Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO PGS TS TRỊNH TUÂN Hà Nội - 2016 Footer Page of 258 Header Page of 258 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE 16 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace 16 1.2 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng 28 1.3 Mối liên hệ tích chập suy rộng Fourier-Laplace tích chập khác 37 1.4 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng 40 1.4.1 Định lý kiểu Young 42 1.4.2 Định lý kiểu Saitoh 44 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY 46 RỘNG FOURIER-LAPLACE 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace 46 2.2 2.1.1 Định lý kiểu Watson 47 2.1.2 Liên hệ phép biến đổi tích phân với đạo hàm 50 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineFourier sine-Laplace với hàm trọng 52 2.2.1 Định lý kiểu Watson 52 Footer Page of 258 Header Page of 258 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel 56 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 3.2 59 Giải phương trình hệ phương trình tích phân 59 3.1.1 Giải phương trình tích phân 60 3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân 69 Giải phương trình vi-tích phân 75 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai 75 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân 77 KẾT LUẬN 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91 Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo PGS.TS Trịnh Tuân Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố công trình Thay mặt tập thể hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Footer Page of 258 Tác giả Lê Xuân Huy Header Page of 258 LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn nghiêm túc thầy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo PGS TS Trịnh Tuân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Những người dẫn dắt tác giả từ bước đường nghiên cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trình làm NCS Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, TS Nguyễn Thanh Hồng TS Nguyễn Minh Khoa Những người gần gũi, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trao đổi chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người động viên, cho tác giả nhiều ý kiến quý báu trình học tập Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ môn Toán bản, thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Khoa học quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy làm NCS Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố mẹ, vợ con, anh chị em bạn bè Niềm tin yêu hi vọng người nguồn động viên động lực to lớn để tác giả vượt qua khó khăn suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả Footer Page of 258 Header Page of 258 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Một số phép biến đổi tích phân tích chập • L phép biến đổi tích phân Laplace ∞ f (x)e−yx dx, Re y > Lf (y) = • Fc phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc f (y) = π ∞ f (x) cos xydx, y > 0 • Fs phép biến đổi tích phân Fourier sine Fs f (y) = π ∞ f (x) sin xydx, y > 0 • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = − sin y Footer Page of 258 Header Page of 258 γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = sin y γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) γ • ( ∗ ) tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0) b Một số không gian hàm • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Lp (R+ ), ≤ p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p dx < ∞, chuẩn hàm f kí hiệu xác định ∞ f Lp (R+ ) p |f (x)| dx = p • Lp (R+ , ρ), ρ > 0, ≤ p < ∞ không gian hàm số f (x) xác định R+ cho ∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞, chuẩn hàm f kí hiệu xác định ∞ f Lp (R+ ρ) p |f (x)| ρ(x)dx = p Đặc biệt, ρ(x) = xα e−βx ta nhận không gian hàm hai tham số α, β kí hiệu Lα,β p (R+ ) Footer Page of 258 Header Page of 258 • L∞ (R+ ) không gian hàm số f (x) xác định R+ cho sup |f (x)| < ∞, x∈R+ chuẩn hàm f kí hiệu xác định f L∞ (R+ ) = sup |f (x)| x∈R+ • Ac không gian ảnh L1 (R+ ) qua phép biến đổi Fourier cosine Fc , với chuẩn f Ac = Fc f L1 (R+ ) • C0 (R+ ) không gian hàm số liên tục R+ triệt tiêu ∞ • H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đề cập nghiên cứu từ sớm Cho đến nay, trở thành phận quan trọng Giải tích toán học Những phép biến đổi tích phân phải kể đến phép biến đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), Một vấn đề quan tâm phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập Đó phép nhân đặc biệt định nghĩa thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường đưa vào nghiên cứu không gian hàm mà phép nhân thông thường không tồn Giả sử U (X) không gian tuyến tính, V (Y ) đại số, ta xét phép biến đổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định sau K(t, τ )ϕ(τ )dτ ∈ V (Y ) ϕ(t) = T ϕ (t) = (0.1) X Khi tích chập hai hàm f k phép biến đổi tích phân T toán tử ∗ : U (X) × U (X) → V (Y ) (f, k) → f ∗ k cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa T (f ∗ k)(t) = (T f )(t)(T k)(t), ∀t ∈ X (0.2) Những tích chập phải kể đến tích chập Laplace tích chập Fourier (xem [6, 33]) Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập Footer Page 10 of 258 Header Page 79 of 258 Lk (y) π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc + Lk (y) = (3.55) Theo Bổ đề 1.1.1, k(x) ∈ L1 (R+ ) nên Lk (y) ∈ Ac Từ điều kiện + Lk (y) = 0, ∀y > Định lý Wiener-Levy, suy Lk (y) 1+ Lk (y) Lk (y) 1+ Lk (y) ∈ Ac Hay biến đổi Fourier cosine Fc hàm q(x) ∈ L1 (R+ ), cho Fc q (y) = Lk (y) + Lk (y) (3.56) Từ (3.55) (3.56), ta có Fc f (y) = = π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc q (y) Fc π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc g(t) ∗ e−t ∗ q (y) Fc Fc Fc (3.57) Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc (3.57) ta nhận (3.51).✷ 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + Tk f (x) = g(x), x > 0, (3.58) f (0) = f (0) = Trong k(x), g(x) hàm cho trước không gian L1 (R+ ) f (x) hàm cần tìm Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k (x) ∈ L1 (R+ ), k (0) = k(0) = 0, với điều kiện + L k + k (y) = 0, ∀y > thỏa mãn, phương trình (3.58) có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − g ∗ q (x), Fc 77 Footer Page 79 of 258 (3.59) Header Page 80 of 258 q(x) ∈ L1 (R+ ) hàm xác định q(x) = Fc L k+k 1+L k+k (y) (y) (x) Chứng minh Phương trình (3.58) viết lại dạng d2 f (x) + − f ∗ k (x) = g(x), dx f (0) = f (0) = (3.60) Tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế phương trình (3.60) sử dụng (1.3), ta có Fc f (y) + (1 + y ) Fc f (y) Lk (y) = Fc g (y) Suy Fc f (y) + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) (3.61) Từ (3.61) giả thiết Định lý 3.2.2, ta có (1 + y ) Lk (y) Fc f (y) = Fc g (y) − + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) − L k + k (y) + L k + k (y) (3.62) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.1, suy tồn hàm q(x) ∈ L1 (R+ ) cho Fc q (y) = L k + k (y) + L k + k (y) (3.63) Từ (3.62) (3.63), ta có Fc f (y) = Fc g (y) − Fc g (y) Fc q (y) = Fc g (y) − Fc g ∗ q (y) (3.64) Fc Suy nghiệm cho dạng (3.59) Định lý chứng minh ✷ 78 Footer Page 80 of 258 Header Page 81 of 258 b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + d Tϕ,ψ f (x) = g(x), x > dx Trong đó, ϕ(x) = ϕ1 ∗ ϕ2 (x), ϕ1 (x) ∈ H(R+ ), ϕ2 (x) = L ψ(x) = (3.65) sin t ∗ sin t (x) L sech t ∗ ψ1 (x), ψ1 (x) ∈ L2 (R+ ) Hàm g(x) cho trước Fs Fc L2 (R+ ) f (x) hàm cần tìm Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) −1 < ∞, ∀y > (3.66) Khi phương trình (3.65) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fs Fc q(x) ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Chứng minh Trước hết, ta viết lại phương trình (3.65) dạng tương đương sau f (x) + d d3 − dx dx γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fc Fs (3.67) Bằng cách sử dụng đẳng thức kiểu Parseval (1.34) (1.48), ta có d d3 − dx dx3 d d3 f ∗ ϕ (x) = − Fc − sin yFs f Lϕ (x) dx dx3 = Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x), (3.68) d d3 − dx dx3 d d3 f ∗ ψ (x) = − F s Fs f Fc Fs dx dx3 γ = −Fs (y + y ) Fs f 79 Footer Page 81 of 258 Fs ψ (x) Fs ψ (x) (3.69) Header Page 82 of 258 Từ (3.67), (3.68) (3.69), ta có f (x) + Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x) − Fs (y + y ) Fs f Fs ψ (x) = g(x) Suy Fs f (y) + (y + y ) sin y Fs f (y) Lϕ (y) − Fs f (y) Fs ψ (y) = Fs g (y), hay Fs f (y) + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) = Fs g (y) (3.70) Từ (3.70) điều kiện (3.66), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) (3.71) Fs f (y) = Fs g (y) − + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Mặt khác, sử dụng (1.7) [34] đẳng thức nhân tử hóa tích chập Laplace, ta có Lϕ (y) = Lϕ1 (y) Lϕ2 (y) = Lϕ1 (y)L sin t (y)L sin t (y) Lϕ1 (y) = (1 + y )2 (3.72) Hơn nữa, từ công thức (1.9.1) [4] Fc sech t (y) = π πy sech , 2 công thức (1.9.4) [4] cho trường hợp n = √ 2π πy (1 + y ) sech = Fc sech3 t (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có Fs ψ (y) = Fc sech t (y) Fs ψ1 (y) = Fc sech3 t (y) Fs ψ1 (y) 1+y 80 Footer Page 82 of 258 (3.73) Header Page 83 of 258 Từ (3.72) (3.73), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) y Lϕ1 (y) − 2yFc sech3 t Fs ψ1 (y) = sin y 1+y Khi đó, sử dụng công thức (2.13.6) [6] Fs e−t (y) = y , + y2 lấy tích phân phần, dễ dàng chứng minh công thức sau yFc sech3 t (y) = −3Fs sinh t sech4 t (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (1.29) (1.48), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) π sin y Fs e−t (y) Lϕ1 (y) + 6Fs sinh t sech4 t Fs ψ1 (y) γ π = Fc e−t ∗ ϕ1 (y) + 6Fc sinh t sech4 t ∗ ψ1 (y) Fc Fs π −t γ = Fc e ∗ ϕ1 + sinh t sech4 t ∗ ψ1 (y) ∈ L2 (R+ ) Fc Fs = (3.74) Từ (3.74) điều kiện (3.66), suy tồn hàm q(x) ∈ L2 (R+ ) cho (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) (3.75) Từ (3.71) (3.75), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có Fs f (y) = Fs g (y) − Fs g (y) Fc q (y) = Fs g (y) − Fs q ∗ g (y) Fs Fc Suy f (x) = g(x) − q ∗ g (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) Fs Fc ✷ Định lý chứng minh 81 Footer Page 83 of 258 Header Page 84 of 258 Tương tự phép biến đổi Tk1 ,k2 , ta ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace để giải lớp phương trình vi-tích phân có dạng d3 d − f (x) + dx dx3 γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fs Fc (3.76) Ở thông số xác định toán (3.65) Bằng kỹ thuật biến đổi tương tự chứng minh Định lý 3.2.3 ta nhận kết sau Hệ 3.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) −1 < ∞, ∀y > Khi phương trình (3.76) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fc q(x) ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) Kết luận chương Ứng dụng từ kết Chương Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần đủ giải lớp phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp hệ phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp phương trình vi-tích phân Các lớp phương trình hệ phương trình cho nghiệm dạng đóng Nội dung chương dựa vào phần báo [1], [2], [3] [4], Danh mục công trình công bố luận án 82 Footer Page 84 of 258 Header Page 85 of 258 KẾT LUẬN Các kết luận án là: Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Laplace Nhận tính chất toán tử tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ) tương ứng Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sineLaplace Tk1 ,k2 với hàm trọng L2 (R+ ) Nhận Định lý kiểu Watson điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita, điều kiện đủ để tồn biến đổi ngược Định lý kiểu Plancherel tồn dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1 ,k2 chứng minh Nhận ứng dụng giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân không gian hàm L1 (R+ ), L2 (R+ ) cho công thức nghiệm dạng đóng Luận án mở số hướng nghiên cứu sau: • Nghiên cứu tích chập suy rộng Laplace rời rạc, bất đẳng thức tích chập ứng dụng • Nghiên cứu tích chập Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Laplace bất đẳng thức tích chập Time scales • Nghiên cứu tích chập Laplace hữu hạn, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, bất đẳng thức tích chập ứng dụng 83 Footer Page 85 of 258 Header Page 86 of 258 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R.A and Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 300pp [2] Al-Musallam F and Tuan V.K (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, 38, No.3-4, pp.197-208 [3] Anh P.K., Tuan N.M and Tuan P.D (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.397, pp.537–549 [4] Baterman H and Erdelyi A (1954), Tables of Intergral Transforms, Vol 1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London [5] Britvina L.E (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Intergral Transforms and Special Funtions, 16, No.56, pp.379-389 [6] Debnath L., Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton [7] Duc D.T and Nhan N.D.V (2008), On some convolution norm inequalities in weighted Lp (Rn ; ρ) spaces and their applications, Math Inequal Appl., 11(3), pp.495-505 [8] Gakhov F.D and Cherskii Yu.I (1948), Equation of Convolution Type, Nauka, Moscow [9] Giang B.T., Mau N.V and Tuan N.M (2010), Convolutions for the 84 Footer Page 86 of 258 Header Page 87 of 258 Fourier transforms with geometric variables and applications, Math Nachr., Vol.283, No.12, pp.1758-1770 [10] Glaeske J and Tuan V.K (1995), Some applications of the convolution theorem of the Hilbert transform, Intergral Transforms and Special Funtions, p.263-268 [11] Hai N.T and Yakubovich S.B (1992), The double Mellin-Barners type integrals and their applications to convolution theory, World Sci Inter Publ Singapore [12] Hirchman I.I and Widder O.V (1955), The convolution Transform, Princeton, New Jersey [13] Hong N.T.(2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applications, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.21, No.10, pp.755763 [14] Hong N.T., Tuan T and Thao N.X (2013), On the Fourier cosineKontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, 58, No.4, pp.473-486 [15] Kakichev V.A (1967), On the convolution for integral transforms, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (2), pp.53-62 (In Russian) [16] Kakichev V.A., Thao N.X and Hai N.T (1996), Composition method to construting convolutions for intergral transforms, Intergral Transforms and Special Funtions, No.3, pp.235-242 [17] Kakichev V.A and Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (1), pp.31-40 (In Russian) 85 Footer Page 87 of 258 Header Page 88 of 258 [18] Kakichev V.A., Thao N.X and Tuan V.K (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East-West Journal of Mathematics, Vol.1 (1), pp.85-90 [19] Kryzhniy V.V (2003), Regularized inversion of integral transformations of Mellin convolution type, Inverse Problems, Vol.19, pp.1227-1240 [20] Luchko Y (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions Vol.19(11), pp.809-851 [21] Naimark S (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and Convolution of L2 Functions with weight, Proc Amer Math Soc, 118, pp 515-520 [22] Nair V.C., Samar M.S (1975), A relation between the Laplace transform and the Mellin transform with applications, Sociedade Portuguesa de Matemática, Vol.34 (3) pp.149-155 [23] Nhan N.D.V and Duc D.T (2008), Fundamental inequalities for the iterated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integr Transform and Special Funct., Vol.19, No.9, pp.655 - 664 [24] Paley R.C and Wiener N (1949), Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer Math Soc., New York [25] Ryzhik I.M and Gradshteyn I.S (1951), Tables of Integrals, Sum, Series and Products, Moscow [26] Saitoh S (2000), Weighted Lp -norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam, Vol.517, pp.225-234 86 Footer Page 88 of 258 Header Page 89 of 258 [27] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, J of Ineq in Pure and App Math., Vol.1(1), pp.1-7 [28] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, J of Ineq in Pure and App Math., 3, No.5, pp.1-11 [29] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.4(3), pp.1-8 [30] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2001), Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform, Zeitschrift f¨ ur Analysis und ihre Anwendungen, 20, No.1, pp.131-142 [31] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problem, J of Inequal Pure and Appl Math., 3(5), Article 80 [32] Sirvastava H.M and Tuan V.K (1995), A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations, Arch Math., 64, No.2, pp.144-149 [33] Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [34] Schiff J.L (1999), The Laplace Transforms: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York, Inc [35] Stein E.M and Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, N.J [36] Thao N X and Hai N.T (1997), Convolutions for integral transform and 87 Footer Page 89 of 258 Header Page 90 of 258 their application, Computer Centre of the Russian Academy, Moscow, 44 pp (In Russian) [37] Thao N.X and Khoa N.M (2005), On the generalized convolution with a weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam Journal of Mathematies, Vol.33, No.4, pp.421-436 [38] Thao N.X and Virchenko N.O (2012), On the generalized convolution for Fc , Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Mathematical Journal, Vol.64, (1), pp.89-101 [39] Thao N.X., Tuan V.K and Khoa N.M (2004), A generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7, No.3, pp.323-337 [40] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, Int J Math Math Sci., Vol.2007, pp.1-11 [41] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J Math., (1), pp.83-101 [42] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2012), A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, 15, No.3, pp.493-508 [43] Thao N.X and Anh H.T.V (2014), On the Hartley-Fourier sine generalized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol.37 (15), pp.2308-2319 [44] Titchmarch E.C (1986), Introduction the Theory of Fourier Intergrals, Third Edition Chelsea Publishing Co., New York 88 Footer Page 90 of 258 Header Page 91 of 258 [45] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V (2010), On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Math Vietnam., Vol.35 (2), pp.303-317 [46] Tuan V.K (1990), Modified Laplace transforms and a multidimensional H-transform, Dokl Akad Nauk USSR, 313, No.6, pp.1299-1302 (In Russian) [47] Tuan V.K and Saigo M (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function of first kind, Internat J Math Math Sci., 18, No.3, pp.545-550 [48] Tuan V.K and Tuan T (2012), A real-variable inverse formula for the Laplace transform, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.23, No.8, pp.551-555 [49] Tuan V.K (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J Math Anal Appl., 229, pp.519-529 [50] Vilenkin Y.Ya (1958), Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms, Dokl Akad Nauk USSR, Vol.118(2), pp.219222 (In Russian) [51] Yakubovich S.B (1990), On the construction method for construction of integral convolution, DAN BSSSR, 34(7), pp.588-591 [52] Yakubovich S.B (2006), Certain isometrics related to the bilaterral Laplace transforms, Modeling and Analysis, Vol.11, No.3, pp.331-346 [53] Yakubovich S.B (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect Math., Vol.54(2), pp.99-110 89 Footer Page 91 of 258 Header Page 92 of 258 [54] Yakubovich S.B and Britvina L.E (2010), Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Int Trans and Spec Func., Vol.21 (4), pp.259-276 [55] Yakubovich S.B and Moshinskii A.I (1993), Integral equations and convolutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms, Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284 (in Russian) [56] Widder D.V.(1941), The Laplace Transforms,Princeton University Press 90 Footer Page 92 of 258 Header Page 93 of 258 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2013), The Fourier-Laplace generalized convolutions and applications to integral equations, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.41, pp.451-464 Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2014), The generalized convolutions with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Vol.19, No.1, pp.61–77 Le Xuan Huy and Nguyen Xuan Thao (2014), On the Laplace generalized convolution transform, Annales Univ Sci Budapest Sect Comp., Vol.43, pp.303–316 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan, Le Xuan Huy and Nguyen Thanh Hong (2015), On the Fourier–Laplace convolution transforms, Integral Transforms and Special Functions, Vol.26 (4), pp.303-313 (ISI) 91 Footer Page 93 of 258 ... cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine -Fourier sine (xem [2]) Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Mellin, biến đổi. .. án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, số bất đẳng thức tích chập suy rộng tương ứng lần đề cập nghiên cứu luận án Các. .. nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng hàm trọng Với tích chập tích chập suy rộng có hàm trọng, việc xây dựng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng thường