Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân laplace fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 17 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 17 1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 28 1.3 Mối liên hệ tích chập suy rộng Fourier-Laplace tích chập khác 37 1.4 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 40 1.4.1 Định lý kiểu Young 41 1.4.2 Định lý kiểu Saitoh 43 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY 46 RỘNG FOURIER-LAPLACE 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace 46 2.2 2.1.1 Định lý kiểu Watson 47 2.1.2 Liên hệ phép biến đổi tích phân với đạo hàm 50 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineFourier sine-Laplace với hàm trọng 52 2.2.1 Định lý kiểu Watson 52 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 3.2 59 Phương trình hệ phương trình tích phân 59 3.1.1 Phương trình tích phân 60 3.1.2 Hệ phương trình tích phân 69 Một số phương trình vi-tích phân 74 3.2.1 Phương trình vi-tích phân cấp hai 75 3.2.2 Phương trình vi-tích phân 76 KẾT LUẬN 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo PGS.TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa công bố cơng trình Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tác giả Lê Xuân Huy LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn nghiêm túc thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Những người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn q trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, TS Nguyễn Thanh Hồng TS Nguyễn Minh Khoa, người gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chun mơn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học, đặc biệt thầy PGS.TS Nguyễn Cảnh Lương TS Hà Bình Minh Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Đinh Nho Hào, người cho tác giả nhiều ý kiến quý báu giúp luận án hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Khoa học quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy làm NCS Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố mẹ, vợ con, anh chị em bạn bè Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Một số phép biến đổi tích phân tích chập • L phép biến đổi tích phân Laplace ∞ f (x)e−yx dx, Re y > Lf (y) = • Fc phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc f (y) = π ∞ f (x) cos xydx, y > 0 • Fs phép biến đổi tích phân Fourier sine Fs f (y) = π ∞ f (x) sin xydx, y > 0 • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = eày (à > 0) ã ( ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trng (y) = eày (à > 0) ã ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = − sin y γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = sin y γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = eày sin y (à > 0) ã ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0) b Một số khơng gian hàm • Lp (R+ ), ≤ p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p dx < ∞, chuẩn hàm f kí hiệu xác định ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx = p • Lp (R+ , ρ), ρ(x) > 0, ≤ p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, chuẩn hàm f kí hiệu xác định ∞ f Lp (R+ , ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p Đặc biệt, ρ(x) = xα e−βx ta nhận khơng gian hàm hai tham số α, β kí hiệu Lα,β p (R+ ) • L∞ (R+ ) khơng gian hàm số f (x) xác định R+ cho ess sup |f (x)| < ∞, x∈R+ chuẩn hàm f kí hiệu xác định f = ess sup |f (x)| L∞ (R+ ) x∈R+ • Ac = {f = Fc k, k ∈ L1 (R+ )} không gian ảnh L1 (R+ ) qua phép biến đổi Fourier cosine Fc với chuẩn f Ac := k L1 (R+ ) • C0 (R+ ) không gian hàm số liên tục R+ triệt tiêu ∞ • H(R+ ) = f : Lf ∈ L2 (R+ ) Trong k, g hàm cho trước không gian L1 (R+ ) f hàm cần tìm Định lý 3.2.2 Nếu k, k ∈ L1 (R+ ), k (0+ ) = k(0+ ) = 0, với điều kiện + L k + k (y) = 0, ∀y > thỏa mãn, phương trình (3.54) có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − g ∗ q (x), (3.55) Fc q ∈ L1 (R+ ) hàm xác định q(x) = Fc L k+k 1+L k+k (y) (y) (x) Chứng minh Phương trình (3.54) viết lại dạng d2 f (x) + − dx f ∗ k (x) = g(x) (3.56) Tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế phương trình (3.56) sử dụng (1.3), ta có Fc f (y) + (1 + y ) Fc f (y) Lk (y) = Fc g (y) Suy Fc f (y) + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) (3.57) Từ (3.57) giả thiết Định lý 3.2.2, ta có (1 + y ) Lk (y) Fc f (y) = Fc g (y) − + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) − L k + k (y) + L k + k (y) (3.58) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.1, suy tồn hàm q ∈ L1 (R+ ) cho Fc q (y) = L k + k (y) + L k + k (y) 77 (3.59) Từ (3.58) (3.59), ta có Fc f (y) = Fc g (y) − Fc g (y) Fc q (y) = Fc g (y) − Fc g ∗ q (y) Fc Suy nghiệm cho dạng (3.55) Định lý chứng minh ✷ b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + d Tϕ,ψ f (x) = g(x), x > dx Trong đó, ϕ = ϕ1 ∗ ϕ2 , ϕ1 ∈ H(R+ ), ϕ2 (x) = L (3.60) sin x − x cos x ψ = sech x ∗ ψ1 , ψ1 ∈ L2 (R+ ), hàm g cho trước L2 (R+ ) f hàm Fs Fc cần tìm Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn sup + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) −1 < ∞ (3.61) y∈R+ Khi đó, phương trình (3.60) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fs Fc q ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Chứng minh Trước hết, ta viết lại phương trình (3.60) dạng tương đương sau f (x) + d d3 − dx dx γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fc Fs 78 (3.62) Bằng cách sử dụng đẳng thức kiểu Parseval (1.30) (1.44), ta có d3 d − dx dx3 d d3 f ∗ ϕ (x) = − Fc − sin yFs f Lϕ (x) dx dx3 = Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x), (3.63) d d3 − dx dx3 d d3 f ∗ ψ (x) = − F s Fs f Fc Fs dx dx3 γ = −Fs (y + y ) Fs f Fs ψ (x) Fs ψ (x) (3.64) Từ (3.62), (3.63) (3.64), ta có f (x) + Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x) − Fs (y + y ) Fs f Fs ψ (x) = g(x) Suy Fs f (y) + (y + y ) sin y Fs f (y) Lϕ (y) − Fs f (y) Fs ψ (y) = Fs g (y), hay Fs f (y) + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) = Fs g (y) (3.65) Từ (3.65) điều kiện (3.61), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fs f (y) = Fs g (y) − (3.66) + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Mặt khác, sử dụng (1.7) [34] đẳng thức nhân tử hóa tích chập Laplace, ta có Lϕ (y) = Lϕ1 (y) Lϕ2 (y) = Lϕ1 (y) (1 + y )2 Hơn nữa, từ công thức (1.9.1) [4] Fc sech x (y) = 79 π πy sech , 2 (3.67) công thức (1.9.4) [4] cho trường hợp n = √ 2π πy (1 + y ) sech = Fc sech3 x (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (0.8), ta có Fs ψ (y) = Fc sech x (y) Fs ψ1 (y) = Fc sech3 x (y) Fs ψ1 (y) 1+y (3.68) Từ (3.67) (3.68), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) y = sin y Lϕ1 (y) − 2yFc sech3 x Fs ψ1 (y) 1+y Khi đó, sử dụng cơng thức (2.13.6) [6] Fs e−x (y) = y , + y2 lấy tích phân phần, dễ dàng chứng minh công thức sau yFc sech3 x (y) = −3Fs sinh x sech4 x (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (1.25) (1.44), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) π sin y Fs e−x (y) Lϕ1 (y) + 6Fs sinh x sech4 x Fs ψ1 (y) γ π = Fc e−x ∗ ϕ1 (y) + 6Fc sinh x sech4 x ∗ ψ1 (y) Fc Fs π −x γ = Fc e ∗ ϕ1 + sinh x sech4 x ∗ ψ1 (y) ∈ L2 (R+ ) Fc Fs = (3.69) Từ (3.69) điều kiện (3.61), suy tồn hàm q ∈ L2 (R+ ) cho (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) 80 (3.70) Từ (3.66) (3.70), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.8), ta có Fs f (y) = Fs g (y) − Fs g (y) Fc q (y) = Fs g (y) − Fs q ∗ g (y) Fs Fc Suy f (x) = g(x) − q ∗ g (x), f ∈ L2 (R+ ) Fs Fc ✷ Định lý chứng minh Tương tự phép biến đổi Tk1 ,k2 , ta ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace để giải lớp phương trình vi-tích phân có dạng d3 d − f (x) + dx dx3 γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fs Fc (3.71) Ở thơng số xác định toán (3.60) Bằng kỹ thuật biến đổi tương tự chứng minh Định lý 3.2.3 ta nhận kết sau Hệ 3.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn sup + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) −1 < ∞ y∈R+ Khi phương trình (3.71) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fc q ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) 81 Kết luận chương Sử dụng kết Chương Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần đủ giải lớp phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp hệ phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp phương trình vi-tích phân Các lớp phương trình hệ phương trình cho nghiệm tường minh dạng đóng Nội dung chương dựa vào phần báo [1], [2], [3] [4], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 82 KẾT LUẬN Các kết luận án là: Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Laplace Nhận tính chất tốn tử tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, định lý kiểu Titchmarch Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ) tương ứng Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sineLaplace Tk1 ,k2 với hàm trọng L2 (R+ ) Nhận định lý kiểu Watson điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita, điều kiện đủ để tồn biến đổi ngược Định lý kiểu Plancherel tồn dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1 ,k2 chứng minh Nhận ứng dụng giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân không gian hàm L1 (R+ ), L2 (R+ ) cho công thức nghiệm dạng tường minh Một số vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tích chập suy rộng Laplace rời rạc, bất đẳng thức tích chập ứng dụng • Nghiên cứu tích chập Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Laplace bất đẳng thức tích chập Time scales • Nghiên cứu tích chập Laplace hữu hạn, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, bất đẳng thức tích chập ứng dụng 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R.A and Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 300pp [2] Al-Musallam F and Tuan V.K (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, 38, No.3-4, pp.197-208 [3] Anh P.K., Tuan N.M and Tuan P.D (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.397, pp.537–549 [4] Baterman H and Erdelyi A (1954), Tables of Intergral Transforms, Vol 1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London [5] Britvina L.E (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Integral Transforms and Special Functions, 16, No.56, pp.379-389 [6] Debnath L and Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton [7] Duc D.T and Nhan N.D.V (2008), On some convolution norm inequalities in weighted Lp (Rn ; ρ) spaces and their applications, Mathematical Inequalities and Applications, 11(3), pp.495-505 [8] Gakhov F.D and Cherskii Yu.I (1948), Equation of Convolution Type, Nauka, Moscow [9] Giang B.T., Mau N.V and Tuan N.M (2010), Convolutions for the 84 Fourier transforms with geometric variables and applications, Mathematische Nachrichten, Vol.283, No.12, pp.1758-1770 [10] Glaeske J and Tuan V.K (1995), Some applications of the convolution theorem of the Hilbert transform, Integral Transforms and Special Functions, 3, pp.263-268 [11] Hai N.T and Yakubovich S.B (1992), The double Mellin-Barners type integrals and their applications to convolution theory, Series on Soviet and East European Mathematics, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ [12] Hardy G.H (1933), The constants of certain inequalities, Journal of the London Mathematical Society, 8, No.2, pp.114–119 [13] Hirchman I.I and Widder O.V (1955), The convolution Transform, Princeton, New Jersey [14] Hong N.T (2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applications, Integral Transforms and Special Functions, Vol.21, No.10, pp.755-763 [15] Hong N.T., Tuan T and Thao N.X (2013), On the Fourier cosineKontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, 58, No.4, pp.473-486 [16] Kakichev V.A (1967), On the convolution for integral transforms, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika, (2), pp.53-62 (In Russian) [17] Kakichev V.A., Thao N.X and Hai N.T (1996), Composition method to construting convolutions for intergral transforms, Integral Transforms and Special Functions, No.3, pp.235-242 85 [18] Kakichev V.A and Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii Matematika, (1), pp.31-40 (In Russian) [19] Kakichev V.A., Thao N.X and Tuan V.K (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East-West Journal of Mathematics, Vol.1 (1), pp.85-90 [20] Kryzhniy V.V (2003), Regularized inversion of integral transformations of Mellin convolution type, Inverse Problems, Vol.19, pp.1227-1240 [21] Luchko Y (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions Vol.19 (11), pp.809-851 [22] Naimark S (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and convolution of L2 functions with weight, Proceedings of the American Mathematical Society, 118, pp.515-520 [23] Nair V.C and Samar M.S (1975), A relation between the Laplace transform and the Mellin transform with applications, Sociedade Portuguesa de Matemática, Vol.34 (3), pp.149-155 [24] Nhan N.D.V and Duc D.T (2008), Fundamental inequalities for the iterated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integral Transforms and Special Functions, Vol.19, No.9, pp.655 - 664 [25] Paley R.C and Wiener N (1949), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society, New York [26] Ryzhik I.M and Gradshteyn I.S (1951), Tables of Integrals, Sum, Series and Products, Moscow 86 [27] Saitoh S (2000), Weighted Lp -norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam, Vol.517, pp.225-234 [28] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.1 (1), pp.1-7 [29] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 3, No.5, pp.1-11 [30] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.4(3), pp.1-8 [31] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2001), Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform, Zeitschrift fă ur Analysis und ihre Anwendungen, 20, No.1, pp.131-142 [32] Sirvastava H.M and Tuan V.K (1995), A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations, Archiv der Mathematik, 64, No.2, pp.144-149 [33] Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [34] Schiff J.L (1999), The Laplace Transforms: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York [35] Stein E.M and Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press [36] Thao N X and Hai N.T (1997), Convolutions for integral transform and 87 their application, Computer Centre of the Russian Academy, Moscow, 44 pp (In Russian) [37] Thao N.X and Khoa N.M (2005), On the generalized convolution with a weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.33, No.4, pp.421-436 [38] Thao N.X and Virchenko N.O (2012), On the generalized convolution for Fc , Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Mathematical Journal, Vol.64, (1), pp.89-101 [39] Thao N.X., Tuan V.K and Khoa N.M (2004), A generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7, No.3, pp.323-337 [40] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol.2007, pp.1-11 [41] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam Journal of Mathematics, (1), pp.83-101 [42] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2012), A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, 15, No.3, pp.493-508 [43] Thao N.X and Anh H.T.V (2014), On the Hartley-Fourier sine generalized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol.37 (15), pp.2308-2319 [44] Titchmarch E.C (1986), Introduction the Theory of Fourier Intergrals, Third Edition Chelsea Publishing Co., New York 88 [45] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V (2010), On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Mathematica Vietnamica, Vol.35 (2), pp.303-317 [46] Tuan V.K (1990), Modified Laplace transforms and a multidimensional H-transform, Doklady Akademii nauk SSSR, 313, No.6, pp.1299-1302 (In Russian) [47] Tuan V.K and Saigo M (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function of first kind, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 18, No.3, pp.545-550 [48] Tuan V.K and Tuan T (2012), A real-variable inverse formula for the Laplace transform, Integral Transforms and Special Functions, Vol.23, No.8, pp.551-555 [49] Tuan V.K (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 229, pp.519-529 [50] Vilenkin Y.Ya (1958), Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms, Doklady Akademii nauk SSSR, Vol.118(2), pp.219-222 (In Russian) [51] Yakubovich S.B (1990), On the construction method for construction of integral convolution, Doklady Akademii nauk SSSR, 34(7), pp.588-591 [52] Yakubovich S.B (2006), Certain isometrics related to the bilaterral Laplace transforms, Modeling and Analysis, Vol.11, No.3, pp.331-346 [53] Yakubovich S.B (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collectanea Mathematica, Vol.54 (2), pp.99-110 89 [54] Yakubovich S.B and Britvina L.E (2010), Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Integral Transforms and Special Functions, Vol.21 (4), pp.259-276 [55] Yakubovich S.B and Moshinskii A.I (1993), Integral equations and convolutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms, Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284 (in Russian) [56] Widder D.V (1941), The Laplace Transforms, Princeton University Press 90 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2013), The Fourier-Laplace generalized convolutions and applications to integral equations, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 41, pp.451-464 Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2014), The generalized convolutions with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Vol 19, No 1, pp 61–77 Le Xuan Huy and Nguyen Xuan Thao (2014), On the Laplace generalized convolution transform, Annales Univ Sci Budapest Sect Comp., Vol 43, pp 303–316 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan, Le Xuan Huy and Nguyen Thanh Hong (2015), On the Fourier–Laplace convolution transforms, Integral Transforms and Special Functions, Vol 26 (4), pp 303-313 (ISI) 91 ... cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine -Fourier sine (xem [2]) Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Mellin, biến đổi. .. luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace số bất đẳng thức tích chập suy rộng tương ứng đề cập nghiên cứu luận án Các. .. cứu số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Tức tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace với hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier