Một số phép biến đổi tích phân và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− NGUYỄN THỊ NGỌC HIỆP MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Cử nhân Tốn - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: TH.S PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng, 5/2012 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương Các phép biến đổi tích phân 1.1 1.2 1.3 1.4 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Tích chập phép biến đổi Fourier 11 Phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin 13 1.2.1 Định nghĩa tính chất 13 1.2.2 Tích chập phép biến đổi Fourier cosin Fourier sin 16 Phép biến đổi Laplace 17 1.3.1 Định nghĩa tính chất 17 1.3.2 Tích chập phép biến đổi Laplace 20 Phép biến đổi Hankel 21 Chương Một số ứng dụng 2.1 2.2 25 Ứng dụng phép biến đổi Fourier 25 2.1.1 Giải phương trình vi phân thường 25 2.1.2 Giải phương trình tích phân 27 2.1.3 Giải phương trình đạo hàm riêng 30 Ứng dụng phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin cho phương trình đạo hàm riêng 2.3 33 2.2.1 Phương trình tán xạ 1-chiều nửa đường thẳng 33 2.2.2 Phương trình Laplace phần tư mặt phẳng 36 Ứng dụng phép biến đổi Laplace 36 2.3.1 Giải phương trình vi phân thường 36 2.3.2 Giải phương trình tích phân 40 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 2.3.3 2.4 Giải phương trình đạo hàm riêng 41 Ứng dụng phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng 43 Bài tập 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 2.5 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Tốn ln ủng hộ tạo điều kiện để em hồn thành luận văn Em xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến q thầy trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng trang bị cho em hành trang kiến thức vô quý giá bổ ích suốt năm học Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp LỜI NÓI ĐẦU Nhiều vấn đề kỹ thuật đưa đến việc giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân Như việc nghiên cứu đổi dạng chùm tia sáng vô hạn môi trường đàn hồi dẫn đến việc giải phương trình vi phân thường: d4 u EI + κu = W (x), −∞ < x < ∞ dx Khi nghiên cứu dao động dây, màng sóng, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến việc giải phương trình đạo hàm riêng phương trình Eliptic: uxx + uyy = 0, −∞ < x < ∞, y ≥ Trong học lượng tử, xung lượng hạt biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm: K(x, y)ϕ(y)dy ϕ(x) = Ω Một vấn đề đặt tìm lời giải cho phương trình vi phân, tích phân toán kĩ thuật Việc sử dụng phép biến đổi tích phân để giải phương trình kể đời sớm liên tục phát triển tận ngày Có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết phải kể đến trước hết phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Hartley, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, KontorovichLebedev, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Nhờ vào việc kết hợp phép biến đổi tích phân định lý tích chập cung cấp cách biểu diễn nghiệm tường minh Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp cho toán biên với giá trị ban đầu Trong luận văn này, em xin giới thiệu số phép biến đổi tích phân: Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Laplace Hankel ứng dụng việc giải phương trình vi phân, tích phân đạo hàm riêng Ngoài phần mở đầu, kết luận luận văn chia làm hai chương Chương 1, trình bày phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Laplace Hankel với số tính chất phép biến đổi Đặc biệt định lý tính chất tích chập phép biến đổi tích phân Chương 2, trình bày ứng dụng phép biến đổi việc giải phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Hiệp Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 (khả tích tuyệt đối) Hàm f (x) gọi khả tích tuyệt đối −∞ < x < ∞ ∞ |f (x)|dx < ∞ (1.1) −∞ Định nghĩa 1.1.2 (phép biến đổi Fourier) Phép bến đổi Fourier f (x), kí hiệu {f (x)} = F(k), k ∈ R xác định tích phân: ∞ {f (x)} = F(k) = √ 2π e−ikx f (x)dx (1.2) −∞ Điều kiện đủ để tích phân (1.2) tồn f khả tích tuyệt đối (−∞, ∞) Ví dụ 1.1.1 Cho hàm f (x) = exp(−ax2 ) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp Ta có phép biến đổi tích phân Fourier hàm f ∞ F (k) = √ 2π =√ 2π e−ikx−ax dx −∞ ∞ ik k exp − a(x + ) − dx 2a 4a −∞ k2 = √ exp(− ) 4a 2π ∞ e−ay dy −∞ k2 = √ exp(− ) 4a 2π Ví dụ 1.1.2 Xét hàm  1 f (x) = 0 |x| ≤ 1, |x| > 1, Phép biến đổi Fourier hàm f {f (x)} = √ 2π =√ 2π f (x)e−ixy dy R sin x π x e−ixy dy = −1 Nhận xét 1.1.1 Theo Ví dụ 1.1.2 ta thấy ảnh Fourier hàm khả tích tuyệt đối khơng khả tích tuyệt đối Định nghĩa 1.1.3 (hàm tốt) Cho g(x) hàm nhận giá trị thực hay phức xác định R Giả sử g khả vi vô hạn đạo hàm có khuynh hướng tiến tới |x| → ∞ nhanh lũy thừa dương x−1 hay nói cách khác, giả sử số nguyên dương N n ta có: lim xN g (n) (x) = 0, |x|→∞ g(x) gọi hàm tốt Tập hàm tốt ký hiệu S Nhận xét 1.1.2 Nếu f (x) hàm tốt f (x) khả tích tuyệt đối Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp Định lý 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm tốt hàm tốt Chứng minh Biến đổi Fourier hàm tốt f (x) tồn cho ∞ {f (x)} = F (k) = √ 2π e−ikx f (x)dx −∞ Tính đạo hàm cấp n hàm F (k) tích phân phần N lần, ta thu ∞ (−1)N √ F (n) (k) ≤ (−ik)N 2π ∞ ≤ N√ 2π |k| e −ikx dN {(−ix)n f (x)}dx N dx −∞ dN {xn f (x)} dx N dx −∞ Rõ ràng, tất đạo hàm tiến tới nhanh |k|−N |k| → ∞ cho N > Như F (k) hàm tốt Định nghĩa 1.1.4 (phép biến đổi Fourier ngược) Phép biến đổi Fourier ngược hàm F (k) ký hiệu −1 {F(k)} = f (x), xác định ∞ −1 {F(k)} = f (x) = √ 2π eikx F (k)dk (1.3) −∞ Định lý 1.1.2 (Định lý ngược) Nếu f (x) hàm tốt ∞ f (x) = √ 2π eikx F (k)dk = −1 {F (k)}, (1.4) −∞ đó, F (k) = {f (x)} Nhận xét 1.1.3 Từ định lý ngược ta có cơng thức tích phân Fourier  ∞  ∞  f (ξ)e−ikξ dξ  eikx dk f (x) = (1.5) 2π −∞ Khóa Luận Tốt Nghiệp −∞ SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 10 {f (x)} = F (k) thì: Định lý 1.1.3 Nếu (a)(Tính chuyển đổi) {f (x − a)} = e−ika {f (x)} (1.6) (b)(Tính mở rộng) k F( ) |a| a (1.7) {f (−x)} = {f (x)} (1.8) {eiax f (x)} = F (k − a) (1.9) {F (x)} = f (−k) (1.10) {f (ax)} = (c)(Tính liên hợp) (d)(Phép tịnh tiến) (e)(Tính đối ngẫu) (f)(Tính hợp thành) ∞ ∞ F (k)g(k)eikx dk = f (ξ)G(ξ − x)dξ (1.11) −∞ −∞ Ở G(k) = {g(x)} Định lý 1.1.4 Nếu f (x) hàm khả tích tuyệt đối thì: (i) F (k) bị chặn −∞ < k < ∞ (ii) F (k) liên tục −∞ < k < ∞ Chứng minh Theo định nghĩa ta có: ∞ |F (k)| ≤ √ 2π ∞ e−ikx −∞ |f (x)| dx = √ 2π −∞ c |f (x)|dx = √ , 2π ∞ |f (x)|dx = const Ta chứng minh (i) Ta chứng minh với c = −∞ (ii), ta có: ∞ |F (k + h) − F (k)| ≤ √ 2π Khóa Luận Tốt Nghiệp ∞ e−ihx − |f (x)| dx ≤ −∞ π |f (x)|dx, −∞ SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 36 2.2.2 Phương trình Laplace phần tư mặt phẳng Giải phương trình: uxx + uyy = 0, < x, y > ∞, (2.50) với điều kiện biên: u(0,y) = a,u(x,0) = 0, ∇u → 0, r = x2 + y → ∞, (2.51) với a const Áp dụng biến đổi Fourier sin cho x tương ứng ta tìm được: d2 Us − k Us + dy ka = π Nghiệm phương trình đồng là: 2a πk Us (k, y) = Ae−ky + Ở A xác định từ Us (k, 0) = Kết quả: Us (k, y) = a k (1 − e−ky ) π (2.52) Nghịch đảo biến đổi ta thu nghiệm hình thức: ∞ 2a u(x, y) = π (1 − e−ky ) sin kxdk, k hay ∞ = a− 2.3 2.3.1 ∞ sin kxdk − k 2a u(x, y) = [ π −ky e sin kxdk] k 2a π y 2a y ( − tan−1 ) = tan−1 ( ) π x π x (2.53) Ứng dụng phép biến đổi Laplace Giải phương trình vi phân thường Trong phần này, xem xét ứng dụng phép biến đổi Laplace phương trình vi phân cấp cấp Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 37 Giải phương trình vi phân cấp Ta xét phương trình vi phân cấp sau: dx + p(x) = f (t), t > 0, dt (2.54) với điều kiện ban đầu là: x(t = 0) = a, (2.55) a t số, f (t) hàm số tồn phép biến đổi Laplace Áp dụng phép biến đổi Laplace x¯(s) hàm x(t) ta có: s¯ x(s) − x(0) + p¯ x(s) = f¯(s), hay x¯(s) = a f¯(s) + s+p s+p (2.56) Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta có nghiệm phương trình vi phân cấp sau: t x(t) = ae−pt + f (t − τ )e−pτ dτ (2.57) Đặc biệt f (t) = q, với q số, cơng thức nghiệm (2.57) trở thành: x(t) = q q −pt + a− e p p (2.58) Ví dụ 2.3.1 Ta áp dụng giải phương trình vi phân sau: dx − 2x = 4, t > 0, x(0) = dt Ta có a = x(0) = 0, p = −2, f (t) = q = Theo công thức nghiệm (2.58) ta có x(t) = Khóa Luận Tốt Nghiệp 2t + (0 − )e = 2(e2t − 1) −2 −2 SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 38 Ví dụ 2.3.2 Giải phương trình: dx + 2x = sint, t > 0, x(0) = dt Ta có a = x(0) = 1, p = 2, f (t) = sint Theo công thức nghiệm (2.57) ta có: t x(t) = e−2t + sin(t − τ )e−2τ dτ = e−2t + I t Ta giải I = sin(t − τ )e−2τ dτ ta thu nghiệm là: 1 I = e−2t − cos t + sin t 5 Giải phương trình vi phân cấp Ta xét phương trình vi phân cấp sau: d2 x dx + 2p + qx = f (t), t > 0, dt dt với điều kiện ban đầu là: dx x(t) = a, = x(t) ˙ = b, t = 0, dt (2.59) (2.60) p, q, a b số Áp dụng phép biến đổi Laplace ta có s2 x¯(s) − sx(0) − x(0) ˙ + 2p {s¯ x(s) − x(0)} + q¯ x(s) = f¯(s) Sử dụng điều kiện ban đầu (2.60) ta có: x¯(s) = (s + p)a + (b − pa) + f¯(s) , n = q − p2 2 (s + p) + n (2.61) Sử dụng phép biến đổi ngược phép biến đổi Laplace, ta có cơng thức nghiệm chia thành trường hợp sau: Trường hợp 1: Khi q > p2 ⇒ n2 = q − p2 > thì: t 1 x(t) = ae−pt cos nt + (b + pa)e−pt sin nt + n n f (t − τ )τ e−pτ sin nτ dτ (2.62) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 39 Trường hợp 2: Khi q = p2 ⇒ n2 = q − p2 = thì: t x(t) = ae−pt cos nt + (b + pa)te−pt + f (t − τ )τ e−pτ dτ (2.63) Trường hợp 3: Khi q < p2 ⇒ n2 = p2 − q > thì: t 1 x(t) = ae−pt cosh mt+ (b+pa)e−pt sinh mt+ m m f (t − τ )e−pτ sinh mtdτ (2.64) Ví dụ 2.3.3 Ta áp dụng giải phương trình sau: d2 x + x = sin 2t, x(0) = x(0) ˙ = dt2 Ta có a = 0, b = 0, p = 0, q = nên q > p2 ⇒ n2 = q − p2 = Theo công thức nghiệm (2.62) trường hợp ta có nghiệm phương trình vi phân cấp cho là: t t sin(2t − 2τ ) sin τ dτ = x(t) = [cos(2t − 3τ ) − cos(2t − τ )] dτ −1 sin(2t − 3τ ) − (−1) (2t − τ ) t0 −1 [sin(−t) − sin 2t] + [sin t − sin 2t] = 1 1 = sin t + sin 2t + sin t − sin 2t = (2 sin t − sin 2t) 6 2 Ví dụ 2.3.4 Giải phương trình sau: = d2 x + ω x = cosnt, dt Với (ω = n), x(0) = 1, x(0) ˙ = Giải tương tự ví dụ ta thu công thức nghiệm là: 1 · [cos ωt − cos nt] x(t) = − 2(n − ω) 2(n + ω) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 40 2.3.2 Giải phương trình tích phân Phép biến đổi Laplace phương pháp đơn giản dễ hiểu để ta giải phương trình tích phân, đặc biệt phương trình tích phân chập Phương trình tích phân chập phương trình có dạng sau: b f (t) = h(t) + λ k(t, τ )f (τ )dτ (2.65) a Trong f hàm cần tìm, h(t), k(t, τ ) a, b cho trước, λ số Khi (2.65) gọi phương trình tích phân tuyến tính loại hay phương trình tích phân tuyến tính Volterra Hàm k(t, τ ) gọi hạt nhân phương trình Phương trình gọi phương trình hay không với h(t) = hay h(t) = Nếu hạt nhân phương trình có dạng k(t, τ ) = g(t − τ ) phương trình gọi tắt phương trình tích phân chập Ta xét phương trình tích phân chập tổng quát có dạng sau: t g(t − τ )f (τ )dτ f (t) = h(t) + λ (2.66) Áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình (2.66) ta có: t ¯ f¯(s) = h(s) + λL{ g(t − τ )f (τ )dτ } Theo định lý tích chập ta có: ¯ f¯(s) = h(s) + λf¯(s)¯ g (s), hay f¯(s) = ¯ h(s) − λ¯ g (s) (2.67) Sử dụng phép biến đổi ngược ta có dạng nghiệm phương trình tích phân chập là: f (t) = L−1 { Khóa Luận Tốt Nghiệp ¯ h(s) } − λ¯ g (s) (2.68) SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 41 Ví dụ 2.3.5 Giải phương trình tích phân sau: t f (t) = a + λ f (τ )dτ (2.69) Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có: f¯(s) = a s−λ Theo phép biến đổi Laplace ngược ta có: f (t) = aeλt (2.70) Ví dụ 2.3.6 Giải phương trình sau: t f (τ ) sin(t − τ )dτ, f (0) = f (t) = a sin t + (2.71) Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có: f¯(s) = sf¯(s) − f (0) a a + L {f (t)} L {sint} = + s2 + s2 + s2 + a = s − 12 Vậy nghiệm phương trình là: f (t) = atet 2.3.3 (2.72) Giải phương trình đạo hàm riêng Xét ví dụ sau: Ví dụ 2.3.7 Giải phương trình: ut + xux = x, x > 0, t > (2.73) Với điều kiện ban đầu là: u(x, 0) = 0, x > 0, Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.74) SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 42 u(0, t) = 0, t > (2.75) Ta áp dụng phép biến đổi Laplace cho hàm u(x, t) biến t ta có: s¯ u(x, s) + x d¯ u x = , u¯(0, s) = 0, dx s d¯ u s + u¯(x, s) = (2.76) dx x s s Ta có nhân tử tích phân: e x dx = es ln x = xs Khi (2.76) tương đương với: xs + x u¯(x, s) = x dx x s d¯ u xs xs + sxs−1 u¯(x, s) = dx s d s xs [x · u¯(x, s)] = dx s s+1 x xs · u¯(x, s) = + C s(s + 1) x u¯(x, s) = C · x−s + s(s + 1) u s d¯ ss Ta có C số tích phân Từ u¯(0, s) = ta có: C = nghiệm, ta có hệ thức sau: u¯(x, s) = 1 x =x − s(s + 1) s 1+s Theo phép biến đổi ngược phép biến đổi Laplace ta có nghiệm phương trình cho là: u(x, t) = x(1 − e−t ) (2.77) Ví dụ 2.3.8 (Phương trình đạo hàm riêng cấp không nhất) Giải tốn khơng sau: uxt = −ωsinωt, t > 0, (2.78) u(x, 0) = x, u(0, t) = (2.79) với điều kiện ban đầu là: Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 43 Sử dụng phép biến đổi Laplace cho (2.78) biến t ta có: s d¯ u = dx s + ω Ta có nghiệm tổng qt phương trình vi phân là: u¯(x, s) = sx + A s2 + ω (2.80) Với A số tích phân Từ u¯(x, s) = ⇒ A = ta có nghiệm phương trình đạo hàm riêng phép biến đổi ngược phép biến đổi Laplace là: u(x, t) = xcosωt 2.4 (2.81) Ứng dụng phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo hàm riêng Phép biến đổi Hankel vơ hữu ích việc giải toán đạo hàm riêng Dưới số ví dụ: Ví dụ 2.4.1 (Dao động tự màng trịn lớn) Xét phương trình dao động: ∂ 2u = , < r < ∞, t > 0, ∂t (2.82) u(r, 0) = 0, ut (r, 0) = g(r), khi0 ≤ r < ∞, (2.83) c ∂ u ∂u + ∂r2 r ∂r với điều kiện ban đầu: đây, c2 = (T /ρ) = const, T sức căng màng, ρ mật độ bề mặt màng Áp dụng biến đổi Hankel bậc cho r tương ứng, ta có: ∞ u˜(κ, t) = rJ0 (κr)u(r, t)dr, (2.84) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 44 lấy (2.82)-(2.83) được: d2 u˜ + c2 κ2 u˜ = 0, dt u˜(κ, 0) = f˜(κ), u˜t (κ, 0) = g˜(κ) (2.85) (2.86) Nghiệm tổng quát hệ biến đổi là: u˜(κ, t) = f˜(κ) cos(cκt) + (cκ)−1 g˜(κ) sin(cκt) (2.87) Sử dụng biến dổi Hankel ngược thu nghiệm là: ∞ ∞ κf˜(κ) cos(cκt)J0 (κr)dκ + c u(r, t) = g˜(κ) sin(cκt)J0 (κr)dκ (2.88) Đặc biệt, ta xét: u(r, 0) = f (r) = Aa(r2 + a2 )−1/2 , ut (r, 0) = g(r) = 0, (2.89) để g˜(κ) ≡ ∞ f˜(κ) = Aa Aa −aκ e , κ r(a2 + r2 )−1/2 J0 (κr)dr = cơng thức nghiệm (2.88) trở thành: ∞ e−aκ J0 (κr) cos(cκt)dκ u(r, t) = Aa ∞ = AaRe exp [−κ(a + ict)]J0 (κr)dκ = AaRe r2 + (a + ict)2 −1/2 (2.90) Ví dụ 2.4.2 (Sự phân phối nhiệt cố thể nửa vô hạn với nguồn nhiệt ổn định) Ta tìm nghiệm phương trình Laplace cho phân phối nhiệt độ u(r, z) với nguồn nhiệt ổn định đối xứng Q0 q(r) sau: urr + ur + uzz = −Q0 q(r), < r < ∞, < z < ∞, r Khóa Luận Tốt Nghiệp (2.91) SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 45 u(r, 0) = 0, < r < ∞, (2.92) Q0 số Với điều kiện biên tương ứng với nhiệt độ biên z = Áp dụng biến đổi Hankel bậc cho (2.91) (2.92) ta được: d2 u˜ − κ2 u˜ = −Q0 q˜(κ) dz Nghiệm tổng quát hệ biến đổi là: Q0 u˜(κ, z) = A exp(−κz) + q˜(κ) κ với A số Trong trường hợp thì: Q0 A = − q˜(κ) κ Như vậy, nghiệm hình thức là: Q0 q˜(κ) (1 − e−κz ) κ Sử dụng biến đổi Hankel ngược ta công thức nghiệm: u˜(κ, z) = (2.93) ∞ q˜(κ) (1 − e−κz )J0 (κr)dκ κ u(r, z) = Q0 (2.94) 2.5 Bài tập Bài 1: Tìm biến đổi Fourier của: (a) f (x) = − |x| a H 1− |x| a với H(x) hàm dời đơn vị xác định: H(x) = 1, x > 0, x < , hay chung hơn: H(x − a) = 1, x > a 0, x < a , với a số thực cho hàm dời H(x − a) có gián đọan hữu hạn x = a Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 46 Đáp số: √a2π sin2 ( ak ) ( ak2 ) (b) Hàm đặc trưng χ[−a,a] (x) với, χ[−a,a] (x) = H(a − |x|) = 1, |x| < a 0, |x| > a Đáp số: π sin ak k Bài 2: Áp dụng tích chập biến đổi Fourier tìm tích chập của: f (x) = χ[a,b] (x) g(x) = x2 , với χ[a,b] (x) = 1, a ≤ x ≤ b 0, x < a ∩ x > b Đáp số: 31 b3 − a3 Bài 3: Sử dụng biến đổi Fourier giải phương trình sau: ∞ (a) f (t) + e−a|x−t| f (t)dt = g(x) −∞ Đáp số:f (x) = √1 2π ∞ −∞ (a2 +k )G(k) ikx dk a2 +k +8a e (b) (Bài tốn Cosi cho phương trình tán xạ) ut = κuxx , −∞ < x < ∞, t > 0, κ số khuếch tán với điều kiện ban đầu: u(x, 0) = f (x), −∞ < x < ∞ Đáp số:u(x, t) = Bài 4: Tìm: −1 s Khóa Luận Tốt Nghiệp √1 4πκt ∞ −∞ f (ξ) exp − (x−ξ) dξ 4κt exp(−sk) k SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 47 Đáp số: −1 π tan x s Bài 5: Sử dụng phép biến đổi Fourier sin giải toán sau: uxx + uyy = 0, < x < ∞, < y < b, với điều kiện biên: u(0, y) = 0, u(x, y) → 0, x → ∞, < y < b, u(x, b) = 0, u(x, 0) = f (x), < x < ∞ Đáp số:u(x, y) = π ∞ ∞ 0 f (l) sin kldl sinh [k(b−y)] sinh kb sin kxdk Bài 6: Cho f (t) = sinat với a số thực cho trước Sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm f¯(s) = L{f (t)} Tương tự cho hàm f (t) = cosat Đáp số: L{sinat} = a s2 +a2 L{cosat} = s s2 +a2 Bài 7: Sử dụng định lý tính chất tích chập phép biến đổi Laplace tìm f (t) g(t) biết: Đáp số:f (t) = f¯(s) = , s2 (s2 + a2 ) g¯(s) = (s2 + a2 )2 a2 t − a1 sin at g(t) = 2a3 (sin at − at cos at) Bài 8: Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình sau: (a) dx dt − 2x = cost, với t > 0, x(0) = Đáp số:e−2t + 51 (−2e−2t + 2cost + sint) (b) y − y − 2y = với y(0) = 1, y (0) = Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 48 Đáp số: 13 e2t + 32 e−t (c) ux + xut = x, x > 0, t > 0.Với điều kiện biên ban đầu là: u(x, 0) = 0, x > 0, u(0, t) = 0, t > Đáp số:u(x, t) = t − (t − 21 x2 )H(t − x2 ) t (d) f (t) = atn − e−bt − c f (τ )ec(t−τ ) dτ Đáp số:f (t) = atn − n!ac n+1 (n+1)! t + cb − + cb e−bt Bài 9: (a) Tìm biến đổi Hankel bậc của: δ(r) r Đáp số:1 (b) Tìm biến đổi Hankel bậc của: f (r) = 1r e−ar Đáp số: κ1 [1 − a(κ2 + a2 )− Bài 10: Sử dụng phép biến đổi Hankel giải phương trình đạo hàm riêng với điều kiên biên ban đầu sau: (Hàm tán xạ đối xứng trục) ut = κ urr + ur , < r < ∞, t > 0, r với κ số tán xạ u(r, 0) = f (r), để < r < ∞ Đáp số: 2κt exp − (r2 +l2 ) 4κt I0 rl 2κt ∞ lf (l)dl (Chú ý: có sử dụng cơng thức tích phân Bessel) Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 49 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu thầy Phan Đức Tuấn cung cấp, em hoàn thành đề tài Đề tài đề cập đến phép biến đổi tích phân sau: - Phép biến đổi Fourier - Phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin - Phép biến đổi Laplace - Phép biến đổi Hankel Và áp dụng phép biến đổi để tìm nghiệm loại phương trình: vi phân, tích phân, đạo hàm riêng.Trong phép biến đổi Fourier Laplace giới thiệu đầy đủ ứng dụng với loại phương trình vi phân, tích phân đạo hàm riêng Cịn phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin, phép biến đổi Hankel phép biến đổi mở rộng từ phép biến đổi Fourier, nên em giới thiệu ứng dụng tiêu biểu việc giải phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên giá trị ban đầu cho trước Các phép biến đổi giúp giải tốn vi phân, tích phân, đạo hàm riêng cách thuận lợi ứng dụng rộng rãi toán học, vật lý kỹ thuật điện Trong thời gian qua, có cố gắng nhiều hạn chế kiến thức, kinh nghiệm thời gian nên đề tài mang tính giới thiệu, chưa thể sâu vào phép biến đổi chưa cung cấp phong phú đươc ứng dụng cho nhiều loại phương trình cụ thể Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lokenath Debnath & Dambaru Bhatta, Integral Transforms and Their Applications, Second Edition, Taylor & Francis group, LLC, 2007 [2] Andrei D.Polyanin & Alexander V.Manzhirov, Handbook of integral equations, CRC press LLC, 1998 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH:Nguyễn Thị Ngọc Hiệp ... tài đề cập đến phép biến đổi tích phân sau: - Phép biến đổi Fourier - Phép biến đổi Fourier sin Fourier cosin - Phép biến đổi Laplace - Phép biến đổi Hankel Và áp dụng phép biến đổi để tìm nghiệm... KontorovichLebedev, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, lý thuyết tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ XX Nhờ vào việc kết hợp phép biến đổi tích phân định lý tích chập cung cấp cách... bày phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Laplace Hankel với số tính chất phép biến đổi Đặc biệt định lý tính chất tích chập phép biến đổi tích phân Chương 2, trình bày ứng