi tích phân T : U (X ) ^ V(Y) xác định sau (0.1) Khi tích chập hai hàm f k phép biến đổi tích phân T toán tử * : U (X ) X U (X ) ^ V(Y) (f,k) ^ f *k cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa T ( f * k)(t) = ( T f )(t)(Tk)(t), Vt X (0.2) Những tích chập phải kể đến tích chập Laplace tích chập Fourier (xem [6, 33]) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập F c (g (t) * T heo Bổ đề 1 , d o k(x) G e-t) ( y) í l - L i(R + ) nên (C k ) (y ) G A c T + (C k ) (y ) = 0, V y > v Đ ịn h lý W ie n e r -L e v y , s u y ( Ck ) (y) N b iế n đ ổ i F o u rier c o s in e + ( Ck) (y) Fc c ủ a c hàm (3 5 ) F k ) (y) + (C k ) (y ) q(x) E yv ; đ iề u k iệ n (ck )(y ) ')— G A c H a y i + ( Ck) (y) L 1( R + ), s a o c h o H +n (C k )(y ) ^ c^ ty ) (3 ) + (C k )(y ) T (3 5 ) v (3 ), t a có (F cf)(y ) = y h F c(g (t) fn * e-i)(y )[l - F c ( g ( t ) * e - t ) (y ) - (F c i)(y )] (3 ) F c ( ( g ( t ) * e - t ) * q ) (y ) Á p d ụ n g p h é p b iế n đ ổ i F o u rier c o s in e F c đ ố i v i (3 ) t a n h ậ n đ ợ c ( ) □ 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a )X é t p h n g tr ìn h v i-tíc h p h â n có d n g / (x) + (Tk/ ) ( x ) = g (x ), x > 0, (3 ) / ' ( ) = / (0 ) = T r o n g đ ó k ( x ) , g ( x ) c c h m ch o tr c tr o n g k h ô n g g ia n Lị ( R + ) v / (x) h m c ầ n tìm Đ ịn h lý 2 Nếu + L (k + k") ( y ) = k ( x ) , k " ( x ) G L i ( R + ), k '( ) = 0, Vy > nghiệm L 1( R + ) k (0 ) = 0, với điều kiện thỏa mãn, phương trình (3 ) có Hơn nữa, nghiệm cho dạng / ( x ) = g (x) - 77 (g * q )(x ( ) k+k") (y) q(x) E Li(R +) hàm xác định q(x) = Fc + k+k") (y), Chứng minh (x) P h n g t r ìn h ( ) c ó t h ể v i ế t lạ i d i d n g f(x ) + (1 - d2 d -y ) ( / (3 ) (x ) = f ' ( ) = f (0 ) = T c đ ộ n g p h é p b iế n đ ổ i F o u rier c o s in e F c lê n h a i v ế c ủ a p h n g tr ìn h (3 ) v sử d ụ n g (1 ), t a có ( F c f ) ( y ) + (1 + y2)(Fcf )(y)(Ck)(y) = (F cg )(y ) S u y ( F c f ) ( y ) [ l + ( + y ) ( C k ) ( y )] = (3 ) ( F cS) (y ) T (3 ) v c c g iả t h iế t c ủ a Đ ịn h lý 2 , t a c ó (Fcf ) ( y ) (1 + y ) ( Ch) = (y ) (F cg )(y )[l + í + y 2) ( C h ) (y ) C (k + = (F cS ) ( y ) [ l + C(k k" ) ( y ) + k" ) ( y p (3 ) ■ L ậ p lu ậ n tư n g t ự n h tr o n g c h ứ n g m in h c ủ a Đ ịn h lý , s u y t n tạ i h m q (x ) E L 1( R + ) s a o c h o C (k + k") (y ) + C(k (3 ) + k" ) ( y ) ■ T (3 ) v (3 ), t a có ( F cf ) (y ) = ( F c g ) (y ) - ( F cg) (y X Fcq) (y ) = ( F cg ) (y ) - Fc F c ( g q) (y ) S u y n g h iệ m đ ợ c c h o d i d n g (3 ) Đ ịn h lý đ ã đ ợ c c h ứ n g m in h 78 □ b ) X é t p h n g tr ìn h v i-tíc h p h â n có d n g d f T rong đó, ^> (x) = ^ (x ) (sech = (^1 t d f ( TrC f (x) + * ^>2) ( x ) , * (x ), FsFc x> ) (x ) = g ( x ) ^ i(x ) E ^ 1(x ) H (R + ), ^ 2( x ) E L 2(R + ) H m (3 ) = (sin g (x ) t * sin í)(x ) ch o trư c tr o n g L 2(R + ) v f (x ) h m c ầ n tìm Đ ịn h Giả sử điều kiện sau thỏa mãn lý 3 1 + (y K h i 00 , V y > (3 6 ) có nghiệm L 2(R + ) Hơn nữa, + y 3) ( s i n y ( L ^ ) ( y ) - phương trình (3 ) {Fsỷ) (y ) < nghiệm cho dạng f q(x) E L 2(R + ) (q F*F g ) ( x ) FsFc hàm xác định (FqMy) c Chứng minh (x ) = g (x) - = (y + y ) [ s i n y ( L P)(y ) - ( p g ) ( y )] i + (y + y 3) [ s i n y ( L ^ ) ( y ) - T rư ớc h ết, ta v iế t lạ i p h n g tr ìn h ( F s V (y ) ] ’ (3 ) d n g tư n g đư ơng sau (d f (x ) + x - d x )[(f * d (x) + ( f F*F ^ (x )] = g ( x ) ' ( ) B ằ n g c c h sử d ụ n g c c đ ẳ n g th ứ c k iể u P a r s e v a l (1 ) v (1 ), t a có (d x - ố )(f * d (x ) = (í - í )Fc [ ( - S in y m ) ( L P ](x ) = F s [ (y + y 3) s i n y ( F s f ) ( L ^ ) ] ( x ^ ( ) d (dx dx ) ( f FỈFs '(/;) ( x ) = = (d x - F dx3 ) F [(F T ( F X ) ] (x) [(y + y 3K F « f ) ( F x 79 )] (x ) (3 ) T (3 ), (3 ) v (3 ), t a có f(x ) + Fs [ ( y + y 3) s i n y ( F s f ) ( L ^ ) ] ( x ) - F s [ ( y + y 3) ( F s f ) ( F s ^ ) ] ( x ) = g ( x ) S u y (Fsf ) (y ) + (y + y ) [ s in y ( F sf ) (y ) (Cip)(y ) - (F sf ) (y ) (Fs'ệ) ( y ) ] = ( F s g ) ( y ), hay ( F s f ) (y ) + (y + y ) ( s i n y ( L ^ ) (y ) - (Fs'ộ)(y ' ^ = ( F s g ) (y ) ( ) T (3 ) v đ iề u k iệ n (3 6 ), t a có ( F sf ) (y ) = ( F sg ) (y ) - (y + y 3) [ s i n y ( L ^ ) ( y ) - (Fsỷ) (y ) ] (3 ) + (y + y ) [sin y (L ^) (y) - (Fs^) (y)]J M t k h c , s d ụ n g ( ) t r o n g [34] v đ ẳ n g t h ứ c n h â n t h ó a đ ố i v i t í c h ch ậ p L a p la c e, t a có (L ^ ) ( y ) = (L ^ i ) ( y )(l ^ 2) ( y ) = (L ^ i ) ( y ) L ( s i n ¿) ( y ) L ( s i n t ) ( y ) (3 ) (L ^ i ) ( y ) ( + y 2)2 H n n ữ a , t c ô n g t h ứ c ( ) t r o n g [4] F c ( se c h t) (y ) = y ^ sech Tỵ , v c ô n g t h ứ c ( ) t r o n g [4] c h o t r n g h ợ p n = V 2n (1 + y 2) s e c h y = F c ( se c h í) (y), k ết h ợ p với đ ẳ n g th ứ c n h â n t h ó a (0 ), t a có ( F s^ ) ( y ) = F c ( s e c h í ) ( y ) ( F s^ i ) ( y ) F c ( s e c h 1) ( y ) ( F s ^ i ) ( y ) + y2 c 80 (3 ) Từ (3.72) (3.73), ta có (y + y ) [ sin y ( L ^ ) (y = sin y + ) - ( L ^ i ) (y ) (Fs ý ) (y )] 2y F c ( sech3 t ) ( F s ^ i ) (y ) - Khi đó, sử dụng công thức (2 13 6) [6] ( F » e-t)(y ) = r y f ’ lấy tích phân phần, dễ dàng chứng minh công thức sau yFc( sech3t) (y) = —3Fs ( sinh t sech4t) (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (1.29) (1.48), ta có (y + y3) [sin y (L ^) (y) — (Fs^) (y)] = ^ s m y (F se— t)(y )(L ^i)(y) + F s( sinh t sech4 t) ( F s^i)(y ) = y f Fc(e— t ^ i ) (y) + 6Fc ( ( sinhtsech41) FF ^ i ) (y) r ^ZY/ 22 (e— 33 Pi) + ( sinhtsech41) FcF *s Vhl (y) G l 2( r +) = F- (3.74) Từ (3.74) điều kiện (3.66), suy tồn hàm q(x) E L2(R+) cho (y + y3) [ sin y (L ^ )(y ) — (Fs ^ ) (y)] (F ^ ^ ) + (y + y 3^ s i n y (y ) — (y ) ] ■ (3.75) Từ (3.71) (3.75), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có ( F f ) ( y ) = ( F s g ) ( y ) — ( F sg ) ( y ) ( F c q ) ( y ) = ( F « f f ) ( y ) — F « (q * FsFc [...]... dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine -Fourier sine (xem [2]) Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên cứu (xem [14, 19, 20, 53, 55]) Nhưng tất cả các công trình này đều chỉ dừng lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy. .. suy rộng không có hàm trọng Với các tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng, việc xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng thường là vấn đề phức tạp hơn (xem [40, 41, 42]) Cho đến nay các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng vẫn chưa được nghiên cứu Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa quan. .. dóng 5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu trong luận án Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất... liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Tức các tích chập suy rộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng với một hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm cụ thể Xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng. .. nhiên, các bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng 2 M ục đích, đối tương và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộng liên. .. tại các phép biến đổi ngược Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân tương ứng cũng được chứng minh Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân và phương trình vi -tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng FourierLaplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các... nhân trong biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f ^ g = ( f ỉ k ) Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập 10 Mellin (xem... rộng này trong một số không gian hàm khác nhau Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với các tích chập tương ứng 1.1 T ích chập su y rộng Fourier cosin e-L ap lace Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng Đ ịnh nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi. .. đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier- Laplace cũng được thiết lập và chứng minh Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier- Laplace Nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2(R+), hơn... nhiều tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin, Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]) Mạc dù, có một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998 Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân