Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong phương trình vi phân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* HOÀNG THỊ DƢ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nhân dịp này, cho phép em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng - người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trình nghiên cứu hình thành khóa luận Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa, đặc biệt tổ Giải tích bạn sinh viên khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện, giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực cơng tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu xót Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Tháng 05 năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Dƣ LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace ứng dụng phƣơng trình vi phân” hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Em xin cam đoan khóa luận khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình làm khóa luận, em tham khảo số tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, Tháng 05 năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Dƣ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Error! Bookmark not defined Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận .1 NỘI DUNG CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số Phức 1.2 Một số khái niệm phương trình vi phân 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Bài toán Cauchy .4 1.2.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân CHƢƠNG BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 Một số khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các ví dụ 2.2 Đòi hỏi tính liên tục 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Các ví dụ 2.2.3 Định nghĩa 2.3 Sự hội tụ 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Định nghĩa 2.3.3 Định nghĩa .10 2.4 Lớp L 10 2.4.1 Định nghĩa .10 2.4.2 Một số ví dụ 10 2.4.3 Định lý 11 2.5 Một số tính chất biến đổi Laplace 12 2.5.1 Tính chất tuyến tính 12 2.5.2 Tính chất đồng dạng 12 2.5.3 Tính chất dời theo s 12 2.5.4 Tính chất dời theo t 13 2.5.5 Các ví dụ 13 2.6 Biến đổi Laplace ngược 15 2.6.1 Một số khái niệm 15 2.6.2 Định lý (Lerch) 16 2.6.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc 17 2.7 Đạo hàm tích phân biến đổi Laplace 22 2.7.1 Đạo hàm biến đổi Laplace .22 2.7.2 Tích phân biến đổi Laplace 23 2.7.3 Một số ví dụ 23 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 25 3.1 Biến đổi Laplace đạo hàm 25 3.1.1 Định lý 25 3.1.2 Các ví dụ 26 3.1.3 Định lý 27 3.2 Phương trình vi phân với hệ số số 28 3.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu 28 3.2.2 Các ví dụ 28 3.2.3 Nghiệm tổng quát 33 3.2.4 Phương trình vi phân với điều kiện biên 38 3.3 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 39 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình vi phân nội dung nghiên cứu mơn Tốn giải tích, đặc biệt phương trình Tốn - Lý Khi giải phương trình vi phân, người ta thường sử dụng phép biến đổi Fourier, Laplace… Do chương trình học, phép biến đổi chưa có điều kiện nghiên cứu, sách tham khảo giành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi việc nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh viên Do mà em chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace ứng dụng phƣơng trình vi phân” để thực khóa luận tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học đồng thời muốn sâu, tìm tòi, nghiên cứu phép biến đổi Laplace ứng dụng việc giải phương trình vi phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace vài ứng dụng sở thao tác hàm biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược số hàm số Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân thường Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Biến đổi Laplace Chương Ứng dụng phép biến đổi Laplace phương trình vi phân CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số Phức Định nghĩa Số phức số có dạng z  x  iy ; với x, y i đơn vị ảo mà i  1 Dạng gọi dạng đại số số phức z, số thực x, y gọi phần thực phần ảo z Kí hiệu x  Re z, y  Im z Tập hợp số phức kí hiệu Với điểm M ( x, y)  với z  x  iy  coi số phức đồng qua phép tương ứng – 1:  z  x  iy  ( x, y) Mặt phẳng với tương ứng gọi mặt phẳng phức Người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với i  1 Tức với số phức z1  x1  iy1 , z2  x2  iy2  z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) z1z2   x1  iy1  x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i y1 y2  ( x1x2 – y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ) Cho z  x  iy  , z  x  iy  gọi số phức liên hợp số phức z z  x +y2  zz gọi môđun số phức z Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra Re z  z  z Im z  z - z 2i z  z  z.z ; z với z   z z2 Bây ta chuyển sang định nghĩa argument số phức z  Mọi số thực  mà z  z (cos  isin ) gọi argument z Kí hiệu arg z (argument số phức z xác định cách với sai khác bội 2π ) Khi số phức z  viết dạng z  pei gọi dạng mũ z với ei  cos  isin p  z  xác định góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Nếu z  rei   pei z.  r p.e  i    1.2 Một số khái niệm phƣơng trình vi phân 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc từ hai biến độc lập trở lên phương trình gọi phương trình đạo hàm riêng Trong khóa luận này, chúng tơi xét phương trình vi phân thường Vậy phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát F ( x, y, y' , , y(n) )  , hàm F xác định miền G không gian (1.1) n+2 Trong phương trình (1.1) vắng mặt biến x, y, y' , , y(n1) y (n) thiết phải có mặt Nếu từ (1.1) giải đạo hàm cấp cao nhất, tức phương trình (1.1) có dạng y ( n)  f ( x, y, y ' , , y ( n-1) ) (1.2) ta phương trình vi phân cấp n giải đạo hàm cấp cao Nghiệm phương trình (1.1) hay phương trình (1.2) hàm y   ( x) khả vi n lần khoảng (a, b) cho i) ( x, ( x), ' ( x), , ( n) ( x)) G, x  (a, b) ii) Nó nghiệm phương trình (1.1) (a, b) Đồ thị hàm  ( x) cho ta đường cong G gọi đường cong tích phân phương trình cho 1.2.2 Bài tốn Cauchy Trong thực tế người ta thường quan tâm đến nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện Chẳng hạn tìm nghiệm y( x) phương trình (1.1) (1.2) thỏa mãn điều kiện yo  y( xo ) , y 'o  y ' ( xo ) , …, yo( n-1)  y ( n-1) ( xo ) , (1.3) xo , yo , yo ' , , yo ( n1) số cho trước Điều kiện (1.3) gọi điều kiện ban đầu Bài tốn tìm nghiệm phương trình (1.1) (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.3) gọi toán Cauchy 1.2.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân Ở đây, giới thiệu tồn nghiệm phương trình vi phân Việc chứng minh định lý này, tham khảo tài liệu trích dẫn [3] Định lý 1.1 (Định lý tồn nghiệm) Cho phương trình y ( n)  f ( x, y, y ' , , y ( n-1) ) Giả sử hàm f với đạo hàm riêng tục miền G n+1 f f f , , , ( n ) liên y y ' y Khi với điểm ( xo , yo , yo ' , , yo ( n1) )  G, tồn nghiệm y  y( x) phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện đầu (1.3) Với giá trị y(0), y ' (0) ta tìm nghiệm tổng quát phương trình cho 1 y  - cos 2t  sin2t  ae-2t  be-t 4 với a, b số tùy ý Ví dụ 3.12 Giải phương trình vi phân y'' - y  (2t  1)e2t Giải Lấy biến đổi Laplace cẻ hai vế phương trình cho ta L[ y '' ] - L[ y]  L[(2t  1)e2t ] hay ta có  s L[ y] - sy(0) - y ' (0)  - L[ y]  L[te2t ]  L[e2t ]   hay ( s - 1) L[ y] - sy(0) - y ' (0)   ( s - 2)2 s - Sử dụng đồng thức ta nhận y (0)  1  y ' (0)  1  L[ y ]        s -1 s    s -1 s   2( s -1)   18( s  1) 3( s - 2) 9( s - 2) =  y(0) y' (0)   y(0) y' (0)  + + + + +   s - 1 2  s +1  2 18  3(s - 2) 9(s - 2) Từ tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ngược bảng đối chiếu gốc - ảnh, ta nhận nghiệm phương trình cần tìm ' '  2 5 t  y (0) y (0)  -t  y (0) y (0) y  e     e      t -  e 2t 2 18      t 36 Với giá trị y(0), y ' (0) ta tìm nghiệm tổng quát phương trình cho  5 y  aet  be-t   t -  e2t 3 9 với a, b số tùy ý Ví dụ 3.13 Giải phương trình vi phân y ''  y ' - y  et (cost - sint ) Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta L[ y '' ]  L[ y ' ] - 2L[ y]  L[et cost ] - L[et sint ] hay ta có s -1  s L[ y ] - sy(0) - y ' (0)    sL[ y] - y(0)  - L[ y]    ( s -1)  ( s -1)2  hay ( s  s - 2) L[ y] - sy(0) - y ' (0) - y(0)  s -8 s - 2s  Từ suy s -8 sy (0) y ' (0)  y(0) L[ y]    ( s - 2s  2)( s  s - 2) ( s - 2s  2) ( s  s - 2) Sử dụng đồng thức ta nhận y (0)   y (0)  y ' (0)  1  L[ y ]        s -1 s    s -1 s    2s -1  ( s - 2s  2) 3( s -1) 3( s  2)  y(0)  y ' (0) -   y(0) - y ' (0) -1  2( s -1)       2 s -1  s  ( s -1)  ( s -1)     37 Từ tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ngược bảng đối chiếu gốc - ảnh, ta nhận nghiệm phương trình cần tìm  y (0)  y ' (0) -  -2t  y(0) - y ' (0) -1  t y  et  e    e (2cost  sint ) 3     Với giá trị ta tìm nghiệm tổng quát phương trình cho y  aet  be-2t  et (2cost  sint ) với a, b số tùy ý 3.2.4 Phương trình vi phân với điều kiện biên Bài tốn giải phương trình vi phân với giá trị biên tuân theo phương pháp giải biến đổi Laplace Ví dụ 3.14 Giải phương trình vi phân y ''  y  t với điều kiện đầu    y (0)  1, y    2 Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L[ y'' ]  L[ y]  L[t ] hay ta có  s L[ y ] - sy(0) - y ' (0)   L[y]    s2 hay ( s  1) L[ y ]  sy (0)  y ' (0)  s 38 Thay điều kiện đầu vào từ ta suy s y ' (0) L[ y ]    2 s  s  s ( s  1) Sử dụng đồng thức ta nhận L[ y ]  s y ' (0) 1   2 2 s 1 s 1 s ( s  1) Từ tính chất tuyến tính biến đổi Laplace ngược hàm gốc biết đây, ta nhận y(t )  cost  [y ' (0)  1] sint  t  (3.2)  Thay giá trị y    vào phương trình (3.2) ta 2  y      y ' (0)    từ ta nhận y ' (0)  Thay vào (3.2) ta y(t )  cost  t 3.3 Phƣơng trình vi phân với hệ số đa thức Theo định lý 2.7.1, hàm y (t ) liên tục khúc [0, ) , có bậc mũ  dn (1)n t n f (t )  với F (s)  L[ f (t )] , s    n F (s)  L  ds Khi n  ta L[ty(t )]  - F ( s) Hơn y '  t  thỏa mãn giả thiết định lý ta có  d d L[ty' (t )]  - L[ y ' (t )]  -  sL[ y(t )] - y(0)   - F ( s)  sF ' ( s) ds ds 39  Tương tự với y '' (t ) ta có   d d L[ y '' (t )]  s L[ y (t )] - sy (0) - y ' (0) ds ds  - (2sF ( s)  s F ' ( s) - y (0))  - s F ' ( s) - 2sF ( s)  y (0) L[ty '' (t )]  - Các biến đổi L[ty '' (t )], L[ty ' (t )], L[ty(t )] thường sử dụng nhiều trường hợp để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số đa thức Ví dụ 3.15 Giải phương trình vi phân ty ''  y '  y  t với điều kiện đầu y(0)  y ' (0)  Giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình ta L[ty'' (t )] - L[ y' (t )]  2L[ y(t )]  L[t ] hay ta có -s F ' ( s) - 2sF ( s)  y(0) - sF ( s)  y(0)  F ( s)   3 F ' ( s)      F ( s)  - s s  s Sử dụng kết  ( s)  e 3 2   s - s2 ds    s se ta nhận ( s3e s F ( s))'   s s e F (s)  2s 2s s e  e s5 s2  2s    - e ds  e s  C  s  40 s3 Từ suy C - 2s F (s)   e s s Do F (s)  s   nên phải có C  Khi ta nhận nghiệm phương trình y (t )  t Tuy nhiên có số vấn dề khó khăn mà gặp phải Đó nghiệm phương trình vi phân hàm khơng có biến đổi Laplace Ví dụ tốn giải phương trình vi phân y'  2ty  , y (0)  Dễ thấy y(t )  et nghiệm phương trình biết hàm biến đổi Laplace Vậy điều xảy sử dụng biến đổi Laplace để gải phương trình Ngồi ý thêm rằng, trường hợp phương trình vi phân có điểm kì dị quy biến đổi Laplace đạo hàm khơng tồn đó, phương pháp biến đổi Laplace cho ta nghiệm bị chặn gốc Ví dụ 3.16 Giải phương trình vi phân ty''  y'  y  , y(0)  Giải Lấy biến đổi laplace hai vế phương trình ta -s F ' (s) - 2sF ( s)  y(0)   2 sF ( s) - y(0)  - F ( s)    Thay y(0)  vào phương trình (3.3) ta -s F ' ( s ) - F ( s)  41 (3.3) F ' ( s)  hay ta có 1 , s  F ( s )   s2 s2  Sử dụng kết  ( s)  e s ds  e Ta nhận '  - s1   e F (s)    s   Từ suy -1 e s F (s)  C -1 s s  s1  ta nhận F ( s)   C   e với C số s  Sử dụng khai triển Taylor hàm e x x  s ta 1     F ( s)   C      s  n0  n!s n   Sử dụng công thức ant n n0 (n    1)  f (t )  L1[ F ( s)]   biến đổi ngược biết ta có  tn t n1   n1 n!(n  1)! n0 ( n!)  y (t )  C  Từ điều kiện y(0)  ta C  ta nhận nghiệm phương trình cho tn y (t )   n0 ( n!)  Phương trình có nghiệm không bị chặn điểm gốc tìm nghiệm theo phương pháp mà ta biết trước 42 Phụ lục Bảng đối chiếu gốc - ảnh Hàm gốc f (t) t f  a a eat f (t ) ua (t ) f (t - a) f ' (t ) Hàm ảnh F (s) F (as), (s  0) F ( s - a) e-as F (s), (a  0) sF (s) - f (0 ) s F (s) - sf (0 ) - f ' (0 ) s n F (s) - s n-1 f (0 ) - s n - f ' (0 ) - - f ( n-1) (0 ) f '' (t ) f (n) (t ) F ( s) s F ' ( s) t  f ( )d F ( n) ( s)  F ( x)dx s (-1)n t n f (t ) f (t ) t F (s)G(s) t  f ( ) g (t -  )d -tf (t )  lim f (t )  f (0 ) lim sF ( s) t 0 s lim sF ( s) lim f (t ) s0 t  s s2 t n! , n  0, 1, 2, s n1 , (  0) s s -a a s  a2 43 tn t -1 ( ) eat sinat s s  a2 a (s - b)2 - a s (s - b)2  a a s - a2 s s - a2 a (s - b)2 - a s -b (s - b)2 - a s2 - a2 ( s  a )2 2as ( s - a )2 s2  a2 ( s - a )2 cosat ebt sinat ebt cosat shat chat ebt shat ebt chat tcosat tshat tchat  s - b - a2 tebt cosat tebt sinat tebt shat tebt chat  s - b   a    2b(s - b)  s - b   a    2b(s - b)  s - b  - a     s - b   a2  s - b  - a    e-as , (a  0) s ua (t ) 44 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài Giải phương trình vi phân sau với y    0, y'    a) y ''  y  9t 19 ĐS: y  t  sin2t b) y '' - y '  y  4t  12e-t với y  0  6, y'  0  -1 ĐS: y   2t  3et  2et c) y''  y  sin2t với y(0)  y' (0)  1 ĐS: y   tcos 2t  sin2t với y(0)  y' (0)  y'' (0)  y''' (0)  d) y(4) - y = ĐS: y  et e) y (4)  y '  2cost với y(0)  2; y' (0)  1; y'' (0)  y''' (0)  ĐS: y  t  tsint  2cost f) y ''  y '  y  te-t với y(0)  y' (0)  ĐS: y  et (t  sint ) g) y''' - y' - y  9e2t với y(0)  0; y' (0)  -3; y'' (0)  ĐS: y  (t  1)(e2t  et ) h) y '''  y ''  y '  y  f (t )  với f (t )  -t t , te t 1 y(0)  y' (0)  y'' (0)   et  (t 1)3  (t 1)4    24  ĐS: y     t  1 t 1 45   t   với f (t )  -5  t  , y (0)   7-t  e  t i) y'  y  f (t ) 0  ĐS: y  8(e4t -1)   5e6t  e7-t   t  k) y''  y'  y  f (t ) với f (t )  22t  t   t  ĐS: y   1t  t - e [2sin(t 1)  cos(t 1)] 0t 1 , y(0)  y' (0)  t 1 0 t 1 t 1  t  , y(0)  y' (0)  l) y''  y  f (t ) với f (t )  cost t   0  t  ĐS: y    1cos3(t   )  1cos(t - ) t   8 Bài Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau a) y(4)  y'''  y''  y'  y  t ĐS: y  e [(a  bt )cos 3 t  (c  dt )sin t ] với a, b, c, d 2 số tùy ý b) y'' - y'  y  t ĐS: y  t  8t  30  e2t [asin 3t  (b  30)cos 3t ] với a, b số tùy ý c) y''  y  cos3t t  ĐS: y  acos3t   b   sin3t với a, b số tùy ý 6  46 d) y '' - y '  y  et cos 2t t ĐS: y  et  cos2t  asin2t  sin2t    với a số tùy ý e) y''  y'  e-t sint ĐS: y  aet  b  et cost  et sint với a, b số tùy ý 6 f) y''  y  sint.cos3t ĐS: y  acost  bsint  (5sin2t  sin4t ) với a, b số tùy ý 30 g) y''' - y'  y  te-2t ĐS: y  ae2t  (bcost  csint )et  (6t  5t )e 2t với a ,b, c 100 số tùy ý h) y ''  y '  y  e-t  e-2t ĐS: y  et  (t  a)e2t  be3t với a, b số tùy ý i) y(4) - y '''  y '' - y '  y  (t  1)et 1 5  t  với a, b, c số tùy ý ĐS: y  et  a  bt  ct  t  24 120   k) y''  y  tsin2t t2 t ĐS: y  acos 2t  bsin2t  cos 2t  sin2t với a, b số 16 tùy ý l) y''  y  f (t ) với f (t )    sint  t   t   47 ĐS:  acos 2t  bsin2t  1[sin(t   )  sin2(t   )] t   với y   acos t  bsin t  t     a, b số tùy ý m) ty''  y'  t ĐS: y  a  bt  t3 với a, b số tùy ý Bài Tìm nghiệm toán biên sau a) y''  y  1; y(0)  0, y(1)  ĐS: y  e t  t  e b) y''  y  0; y(0)  0, y( )  ĐS: y  Csint với C số 48 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace ứng dụng phƣơng trình vi phân ” Khóa luận giải vấn đề sau: Trình bày số kiến thức số phức, mặt phẳng phức, số kiến thức phương trình vi phân thường nhằm phục vụ cho việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, hệ thống lý thuyết biến đổi Laplace, biến đổi Laplace đạo hàm cho trước để giải số phương trình vi phân thường Vì kiến thức thời gian hạn chế nên khơng thể tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Em mong nhận góp ý, bảo thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Tháng 05 năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Dƣ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Kim Đính (1998), Phép Biến Đổi Laplace , NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật [2] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định , NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979) , Bài Tập Phương Trình Vi Phân , NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp [4] Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2007), Phương Pháp Toán Cho Vật Lý - Tập , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa (2008), Phương Pháp Toán Cho Vật Lý - Tập , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] J L Schiff (1998), The Laplace Transfrom, Springer – Verlag 50 ... sinh vi n nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi vi c nghiên cứu phép biến đổi cần thiết sinh vi n Do mà em chọn đề tài: Phép biến đổi Laplace ứng dụng. .. dụng vi c giải phương trình vi phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace vài ứng dụng sở thao tác hàm biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace. .. khái niệm phƣơng trình vi phân 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu