Đa thức ma trận và ứng dụng trong phương trình vi phân đại số tuyến tính

Tạ Duy Phượng - người đã tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu đề tài Đa thức ma trận và ứng dụng trong giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính.. M

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRAN DUC THIEN

DA THUC MA TRAN VA UNG DUNG

TRONG PHUONG TRINH VI PHAN

DAI SO TUYEN TINH

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

HA NOI, 2013

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên khóa 15 - Toán Giải tích đã quan tâm giúp

đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Tạ Duy Phượng - người đã tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu

đề tài Đa thức ma trận và ứng dụng trong giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định, kính mong nhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các bạn đề đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 07 năm 2013

Học viên

Trần Đức Thiện

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan

rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các

thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 10 tháng 07 năm 2013

Học viên

Trần Đức Thiện

MỞ ĐÀU

Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tinh

1.2 Một số bố đề từ lí thuyết biến đối ma trận

1.3 Phương pháp đa bước ấn giải phương trình vi phân thường

1.4 Sai phân hữu hạn

1.5 Phương pháp truy đuôi ba đường chéo

Chương 2 GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SÓ TUYẾN TÍNH CÁP HAI

2.1 Phương trình vi phân đại số cấp hai

2.2 Phương trình vi phân đại số cấp cao

2.3 Phương pháp giải số

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SÓ GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN

ĐÓI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SÓ CÁP HAI

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán thực tế dẫn tới mô hình toán học mô tả bởi các phương trình vi phân không giải được hiến thông qua đạo hàm cấp cao nhất Các phương trình này được gọi là phương trình vi phân ẩn Một dạng thường gặp của phương trình vi phân ấn là hệ gồm một (hệ) phương trình vi phân thường

và một ràng buộc đại số (không chứa đạo hàm) Các phương trình này thường được gọi là phương trình vi phân đại số

Chẳng hạn một số bài toán cơ học được mô tả bởi hệ ghép từ các phương trình vi phân thường bậc 1, phương trình vi phân thường bậc 2 và một ràng buộc (phương trình) đại số

Nói chung ta có thể đưa các phương trình vi phân đại số bậc cao về phương trình vi phân đại số bậc nhất, sau đó nghiên cứu và giải số phương trình vi phan dai số bậc nhất (xem, thí dụ, [7], [8]) Tuy nhiên cách tiếp cận này dẫn đến tăng số chiều của biến, do đó tăng giá (cos?) của tính toán, độ phức tạp tính toán tăng lên, cần nhiều ô nhớ,

Lí thuyết chùm ma trận đóng vai trò cơ bán trong việc nghiên cứu lí thuyết cũng như phân tích và xây dựng thuật toán giải số phương trình vi

phân tuyến tính bậc một Tuy nhiên lí thuyết này nói chung không thật phù

hợp cho các phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc cao, nói cách khác, lí thuyết chùm ma trận chỉ có thé sử dụng cho một lớp hẹp các phương trình bậc cao Đề phân tích các phương trình vi phân đại số bậc cao ta cần sử dụng

lí thuyết đa thức ma trận (matrix polynomials)

Mặc dù mới được bắt đầu nghiên cứu, lí thuyết đa thức ma trận đã bắt đầu có đóng góp trong nghiên cứu định tính cũng như xây dựng các thuật toán

Trong [2] đã đưa ra một số nghiên cứu mới về đa thức ma trận và ứng dụng trong phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc cao đề giải bài toán giá trị ban đầu và giải số bài toán biên đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc hai và bậc cao hơn (xem [2], [5])

Nhằm tìm hiểu một vấn đề thời sự và có ý nghĩa ứng dụng, tôi chon dé tài cho luận văn thạc sĩ của mình là Đa (hức ma trận và ứng dụng trong giải

hệ phương trình vi phân đại số tuyển tính

Trong luận văn này, tôi trình bày các tính chất của lớp đa thức ma trận dựa theo các bài báo [2]-[5] Các tính chất này được sử dụng để phân rã phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc m thành m hệ con, gồm các phương trình vi phân thường bậc z, m—1 1 và một hệ phương trình đại số tuyến tính Ở đây ta hiểu hệ phương trình vi phân đại số bậc mm là hệ phương

trình vi phân có đạo hàm đến bậc với ma trận hệ số của đạo hàm bậc zn là

suy biến

2 Mục đích nghiên cứu

Dựa trên các tính chất của đa thức ma trận, luận văn nghiên cứu một SỐ

tính chất định tính, giải số bài toán giá trị ban đầu và giải số bài toán biên

phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc hai và bậc cao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Khái niệm và các đặc thù của phương trình vi phân đại số

2 Khái niệm và các tính chất của đa thức ma trận

3 Giải số bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên của phương trình vi

phân đại số tuyến tính dựa trên các tính chất của đa thức ma trận

trình vi phân đại số tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu, đọc, phân tích và tổng hợp các tài liệu; Sử dụng các

công cụ của Đại số tuyến tính, Giải tích, Giải tích hàm và Giải tích số để viết

một luận văn nghiên cứu tổng quan về đề tài đã đặt ra

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là một tài liệu tổng quan về đa thức ma trận trong nghiên cứu định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số tuyến tính Hy vọng

Luận văn là một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học khi

bước đầu nghiên cứu phương trình vi phân đại số

KIEN THUC CHUAN BỊ

Chương này trình bày một số đặc thù của phương trình vi phan dai số tuyến tính, các kiến thức cơ sở của lí thuyết chùm ma trận, đa thức ma trận (matrix polynomials) và tiêu chuẩn hạng - bậc (rank - degree), phương pháp đa bước

và phương pháp sai phân giải phương trình vi phân thường cần thiết trong các chương sau

1.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính

Các phương trình vi phân thường dang

f

đã được nghiên cứu khá kỹ trong vòng vài ba trăm năm trở lại đây

Ta thường kí hiệu đạo hàm của hàm số xứ) tại điểm t+ bởi một trong ba kí hiệu x), dx hoặc #0)

dt

Một số dạng đặc biệt của phương trình vi phân ẩn F(t, x, x')=0 cting da

dugc Lagrange, Riccati, , nghién cứu từ cách đây khoảng 200 năm Tuy

nhiên, do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật và thực tế, phương trình vi phân ấn

Fứ, x, x)=0 cấp một và phương trình vi phân ấn cấp cao mới chỉ được quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ, về cả lí thuyết định tính và phương pháp số, trong khoảng 30 năm gần đây

Nếu act + 0 trong lân cận nghiệm thì theo định lí hàm ấn, phương trình vi

x’

phan 4n F(t, x,x)=0 c6 thé đưa về phương trình vi phân thường x'= ƒŒ x) Như vậy, cũng có thể coi phương trình vi phân ấn là dạng tổng

quát của phương trình vi phân thường, vì mọi phương trình vi phân thường

(1.1.1) đều có thé dua vé dang 4n F(t, x, x’)=0 voi F(t, x, x) =x'— f (t,x)

Mét dang don gian nhat cia phwong trinh 4n F(t, x, x')=0 1a phwong trinh vi phân đại số tuyến tinh dang

EŒ)xŒ)+ A(Œ)xŒ) = ƒŒ) te(a,b) (1.1.2)

với det E(t) =0

Ta dinh nghia nghiém (theo nghĩa cổ điển) của phương trình vi phân ấn FứŒ, x, x)=0 trên một khoảng (ø,b) nào đó là một hàm khả vi liên tục xứ)

trén (a,b) sao cho F(t, x(t), x'(t)) =0 trén (a,b)

Dưới đây ta phân tích đặc /hù của phương trình vi phân đại số tuyến tính thông qua một số ví dụ

Thí dụ 1.1.1 Xét hệ phương trình vi phan đại số tuyến tính thuần nhất với hệ

trình vi phân (I.1.4a) (chứa đạo hàm) và một ràng buộc dai số (1.1.4b) (không

chứa đạo hàm) Hệ (1.1.4) có thể viết dudi dang

xiŒ)+2x/Œ)+x,Œ)+2x,Œ) =0; (1.1.4a)

Hệ này có vô số nghiệm dạng x,()=-2x,() với x,(/) là một hàm số bat kì

Hơn nữa, ta thấy dãy hàm vectơ

Như vậy không gian nghiệm của (1.1.4) là vô hạn chiều

Thí dụ 1.1.1 cho thấy, không phải lúc nào không gian nghiệm của phương

trình vi phân đại số tuyến tính cũng là hữu hạn chiều Đây là một điểm khác

biệt của phương trình vi phân đại số tuyến tính so với hệ phương trình vi phân thường: Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất đạng

voi A(t) 14 ma tran vuông cấp xứ: có đúng nghiệm độc lập tuyến tính,

hay không gian nghiệm của hệ (1.1.5) là hữu hạn chiều

Trong ví dụ này ta có

[ ) | ) 7 “0

và det(4E+ A)=0 VẬeÏR

Cặp ma trận (E.A) có tính chất det(2E+ A)=0 VÄAelR được gọi là cặp

ma trận không chính qui Nếu tồn tại một số 4e] sao cho det(AE + A) #0 thì ta nói cặp ma trận (E.A) là chính qui

Hệ (1.1.4) là hệ phương trình vi phân đại số thuẫn nhất dừng (với hệ số

hằng) Ta đã biết một kết quả sau đây về không gian nghiệm của hệ phương

trình vi phân đại số với hệ số hằng

Định lí 1.1.1 ([6]) Cặp ma trận (E,A) là chính qui khi và chỉ khi không gian nghiệm của phương trình E%Œ) + AxŒ) =0 là hữu hạn chiều Hơn nữa, số chiều của không gian nghiệm bằng bậc của đa thức đặc trưng det(ÂE + A)

Định lí này cho thấy, tính chính qui của cặp ma trận (E ; A) dong vai tro quan

trọng, nhiều khi là quyết định, trong cấu trúc tập nghiệm của phương trình vi

phân đại số với hệ số hằng

Thí dụ 1.1.2 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số biến

Hệ trên có duy nhất một nghiệm x,(t) =0, x;ứ)=0

That vay, ttr phuong trinh fx, (f)+ x, (¢t) =0 ta có x,(t) =—1x, (0)

Hon nữa: x,() -| fl ) ¡ =0,1, là nghiệm của hệ va {+,Œ)}_„ là độc lập

tuyến tính Do đó nó là cơ sở của không gian nghiệm Như vậy ta thấy, không

gian nghiệm là vô hạn chiều mặc dù

det(+EŒ)+ AŒ))=z=1z0 VÂ

Với 7 # Ï thì

x;()=— ()

tx (t) + (xy (1) — x, () + 7x, () = 0 (oo =-fM(f) „a { (1) =0

Hệ này đã được xét trong Thí dụ 1.1.2

Khi y #1 thì hệ có duy nhất nghiệm xứ) =0

Khi 6 4#6€;6 #0;£ #0 thì

(:+)x;Œ)+x;Œ)+zx¡ứ)=0

(Œ+£)xŒ)+x;()=0

Line!

det(AE(t) + AŒ)) = Ä?+ Â2ổ+7— †— 2e = 1(ö—£)+z+0_ Vỗ#e£;y #0,

họ nghiệm x(,£,ð),x,(f,£,ở) không tiến tới nghiệm xŒ)=0, thậm chí

|x, (t,€,5)| > +00 khi_ d;¢ > +0

Như vậy, nhiễu dù nhỏ bao nhiêu cũng có thể làm thay đổi số chiều của không gian nghiệm Hơn nữa, nghiệm có thể không liên tục (không ổn định) theo tham số

Đây cũng là điểm khác biệt của phương trình vi phân đại số so với phương trình vi phân thường: nghiệm của phương trình vi phân thường liên tục theo

về phải, theo tham số và theo giá trị ban đầu

Thí dụ 1.1.4 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính không thuần nhất

Như vậy, nếu ta chỉ giả thiết ƒ €C (a,b), tức là f liên tục nhưng không khả

vi thì hệ (1.1.8) là vô nghiệm, vì khi ấy x; (7) không tồn tại Để hệ có nghiệm

(cổ điền) ta phải đặt điều kiện, thí dụ, khá thô thiền, là ƒ, e CỶ (ø,b)

Thí dụ 1.1.5 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính không thuần nhất

với hệ sô biên thiên

Như vậy, hệ (1.1.9) giải được (có nghiệm) khi và chỉ khi về phải của phương

trình (1.1.9) thỏa mãn điều kiện ƒ;() = /,Œ) Với điều kiện này hệ có vô số

những điều kiện ràng buộc nhất định, gọi là điều kiện tương thích, đặt lên hai

về của phương trình và đặt lên điều kiện ban đầu

Khác với phương trình vi phân thường, cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số có hệ số biến thiên phức tạp hơn rất nhiều so với trường hợp hệ số hằng

Ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất,

không gian nghiệm luôn hữu hạn và không phụ thuộc vào về phải Với

phương trình vi phân đại số, tính chất số chiều hữu hạn của không gian

nghiệm liên quan chặt chẽ với tính giải được của hệ không thuần nhất

Nhiễu nhỏ của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có thể sẽ thay đổi chiều của không gian nghiệm, thậm chí ngay cả trong trường hợp rankE() không thay đối theo thời gian 7 Tức là cấu trúc nghiệm của phương trình không ổn định theo tham số

Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số, ngay cả trong trường hợp

hệ tuyến tính, là một đề tài thú vị Nó cũng liên quan đến rất nhiều bài toán

khác (Lí thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân đại số, điều khiển tối ưu hệ mô tả bởi phương trình vi phân đại số).Tuy nhiên, đó không phải là

mục đích của Luận văn này Ở đây, chỉ đặt mục đích, thông qua một số ví đụ,

làm rõ một số đặc thù của phương trình vi phân đại số

Có thể tham khảo lí thuyết phương trình vi phân đại số qua các sách chuyên

khảo, thí du, [6], [7],

1.2 Một số bé dé tir li thuyét bién déi ma tran

Đề giải hệ phương trình đại số tuyến tính hay hệ phương trình vi phân tuyến tính, ta thường đưa các hệ tổng quát về các hệ đơn giản thông qua phép biến đổi ma trận Hoàn toàn tương tự, để giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến

tính, ta cũng phải biến đổi phương trình vi phân đại số tuyến tính tổng quát về dạng giải được nhờ phép biến đối ma trận Mục này trình bày các kiến thức cơ bản nhất về biến đối ma trận cần thiết cho hai chương sau

Bồ đề 1.2.1 (xem [6], tr 35) Gid stv cdc phan tir cia ma trén A(t) cap nxn

m [0,1]

thuộc vào lớp C” , va rankA(t)=k =const voi moi t [0.1] Khi đó với mọi

r [0,1] tôn tại các ma trận P() và Q6) cấp nxu không suy biến mà các phân tử của chúng thuộc vào lớp Cũ và thỏa mãn hệ thức

P(t)A(t)Q(t) = diag (E,,0)= lộ 0] › (1.2.1)

trong đó E, là ma trận đơn vị bậc k xk

Voi hai ma tran A(t), B(t), ta lap ho cac ma trận 2AŒ) + 8ứ) phụ thuộc vào

A va goi AA(t) + Bt) 1a chum ma trén (matrix pencil)

Định nghĩa 1.2.1 (xem [6], tr 52) Chim ma tran AA(t)+ B(t) thoa man tiéu chuẩn hang — bậc (rank - degree) trên khoảng [0,1] nếu

rankAŒ) =degdet(4A0) + Bữ)) =k =const, với mọi 7 e[0,I] (1.2.2)

Trong tài liệu [7], [8] các chùm ma trận như trên có tên là chừm ma trận chỉ

số 1 hay chùm ma trận có cầu trúc đơn giản

Nếu chùm ma trận 4A() + Bứ) thỏa mãn tiêu chuẩn hạng - bậc thì (xem [6],

tr 47-52) với mọi ¢ s[0, 1] tồn tại các ma trận không suy biến P(t) va Q(t)

mà các phần tử của chúng đều có đạo hàm cùng cấp với các phần tử của chùm

ma trận và thỏa mãn

PựX42A0) + B0))Q0) = Ädiag(E,,0)+diag(J 0), E,_.),

" 3) (9 "] mm `

Xét da thức ma tran

AA(t) +VB(t)+C(@), voi moi t €[0,1], (1.2.4)

trong do A(t), B(t), C(t) 1a cac ma tran cap nxn, con J va v lacac sé thực

Bồ đề 1.2.2 ([2], Bồ đề 2) Giá sử các điều kiện sau được thỏa mãn

() Các phan tử cua cac ma trdn A(t), B(t) va C(t) cấp nxn thuộc vào lớp

ham Cn [0.1]?

(ii) rankA(t) =k =const, với mọi t € [0, 1];

(iii) rank{A(@)| B()} =k +1 =const, voi moi t €[0,1];

(iv) detAA(t) + VB(t) + C(t) = a(tyA‘v' + , Vd dy(t) #0, voi moi t € [0, I] Khi do, voi moi t [0.1] ton tại các ma trận không suy biến R(t) va S(t) cap

m fo.) 8@0 cho nxn mà các phần tử của chúng thuộc vào lớp C

Chứng mỉnh Do ma trận A() thỏa mãn (i) va (ii) của Bồ để nên theo Bồ đề

1.2.1, với mợi r e[0,1] tồn tại các ma trận không suy biến P(t) va Q(t) sao

trong đó Ö„,, C„ là các ma trận khối kxk, B,, va C,, la cac ma trận khối bậc

(n—k)x(n—k), B,, va C,, 1a cdc ma tran khéi kx(u—k), và B„, và C,, là

các khối („—k)xk

Khai triển định thức của ma trận khối (1.2.6) theo k cột đầu tiên, ta được detO(4,v,/) = det PŒ)(4! +1,0)4“” + +1,0)det(B,„0) + C„())detQ0)

Theo gia thiét (iii) va (iv) cua B6 dé, chim ma tran vB,,(t)+C,,(¢) thỏa mãn

tigu chudn hang — bac, két hop cting voi (1.2.3) suy ra tồn tại các ma trận h

va Q, bac (n—k)x(n—k) khong suy bién sao cho

P(t)(VB,,(t) + C,,(t))Q, (t) = vdiag(E,,0) + diag(m(t), E,_,_,)

E 0 Nhân Q, =diag(E,,Q,(t)) | 0 Q io] với (1.2.6) từ bên phải, ta được

Pú003400/0 =A[ 6 Jo , 0 0} \(ñB, ñB,Ø} \(ñC„ ñCzO nhị poe }

Ở đây và trong toàn Luận văn, để đơn giản, ta bỏ qua kí hiệu các ma trận phụ

thuộc vào 7 Thí dụ, thay vì viết B,,(t) thi ta viét B,,

Sử dụng hệ thức (1.2.7), ta viết lại về phải của hệ thức cuối cùng theo dạng

chỉ tiết hơn

E, 0 0 Jy Jy J; hy ho hs A} 0 0 Ol+vlJ, 0 H1, 1 0 |, (1.2.9) 000) |7, 0 0) |1, 0 E„u,

trong đó các ma trận khối có cùng số chiều như trong hệ thức (1.2.5), và theo

giá thiết (ii) và (1ï) của Định lí, khối 7„, đồng nhất bằng 0.

hy —Ủ;Ở,, —h; —h¡ — Fists, by — Fila, 0

Từ đây ta tìm dugc R va S voi R=P, P, P va S = QO Q> Q;, trong do P, P2, P 3,

Q, Q2 va Q; 1a cac ma trận được xác định như trong chứng minh

Vậy Bồ đề được chứng minh

1.3 Phương pháp đa bước ấn giải phương trình vỉ phân thường

Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình

Kí hiệu giá trị của nghiệm của phương trình vi phân (1.3.1) tại các điểm í, là

Với k=l ta có:

Poin + PX, = MOS Ci Xd + OL G%))-

Đây chính là tông quát hóa của phương pháp Euler ấn một bước

Với Pp, =ơ, =1, /ø.=ø, =1 ta có phương pháp Euler tiến

*,¡ =lƒŒ,.x,)

Trong phương pháp này, giá trị của x tại thời điểm z,., được tính trực tiếp theo

giá trị của x tại thời điểm z, nhờ giá trị hàm số ƒŒ,,x,) Biết giá trị ban đầu

x(t,)=%,, ta lần lượt tính được các giá trị x,,x,, %,.Vi vậy, phương pháp

Euler tiễn là phương pháp hiển

Với ø, =ơ, =l, ø.=ơ, =0 ta có phương pháp Euler lùi

Xian =Œ,¡s3,.)-

Phương pháp Euler lùi sử dụng thông tin tại điểm cuối t, iw» Vi Vay noi chung chính xác hơn phương pháp phương pháp Euler tiến Tuy nhiên, giá trị của xtại thời điểm f,„ được tính bằng cách giải một phương trình phi tuyến Ax) =x—hf (t,,,.x) =0, thi dy, bằng phương pháp Newton-Raphson Vì vậy, phương pháp Euler lùi là phương pháp ẩn

Với ø, =1, p, =9,0, =9, => ta có phương pháp hình thang

Xu =2 (/sx,)% 7024):

Phương pháp hình thang cũng là phương pháp ẩn

Như vậy, ta thấy phương pháp đa bước là tổng quát hóa phương pháp một

bước, chứa khá nhiều các phương pháp cô điển đã biết

Với ¡=0, công thức (1.4.3) có dạng:

PoX, + OX t+ OM = MOLE AIAG GM) + + GL GX „))-(.3.4)

Để tính được x,, ta phải biết k giá trị đầu XysX ys X_,- Gia thiét rang cac gia tri ban dau Xg.X, +,„ đã được biết, ta lần lượt tính được các giá trị x,,x,, theo công thức (1.3.3) (hoặc (1.3.4))

Nếu ø, =0 và ơ, =0 thì (1.4.4) trở thành

M=~/Ø*g —‹‹-— Ø,Xy +h(ơ,ƒ(,.x,)+ +Ø,ƒ,,.3,,))-

Khi ấy x, tính được trực tiếp qua các giá trị x„,x„ x,„ Khi ấy ta có

phương pháp hiển

Nếu Ø, #0 và ơ, 0 thì ta có phương pháp Gn

Phương pháp một tựa tương ứng với phương pháp đa bước có dạng

là tổ hợp của k vị trí f,„í,„ f,„„ isk và theo

thời diém t= Oyf,,, + + Oy bia gs

K gid tri X,,.X, 50 Xi ge

Phương pháp đa bước ân, cùng với nó là phương pháp một tựa, là các phương pháp khá tổng quát và hiệu quả trong giải số phương trình vi phân thường mà trong Chương 2 và Chương 3 ta cũng sẽ sử dụng

1.4 Sai phân hữu hạn

Định nghĩa 1.4.1 Cho dãy số {x,}, n=0,1,2, Ta goi sai phân hữu hạn tiến

cấp 1 của hàm sô x„ với nc<RÑ là hiệu

Ax, FX Tne

Sai phân cấp 2 của hàm x, là sai phân của sai phân cấp l của x,, va tong quat sai phân cấp & của hàm +, là sai phân của sai phân cấp k—1 của hàm số đó Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm x, 1a

A5, =A(Ax,)= Ax,— ÂM, = uy — Xu 7 nat TH) = Mune 7 Mpa † Xu

Tổng quát, sai phân cấp & của hàm x, là

k

A'x, = A(AN'x,) = Ax, Ax, = DDC Xa ¡=0

! trong do C, =- k —-

/—0!

1.5 Phương pháp truy đuôi ba đường chéo

Xét hệ phương trình

Ax=ƒ, trong đó ma trận A có dạng ba đường chéo

cai — bx, = fs 4X; +¢,X, —b,x,,, = f,, 1=2,3, ,.n-1, (1.5.2)

KA Xn FOX = Sy

Giả sử œ #0 (¡ =1,2, ) Từ phương trình thứ nhất của hệ rút ra

GC