TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
TRAN DUC THIEN
DA THUC MA TRAN VA UNG DUNG
TRONG PHUONG TRINH VI PHAN
DAI SO TUYEN TINH
LUAN VAN THAC Si TOAN HOC
Trang 2Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên khóa 15 - Toán Giải tích đã quan tâm giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Tạ Duy Phượng - người đã tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình tìm hiểu, nghiên cứu
đề tài Đa thức ma trận và ứng dụng trong giải hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định, kính mong nhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các bạn đề đề tài nghiên cứu được hồn thiện hơn
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 07 năm 2013
Học viên
Trang 3Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan
rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Hà Nội, ngày 10 tháng 07 năm 2013
Học viên
Trang 4MỞ ĐÀU
Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI
1.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tinh 1.2 Một số bố đề từ lí thuyết biến đối ma trận
1.3 Phương pháp đa bước ấn giải phương trình vi phân thường 1.4 Sai phân hữu hạn
1.5 Phương pháp truy đuôi ba đường chéo
Chương 2 GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SÓ TUYẾN TÍNH CÁP HAI
2.1 Phương trình vi phân đại số cấp hai 2.2 Phương trình vi phân đại số cấp cao 2.3 Phương pháp giải số
Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SÓ GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
Trang 61 Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán thực tế dẫn tới mơ hình tốn học mơ tả bởi các phương trình vi phân không giải được hiến thông qua đạo hàm cấp cao nhất Các phương trình này được gọi là phương trình vi phân ẩn Một dạng thường gặp của phương trình vi phân ấn là hệ gồm một (hệ) phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số (không chứa đạo hàm) Các phương trình này thường được gọi là phương trình vi phân đại số
Chẳng hạn một số bài toán cơ học được mô tả bởi hệ ghép từ các phương trình vi phân thường bậc 1, phương trình vi phân thường bậc 2 và một ràng buộc (phương trình) đại số
Nói chung ta có thể đưa các phương trình vi phân đại số bậc cao về phương trình vi phân đại số bậc nhất, sau đó nghiên cứu và giải số phương trình vi phan dai số bậc nhất (xem, thí dụ, [7], [8]) Tuy nhiên cách tiếp cận này dẫn đến tăng số chiều của biến, do đó tăng giá (cos?) của tính toán, độ phức tạp tính toán tăng lên, cần nhiều ô nhớ,
Lí thuyết chùm ma trận đóng vai trò cơ bán trong việc nghiên cứu lí thuyết cũng như phân tích và xây dựng thuật toán giải số phương trình vi
phân tuyến tính bậc một Tuy nhiên lí thuyết này nói chung không thật phù
hợp cho các phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc cao, nói cách khác, lí thuyết chùm ma trận chỉ có thé sử dụng cho một lớp hẹp các phương trình bậc cao Đề phân tích các phương trình vi phân đại số bậc cao ta cần sử dụng lí thuyết đa thức ma trận (matrix polynomials)
Trang 7Trong [2] đã đưa ra một số nghiên cứu mới về đa thức ma trận và ứng dụng trong phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc cao đề giải bài toán giá trị ban đầu và giải số bài toán biên đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc hai và bậc cao hơn (xem [2], [5])
Nhằm tìm hiểu một vấn đề thời sự và có ý nghĩa ứng dụng, tôi chon dé tài cho luận văn thạc sĩ của mình là Đa (hức ma trận và ứng dụng trong giải hệ phương trình vi phân đại số tuyển tính
Trong luận văn này, tôi trình bày các tính chất của lớp đa thức ma trận dựa theo các bài báo [2]-[5] Các tính chất này được sử dụng để phân rã phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc m thành m hệ con, gồm các phương trình vi phân thường bậc z, m—1 1 và một hệ phương trình đại số tuyến tính Ở đây ta hiểu hệ phương trình vi phân đại số bậc mm là hệ phương
trình vi phân có đạo hàm đến bậc với ma trận hệ số của đạo hàm bậc zn là
suy biến
2 Mục đích nghiên cứu
Dựa trên các tính chất của đa thức ma trận, luận văn nghiên cứu một SỐ
tính chất định tính, giải số bài toán giá trị ban đầu và giải số bài toán biên
phương trình vi phân đại số tuyến tính bậc hai và bậc cao 3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các vấn đề sau:
1 Khái niệm và các đặc thù của phương trình vi phân đại số
2 Khái niệm và các tính chất của đa thức ma trận
3 Giải số bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên của phương trình vi
Trang 8trình vi phân đại số tuyến tính 5 Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu, đọc, phân tích và tổng hợp các tài liệu; Sử dụng các
công cụ của Đại số tuyến tính, Giải tích, Giải tích hàm và Giải tích số để viết
một luận văn nghiên cứu tổng quan về đề tài đã đặt ra 6 Đóng góp của đề tài
Luận văn là một tài liệu tổng quan về đa thức ma trận trong nghiên cứu định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số tuyến tính Hy vọng
Luận văn là một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học khi
Trang 9KIEN THUC CHUAN BỊ
Chương này trình bày một số đặc thù của phương trình vi phan dai số tuyến tính, các kiến thức cơ sở của lí thuyết chùm ma trận, đa thức ma trận (matrix polynomials) và tiêu chuẩn hạng - bậc (rank - degree), phương pháp đa bước và phương pháp sai phân giải phương trình vi phân thường cần thiết trong các chương sau
1.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính Các phương trình vi phân thường dang
Fx), xe, te (ab), (aay
f
đã được nghiên cứu khá kỹ trong vòng vài ba trăm năm trở lại đây
Ta thường kí hiệu đạo hàm của hàm số xứ) tại điểm t+ bởi một trong ba kí hiệu x), dx hoặc #0)
dt
Một số dạng đặc biệt của phương trình vi phân ẩn F(t, x, x')=0 cting da
dugc Lagrange, Riccati, , nghién cứu từ cách đây khoảng 200 năm Tuy
nhiên, do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật và thực tế, phương trình vi phân ấn Fứ, x, x)=0 cấp một và phương trình vi phân ấn cấp cao mới chỉ được quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ, về cả lí thuyết định tính và phương pháp số, trong khoảng 30 năm gần đây
Nếu act + 0 trong lân cận nghiệm thì theo định lí hàm ấn, phương trình vi x’
Trang 10quát của phương trình vi phân thường, vì mọi phương trình vi phân thường
(1.1.1) đều có thé dua vé dang 4n F(t, x, x’)=0 voi F(t, x, x) =x'— f (t,x)
Mét dang don gian nhat cia phwong trinh 4n F(t, x, x')=0 1a phwong trinh vi phân đại số tuyến tinh dang
EŒ)xŒ)+ A(Œ)xŒ) = ƒŒ) te(a,b) (1.1.2)
với det E(t) =0
Ta dinh nghia nghiém (theo nghĩa cổ điển) của phương trình vi phân ấn FứŒ, x, x)=0 trên một khoảng (ø,b) nào đó là một hàm khả vi liên tục xứ)
trén (a,b) sao cho F(t, x(t), x'(t)) =0 trén (a,b)
Dưới đây ta phân tích đặc /hù của phương trình vi phân đại số tuyến tính thông qua một số ví dụ Thí dụ 1.1.1 Xét hệ phương trình vi phan đại số tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng Ex'(t)+ Ax(t) =0,t €(a,b), (1.1.3) (; Wee} NA (1.1.4) 0 0/\xz@)J (1 2j\„ứ) 1 2 : \
Hệ đã chocó E= [, ñ voi det E =0, vi vậy không thê đưa hệ (1.1.4) về dạng phương trình vi phân thường Thực chất (1.1.4) là hệ gồm một phương
trình vi phân (I.1.4a) (chứa đạo hàm) và một ràng buộc dai số (1.1.4b) (không
chứa đạo hàm) Hệ (1.1.4) có thể viết dudi dang
xiŒ)+2x/Œ)+x,Œ)+2x,Œ) =0; (1.1.4a)
Trang 11Hệ này có vô số nghiệm dạng x,()=-2x,() với x,(/) là một hàm số bat kì
Hơn nữa, ta thấy dãy hàm vectơ
; x(t) 2Ì
x! (rt) = a = Ữ } i=1,2
là nghiệm của hệ (1.1.4) với mọi ¿=I,2 , bởi vì quan hệ x/”Œ)=—2x;”Œ) được thỏa mãn với mọi f và mọi ï = I,2
Hệ vô hạn các hàm {x O} là độc lập tuyến tính Thật vậy, ta có 2 + 25c 0 oe Ye xM=| “9 = (6) ©>}c¡ =0 Ví c(a,b) ¡=0 i i=0 Do tr \ là cơ sở trong không gian các đa thức @= {Pato =at';m= ¬" i=0 nên suy ra c, =0 Vi =0,1,2
Như vậy không gian nghiệm của (1.1.4) là vô hạn chiều
Thí dụ 1.1.1 cho thấy, không phải lúc nào không gian nghiệm của phương
trình vi phân đại số tuyến tính cũng là hữu hạn chiều Đây là một điểm khác
biệt của phương trình vi phân đại số tuyến tính so với hệ phương trình vi phân thường: Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất đạng
xŒ)= AŒ)xŒ) (1.1.5)
voi A(t) 14 ma tran vuông cấp xứ: có đúng nghiệm độc lập tuyến tính,
hay không gian nghiệm của hệ (1.1.5) là hữu hạn chiều
Trang 12[ ) | ) 7 “0
AE+A=^ + = ›
0 0) U 2 1 2
và det(4E+ A)=0 VẬeÏR
Cặp ma trận (E.A) có tính chất det(2E+ A)=0 VÄAelR được gọi là cặp ma trận không chính qui Nếu tồn tại một số 4e] sao cho det(AE + A) #0 thì ta nói cặp ma trận (E.A) là chính qui
Hệ (1.1.4) là hệ phương trình vi phân đại số thuẫn nhất dừng (với hệ số
hằng) Ta đã biết một kết quả sau đây về không gian nghiệm của hệ phương
trình vi phân đại số với hệ số hằng
Định lí 1.1.1 ([6]) Cặp ma trận (E,A) là chính qui khi và chỉ khi không gian nghiệm của phương trình E%Œ) + AxŒ) =0 là hữu hạn chiều Hơn nữa, số chiều của không gian nghiệm bằng bậc của đa thức đặc trưng det(ÂE + A)
Định lí này cho thấy, tính chính qui của cặp ma trận (E ; A) dong vai tro quan
trọng, nhiều khi là quyết định, trong cấu trúc tập nghiệm của phương trình vi
phân đại số với hệ số hằng
Trang 13(* ‘ ’ " wu 2 AE(t)+ A(t) = + = 0 0 t | t 1 Néu y=O thi det(AE(t)+ AQ) =0 VieR Và (1.1.6) trở thành tx (t) + x5 (t) =0; te (t) + x,(t) =0 Hệ trên có duy nhất một nghiệm x,(t) =0, x;ứ)=0
That vay, ttr phuong trinh fx, (f)+ x, (¢t) =0 ta có x,(t) =—1x, (0)
Suy ra x;()=-—fxŒ)—+x¡Œ)
Thay vào phương trình fx/(Œ) + x;(Œ) =0 ta được
txị()+x;Œ) =ix/0)+(—Œ)—x())=—x¡ứ) =0
Vậy x;Œ)=0 Suy ra x,()=0
Đây cũng là một đặc thù nữa của phương trình vi phân đại số: Phương trình vi phân đại số tuyến tính có thể có duy nhất nghiệm không phụ thuộc gì vào giá
tri ban dau Voi vy =1 thi 1 nhạc tx, (t) + x, (t) =0 x, (t) =—tx, (t) i t
Hon nữa: x,() -| fl ) ¡ =0,1, là nghiệm của hệ va {+,Œ)}_„ là độc lập
tuyến tính Do đó nó là cơ sở của không gian nghiệm Như vậy ta thấy, không
gian nghiệm là vô hạn chiều mặc dù
Trang 14x;()=— () tx (t) + (xy (1) — x, () + 7x, () = 0 (oo =-fM(f) „a { (1) =0 S&S — (y-1)x,(t) =0 x,(t) =0 0160) Vậy (1.1.6) có duy nhất nghiệm x()=0 mặc dù det(2#Œ)+ AŒ))=zz0_ VÀ
Thí dụ này cho thấy, Định lí 1.1.1 không còn đúng đối với hệ phương trình vi phân có hệ số biến thiên
Thí dụ 1.1.3 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất với hệ số biến thiên FM 0 0j\x;ứ) tte 1)\x,(t) 0 ow với ? c[0,1];x el”;,ø là các nhiễu đủ nhỏ Khi 6 =0,¢ =0 thi 012 | 0 Olea) eal Lt 1J\x;ứ) ee Fo tx; (t) + x5 (t) + 7x, (1) = 0; tx, (t) + x, (t) =0 Hệ này đã được xét trong Thí dụ 1.1.2
Khi y #1 thì hệ có duy nhất nghiệm xứ) =0
Khi 6 4#6€;6 #0;£ #0 thì
(:+)x;Œ)+x;Œ)+zx¡ứ)=0
(Œ+£)xŒ)+x;()=0
Trang 16det(AE(t) + AŒ)) = Ä?+ Â2ổ+7— †— 2e = 1(ö—£)+z+0_ Vỗ#e£;y #0,
họ nghiệm x(,£,ð),x,(f,£,ở) không tiến tới nghiệm xŒ)=0, thậm chí
|x, (t,€,5)| > +00 khi_ d;¢ > +0
Như vậy, nhiễu dù nhỏ bao nhiêu cũng có thể làm thay đổi số chiều của không gian nghiệm Hơn nữa, nghiệm có thể không liên tục (không ổn định) theo tham số
Đây cũng là điểm khác biệt của phương trình vi phân đại số so với phương trình vi phân thường: nghiệm của phương trình vi phân thường liên tục theo về phải, theo tham số và theo giá trị ban đầu
Thí dụ 1.1.4 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng [ elt eet) te(a,b) (1.1.8) 0 0)j\x;0) 0 1Jj\x,Œ) #0) Ta có: (1.1.8) © ti O=hO — {* ()=f,0- £0: x(t) = fp) X,(t) = f,(0
Như vậy, nếu ta chỉ giả thiết ƒ €C (a,b), tức là f liên tục nhưng không khả
vi thì hệ (1.1.8) là vô nghiệm, vì khi ấy x; (7) không tồn tại Để hệ có nghiệm
(cổ điền) ta phải đặt điều kiện, thí dụ, khá thô thiền, là ƒ, e CỶ (ø,b)
Thí dụ 1.1.5 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính không thuần nhất
với hệ sô biên thiên
( 2) (2/9) (1.1.9)
Trang 17Ta có: txŒ)+x;Œ)+x¡Œ) = #0); (1.1.9) =| 1x, Œ)+x,0) =0) Hệ thuần nhất tx(f)++x;Œ)+x„Œ)=0 tx, (t) + x,(t) =0 Vx@)eC'; có nghiệm là (xem Thí dụ (1.1.2)): x; (f) =—tx (f) Đối với hệ (1.1.9) ta có: no +32Œ)+x;()= #Œ) x(t) = ƒ;Œ)—mữ) © _ Œ)+(#0)—£Œ)—x,Œ))+x¡0)= #0) x;(f) = #0) —í (t) Suyra ƒ#Œ)= #0)
Như vậy, hệ (1.1.9) giải được (có nghiệm) khi và chỉ khi về phải của phương
trình (1.1.9) thỏa mãn điều kiện ƒ;() = /,Œ) Với điều kiện này hệ có vô số
nghiệm dạng
{ts (theC';
x;() = ƒ;()—fx 0)
Trang 18những điều kiện ràng buộc nhất định, gọi là điều kiện tương thích, đặt lên hai
về của phương trình và đặt lên điều kiện ban đầu
Khác với phương trình vi phân thường, cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân đại số có hệ số biến thiên phức tạp hơn rất nhiều so với trường hợp hệ số hằng
Ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất,
không gian nghiệm luôn hữu hạn và không phụ thuộc vào về phải Với
phương trình vi phân đại số, tính chất số chiều hữu hạn của không gian
nghiệm liên quan chặt chẽ với tính giải được của hệ không thuần nhất
Nhiễu nhỏ của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có thể sẽ thay đổi chiều của không gian nghiệm, thậm chí ngay cả trong trường hợp rankE() không thay đối theo thời gian 7 Tức là cấu trúc nghiệm của phương trình không ổn định theo tham số
Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số, ngay cả trong trường hợp
hệ tuyến tính, là một đề tài thú vị Nó cũng liên quan đến rất nhiều bài toán
khác (Lí thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân đại số, điều khiển tối ưu hệ mô tả bởi phương trình vi phân đại số).Tuy nhiên, đó không phải là
mục đích của Luận văn này Ở đây, chỉ đặt mục đích, thông qua một số ví đụ,
làm rõ một số đặc thù của phương trình vi phân đại số
Có thể tham khảo lí thuyết phương trình vi phân đại số qua các sách chuyên
khảo, thí du, [6], [7],
1.2 Một số bé dé tir li thuyét bién déi ma tran
Trang 19tính, ta cũng phải biến đổi phương trình vi phân đại số tuyến tính tổng quát về dạng giải được nhờ phép biến đối ma trận Mục này trình bày các kiến thức cơ bản nhất về biến đối ma trận cần thiết cho hai chương sau
Bồ đề 1.2.1 (xem [6], tr 35) Gid stv cdc phan tir cia ma trén A(t) cap nxn
m [0,1]
thuộc vào lớp C” , va rankA(t)=k =const voi moi t [0.1] Khi đó với mọi
r [0,1] tôn tại các ma trận P() và Q6) cấp nxu không suy biến mà các phân tử của chúng thuộc vào lớp Cũ và thỏa mãn hệ thức
P(t)A(t)Q(t) = diag (E,,0)= lộ 0] › (1.2.1)
trong đó E, là ma trận đơn vị bậc k xk
Voi hai ma tran A(t), B(t), ta lap ho cac ma trận 2AŒ) + 8ứ) phụ thuộc vào
A va goi AA(t) + Bt) 1a chum ma trén (matrix pencil)
Định nghĩa 1.2.1 (xem [6], tr 52) Chim ma tran AA(t)+ B(t) thoa man tiéu chuẩn hang — bậc (rank - degree) trên khoảng [0,1] nếu
rankAŒ) =degdet(4A0) + Bữ)) =k =const, với mọi 7 e[0,I] (1.2.2)
Trong tài liệu [7], [8] các chùm ma trận như trên có tên là chừm ma trận chỉ số 1 hay chùm ma trận có cầu trúc đơn giản
Nếu chùm ma trận 4A() + Bứ) thỏa mãn tiêu chuẩn hạng - bậc thì (xem [6], tr 47-52) với mọi ¢ s[0, 1] tồn tại các ma trận không suy biến P(t) va Q(t) mà các phần tử của chúng đều có đạo hàm cùng cấp với các phần tử của chùm
ma trận và thỏa mãn
Trang 20" 3) (9 "] mm `
= + = (1.2.3)
0 0 0 địa 0 Eve
Xét da thức ma tran
AA(t) +VB(t)+C(@), voi moi t €[0,1], (1.2.4)
trong do A(t), B(t), C(t) 1a cac ma tran cap nxn, con J va v lacac sé thực
Bồ đề 1.2.2 ([2], Bồ đề 2) Giá sử các điều kiện sau được thỏa mãn
() Các phan tử cua cac ma trdn A(t), B(t) va C(t) cấp nxn thuộc vào lớp
ham Cn [0.1]?
(ii) rankA(t) =k =const, với mọi t € [0, 1];
(iii) rank{A(@)| B()} =k +1 =const, voi moi t €[0,1];
(iv) detAA(t) + VB(t) + C(t) = a(tyA‘v' + , Vd dy(t) #0, voi moi t € [0, I] Khi do, voi moi t [0.1] ton tại các ma trận không suy biến R(t) va S(t) cap m fo.) 8@0 cho nxn mà các phần tử của chúng thuộc vào lớp C ®Œ)(1A0@) + vBữ)+CŒ))SŒ) E0 0\ (J0 0 J,0\ (G0) €0) 0 =A|0 0 Of+vy| 0 £ 0 |+|Cứ) Œứ) 0 | (1245) 0 00 00 0 0 0 E,,
trong đó E,.E, và E,,, là các ma trận đơn vị có bậc tương ứng là k,l,n—k-l; J,,J, và C,,i=1,2,3,4 la cdc ma trận khối với số chiêu tương
Trang 21Chứng mỉnh Do ma trận A() thỏa mãn (i) va (ii) của Bồ để nên theo Bồ đề
1.2.1, với mợi r e[0,1] tồn tại các ma trận không suy biến P(t) va Q(t) sao cho on [5 ) P0)A0)00) = diag(E,,0)= 0 0 nxn Suy ra, QA, Vv, 1) = POAA) +vB0) + CữŒ))QŒ) = ÄP0Œ)A0) QứŒ)+vP()BŒ)Q0)+ Pữ)CŒ)Q0Œ) l ) ee | (ee cha] = +V + 0 0 Bt) B,(t)) (CQ Œ„Œ) _ / +vB,Œ)+€ŒjŒ) vB,,(t)+ cho] vB,()+C¿Œ)— vB„ứ)+Œ„Œ) (1.2.6)
trong đó Ö„,, C„ là các ma trận khối kxk, B,, va C,, la cac ma trận khối bậc
(n—k)x(n—k), B,, va C,, 1a cdc ma tran khéi kx(u—k), và B„, và C,, là
các khối („—k)xk
Khai triển định thức của ma trận khối (1.2.6) theo k cột đầu tiên, ta được detO(4,v,/) = det PŒ)(4! +1,0)4“” + +1,0)det(B,„0) + C„())detQ0)
Theo gia thiét (iii) va (iv) cua B6 dé, chim ma tran vB,,(t)+C,,(¢) thỏa mãn
tigu chudn hang — bac, két hop cting voi (1.2.3) suy ra tồn tại các ma trận h va Q, bac (n—k)x(n—k) khong suy bién sao cho
P(t)(VB,,(t) + C,,(t))Q, (t) = vdiag(E,,0) + diag(m(t), E,_,_,)
(: ) (™ 0 ) (1.2.7)
=y +
Trang 22E 0 Nhân Q, =diag(E,,Q,(t)) | 0 Q io] với (1.2.6) từ bên phải, ta được 1 QA, V.1)Q,(t) = F 9) rn mo ee cha) F 0 =|  +V + 0 0 B„0) B0) Œ„ứ) Cứ) 0 Q0) - (ae pale cao} (1.2.8) 0 0 Buứ) B„0)@0Œ)} (CuO C;0)Ø,0) E0 Nhân P, = diag(E,,P.0)) -( 0 no) với (1.2.8) từ bên trái, ta được 1 B0)(4.,v.t)Q;()= (§ 0 [§ soe l0) [Eu ene) 0 FC) 0 0 By (t) B„0)@0)} (C0) €;0)Ø,0)} hay H, 0 B B C €;
Pú003400/0 =A[ 6 Jo , 0 0} \(ñB, ñB,Ø} \(ñC„ ñCzO nhị poe }
Ở đây và trong toàn Luận văn, để đơn giản, ta bỏ qua kí hiệu các ma trận phụ
thuộc vào 7 Thí dụ, thay vì viết B,,(t) thi ta viét B,,
Sử dụng hệ thức (1.2.7), ta viết lại về phải của hệ thức cuối cùng theo dạng
chỉ tiết hơn
E, 0 0 Jy Jy J; hy ho hs
A} 0 0 Ol+vlJ, 0 H1, 1 0 |, (1.2.9) 000) |7, 0 0) |1, 0 E„u,
trong đó các ma trận khối có cùng số chiều như trong hệ thức (1.2.5), và theo
Trang 24hy —Ủ;Ở,, —h; —h¡ — Fists, by — Fila, 0
+ by —È;J; Ly 0
0 0 E41
Từ đây ta tìm dugc R va S voi R=P, P, P va S = QO Q> Q;, trong do P, P2, P 3, Q, Q2 va Q; 1a cac ma trận được xác định như trong chứng minh
Vậy Bồ đề được chứng minh
Trang 25Với k=l ta có:
Poin + PX, = MOS Ci Xd + OL G%))-
Đây chính là tông quát hóa của phương pháp Euler ấn một bước Với Pp, =ơ, =1, /ø.=ø, =1 ta có phương pháp Euler tiến
*,¡ =lƒŒ,.x,)
Trong phương pháp này, giá trị của x tại thời điểm z,., được tính trực tiếp theo
giá trị của x tại thời điểm z, nhờ giá trị hàm số ƒŒ,,x,) Biết giá trị ban đầu
x(t,)=%,, ta lần lượt tính được các giá trị x,,x,, %,.Vi vậy, phương pháp
Euler tiễn là phương pháp hiển
Với ø, =ơ, =l, ø.=ơ, =0 ta có phương pháp Euler lùi
Xian =Œ,¡s3,.)-
Phương pháp Euler lùi sử dụng thông tin tại điểm cuối t, iw» Vi Vay noi chung chính xác hơn phương pháp phương pháp Euler tiến Tuy nhiên, giá trị của xtại thời điểm f,„ được tính bằng cách giải một phương trình phi tuyến Ax) =x—hf (t,,,.x) =0, thi dy, bằng phương pháp Newton-Raphson Vì vậy, phương pháp Euler lùi là phương pháp ẩn
Với ø, =1, p, =9,0, =9, => ta có phương pháp hình thang
Xu =2 (/sx,)% 7024):
Phương pháp hình thang cũng là phương pháp ẩn
Như vậy, ta thấy phương pháp đa bước là tổng quát hóa phương pháp một
bước, chứa khá nhiều các phương pháp cô điển đã biết
Trang 26PoX, + OX t+ OM = MOLE AIAG GM) + + GL GX „))-(.3.4)
Để tính được x,, ta phải biết k giá trị đầu XysX ys X_,- Gia thiét rang cac gia tri ban dau Xg.X, +,„ đã được biết, ta lần lượt tính được các giá trị
x,,x,, theo công thức (1.3.3) (hoặc (1.3.4))
Nếu ø, =0 và ơ, =0 thì (1.4.4) trở thành
M=~/Ø*g —‹‹-— Ø,Xy +h(ơ,ƒ(,.x,)+ +Ø,ƒ,,.3,,))-
Khi ấy x, tính được trực tiếp qua các giá trị x„,x„ x,„ Khi ấy ta có
phương pháp hiển
Nếu Ø, #0 và ơ, 0 thì ta có phương pháp Gn
Phương pháp một tựa tương ứng với phương pháp đa bước có dạng
k k k
YX =F LO inj DF Xear_) (1.3.5)
j=0 j=0 j=0
Dạng tường minh:
Ø*X.¡ +03, + + 03, = h(ƒ (G0, + +Ø, i+ i+l-k Lis 2 OX, i+l +Ơ,+ +Ø/xiu2))- Nhu vay, dé tinh gid tri x,,, tai mỗi bước ¡, ta cần tinh giá trị của hàm ƒ tại
là tổ hợp của k vị trí f,„í,„ f,„„ isk và theo
thời diém t= Oyf,,, + + Oy bia gs K gid tri X,,.X, 50 Xi ge
Phương pháp đa bước ân, cùng với nó là phương pháp một tựa, là các phương pháp khá tổng quát và hiệu quả trong giải số phương trình vi phân thường mà trong Chương 2 và Chương 3 ta cũng sẽ sử dụng
1.4 Sai phân hữu hạn
Định nghĩa 1.4.1 Cho dãy số {x,}, n=0,1,2, Ta goi sai phân hữu hạn tiến
Trang 27Ax, FX Tne
Sai phân cấp 2 của hàm x, là sai phân của sai phân cấp l của x,, va tong quat sai phân cấp & của hàm +, là sai phân của sai phân cấp k—1 của hàm số đó Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm x, 1a
A5, =A(Ax,)= Ax,— ÂM, = uy — Xu 7 nat TH) = Mune 7 Mpa † Xu
Trang 28Thế biểu thức trên vào phương trình thứ hai khi ¡=2 ta rút ra được biếu diễn
của x, qua x; Vì thế ta sẽ đi tìm nghiệm của hệ trong dạng
x, =4,%,,+ B, (1.5.4)
trong đó ø, /Ø, là các hệ số cần xác định Muốn vậy, thế biểu thức
X,, =@,,,x,+ B_, vào phương trình thứ ¡—I (>2) ta thu được biểu diễn của xX, qua x,,, b, x ,frtah ; xj = it C¡ — đỡ, \ C¡ — đỡ, \ So sánh biểu thức này với (1.5.3) ta rút ra: mm "=“ (1.5.5) C, — 4,06, C, —4,Q,_ Để ý đến (1.5.3) ta có: =) pa (1.5.6) €
Như vậy, theo công thức (1.5.5)-(1.5.6) ta lần lượt tính các hệ số a,, 8,
Œ =l, ,m— ID Khi ¡=nø—1 công thức (1.5.3) cho ta x„¡ =ø,„ ¡x„ + ,_¡
Thế biểu thức này vào (1.5.2) ta tìm được:
Sit
Pra
C, +a,@, n~n-1
n
Đây chính là Ø, tính theo công thức (1.5.3)
Bây giờ, sau khi biết x„ và các hệ số ø„./đ,, theo công thức (1.5.3) ta sẽ tính được x, với ¡=n—1,n— 2 1
Phương pháp trình bày ở trên để giải hệ phương trình ba đường chéo được gọi là phương pháp truy đuối Phương pháp này có thê tóm lược lại bao gồm hai qua trình sau:
Trang 29Tính = , 8= Án, a, = b, 8# 4Ä af „(=2 € €¡ — đỚ, C, — đ;Ø, i i i-l sl) Quá trình truy đuổi ngược: Đặt x„ = /, n? tinh x, =@,x,,,+8, G@=n-l, D
Trong một số điều kiện nhất định phương pháp trên là khả thi va én dinh
Định lí sau đây chỉ rõ điều đó
Định lí 1.5.1 (xem, thí dụ, [10]) Giá sử các hệ số của ma trận (1.5.1) thỏa mãn điều kién b,, a,, c, #0, G=1, ,.n) va n? ls|> 1 aj,lal>la|+lbị =2, ,n-1), trong đó có ít nhất một bất đẳng thức là chặt Khi đó: A, =¢,—a,a_, #0 va la,|<1, (i =2, ,7) i i-l Chứng mỉnh Vì |c,| =|b| #0 nén |a,|= = eis! Khi do: le, — a,@4| 2 |e,| —|a,||@4| 2 a,| + |b,| —\a,||@%| vi |ey| > |aa| + |b;| =|a,|(1—|a,|) +\b,|=|b,| > 0 Suy ra |c, —a,@,| #0 va |a,|=——"— || | <1 |c„—a„a|—- Tương tự, từ ớ;| <] ta suy ra |œ;|<1 lø|<1, i=2 m Suy ra
le —4,#,¡|3|6|—|a¡ la, |>l,|+|b|—|aj|le,.| vì |e¡ >|a| + |bị
=|a;\(1-|@,,|) +|b] = |b| > 0, voi moi i
Trang 30GIẢI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN ĐẠI SÓ TUYẾN TÍNH CÁP HAI
2.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính cấp hai
Xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân đại số tuyến tính không thuần nhất cấp hai
AŒ)x”0) +BŒ)x')+CŒ)xứŒ) = fC, Vt €[0,1] (2.1.1)
với điều kiện ban đầu
x(0) =a, x'(0) =b, (2.1.2) trong do f(t) la ham vecto n - chiéu, a va b 1a cdc véc to thudc R",
A0), B0) và Cứ) là các ma trận cap nxn di tron, x(t) eR"
Định nghĩa 2.1.1 Một hàm vectơ xứ) có đạo hàm cấp hai khả vi liên tục
được gọi là nghiệm của phương trình (2.1.1) với điều kiện ban đầu (2.1.2),
nếu khi thay x() vào phương trình (2.1.1) thì (2.1.1) đúng với mọi ¿ e[0,1]
và điều kiện ban đầu (2.1.2) được thỏa mãn
Néu det A(t) #0 véi moi ¢ €[0,1] thì nhân phương trình (2.1.1) với A'”(), ta có thế đưa (2.1.1) về phương trình vi phân thường cấp 2 Vì vậy trong Luận văn này, ta giả sử
đet A0) =0 với mọi / e[0, Ï], (2.1.3)
và điều kiện ban đầu (2.1.2) đặt chính (tức là bài toán (2.1.1)-(2.1.2) có
nghiệm)
Trang 31phân thường cấp hai Đề làm rõ điều này, trước hết ta xét phương tình vi phân
đại số bậc nhất
EŒ)xŒ)+AŒ)xŒ) = ƒŒ)., với mọi r e[0,l] (2.1.4)
với điều kiện ban
x(0) =a, (2.1.5)
trong do E(t)va A(t) la cac ma tran bac nxn, det E(t)=0 Ta gia sử dữ kién cho ban dau dat chinh (tic 1a pha hop voi vé phai dé phuong trinh cd
nghiệm)
Độ phức tạp của phương trình vi phân đại số (2.1.4) được đặc trưng bởi chỉ số
của nó Khái niệm chỉ số đã được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau (xem,
thí dụ, [7]), dưới đây ta định nghĩa chỉ số theo [6] như sau
Định nghĩa 2.1.2 ([6], tr 496 — 506) Gia sử tồn tại toán tử vi phân tuyến tính L, -Y10( 4) d a d’ =h)+h@) + LO +4 LO) dt" , Vte[0,1]
sao cho khi tác động toán tử này từ bên trái vào về trái của phương trình (2.1.4), ta có thé dua về trái của phương trình (2.1.4) về dạng
£,°(B)x)+C0)x0)) =B,0)x)+C¡0)x0),
trong do det B,(t) #0, Vt €[0,1]
Số tự nhiên bé nhất rz để toán tử £„ thỏa mãn điều kiện trên, được gọi là chi số của phương trình vi phân đại số (2.1.4) với điều kiện ban đầu (2.1.5)
Nhận xét Cách xây dựng của toán tử Z, có thế tìm thấy trong [6] Ý nghĩa
của toán tử tích phân Z, là: Tác động toán tử tích phân £, vao vé trái của
Trang 32đến phương trình vi phân thường (với ma trận thuộc x'(/) không suy biến) Vì vậy định nghĩa chỉ số ở đây khá gần với khái niệm chỉ số vi phân: chỉ số của phương trình (2.1.4) chính là số lần lấy đạo hàm để đưa phương trình vi phân
đại số về phương trình vi phân thường Trong [6] cũng đã chỉ ra rằng định
nghĩa trên và các định nghĩa khác về chỉ số (chỉ số Kroneker, chỉ số hình học,
chỉ số mềm, ) của phương trình vi phân đại số (2.1.4) là tương đương cho trường hợp phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính cấp hai
A@)x"Œ)+B()x'Œ)+C0)xữ) = F(t), Vt e[0.1]
với điều kiện ban đầu x(0)=a, x(0)=b thì ta cũng định nghĩa chỉ sỐ tương tự như trên Tuy nhiên định nghĩa này cho rất ít thông tin về khả năng của việc sử dụng khái niệm chỉ số trong phương pháp tìm nghiệm bằng phương pháp số Đề minh họa cho điều này, ta xét hai ví dụ đơn giản sau
Ví dụ 2.1.1 Xét phương trình vi phân đại số cấp hai dạng
( ml
0 0 J\y'ớ)J \yớ)} (AO! (2.1.6)
x(0) = a,,x'(0) =b,, y(0) = f,(0), y'(0) = ƒ, (0)
Phương trình (2.1.6) có chỉ số 2, bởi vì khi ta lấy hai lần đạo hàm ta đưa được
về một phương trình vi phân thường
Thật vậy ta đưa bài toán (2.1.6) về dạng tường minh
l +a„,()y"Œ) +xữ) = ƒ.@); (217)
yữ)= ƒ/,0),
Trang 33trong do x"(t1)+a,(Oy"() + x(t) = ƒ,() là một phương trình vi phân cấp hai, yữ)= ƒ,Œ) là một ràng buộc đại số, x(0)= a, x(0)=b, y(0)= ƒ,(0),
y0) = fy (0) 1a diéu kiện ban dau
Giả sử f,(t)c6 dao ham kha vi lién tuc đến cấp hai
Lay dao ham hai lan y(t) = ƒ,() ta được ° ve +a,,(t)y"(t) + xữ) = #0); yữ)= #0) os tro +a,,(t)y"(t) + xŒ) = #0); y'9)= #0), eo fre +xŒ)= ƒŒ)—a,()ƒ70); y'0)= #0)
Vậy phương trình vi phân đại số ban đầu được đưa về phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai
( In *( eel 20%?) (2.1.8)
0 IYO) (0 Oyo) (LAO
Nhận xét Một lần nữa ví dụ này cho thấy, để đưa phương trình vi phân đại số về phương trình vi phân thường ta cần có điểu kiện tương thích, nghĩa là hàm
ft) trong vi dy 2.1.1 phải có đạo hàm cấp 2 Sau khi đưa về phương trình vi phân thường (2.1.8), bài toán (2.1.6) có thể giải được bằng các phương pháp
đa bước ân cô điển
Ví dụ 2.1.2 Xét phương trình vi phân đại số cấp hai dạng
Oak Meee} 0 0j\y 'ớ) 1 thy@® f(t) a
Trang 34on +y"O=f,0; S&S MO+y'O=fO, x(0) =a,,x'(0) =b,, y(O) =a,, y'(0) =b, © x"(t) + ty"(t) — ƒ.Œ)=0; xŒ)+/y0)- ƒ0)=0, (2.1.10)
x(0) =a,,x'(0) =b,, y(0) =a,, y (0) =b,
Trang 35l ứ A Vi ca =0 nên ta tác động tiệp toán tử t 0 Old 1 0 0 0\a Ị 0 E,+ —= + —= d “ \=I 1đ 0 1 -1 ljadt -1 l+— dt vào phương trình trên ta được Ị AT = 0 = —— l+——(x'+p'+x'+(+I)y—#T—ƒ, dt d dt d " , , , = 0 ? x"+ty"— f, =0; d „ " d ” ” , r r (“pe +ty =J)+q+¬.)G +fy"+x+ứ+l)y- ƒ,-— ƒ,)=0 x" +ty" — f, =0; Mey be Dy ffl +L HOD ye fff =0, x"+ty"— f, =0; x'+£e"+x'+Œ+l)y'— ƒ,— ƒ +x'+y'+Œ+l)y "+ ƒ#-ƒ -ƒ, =0, x" +ty"—f =0; 2x'+2y'+x'+i'+y +2 '= =8 + =8) =0, x +/y"- ƒ =0; y"+2y'+2ƒ+ƒ-2ƒ,-ƒ, =0, lo 0l 2}*(s 2| š)* lay „;- = + = OW") (0 2y) (2/+ƒ/—-2/-
Trang 36Ta thấy không có toán tử vi phân tuyến tính bậc nhất dạng £,=L,(t)+L, Oe đưa bài toán nay về hệ phương trình vi phân thường
t
Trong ví dụ này, ta có
det(AA(t) + B(t)) = det + = det =0 (2 là sô)
0 0 1 ứ 1 ¢
Như vậy, áp dụng phương pháp đa bước ấn cô điển vào bài toán này dẫn đến hệ sai phân hữu hạn
at k
~2 "
Anh ` GX, + Bh ` 8jX.—¡ = Sis
j=0 j-0
trong đó ma trận của x,,, suy biến với mọi ¡ Từ đó suy ra phương pháp đa bước cô điển về mặt nguyên tắc không áp dụng được vào bài toán này
Ta thấy, trong cả hai ví dụ trên, hệ phương trình vi phân đại số đều có chỉ số
2, nhưng ta có thể sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn đa bước ấn ở ví dụ 2.1.1,
còn ví dụ 2.1.2 thì không
Dưới đây trình bày các kết quả trong [2] giải bài toán giá trị đầu của phương
trình vi phân đại số tuyến tính cấp hai (2.1.1)-(2.1.2) có chỉ số 2 Phương
trình vi phân đại số tuyến tính cấp một với chỉ số không vượt quá 2 đã được giải trong [3]
Trước khi giải số, ta tìm cách phân rã hệ (2.1.1) thành ba hệ con, gồm một
phương trình vi phân thường bậc 2, một phương trình vi phân thường bậc | và một phương trình đại số nhờ phép biến đổi ma trận không suy biến dựa trên các Bồ đề về biến đổi ma trận nêu trong Chương I
Định lí 2.1.1 Giả sử hệ (2.1.1) thỏa mãn các điều kiện sau:
() Các ma trận A(), Bứ) và Cứ) thỏa mãn các giả thiết cia Bé dé 1.1.2
Trang 37rankA(0) = rank{ A(O)| f(0) — C(O)a — B(O)d}
Khi ấy Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân đại số tuyến tính cấp hai (2.1.1)-(2.1.2) có nghiệm duy nhất và tổn tại các ma trận P(t) và Q() không suy biến sao cho nếu hệ (2.1.1) được nhân với Pũ) vào về trải,
và đổi biến x() =QŒ)yŒ) thì hệ ban đầu được phân rã thành ba hệ con gầm
một phương trình vi phân thường bậc 2, một phương trình vi phân thường bậc 1 và một phương trình đại số
Chứng mỉnh Thay 7=0, x(0)=a và x(0)=b vào hệ (2.1.1), ta được:
A(0)x”(0) = ƒ(0)— C(0)a— B(O)b
Theo giả thiết (ii) của định lí, đữ kiện ban đầu (2.1.2) là tương thích với về phải của hệ (2 I L) Nhân (2.1.1) với ma trận Rứ) từ bên trái ta được Rữơ)A0Œ)x”0) +RŒ)BŒ)x'Œ)+Rữ)C0)xữ) = Rữ) ƒŒ) Thế xứ)=.SŒ)yứ) trong đó SŒ) và RŒ) là các ma trận như trong Bồ đề 1.1.2, ta được hệ ROAO(SOYO) +ROBO(SOYOY +ROCO(SO¥O)=ROFO với 5Œ)yữŒY =ŠŒ)yŒ)+5SŒ)y0);
(SŒ)y0))” = S"0)y')+2S'0)y'0) + SŒ)y”0)
Như vậy, hệ (2.1.1) đã được đưa về được dạng
(RAS) y" +(2 RAS" + RBS) y' +(RAS" + RBS'+RCS) y= Rf (2.1.11)
Trang 38E, 0 0 RAS = diag(E,,0,0)=| 0 0 0}, (2.1.12) 0 00 2RAS'+RBS =2RAS(S”1S")+ RBS m m, mM, J, O J, d, d, d, =|0 0 0|+|0 E 0|=|l0 E 0| (1.13) 0 0 0 0 0 0 0 00 RAS"+ RBS'+ RCS = RAS(S 'S")+ RBS(S 1S")+ RCS a a, a, 8Ø, 8 ŒC, 0 =|0 0 0I+|Ø Ø /ø@|+|C Cc, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 £,, MN 72 3 =|% 7 % | (2.1.14) 00 E„,, trong đó d,,d,,d, va cac Vj F =1,2, 6 là các ma trận khối có kích thước thích hợp Đặt y=(7,v ,w }” và Pf =(ø, ,9,",w;") và tính đến các công thức (2.1.12) - (2.1.14), ta viết lại hệ (2.1.11) đưới dạng ” ' E, 0 0)ju d, d, d,\(u 1 7 Ys u 81 0 0 0lv|+|0 E 0v |+|7, 7z # vị=|øg;| (2.1.15)
0 0 O}\w 0 0 O)}\w 0 O E,,,)\w 83
Trang 39E, 0 O\fu q O q\{u hn 0 u S, 0 0 0lvy|+|0 £ Off vidi, gs 0 v |=] s, 0 O O}\w 0 O 0j\w 0 0 E,,.,)\w % u"+qu'+qutrutnye=s,, o Vitnut+rny=s,, (2.1.16) w=s,
Như vậy, ta đã phân rã hệ ban đầu về hệ gồm ba hệ con: một phương trình vi phân thường bậc 2, một phương trình vi phân thường bậc 1 và hệ thức đại số
Vậy Định lí được chứng minh
2.2 Phương trình vi phân đại số cấp cao
Các kết quả trong Muc 2.1 có thể tổng quát hóa cho hệ phương trình vi phân
đại số tuyến tính bậc cao
YA?) =g(t), te[0,1], (2.2.1)
i=0
với điều kiện ban đầu
LO) o= 4; 7 =0L P-L (2.2.2)
trong dd A,,i=0,1, ,p, la cac ma tran nxn voi cac phan tu du tron, g(t) là
ham vec to - n chiéu va det A) (t) =0
Ta phát biểu điều kiện đủ để hệ (2.2.1) được phân rã thành m (w< p) các hệ
con phương trình vi phân thường bậc < p và có thêm một hệ thức đại số nhờ
phép biến đổi không suy biến
Trước khi phát biểu kết quả này, ta trình bày một mở rộng của Bồ đề 1.1.2
Xét đa thức ma trận
Trang 40trong đó 4, là các sé thực và A,0) là các ma trận với các phần tử của nó thuộc
vào lớp C1,
Bỗ đề 2.2.1 Cho đa thức ma trận (2.2.3) thỏa mãn các điều kiện sau
(i), rankA,(t) =1, =const, Vt € [0,1];
Gi), rank{A,()1A,() 1A,O}=1, +1 + +1, =const,Vt [0,1];
(iii), det(g,,(D) =a, (NAPAN Am + vd ay(t) #0, Vt €[0,1],m< p
Khi do voi moi r e[0.1] ton tại các ma trận vuông không suy biến S(t) va
R(t) véi cdc phan tử thuộc lớp C* sao cho
ROG, O)SO = DAB Œ), trong đó E, 0 0 B, =diag(E, ,0,0)=) 0 0 0}, 0 00 B,(t) 0 B,(t) B,)=|} 0 E, 0 |,j=0,1, m—-L, 0 0 0 B„œ) B,„œ@) 0 B,, (t) = B;, (t) B,,, (t) 0 0 0 bị voi B,,(t) là các ma trận vuông có bậc lạ +h + +l, 1, B,,0) B„0) B,„0), B,,,(t), và B,,,(t) la cdc ma trận khối có kích thước tương ứng và kí hiệu 0 là
ma trận 0) với kích thước tương ứng