Biến đổi tích phân và ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRỊNH KHẮC BÌNH BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạmĐại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Trịnh Khắc Bình i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp 1.2 Các định lý quan trọng 1.3 Tích chập 1.4 Tích phân Dirichlet 3 lý thuyết tích phân Chuỗi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier thông thường 2.1.1 Khái niệm chuỗi Fourier 2.1.2 Hội tụ chuỗi Fourier 2.2 Chuỗi Fourier - cosin chuỗi Fourier - sin 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Sự hội tụ chuỗi Fourier 2.2.3 Các ví dụ 2.3 Sự hội tụ chuỗi Fourier L2 2.3.1 Dãy trực giao 2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval 2.4 Chuỗi Fourier phức 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Đẳng thức Parseval 2.5 Các tốn biên cho phương trình Laplace hình chữ nhật 2.5.1 Bài toán 2.5.2 Bài toán 2.5.3 Bài toán 2.6 Phương trình dạo động ii 13 13 13 14 16 16 16 21 22 22 24 27 27 28 28 29 30 31 32 2.6.1 2.6.2 Phương trình dao động tự Phương trình dao động cưỡng Biến đổi Fourier 3.1 Khái niệm tích phân Fourier 3.2 Biến đổi Fourier 3.3 Các tính chất biến đổi Fourier 3.4 Biến đổi Fourier Lp 3.5 Phương trình Laplace miền nửa dải 3.6 Bài toán Dirichlet cho miền nửa mặt phẳng 3.7 Phương trình Laplace góc phần tư mặt 3.8 Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt Biến đổi Laplace 4.1 Định nghĩa 4.2 Các tính chất 4.3 Biến đổi Laplace ngược 4.4 Phương trình vi phân thường 4.5 Phương trình đạo hàm riêng 4.6 Phương trình tích phân Volterra 37 37 40 43 48 51 52 55 57 phân 59 59 61 66 70 73 77 phẳng Phương trình vi- tích 32 34 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 iii Mở đầu Phương pháp biến đổi tích phân phương pháp giải tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi tích phân quan trọng, biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel, v.v từ lâu sử dụng giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình vi phân, phương trình tích phân có dạng miền khảo sát thích hợp chuyển phương đại số tương ứng Từ đó, sử dụng cơng thức nghịch đảo, ta tìm ẩn hàm mong muốn Bản luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: chuỗi Fourier( biến đổi Fourier hữu hạn), biến đổi tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin biến đổi Laplace số ứng dụng chúng phương trình đạọ hàm riêng số loại phương trình tuyến tính khác Luận văn gồm phần Mở đầu, chương, Kết luận tài liệu tham khảo Bản luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [1-5] Chương 1, trình bày số kiến thức giải tích giải tích hàm cần thiết chương sau Các kiến thức chương tìm thấy tài liệu [1] Chương 2, trình bày sở lý thuyết chuỗi Fourier hàm lượng giác ứng dụng giải toán biên phương trình đạo hàm riêng miền hữu hạn Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu [1, 4, 5] Chương 3, trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải toán biên phương trình đạo hàm riêng miền vơ hạn Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1, 2, , 4] Chương 4, trình bày sở lý thuyết biến biến đổi Laplace số ứng dụng giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập Các kiến thức chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1, 4] Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích giải tích hàm cần thiết chương sau Các kiến thức chương tìm thấy tài liệu [1] 1.1 Khơng gian Lp Định nghĩa 1.1 Cho p ∈ R với ≤ p ≤ ∞; ta định nghĩa Lp (Ω) = {f : Ω → R C; f đo |L|p khả tích }, L∞ (Ω) = {f : Ω → C; f đo ∃C, |f (x)| ≤ C h.h Ω }, kí hiệu:  1/   p p f p= |f (x)| dx ,   Ω f ∞= inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L∞ (Ω) thì: |f (x)| ≤ f ∞, h.h x ∈ Ω Ta ký hiệu p số liên hợp p, ≤ p ≤ ∞, i.e, p1 + p = Chữ "nghĩa là" thường viết tắt "i.e", chữ "hầu hết" viết tắt bi "h.h" nh lý 1.1 (Bt ng thc Hă older) Cho f ∈ Lp (Ω) g ∈ Lp (Ω) với ≤ p ≤ ∞ Khi f.g ∈ L1 Ω |f.g| ≤ f p g p Da vo bt ng thc Hăolder, ta chng minh Định lý 1.2 Lp (Ω) không gian vector · với ≤ p ≤ ∞ p chuẩn Định lý 1.3 (Fischer – Riesz ) (a) Lp không gian Banach với ≤ p ≤ ∞ (b) Giả sử (fn ) dãy hội tụ f không gian Lp , (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, fn − f p → Thế có dãy (fnk )k=1,2, cho: fnk (x) → f (x) h.h, ∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h, với h hàm Lp Với Ω mở R, ta ký hiệu C k (Ω) không gian hàm số khả vi k liên tục đến cấp k C ∞ (Ω) = ∞ k=1 C (Ω) Còn Cc (Ω) không gian hàm số f liên tục Ω cho giá (support) f , tức tập hợp suppf = {x ∈ Ω; f (x) = 0}, compact chứa Ω, ký hiệu gạch ngang bao đóng tập hợp Đặt Cck (Ω) = C k (Ω) Cc (Ω), Cc∞ (Ω) = C ∞ (Ω) Cc (Ω) Ta có kết sau tính trù mật Định lý 1.4 Với ≤ p < ∞ (lưu ý p = ∞), Cc∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) Định lý 1.5 (Riemann- Lesbesgue) Cho f ∈ L1 (a, b) với (a, b) khoảng hữu hạn vô hạn R, ta có b lim b f (x) cos N xdx = N →∞ a lim f (x) sin N xdx = N →∞ a Chứng minh Hai điều khẳng định định lý chứng minh theo cách giống Vì ta chứng minh Cho trước ε > Từ định lý tính trù mật ta có hàm g (chỉ phụ thuộc vào ε) Cc∞ (a, b) cho b ε |f (x) − g (x)|dx < a Vì g có giá trị compact (a, b) nên g triệt tiêu bên khoảng hữu hạn (α, β) ⊂ (a, b) Do β b g (x) cos N xdx = g (x) cos N xdx a α β 1 g (x) sin N x|βα − N N = g (x) sin N xdx α β = N g (x) sin N xdx α β N ≤ |g (x)| dx = g N α Vậy với N đủ lớn b ε g (x) cos N xdx < , a kéo theo b b f (x) cos N xdx (f (x) − g (x)) cos N xdx + = a b a b ≤ g (x) cos N xdx a b |f (x) − g (x)| dx+ a g (x) cos N xdx a ε ε + = ε < 2 Kết thúc chứng minh 1.2 Các định lý quan trọng lý thuyết tích phân Định lý 1.6 (Định lý hội tụ đơn điệu Beppo Levi) Cho (fn ) dãy tăng hàm khả tích (Lesbesgue ) tập Ω ⊂ RN cho supn fn < ∞ Khi fn hội tụ h.h Ω hàm f khả tích Ω fn − f ≡ |fn (x) − f (x)| dx → n → ∞ Ω Định lý 1.7 (Định lý hội tụ bị chặn Lesbesgue) Cho (fn ) dãy hàm (thực phức) khả tích Ω Giả sử (a) fn (x) → f (x) h.h Ω, (b) tồn hàm g khả tích cho với n, |f (x) ≤ g (x)| h.h Ω Khi f khả tích fn − f ≡ |fn (x) − f (x)| dx → n → ∞ Ω Bổ đề 1.1 (Bổ đề Fatou) Giả sử (fn ) dãy hàm khả tích cho (a) fn ≥ hầu hết Ω, ∀n (b) sup fn < ∞ Với x ∈ Ω, ta đặt f (x) = lim inf fn (x) Khi f khả tích Ω f ≤ lim inf fn n→∞ Giả sử Ω1 ⊂ R , Ω2 ⊂ R hai tập mở F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C) hàm đo Định lý 1.8 (Tonelli) Giả sử |F (x, y)| dy < ∞, Ω2 hầu hết x ∈ Ω1 |F (x, y)| dy < ∞ dx Ω1 Ω2 Khi đó, F khả tích Ω1 × Ω2 Định lý 1.9 ( Fubini) Cho F khả tích Ω1 × Ω2 Khi Với hầu hết x thuộc Ω1 F (x, ·) ≡ y → F (x, y) ,