Biến Đổi Tích Phân Và Ứng Dụng Trong Phương Trình Đạo Hàm Riêng

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM TR±NH KHAC BÌNH BIEN ĐOI TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DUNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC THÁI NGUYÊN - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM TR±NH KHAC BÌNH BIEN ĐOI TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DUNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG LU¼N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành : TOÁN GIÁI Mã so : 60 46 01 02 Giáo viên hưáng dan: TS NGUYEN VĂN NGOC THÁI NGUN, 2013 TÍCH LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai trưịng Đai hoc Sư phamĐai hoc Thái Nguyên Qua xin chân thành cám ơn thay giáo Khoa Tốn, Ban Giám hi¾u, Phòng Đào tao nhà trưòng trang b% kien thúc bán tao đieu ki¾n tot nhat cho tơi q trình hoc t¾p nghiên cúu Tơi xin bày tó lịng biet ơn chân thành tói TS Nguyen Văn Ngoc, ngưịi t¾n tình chí báo, tao đieu ki¾n giúp đõ tơi có thêm nhieu kien thúc, nghiên cúu, tong hop tài li¾u đe hồn thành lu¾n văn Tơi xin gúi lịi cám ơn đen gia đình, ban bè đong nghi¾p đng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hoc cna Do thịi gian trình đ® cịn han che nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Chúng tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Thái Ngun, tháng năm 2013 Tác giá Tr%nh Khac Bình i Mnc lnc Má đau 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Lp 1.2 Các đ%nh lý quan cna 1.3 Tích ch¾p 1.4 Tích phân Dirichlet 3 lý thuyet tích phân Chuoi Fourier 2.1 Chuoi Fourier thơng thưịng 2.1.1 Khái ni¾m ve chuoi Fourier 2.1.2 H®i tu cna chuoi Fourier 2.2 Chuoi Fourier - cosin chuoi Fourier - sin 2.2.1 Khái ni¾m 2.2.2 Sn h®i tu cna chuoi Fourier 2.2.3 Các ví du Sn h®i tu cna chuoi Fourier L2 2.3.1 Dãy trnc giao 2.3.2 Bat thúc Bessel- Đ%nh lý Parseval 2.4 Chuoi Fourier phúc 2.4.1 Khái ni¾m 2.4.2 Đang thúc Parseval 2.5 Các tốn biên cho phương trình Laplace hình chu nh¾t 2.5.1 Bài toán 2.5.2 Bài toán 2.5.3 Bài toán 2.3 ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 13 13 14 16 16 16 21 22 22 24 27 27 28 28 29 30 31 2.6 Phương trình dao đ®ng cna 2.6.1 Phương trình dao đ®ng tn 2.6.2 Phương trình dao đ®ng cưõng búc Bien đoi Fourier 3.1 Khái ni¾m ve tích phân Fourier 3.2 Bien đoi Fourier 3.3 Các tính chat cna bien đoi Fourier 3.4 Bien đoi Fourier Lp 3.5 Phương trình Laplace mien núa dái 3.6 Bài toán Dirichlet cho mien núa m¾t phang 3.7 Phương trình Laplace góc phan tư cna m¾t phang 3.8 Bài tốn Cauchy cna phương trình truyen nhi¾t Bien đoi Laplace 4.1 Đ%nh nghĩa 4.2 Các tính chat 4.3 Bien đoi Laplace ngưoc 4.4 Phương trình vi phân thưòng 4.5 Phương trình đao hàm riêng 4.6 Phương trình tích phân Volterra Phương trình vi- tích 32 32 34 37 37 40 43 48 51 52 55 57 phân 59 59 61 66 70 73 77 Ket lu¾n 80 Tài li¾u tham kháo 81 ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Má đau Phương pháp bien đoi tích phân m®t nhung phương pháp giái tích huu hi¾u giái phương trình vi phân thưịng, phương trình đao hàm riêng phương trình tích phân dang ch¾p tuyen tính Các bien đoi tích phân quan trong, bien đoi Fourier, bien đoi Laplace, bien đoi Hankel, v.v tù lâu đưoc sú dung giái phương trình vi phân phương trình tích phân tuyen tính h¾ so hang Nhị tính chat đ¾c thù cna phép bien đoi tích phân ke trên, phương trình vi phân, phương trình tích phân có dang mien kháo sát thích hop có the đưoc chuyen ve phương đai so tương úng Tù đó, sú dung cơng thúc ngh%ch đáo, ta tìm đưoc an hàm mong muon Bán lu¾n văn trình bày só lý thuyet cna bien đoi tích phân sau đây: chuoi Fourier( bien đoi Fourier huu han), bien đoi tích phân Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin bien đoi Laplace m®t so úng dung cna chúng phương trình đao hàm riêng m®t so loai phương trình tuyen tính khác Lu¾n văn gom phan Mó đau, chương, Ket lu¾n tài li¾u tham kháo Bán lu¾n văn đưoc hình thành chn yeu tự cỏc ti liắu [1-5] Chng 1, trỡnh by mđt so kien thúc ve giái tích giái tích hàm can thiet đoi vói chương sau Các kien thúc cna chương có the tìm thay tài li¾u [1] Chương 2, trình bày só lý thuyet ve chuoi Fourier đoi vói hàm lưong giác nhung úng dung giái toán biên cna phương trình đao hàm riêng mien huu han Các kien thúc cna chương chn yeu đưoc trích tù tài li¾u [1, 4, 5] Chương 3, trình bày só lý thuyet cna bien đoi Fourier m®t so úng dung giái toán biên cna phương trình đao hàm riêng mien vơ han N®i dung bán cna chương đưoc hình thành tù tài li¾u [1, 2, , 4] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 4, trình bày só lý thuyet cna bien cna bien đoi Laplace m®t so úng dung giái phương trình vi phân thưịng, phương trình đao hàm riêng phương trình tích phân dang ch¾p Các kien thúc cna chương đưoc hình thành chn yeu tù tài li¾u [1, 4] Chương Kien thNc chuan b% Chương trình bày m®t so kien thúc ve giái tích giái tích hàm can thiet đoi vói chương sau Các kien thúc cna chương có the tìm thay tài li¾u [1] 1.1 Không gian Lp Đ%nh nghĩa 1.1 Cho p ∈ R vói ≤ p ≤ ∞; ta đ%nh nghĩa p Lp (Ω) = {f : Ω → R ho¾c C; f đo đưoc |L| tích }, L∞ (Ω) = {f : Ω → ho¾c C; f đo đưoc ∃C, |f (x)| ≤ C h.h Ω }, v kớ hiắu: 1/ p p |f (x)| dx "f"p = , Ω  "f"∞ = inf {C; |f (x)| ≤ C, h.h} Nh¾n xét 1.1 Neu f ∈ L∞ (Ω) thì: |f (x)| ≤ "f"∞ , h.h x ∈ Ω = Ta ký hi¾u p so liên hop cúa p, ≤ p ≤ ∞, i.e, + r p pr Chu "nghĩa là" thưịng đưoc viet tat bói "i.e", chu "hau het" đưoc viet tat bói "h.h" Đ%nh lý 1.1 (Bat ang thỳc Hăolder) Cho f Lp() v g Lpr (Ω) vói ≤ p ≤ ∞ Khi f.g ∈ L1 ¸ Ω |f.g| ≤ "f"p "g"pr Dna vo bat ang thỳc Hăolder, ta chỳng minh đưoc Đ%nh lý 1.2 Lp(Ω) không gian vector "·"p m®t chuan vói ≤ p ≤ ∞ Đ%nh lý 1.3 (Fischer – Riesz ) (a) Lplà không gian Banach vói ≤ p ≤ ∞ (b) Giá sú (fn) dãy h®i tn ve f khơng gian Lp, (1 ≤ p ≤ ∞) , i.e, "fn − f"p → The có dãy (fnk)k=1,2, cho: fnk (x) → f (x) h.h, ∀k, |fnk (x)| ≤ h (x) h.h, vói h m®t hàm Lp k Vói Ω mó R, ta ký hi¾u T C (Ω) khơng gian hàm so vi ∞ liên tuc đen cap k C ∞ (Ω) = k= Ck (Ω) Còn Cc (Ω) không gian hàm so f liên tuc Ω cho giá (support) cna f , túc t¾p hop suppf = {x ∈ Ω; f (x) ƒ= 0}, compact chúa Ω, ký hi¾u gach ngang ó bao đóng cna t¾p hop Đ¾t \ k (Ω) = C (Ω) \ Cc (Ω), c (Ω) Cc (Ω) Ck c (Ω) = C ∞ C∞ Ta có ket q sau ve tính trù m¾t Đ%nh lý 1.4 Vói ≤ p < ∞ (lưu ý rang p ƒ= ∞), C ∞ (Ω) trù c m¾t (Ω) Lp Đ%nh lý 1.5 (Riemann- Lesbesgue) Cho f ∈ L1 (a, b) vói (a, b) khống huu han ho¾c vơ han cúa R, ta có b lim N→∞ b ¸ f (x) cos Nxdx = lim a N→∞ ¸ f (x) sin N xdx = a Chúng minh Hai đieu khang đ%nh cna đ%nh lý đưoc chúng minh theo m®t cỏch giong Vỡ vắy ta chỳng minh mđt L [f r] = pF (p) − + f , L f (N +1) pN +1 = f (0+) f r F (p) − − p Theo nguyên lý qui nap, ta có đpcm (0 + p2 ) f −···− (N ) + (0 ) pN +1 Tính chat 4.6 Cho L (f ) = F, f có chs so tăng α0 Ta có: n L [(−t) f (t)] = F (n) (p) , n ∈ N, Rep > α0 (4.6) n Chúng minh De thay hàm t ›→ (−t) f (t) có chí so tăng vói f Ta r có F (p) = ¸∞ e−pt (−t) f (t) dt, L [(−t) f (f )] = F r (p) , Rep > α 0 Bang phép qui nap, ta suy đưoc (4.6) Ví dn 4.7 d L [t sin βt] = −L [(−t) sin βt] = − β2 = = β 2pβ dp p2 + (p2 + β ) , L t2 sin βt = −L [(−t) sin βt] d 2pβ 6p23β −2 = − 2β (p + dp (p2 + β )2 β ) Tính chat 4.7 Cho L (f ) = F f liên tnc t ¸ Khi đó, ánh xa t ›→ f (τ )dτ hàm goc (neu f liên tnc ánh xa nguyên hàm cúa f ) và:  t  F (p) ¸ p   L f (τ )dτ = (4.7) ¸t Chúng minh Đ¾t g (t) f (τ )dτ g liên tuc, suy đo đưoc Goi α0 = chí so tăng cna f , vói moi < ε < 1, ta có: t |g (t)| ≤ ¸ t |f (τ )|dτ ≤ M ¸ e(α0+ε)τ dτ M = α0 + ε t (α0+ε)τ e < M1e(α0+ε)t τ =0 V¾y g hàm goc Đ¾t G = L (g), F = L (f ) = Lr (g) = pG (p) , suy đpcm f Tính chat 4.8 Giá sú R (f ) = F, t → t hàm goc Khi (t) ∞ ¸= Trong đó: (t) L lim f t = ¸∞ F (u)du (4.8) p z ¸ p Rez→∞ p Chúng minh Đ¾t g (t) = f (t) t , G = L (g) Theo tính chat thì: Gr (p) = L [(−t) g (t)] = −L (f ) = −F Vắy G l mđt nguyờn hm cna F Ngoi ra, g hàm goc, (giá sú chí so tăng cna β) nên: |G (z)| ≤ ¸∞ ¸∞ e−(Rez)t |g (t)| dt ≤ e(−Rez+β+1)tdt M (−Rez+β+1)t .∞ = M e −Rez + β + đó, Rez − β − > Suy lim Rez→∞ = , Rez − β − G (z) = 0, −G (p) = −G (p) + lim G (z) = Rez→∞ M ¸∞ (−F (u)) du Túc (4.8) đưoc chúng minh Ví dn 4.8 L ¸ sin t = π du ∞ u2 + = − arctan p t Áp dnng tính chat 4.7, bien đoi Laplace cúa hàm Si đ%nh bói: t ¸ Sit = L [Si] = sin t L p t sin dτ, τ τ = − arctan p π p Tính chat 4.9 Giá sú L (f ) = F, L (g) = G, f g lan lưot hàm goc có chs so tăng α0 β0, liên tnc tùng khúc moi khoáng huu han cúa R+ Neu ta xem f g xác đ%nh R, tri¾t tiêu khống (−∞, 0) tích ch¾p f ∗g hàm goc có chs so tăng γ0 ≤ max {λ0, β 0} L [f ∗ g] = F.G (4.9) Chúng minh Vói moi t > 0, ε > |f (τ ) g (t − τ )| dτ t |(f ∗ g) (t)| = ¸ t ¸ t ¸ f (τ ) g (t − τ ) dτ ≤ t ¸ e(α0+ε)τ e(β0+ε)(t−τ )dτ = ≤ M e(α0−β0)τ dτ Me(β0 +ε)t ≤ M1e(α0+ε)t neu α0≥β0, M2e(β0+ε)t neu α0 α0 (4.10) Tích phân (4.10) đưoc hieu theo nghĩa giá tr% chính, cơng thúc có tên cơng thúc Mellin Chúng minh Vói x > α0, đ¾t: g (t) = e−xtf (t) Ta có g trơn tùng khúc moi khoáng huu han cna núa truc t ≥ Ngồi ra, ta có ¸∞ ¸∞ |g (t)| dt = e−xt |f (t)| dt 0 ¸∞ ¸∞ e−xte(α0 +ε)tdt = M ≤ M e−(x−α0+ε)tdt 0 Chon ε > cho x − α0 − ε > 0, g tích Sú dung cơng thúc tích phân Fourier ó chương lưu ý g(u) tri¾t tiêu u < 0, ta có: 1 iλ(t−u √ ¸∞ √ ¸∞ it dλ g (u) ) dudλ 2 λ ∞ g (t) gˆ ¸ = e = (λ) e π π −∞ −∞ Suy ra: e −xt f (t) = ∞ ∞ ¸ ¸ 2π e−xuf (u) eiλ(t−u)dudλ −∞ ¸∞ ¸∞ = eiλtdλ f (u) e−u(x+iλ)du 2π −∞ Do đó: f (t) = ¸∞ 2π et(x+iλ)F (x + iλ) dλ −∞ Bien đoi p = x + iλ ta đưoc (4.10) Áp dung đ%nh lý trên, ta chúng minh đưoc tính chat sau cna phép bien đoi Laplace Đ%nh lý 4.3 Cho hàm goc f, g trơn tùng khúc núa trnc t ≥ có chs so tăng lan lưot α0 β0 Giá sú L (f ) = F, L (g) = G Khi fg hàm goc vói chs so tăng α0 + β0, và: x+i∞ L (fg) = 2π i ¸ x−i∞ F (v) G (p − v) dv, (4.11) x > α0, Rep > x + β0 Chúng minh Hien nhiên fg hàm goc vói chí so tăng α0 + β0 Sú dung cơng thúc Mellin, ta có ¸∞ L (fg) = e−ptf (t) g (t) dt  ∞ −pt ¸ = e g (t) = = ¸ evtF (v) dv dt 2πi  x+i∞ x−i∞ x+i∞ ¸ F (v) dv 2π i 2πi x−i∞ x+i ∞ ¸ x−i∞ ¸∞ e(v−p)tg (t) dt F (v) G (p − v) dvz Trong đ%nh lý 4.2, ta rút công thúc Mellin tù giá thiet F bien đoi Laplace cna m®t hàm goc Van đe đ¾t F phái thóa mãn đieu ki¾n đe có the bien đoi Laplace cna m®t hàm goc Ta có đ%nh lý dưói mà phan chúng minh đưoc bó qua Đ%nh lý 4.4 Cho hàm F thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) F giái tích mien Rep > α0 (ii) Khi |p| −π→π∞ moi mien Rep > α0 hàm F tien ve đeu theo arg p ∈ , 2 x+i∞ (iii) Vói moi x > α0: ¸ |F (x + iy)| dy ≤ M, (4.12) x−i∞ M hang so Khi hàn F xác đ%nh Rep > α0 bien đoi Laplace cúa hàm f đ%nh bói 2πi f (t) = eptF (p) dp, x+i∞ ¸ x−i∞ x > α0 Đ%nh lý dưói cho phép ta tìm hàm goc cna m®t hàm qui tai vơ cnc Đ%nh lý 4.5 Giá sú rang thác trien giái tích cúa F lờn nỳa mắt phang trỏi l mđt hm giỏi tích đơn tr% Giá sú L (f ) = F p = ∞ điem qui cúa F, nghĩa F có khai trien tai vơ cnc sau: cn ∞ F (p) (4.13) pn n=1 Khi ∞ tn f (t) = cn+1 , t > n! n=0 Nh¾n xét 4.1 Trong ví dn trưóc ta biet rang L [tn] = ∞ cn+1 đ%nh lý có nghĩa là: ∞ t.n L cn+1 n=0 (4.14) n! = n! n! pn+ đó, L [tn] n= Chúng minh Ta kháo sát sn h®i tu cna chuoi (4.14) Giá sú chuoi (4.13) h®i tu bên ngồi đưịng trịn bánh kính R0 Khi C , |p| = R1 |F (p)| ≤ R1 Tù ta có đánh giỏ hắ so cn+1 cna chuoi (4.13): n |cn+1| F (p) dp ≤ M1R1 , = n 2π |p|=R1 p suy i ∞ n=0 n ∞ | t| |cn+1| n n! ≤ M1 |t|) n=0 (R1 = M eR1|t| n! Vắy chuoi (4.14) hđi tu tuyắt oi v hđi tu eu trờn oan [N, N ] vói N >0 tùy ý, nua tong cna chuoi hàm goc Do tính h®i tu đeu, ta có: ¸N e−pt ∞ cn+1 n=0 n t N e−pttndt dt = cn+1 ¸ ∞ ∞ n= ∞ n! n!  ¸∞  = ∞ = cn+1  n! n=0 n+1 pn+1 n=0 − ¸ e−pttndt − e−ptt dt N n ¸∞ e cn+1 ∞ n=0 −pt n t dt (4.15) N n! Ta kháo sát chuoi thú hai ó trên: vói Rep = R1 > R0, ta.có: n+1 ¸∞ ¸∞ ¸∞ |c | |cn+1| |cn+1| e−R1ttndt pt n −R1t n t dt ≤ < e − t dt n! n! N n! e ¸∞ |cn+1| N |cn+1| e−uundu = Γ (n + 1) = n+1 1 n!R n! Rn+1 |cn+1| = R1n+1 Suy vói Rep = R1 > R0, chuoi ∞ n= cn+1 ¸∞ n! eptt dt hđi tu eu theo N Mắt n N khác, tùng so hang cna chuoi tien ve N → ∞ nên tù (4.15) ta suy ∞ ∞ ¸∞ dt = −pt cn+1 n e t cn+1 , n! n=0 n= dan đen đpcm pn+1 Ví dn 4.9 Tìm hàm f thóa mãn L (f ) = F, F đ%nh bói: , F (p) = p2 + Khai trien hàm F thành chuoi Laurent lân c¾n cna p = ∞ ∞ n , |p| > F (p) = (−1) 2n+ (2n)! 22n(2!) p n=0 Do đ%nh lý trên, ta đưoc: ∞ f (t) = (2n)! n (−1) 2n ∞ 2n = n (−1) t n=0 4.4 22n(2!) (2n)! n= (n!) Phương trình vi phân thưàng Ví dn 4.10 Tìm nghi¾m cúa phương trình vi phân sau đây: rr y − y = 6e2x, y(0) = yr(0) = t Lòi giái Cách1: Phương trình đ¾c trưng λ2 − = có nghi¾m λ1,2 = ±1 V¾y nghi¾m tong qt cna phương trình thuan nhat y0 = C1ex + C2e−x, C1, C2 hang so tùy ý Vì khơng phái so đ¾c trưng, nên nghi¾m riêng có dang yr = Ae2x Thay nghi¾m riêng vào phương trình, ta tìm đưoc A = 2, yr = 2e2x V¾y nghi¾m tong quát cna phương trình y = C1ex + C2e−x + 2e2x Ta có y(0) = C1 + C2 + = 0, yr(0) = C1 − C2 + = Tù suy C1 = −3, C2 = V¾y nghi¾m cna phương trình là: y = −3ex + e−x + 2e2x Cách 2: Ta có the tìm đưoc nghi¾m nhị phương pháp bien đoi Laplace Xét phương trình mien x ≥ tác đ®ng bien đoi Laplace vào hai ve cna phương trình, ta đưoc: L[yrr](p) − L[y](p) = L[6e2x](p) Sú dung công thúc cna bien đoi Laplace, đ¾t Y (p) = L[y], ta có: y(0) y p2[Y (p) − − , Rep > r (0) ] − Y (p) = − 1)Y (p) p−2 p p2 = Suy ra: (p Y (p) = + = p − p + p − (p − 1)(p − − 2) 1 −1 Lay bien đoi Laplace ngưoc, ta đưoc: ] + L [ ] −1 −1 p+1 y(x) = L [Y (p)](x) = L [ ] − L−1[ p−2 p− = 2e2x − 3ex + e−x Ví dn 4.11 Tìm nghi¾m cúa phương trình vi phân sau đây: yrr + 2yr 3y = e−t − , y (0) = yr (0) = Lịi giái Đ¾t Y = L [y], lay bien đoi Laplace hai ve cna phương trình sú dung tính chat 4.5, ta có: p2 Y (p) + 2pY (p) 3Y (p) = , − p+1 suy ra: 1 Y (p) = − + + (p + 1) (p − 1) (p + 3) t+ + 3t 1 = L − e− − e et 8 V¾ y t y (t) = − e − + + −3t e et Ví dn 4.12 Giá sú y∗ nghi¾m cúa phương trình vói h¾ so hang a0y(n) + a1y(n−1) + + any = 1, = yr(0) = = y(n−1)(0) = 0, (∗) y(0) Khi nghi¾m cúa phương trình a0y(n)+a1y(n−1)+ +any = f (x), y(0) = yr(0) = = y(n−1)(0) = 0, (∗∗) đưoc cho bói cơng thúc : y(t) = y∗(0)f (t) + ¸ t y∗r (τ )f (t − τ )dτ, (∗ ∗ ∗) Lịi giái Th¾t v¾y, lay bien đoi Laplace phương trình (*) (**), ta đưoc: Y ∗(p)(a0pn + a1pn−1 + + an) 1= , p Y (p)(a0pn + a1pn−1 + + an) = Suy ra: F (p) Y (p) = pY ∗(p)F (p) ... phân m®t nhung phương pháp giái tích huu hi¾u giái phương trình vi phân thưịng, phương trình đao hàm riêng phương trình tích phân dang ch¾p tuyen tính Các bien đoi tích phân quan trong, bien đoi... sú dung giái phương trình vi phân phương trình tích phân tuyen tính h¾ so hang Nhị tính chat đ¾c thù cna phép bien đoi tích phân ke trên, phương trình vi phân, phương trình tích phân có dang... ngưoc 4.4 Phương trình vi phân thưòng 4.5 Phương trình đao hàm riêng 4.6 Phương trình tích phân Volterra Phương trình vi- tích 32 32 34 37 37