Biến đổi Fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn đăng đài Biến đổi fourier phân và ứng dụng Giải ph-ơng trình khuếch tán đối Với toán tử vi phân phân luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên - 2012 1S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn đăng đài Biến đổi fourier phân và ứng dụng Giải ph-ơng trình khuếch tán đối Với toán tử vi phân phân Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc thái nguyên - 2012 2S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - Năm 2012 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 5 1.1 Không gian Lizorkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân . . . . . . 8 1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân . . . . . . 11 2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp phân 14 2.1 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Toán tử vi phân cấp phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân theo biến thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian - thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời gian ngẫu nhiên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.1 Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương trình khuếch tán phân . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5.2 Nghiệm rõ ràng của phương trình khuếch tán phân với ν = 1/3, ν = 2/3, và ν = 4/3 . . . . . . 39 Kết luận 47 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Tài liệu tham khảo 48 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn luận văn. Các biến đổi Fourier phân là những công cụ toán học có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và kỹ thuật. Biến đổi Fourier phân đã được giới thiệu vào khoảng năm 1929. Những biến đổi này được ứng dụng đặc biệt trong cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết, hóa học, quang học, kỹ thuật điện, sử lý tín hiệu và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho những biến biến đổi Fourier là một trong ba tiến bộ quan trọng nhất của của toán học trong một phần tư cuối cùng của thế kỷ XIX. Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiện bởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1937. Điều quan trọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều bài viết đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980 [5], McBride và Kerr 1987 [4] Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực sự bùng nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và sử lý tín hiệu được công bố. Biến đổi Fourier phân là sự khái quát của toán tử tích phân Fourier thông thường. Việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng một vai trò quan trọng trong việc giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian [3,7]. Để giải phương trình khuếch tán phân ngoài biến đổi Fourier phân thì cũng cần đến biến đổi Laplace. Nghiệm u ν = u ν (x, t) của phương trình khuếch tán phân với cấp 0 < ν ≤ 2 là mật độ của tích các loại khác nhau của quá trình ngẫu nhiên. Đối với phương trình khuếch tán phân cấp ν = 1 2 n , n ≥ 1, nghiệm u 1/2 n là tương ứng của phân phối của chuyển động Brownian lặp n lần. Trường hợp của phương trình khuếch tán 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 phân cấp ν = 2 3 n , n ≥ 1 liên quan tới chuyển động Brownian và quá trình với mật độ biểu thị trong các số hạng của hàm Airy. Trong trường hợp đặc biệt u ν là trùng với phân phối của chuyển động Brownian với thời gian ngẫu nhiên hoặc của quá trình khác nhau với một thời gian Brownian. Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng phép biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong vật lý, cơ học điện tử, kĩ thuật điện và một số ngành khoa học khác. Sự ứng dụng rộng dãi trên nhiều lĩnh vực khoa học và toán học của phép biến đổi Fourier và ứng dụng giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân đã nói lên tầm quan trọng của vấn đề này. Vì thế, tôi lựa chọn luận văn này là mong muốn tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này. 2. Mục đích của luận văn. Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật về các biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa được quan tâm nhiều và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian nhằm thúc đẩy sự phát triển khoa học kỹ thuật trong khoảng hai thập niên gần đây. 3. Nội dung của luận văn. Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu tổng quan về biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa xét trong không gian Lizorkin. Đây là một trong những phép biến đổi Fourier phân được quan tâm nhiều hơn cả về lý thuyết cũng như ứng dụng. Chương 2: Giới thiệu về ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học. Em xin được bày 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K4C đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đăng Đài 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa Trong chương này trình bày cơ sở của biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa do Y. Luchko, H. Martinez, J. Trujillo đưa ra trong [3], mà chúng tôi tạm gọi là biến đổi Fourier phân dạng luỹ thừa MLT. Phép biến đổi này được xét trong không gian Lizorkin. 1.1 Không gian Lizorkin Không gian Lizorkin là một không gian con của không gian các hàm giảm nhanh S, vì vậy trước hết chúng tôi trình bày khái niệm về không gian S [ 2]. Định nghĩa 1.1.1. Ký hiệu S = S(R) là tập hợp của tất cả các khả vi vô hạn trên R, sao cho |[φ]| m,n := sup n≤m,x∈R (1 + x 2 ) m |D n φ(x)| < ∞, D = d/dx, m, n = 0, 1, Dãy {φ k } các hàm trong S hội tụ trong S đến hàm φ o ∈ S, nếu |[φ k − φ o ]| → 0 khi k → +∞. Định nghĩa 1.1.2. ([ 2]) Biến đổi Fourier ˆu(ξ) của hàm u(t) ∈ S được cho bởi công thức ˆu(ξ) = F[u](ξ) =  +∞ −∞ u(t)e iξt dt (1.1) 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp phân Trong chương này giới thiệu ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân với các biến không gian - thời gian [ 3, 7] Để nghiên cứu phương trình khuếch tán phân nói trên ngoài biến đổi Fourier phân (đối với biến không gian) chúng ta còn cần đến biến đổi Laplace (đối với biến thời gian) 2.1 Biến đổi Laplace Trong phần... (w)vα (w) −∞ i|w| α x −∞ Định lý được chứng minh 2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân theo biến thời gian Bây giờ chúng ta ứng dụng biến đổi Fourier phân để giải bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân [ 7] α D∗ u(x, t) ∂ 2u = µ 2, ∂x x ∈ R, t>0 (2.10) với điều kiện ban đầu u(x, t) = f (x), (2.11) t=0 α trong đó D∗ là đạo hàm phân Caputo cấp α theo thời gian được xác... trong S trực giao với tất các đa thức Nhận xét rằng, không gian Lizorkin và không gian đối ngẫu của nó có được nhiều người quan tâm Nói cụ thể, nó được chỉ ra rằng không gian Lizorkin là bất biến đối với tích phân phân và các toán tử vi phân (không gian S không có tính chất trên vì các tích phân phân và các đạo hàm của các hàm trong S không phải luôn thuộc S ) 1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa... bài toán Cauchy (2.10)- (2.11) là được cho bởi tích phân 1 u(x, t) = √ 4πµt ∫ +∞ e −(x−ξ) 4µt f (ξ)dξ −∞ 27Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian - thời gian Trong phần này, cách sử dụng hệ thức (1.25) như thế nào cho vi c giải phương trình vi phân cấp phân là được chỉ ra Chúng ta xem xét phương trình khuếch. .. − βs) ở đây tích phân là ở trên phía trái vòng lặp L−∞ rút ra làm tròn tất cả các cực điểm phía trái s = 0, −1, −2, của hàm lấy tích phân trong phương dương và biến đổi máy móc Mellin, chúng ta có thể nghịch đảo biến đổi Fourier phân (2.22) và biểu diễn hàm Green dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của tích phân Mellin - Barnes đã biết 2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời gian ngẫu... hàm cấp phân và toán tử tích phân phân Trong mục này chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa biến đổi Fourier phân và đạo hàm phân được xác định như sau: α α α (Dβ u)(x) = (1 − β)(D+ )(x) − β(D− u)(x), 0 < α ≤ 1, β ∈ R, (1.11) α α trong đó D+ và D− là đạo hàm phân Riemann-Liouville trên trục thực được xác định theo công thức ( d ) 1−α α (D± u)(x) = ± (I u)(x) dx ± (1.12) α Ở đây I± là toán tử tích phân phân... Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương trình khuếch tán phân Trong phần này chúng ta kiểm tra các mối quan hệ khác nhau giữa nghiệm của phương trình khuếch tán phân và các quá trình liên quan đến chuyển động Brownian [ 1] Trước tiên, chúng ta xét phương trình khuếch tán phân theo thời gian =λ 2∂ 2 u x ∈ R, t > 0, (2.23) ∂x2 ν với 0 < ν < 2 Đạo hàm phân D∗ u(x, t) theo thời gian trong (2.23)... 2.1), f (x) ∈ Φ(R) và µ là hệ số khuếch tán Định lý 2.3.1 Nếu 0 < α ≤ 1, bài toán Cauchy (2.10) - (2.11) là giải được và nghiệm u(x, t) là cho bởi tích phân ∫ +∞ u(x, t) = G(x − ξ, t)f (ξ)dξ, (2.12) −∞ trong đó ∫ +∞ G(x, t) = −∞ 2 e−iwx Eα (−µ |w| α tα )dw Chứng minh Chứng tỏ Fα [u(x, t); w] = uα (w, t), theo Định lý (2.2.2) ứng dụng của biến đổi Fourier phân tới phương trình (2.10) và điều kiện 26Số... hàm Dirac delta Từ toán tử (1.25) cho đạo hàm phân theo không gian và biến đổi Laplace công thức (2.17) cho đạo hàm phân Caputo theo thời gian chúng ta đưa ra công thức sau cho biến đổi Laplace và biến đổi Fourier phân của hàm Green: −i sin( απ )wGα (w, s) = sβ Gα (w, s) − sβ−1 2 Từ đó: sβ−1 Gα (w, s) = β s + i sin( απ )w 2 (2.19) Ta thấy hàm Green cho ban đầu nghịch đảo với biến đổi Laplace trong... i|ω|t e , ω ≥ 0 nghĩa là biến đổi Fourier phân cấp 1 là biến đổi Fourier thông thường F1 ≡ F Quan hệ giữa biến đổi Fourier phân và biến đổi Fourier thông thường được cho bởi công thức đơn giản như sau: uα (ω) = (Fα u)(ω) ≡ (Fu)(x) = u(x), ˆ ˆ trong đó x= { −|ω|1/α , ω ≤ 0, |ω|1/α , (1.8) (1.9) ω ≥ 0 Nếu (Fα u)(w) = (F1 u)(w) = φ(w), thì −1 −1 u = Fα (uα (w)) = Fα (φ(w)) Sử dụng hai công thức trên chúng . http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp phân Trong chương này giới thiệu ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân với các biến không. lý thuyết cũng như ứng dụng. Chương 2: Giới thiệu về ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân với các biến không gian -. HỌC NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng