Biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Chuỗi Fourier 1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier 1.1.2 Tính hội tụ chuỗi Fourier Tích phân Fourier 10 1.2.1 Khái niệm biến đổi tích phân 10 1.2.2 Cơng thức tích phân Fourier 11 Biến đổi tích phân Fourier tính chất 14 2.1 Định nghĩa ví dụ 14 2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng 20 2.3 Tính chất biến đổi Fourier 32 2.4 Biến đổi Fourier - cosine Fourier - sine 44 2.5 Tổng Poisson 50 Ứng dụng biến đổi Fourier thống kê toán học 57 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên hàm 57 3.2 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên 62 3.3 Một số định lý quan trọng ví dụ 72 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 LỜI NÓI ĐẦU Tốn giải tích chun ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu toán học đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực người quan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier số có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, quang học, hình học nhiều lĩnh vực khác Ngày nhà khoa học cố gắng khám phá kết có tầm quan trọng nhằm nâng cao ứng dụng Trong luận văn tìm hiểu biến đổi tích phân Fourier ứng dụng thống kê tốn học Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương mở đầu phần kiến thức chuẩn bị, nhắc lại chuỗi Fourier tính chất Trong q trình tìm hiểu chuỗi Fourier cho thấy khởi nguồn biến đổi tích phân Qua ta đưa khái niệm biến đổi tích phân Fourier Chương hai trình bày khái niệm định lý quan trọng liên quan tới biến đổi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier ví dụ Tiếp theo ta nói biến đổi Fourier hàm suy rộng Phần trọng tâm chương nghiên cứu tính chất biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval Cuối ta tìm hiểu biến đổi Fourier cosine Fourier sine, tổng Poisson Trong chương cuối ta đề cập tới khái niệm hàm đặc trưng, hàm phân bố, hàm mật độ tính chất liên quan Đồng thời đưa cách tính mơmen, phương sai phương pháp biến đổi Fourier Trong q trình thực luận văn tơi nhận bảo, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội giúp tơi có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Bên cạnh cịn có giúp đỡ nhiệt tình thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ, thầy cô bạn seminar Tốn Giải Tích có góp ý hữu ích để tơi hồn thiện luận văn tốt Tơi xin chân thành cảm ơn tất đóng góp quý báu Cuối cùng, xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân ln động viên, ủng hộ suốt thời gian học tập hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Thị Phương Chương Kiến thức chuẩn bị Phần đầu luận văn trình bày lại cách ngắn gọn kiến thức chuỗi Fourier biến đổi tích phân 1.1 1.1.1 Chuỗi Fourier Định nghĩa chuỗi Fourier Trước hết luận văn nhắc lại chuỗi Fourier số tính chất quan trọng Trong giáo trình giải tích hàm số biến, đa làm quen với khái niệm chuỗi Fourier hàm khả tích xem xét sơ tính hội tụ Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi hàm dạng ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) , n=1 (1.1) a0 , an , bn (n = 1, 2, ) số, gọi chuỗi lượng giác Giả sử f (x) hàm liên tục khoảng (−∞, +∞), tuần hoàn với chu kỳ 2π Ta xác định hệ số a0 , an , bn (n = 1, 2, ) theo công thức: a0 = π an = π bn = π π f (x)dx, (1.2) f (x) cos(nx)dx, (1.3) f (x) sin(nx)dx (1.4) −π π −π π −π Khi chuỗi lượng giác (1.1) với hệ số xác định theo công thức (1.2),(1.3),(1.4) gọi chuỗi Fourier hàm f (x) ký hiệu ∞ a0 f (x) ∼ + (an cos nx + bn sin nx) n=1 (1.5) Chú ý f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ 2π nên cơng thức (1.2), (1.3), (1.4) thay tích phân từ −π đến π cách tích phân đoạn có độ dài 2π Nếu f (x) hàm chẵn từ cơng thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn = 0(n = 1, 2, ) π a0 = f (x)dx, π an = f (x) cos(nx)dx, π Khi (n = 1, 2, ) ∞ a0 + an cos nx f (x) ∼ n=1 Nếu f (x) hàm lẻ a0 = 0, an = 0(n = 1, 2, ) bn = π π f (x) sin(nx)dx, (n = 1, 2, ) Khi ∞ f (x) ∼ bn sin nx n=1 Tiếp theo ta đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.2 [7] Cho f (x) hàm số tuần hồn với chu kỳ 2π khả tích đoạn [−π, π] Khi hệ số xác định fˆ(n) = 2π π f (x)e−inx dx, n ∈ Z, (1.6) −π gọi hệ số Fourier hàm f (x) Chuỗi hàm +∞ fˆ(n)einx (1.7) n=−∞ gọi chuỗi Fourier hàm f (x) Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier fˆ(n) cn chuỗi Fourier hàm f (x) viết dạng +∞ cn einx f (x) ∼ (1.8) n=−∞ Nếu chuỗi Fourier hàm f hội tụ hàm f (x) +∞ cn einx f (x) = n=−∞ Trường hợp tổng quát, f : [a, b] → C tuần hoàn với chu kỳ L = b − a hệ số Fourier chuỗi Fourier xác định sau: fˆ(n) = L b f (x)e−2πinx/L dx, a +∞ (1.9) fˆ(n)e2πinx/L f (x) ∼ n=−∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm f khả tích tuần hồn với chu kỳ 2π Với số tự nhiên N, tổng riêng thứ N chuỗi Fourier f xác định N fˆ(n)einx SN (f )(x) = n=−N Tiếp theo ta trình bày tính hội tụ chuỗi Fourier 1.1.2 Tính hội tụ chuỗi Fourier Đầu tiên ta nói tính chuỗi Fourier Giả sử f g hai hàm khả tích [−π, π], tuần hồn với chu kỳ 2π có hệ số Fourier fˆ gˆ xác định theo công thức (1.6) fˆ(n) = 2π gˆ(n) = 2π π f (x)e−inx dx, −π π g(x)e−inx dx, n ∈ Z −π Nếu ta có hàm f = g fˆ(n) = gˆ(n) với n ∈ Z Nhưng ngược lại, hệ số Fourier fˆ(n) = gˆ(n) chưa f = g Ví dụ f (x) = x3 + = g(x) = x + [−π, π], ta lại có π π f (x)dx = −π g(x)dx = 4π −π Định lý 1.1.1 [7] Giả sử f hàm khả tích [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π fˆ(n) = với n ∈ Z Khi đó, f liên tục x0 f (x0 ) = Hệ 1.1.1 [7] Nếu f liên tục [−π, π] fˆ(n) = với n ∈ Z f = Từ kết ta có định lý tính chuỗi Fourier sau Định lý 1.1.2 Giả sử f g hai hàm liên tục [−π, π] có hệ số Fourier fˆ(n) gˆ(n) xác định theo (1.6) fˆ(n) = 2π gˆ(n) = 2π π f (x)e−inx dx, −π π g(x)e−inx dx, −π n ∈ Z Khi đó, ta có f =g fˆ(n) = gˆ(n) Tiếp theo ta nhắc lại số kết hội tụ chuỗi Fourier Định lý 1.1.3 [7] Giả sử f hàm liên tục [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π f (x) ∼ ∞ n=−∞ fˆ(n)einx có hệ số thỏa mãn ∞ −∞ |fˆ(n)| < ∞ chuỗi Fourier hội tụ đến hàm f , tức SN (f )(x) ⇒ f (x), N → ∞ Chứng minh Ta nhắc lại dãy hàm liên tục hội tụ giới hạn liên tục Ta có π |fˆ(n)einx | = 2π Theo giả thiết f (x)e −π ∞ n=−∞ inx dx ≤ 2π π |f (x)||einx |dx = |fˆ(n)| −π |fˆ(n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass SN (f )(x) hội tụ đến hàm liên tục g(x) suy ∞ ∞ fˆ(n)einx fˆ(n)einx = lim g(x) = N →∞ n=−∞ n=−∞ Hơn nữa, hệ số Fourier hàm g(x) fˆ(n) fˆ(n) = gˆ(n) hay fˆ(n) − gˆ(n) = Khi đó, áp dụng Hệ 1.1 cho hàm liên tục f − g ta f − g = hay f = g Vậy SN (f )(x) ⇒ f (x), N → ∞ Định lý chứng minh Định lý 1.1.4 Nếu f hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π khả vi, liên tục k cấp k [−π, π], tức f ∈ C[−π,π] Khi ta có đánh giá cho hệ số Fourier fˆ(n) = O(1/|n|k ) |n| → ∞, Tài liệu tham khảo [1] D.I Kazakevits (2005), Cơ sở Lý thuyết Hàm ngẫu nhiên ứng dụng Khí tượng Thủy văn (Người dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh Sơn, Phan Văn Tân), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vũ Viết Yên (2009), Bài tập Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm [3] Joseph Beyene (2001), Use of the fast Fourier transform in exact statistical inference, University of Toronto [4] R N Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, McGraw Hill [5] K Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, SpringerVerlag, New York [6] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis group [7] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford