Biến đổi Fourier phân và ứng dụng giải phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân phân

NGUYỄN ĐĂNG ĐÀIBIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012... NGUYỄN ĐĂNG ĐÀIBIẾN ĐỔI FOU

Tr-ờng đại học khoa học

Tr-ờng đại học khoa học

NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

NGUYỄN ĐĂNG ĐÀI

BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN ĐỐI

VỚI TOÁN TỬ VI PHÂN PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Thái Nguyên - Năm 2012

Mục lục

1 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 5

1.1 Không gian Lizorkin 5

1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa 6

1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân 8

1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân 11

2 Phương trình khuếch tán đối với toán tử vi phân cấp phân 14 2.1 Biến đổi Laplace 14

2.2 Toán tử vi phân cấp phân 18

2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình khuếch tán phân theo biến thời gian 21

2.4 Phương trình khuếch tán phân với các biến không gian - thời gian 23

2.5 Phương trình khuếch tán phân và các quá trình với thời gian ngẫu nhiên khác nhau 25

2.5.1 Chuyển động Brownian lặp được tạo ra bởi phương trình khuếch tán phân 25

2.5.2 Nghiệm rõ ràng của phương trình khuếch tán phân với ν = 1/3, ν = 2/3, và ν = 4/3 39

Tài liệu tham khảo 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn luận văn.

Các biến đổi Fourier phân là những công cụ toán học có nhiều ứngdụng quan trọng trong toán học và kỹ thuật Biến đổi Fourier phân đãđược giới thiệu vào khoảng năm 1929 Những biến đổi này được ứngdụng đặc biệt trong cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết, hóa học, quanghọc, kỹ thuật điện, sử lý tín hiệu và nhiều lĩnh vực khác đã khiến chonhững biến biến đổi Fourier là một trong ba tiến bộ quan trọng nhấtcủa của toán học trong một phần tư cuối cùng của thế kỷ XIX

Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiệnbởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1937 Điềuquan trọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiềubài viết đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980 [5], McBride

và Kerr 1987 [4] Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực sự bùng

nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và sử lý tín hiệuđược công bố

Biến đổi Fourier phân là sự khái quát của toán tử tích phân Fourierthông thường Việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier phân đóng mộtvai trò quan trọng trong việc giải phương trình khuếch tán phân đối vớitoán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian [3,7] Để giảiphương trình khuếch tán phân ngoài biến đổi Fourier phân thì cũng cầnđến biến đổi Laplace Nghiệm u ν = u ν (x, t) của phương trình khuếchtán phân với cấp 0 < ν ≤ 2 là mật độ của tích các loại khác nhaucủa quá trình ngẫu nhiên Đối với phương trình khuếch tán phân cấp

ν = 21n , n ≥ 1, nghiệm u 1/2 n là tương ứng của phân phối của chuyểnđộng Brownian lặp n lần Trường hợp của phương trình khuếch tán

phân cấp ν = 32n , n ≥ 1 liên quan tới chuyển động Brownian và quátrình với mật độ biểu thị trong các số hạng của hàm Airy Trong trườnghợp đặc biệt u ν là trùng với phân phối của chuyển động Brownian vớithời gian ngẫu nhiên hoặc của quá trình khác nhau với một thời gianBrownian.

Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng phép biến đổi Fourier có nhiềuứng dụng trong vật lý, cơ học điện tử, kĩ thuật điện và một số ngànhkhoa học khác Sự ứng dụng rộng dãi trên nhiều lĩnh vực khoa học

và toán học của phép biến đổi Fourier và ứng dụng giải phương trìnhkhuếch tán phân đối với toán tử vi phân phân đã nói lên tầm quantrọng của vấn đề này Vì thế, tôi lựa chọn luận văn này là mong muốntiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này

2 Mục đích của luận văn.

Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổibật về các biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa được quan tâm nhiều

và ứng dụng của nó trong việc giải phương trình khuếch tán phân đốivới toán tử vi phân phân với các biến không gian - thời gian nhằm thúcđẩy sự phát triển khoa học kỹ thuật trong khoảng hai thập niên gầnđây

3 Nội dung của luận văn.

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kếtluận và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về biến đổi Fourier phân dạng lũy

thừa xét trong không gian Lizorkin Đây là một trong những phép biếnđổi Fourier phân được quan tâm nhiều hơn cả về lý thuyết cũng nhưứng dụng

Chương 2: Giới thiệu về ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạng

lũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân đối với toán tử vi phânphân với các biến không gian - thời gian

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉbảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Em xin được bày

tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chânthành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đạihọc khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình học tập tại trường.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thànhviên trong lớp cao học toán K4C đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡtôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân cóhạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sựđóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012

Tác giảNguyễn Đăng Đài

1.1 Không gian Lizorkin

Không gian Lizorkin là một không gian con của không gian các hàmgiảm nhanhS, vì vậy trước hết chúng tôi trình bày khái niệm về khônggian S [ 2]

Định nghĩa 1.1.1 Ký hiệu S = S(R) là tập hợp của tất cả các khả

vi vô hạn trên R, sao cho

Định nghĩa 1.1.2 ([ 2]) Biến đổi Fourier u(ξ)ˆ của hàm u(t) ∈ S

được cho bởi công thức

và biến đổi Fourier ngược được cho như sau

Nhận xét rằng, không gian Lizorkin và không gian đối ngẫu của nó

có được nhiều người quan tâm Nói cụ thể, nó được chỉ ra rằng khônggian Lizorkin là bất biến đối với tích phân phân và các toán tử vi phân(không gian S không có tính chất trên vì các tích phân phân và cácđạo hàm của các hàm trong S không phải luôn thuộc S)

1.2 Biến đổi Fourier phân dạng lũy thừa

Định nghĩa 1.2.1 ([ 3]) Với hàm u ∈ Φ(R), biến đổi Fourier phân cấp α(0 < α ≤ 1), ˆu α được định nghĩa như sau

Nếu α = 1, hạch e α được xác định bởi công thức (1.7) trùng khớpvới hạch của biến đổi Fourier thông thường:

nghĩa là biến đổi Fourier phân cấp 1 là biến đổi Fourier thông thường

F1 ≡ F. Quan hệ giữa biến đổi Fourier phân và biến đổi Fourier thôngthường được cho bởi công thức đơn giản như sau:

1.3 Đạo hàm cấp phân và toán tử tích phân phân

Trong mục này chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa biến đổi Fourierphân và đạo hàm phân được xác định như sau:

Nhận xét rằng đạo hàm phân D β α đồng nhất với đạo hàm thôngthường với giá trị β bất kỳ, nếu α = 1 :

(I+α e iωt )(x) = e iωx |ω| −α (cos(απ/2) − isign(ω) sin(απ/2)). (1.19)

Chứng minh Sử dụng đổi biến số τ = x − t tích phân (I+α e iωt )(x) cóthể được biểu diễn dưới dạng

τ α −1 cos(ωτ )dτ − i 1

Γ(α)

∫ +∞0

τ α −1 sin(ωτ )dτ)

.

Cả hai tích phân trong biểu thức đều hội tụ dưới điều kiện ω ∈

R, ω ̸= 0, 0 < α < 1 và có thể được biểu diễn ở dạng giải tích nhờ sửdụng các công thức:

Công thức (1.19) được suy ra từ 3 phương trình trên Bổ đề đượcchứng minh.

Tương tự như trên ta có thể chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.2 Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1 Khi đó

(I − α e iωt )(x) = e iωx |ω| −α (cos(απ/2) + isign(ω) sin(απ/2)). (1.20)

Ta có thể tính đạo hàm phân của hàm số e iωt , ω ∈ R, ω ̸= 0.

iωx |ω| −(1−α)(cos((1− α)π/2) − isign(ω) sin((1 − α)π/2))

= e iωx (iω) |ω| −(1−α)(cos((1− α)π/2) − isign(ω) sin((1 − α)π/2))

= e iωx sign(ω) |ω| −(1−α) i(sin(απ/2) − isign(ω) cos(απ/2))

= e iωx |ω| α (cos(απ/2) + isign(ω) sin(απ/2)).

Bằng cách tương tự ta có thể chứng minh

Bổ đề 1.3.4 Giả sử ω ∈ R, ω ̸= 0 và 0 < α < 1 Khi đó

(D − α e iωt )(x) = e iωx |ω| α

(cos(απ/2) − isign(ω) sin(απ/2)). (1.22)

Nhận xét 1.3.1 Công thức (1.19)-(1.22) có thể xét tới mở rộng của

các công thức đã biết.

(I+α e λt )(x) = λ −α e λx , Re(λ) > 0, α > 0, (I − α e −λt )(x) = λ −α e −λx , Re(λ) > 0, α > 0,

(D α+e λt )(x) = λ α e λx Re(λ) > 0, α > 0, (D α − e −λt ) = λ α e −λx , Re(λ) > 0, α > 0,

trong trường hợp Re(λ) = 0, Im(λ) ̸= 0, 0 < α < 1.

Dưới đây là kết quả chính của phần này.

1.4 Biến đổi Fourier phân của đạo hàm cấp phân

Định lý 1.4.1 Giả sử 0 < α ≤ 1 và u là một hàm thuộc không gian Lizorkin Φ(R) Khi đó với giá trị bất kỳ của tham số β có hệ thức:

(F α D β α u)(ω) = ( −ic α ω)( F α u)(ω), ω ∈ R, (1.23)

trong đó c α là hằng số được xác định như sau:

c α = sin(απ/2) + isign(1 − 2β) cos(απ/2). (1.24)

Trong trường hợp riêng, đối với đạo hàm phân

D α 1/2 = 1/2(D+α − D α

− ),

hệ thức toán tử (1.23) có thể được biểu diễn dưới dạng

(F α D α 1/2 u)(ω) = ( −i sin(απ/2)ω)(F α u)(ω), ω ∈ R. (1.25)

Chứng minh Ta có các trường hợp xảy ra sau:

Trường hợp 2: Nếu ω = 0 ta chỉ ra rằng

(F α D α β u)(0) = 0, (1.26)

với hàm bất kỳ u từ không gian Lizorkin Φ(R). Thật vậy

ω : |v| = 1∀x, ω ∈ R vì vậy công thức (1.18) có thể chứng minh trựctiếp từ định lý Fubini với hàm bất kỳ u ∈ Φ(R). Sử dụng (1.18), (1.21)

= (−iω)(sin(απ/2) + i(1 − 2β) cos(απ/2))(F α u)(ω).

Trường hợp 4: α ̸= 1, ω < 0 giống trường hợp 3, nếu ta lấy hàm

v = e −i|ω| 1/α x thay thế vai trò của v = e i |ω| 1/α x, vì vậy thực hiện tính

= (−iω)(sin(απ/2) + i(1 − 2β) cos(απ/2))(F α u)(ω).

Nhận xét 1.4.1 Nếu α = 1, mối quan hệ (1.23) là quy về toán tử đã biết trong biến đổi Fourier với giá trị bất kỳ của tham số β

(F1D β1u)(ω) = ( F d

dx u)(ω) = ( −iω)(Fu)(ω), ω ∈ R. (1.27)

Nhận xét 1.4.2 Trường hợp : β = 1/2 được chú ý nhất (xem hệ thức

(1.25)) Có thể xét để tổng quát hoá hệ thức (1.27) cho biến đổi Fourier.

Trong các khả năng khác ta sử dụng các trường hợp sau:

1)β = 0,D α0 ≡ D α

+ :(F α D α+u)(ω) = ( −ic α ω)( F α u)(ω), ω ∈ R,

c α = (sin(απ/2) + isign(ω) cos(απ/2)).

2)β = 1,D α0 ≡ −D α

− :

(F α D α − u)(ω) = ( −ic α ω)( F α u)(ω), ω ∈ R,

c α = (sin(απ/2) − isign(ω) cos(απ/2)).

Chương 2

Phương trình khuếch tán đối với

toán tử vi phân cấp phân

Trong chương này giới thiệu ứng dụng của biến đổi Fourier phân dạnglũy thừa để giải phương trình khuếch tán phân với các biến không gian

- thời gian [ 3, 7]

Để nghiên cứu phương trình khuếch tán phân nói trên ngoài biến đổiFourier phân (đối với biến không gian) chúng ta còn cần đến biến đổiLaplace (đối với biến thời gian)

2.1 Biến đổi Laplace

Trong phần này, chúng ta định nghĩa biến đổi Laplace, biến đổiLaplace ngược, một vài tính chất của biến đổi Laplace và các ví dụ [ 6]

Định nghĩa 2.1.1 Cho một hàm f (t), t ≥ 0, biến đổi Laplace của nó

F (s) = Lf{t} là được định nghĩa

F (s) = Lf{t} =

∫ ∞0

Ví dụ 2.1.1. f (t) = 1 với t ≥ 0

F (s) = L{f(t)} = lim

A −→∞

∫ A0

e −st 1dt = lim

A −→∞ − 1

s e

−st 2

∞

e −st f ′ (t)dt = e −st