Tích chập của một số phép biến đổi tích phân với nhân lượng giác và ứng dụng

MỞ ĐẦUPhép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớmtrong lịch sử của giải tích toán học, và chiếm vị trí quan trọng trong toán học domỗi phép biến đổi tích phân c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − − − − − − −

BÙI THỊ GIANG

TÍCH CHẬP CỦA MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

VỚI NHÂN LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

Phản biện 1: GS TSKH Đinh Dũng

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo

Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Ngọc

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Trường ĐHKHTN

vào hồi 9 giờ 00 ngày 26 tháng 6 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án này tại: - Thư viện Quốc Gia Việt Nam

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 6

MỞ ĐẦU 9

Chương 1 TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 19 1.1 Phép biến đổi Fourier 19

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 20

1.1.2 Định lý ngược và định lý duy nhất 27

1.1.3 Định lý Plancherel 32

1.2 Phép biến đổi Hartley 35

1.3 Phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine 45

1.4 Đặc trưng đại số của phép biến đổi dạng Fourier 51

Chương 2 TÍCH CHẬP ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 55 2.1 Định nghĩa tích chập và tích chập suy rộng 57

2.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier với phép biến đổi hình học 58

2.2.1 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với dịch chuyển 58 2.2.2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với đồng dạng 60 2.2.3 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier với nghịch đảo 62 2.3 Tích chập liên kết giữa phép biến đổi Fourier và Fourier ngược 63 2.4 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-cosine 67 2.4.1 Tích chập không có trọng đối với phép biến đổi Fourier-sine và Fourier-coFourier-sine 67

2.4.2 Tích chập đối với phép biến đổi sine và Fourier-cosine với hàm trọng lượng giác 71

2.5 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley liên kết với Fourier 76

2.5.1 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H1 762.5.2 Tích chập đối với phép biến đổi Hartley H2 822.5.3 Tích chập đối với Hartley liên kết với Fourier 84Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CHẬP 923.1 Các cấu trúc vành định chuẩn trên L1(Rd) 933.2 Phương trình tích phân 983.2.1 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 983.2.2 Phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel hỗn

hợp có dịch chuyển 1033.2.3 Phương trình tích phân dạng tích chập tổng quát với

nhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp 1133.2.4 Phương trình tích phân với nhân Gaussian 116

KẾT LUẬN 129

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

• C0(R)là không gian Banach của các hàm liên tục trên R và triệt tiêu tại

vô cùng với chuẩn sup

• S là không gian Schwartz, là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạntrên R sao cho

ddx

Rd

e−ihy,x1if (y)dy nếu xi 6= 0 ∀i = 1, , d,

0 nếu xi = 0,

phép biến đổi Fourier với phép nghịch đảo

• cos xy := coshx, yi; sin xy := sinhx, yi, trong đó hx, yi là tích vô hướngcủa x, y trong Rd

sin xyf (y)dy, phép biến đổi Fourier-sine

• Phép biến đổi Hartley:

MỞ ĐẦU

Phép biến đổi tích phân là một trong những chủ đề được phát triển sớmtrong lịch sử của giải tích toán học, và chiếm vị trí quan trọng trong toán học domỗi phép biến đổi tích phân có thể dùng để giải phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng, và áp dụng cho những bài toán của vật lý, cơ học, y học, Phép biến đổi tích phân được ra đời sớm nhất là phép biến đổi tích phânFourier được xác định bởi công thức sau:

(F f )(x) = √1

2πZ

R

Về mặt toán học, phép biến đổi tích phân Fourier được phát triển từ chuỗiFourier đó là việc biểu diễn một hàm bất kỳ thành chuỗi các hàm lượng giácđơn Về mặt lịch sử, nhà toán học Joseph Fourier (1768-1830) là người đầu tiênbiểu diễn thành công một hàm thành chuỗi của các hàm lượng giác khi ôngnghiên cứu quá trình truyền nhiệt của vật chất Trải qua hai thế kỷ phát triển,một lý thuyết toán học được gọi ngắn gọn là Giải tích Fourier đã và đangđược phát triển mạnh mẽ, do lý thuyết đó có những ứng dụng trong nhiều lĩnhvực của toán học và của nhiều ngành khoa học ứng dụng khác

Ngoài phép biến đổi tích phân Fourier kể trên, người ta còn xét đến phépbiến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine được xác định bởi các công thức sau đây:

(Tcf )(x) = √1

2πZ

R

cos xyf (y)dy := gc(x), (0.3)

(Tsf )(x) = √1

2πZ

R

sin xyf (y)dy := gs(x) (0.4)

Hai phép biến đổi Tc, Ts này có một tính chất khác biệt so với phép biến đổitích phân Fourier là ở chỗ: nếu miền xác định của Tc, Ts là L1(R), thì đó là cáctoán tử không khả nghịch do chúng đều là những ánh xạ không đơn ánh, trong

khi phép biến đổi tích phân Fourier F có phép biến đổi ngược trong L1(R),

và hơn thế nữa, F là toán tử tuyến tính khả nghịch liên tục trong không gianHilbert L2(R)

Người ta thường gọi những phép biến đổi tích phân mà hàm nhân (hàmdưới dấu tích phân) có dạng

k(x, y) = a cos xy + b sin xy, a, b ∈ C

là phép biến đổi tích phân dạng Fourier

Trong số các phép biến đổi tích phân dạng Fourier, cần phải kể đến mộtphép biến đổi tích phân do Ralph Vinton Lyon Hartley là một kỹ sư vô tuyếnđiện đề xuất vào năm 1942, được xác định bởi công thức sau

(Hf )(x) = √1

2πZ

R

ở đây hàm nhân dưới dấu tích phân được biết đến là hàm cas (cosine-and-sine)được xác định bởi công thức: cas xy = cos xy + sin xy (xem [5, 18]) Phépbiến đổi Hartley là một phép biến đổi dạng Fourier, và có mối liên hệ rất gầngũi với phép biến đổi tích phân Fourier Thật vậy, hàm nhân trong phép biếnđổi Hartley có thể biểu diễn được qua các nhân của phép biến đổi Fourier vàFourier ngược:

cas(xy) := cos(xy) + sin(xy) = 1 − i

là một phép biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi đầu từ những vấn

đề của truyền tải sóng điện thoại Mặc dù phép biến đổi này bị quên lãng gần

40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập kỷ qua bởi hai nhàtoán học Wang và Bracewell những người đã tạo ra lý thuyết hấp dẫn về đề tàinày " Bằng chứng về tuyên bố trên là một danh sách dài những công trình đãcông bố về những ứng dụng của phép biến đổi Hartley (xem [5, 6, 7, 18, 27, 43]

và tài liệu tham khảo ở đó) Trong những công trình kể trên, các tác giả chỉ

ra nhiều ứng dụng hiệu quả của phép biến đổi Hartley trong các bài toán củathực tế như: xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh, xử lý âm thanh, xử lý tín hiệu số,v.v Mặt khác, toán tử tích phân Hartley là một toán tử thực và đối xứng

Do vậy, ưu việt của phép biến đổi Hartley so với phép biến đổi Fourier, về mặttính toán số, là ở chỗ phép biến đổi Hartley của một hàm thực là hàm thực,trong khi phép biến đổi Fourier của một hàm thực là hàm phức, và do máytính (computer) làm việc với số thực thuận tiện và nhanh hơn với số phức.Liên quan đến lý thuyết của phép biến đổi tích phân, một lý thuyết kháccũng được nghiên cứu và phát triển, tuy là ra đời muộn hơn Đó là lý thuyếttích chập của các phép biến đổi tích phân, và lý thuyết của các toán tử tíchchập Lý thuyết tích chập và các toán tử tích chập được xây dựng khởi đầu

từ nửa đầu của thế kỷ 20, sau đó được phát triển mạnh mẽ trong những nămgần đây vì chúng có nhiều ứng dụng không chỉ vào nhiều lý thuyết khác nhaucủa toán học như: phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, đại

số Banach, mà còn được ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học vàcông nghệ

Tích chập được xây dựng và nghiên cứu đầu tiên là của phép biến đổi tíchphân Fourier

(f ∗

F g)(x) = √1

2πZ

f (y)[g(|x − y|) + g(x + y)]dy (0.7)

Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

Fc(f ∗

F c

g)(x) = (Fcf )(x)(Fcg)(x),

trong đó Fc là phép biến đổi Fourier-cosine:

(Fcf )(x) =

r2π

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy (0.8)

Ký hiệu Fs là phép biến đổi tích phân Fourier-sine:

(Fsf )(x) =

r2π

Z +∞

0

f (y) sin xydy

Khi đó, đẳng thức nhân tử hóa của tích chập (0.8) là

Fs(f ∗

1 g)(x) = (Fsf )(x)(Fcg)(x)

(xem trong [12, 14])

Cho đến nửa trước của thế kỷ 20, mới chỉ có một số lượng rất hạn chế củacác tích chập, phần lớn là tích chập không hàm trọng của các phép biến đổitích phân Fourier, Fourier-cosine, Laplace, Mellin,

Năm 1967, Kakichev [21] đưa ra một phương pháp tổng quát cho xây dựngtích chập của phép biến đổi tích phân K bất kỳ với hàm trọng γ(x) cho trướcdựa trên đẳng thức nhân tử hóa

K(f ∗ g)(x) = γ(x)(Kf )(x)(Kg)(x).γ

Sau thời điểm này, rất nhiều tích chập có trọng của các phép biến đổi tích phân

đã được tìm thấy như tích chập của phép biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine,Hankel, Kontorovich- Lebedev, Stieltjes, Chẳng hạn, tích chập với hàm trọng

γ(x) = sin x của phép biến đổi Fourier-sine được giới thiệu bởi Kakichev

(f ∗γ

F s

g)(x) = 1

2√2π

Z +∞

0

f (u)

hsign(x + u − 1)g(|x + u − 1|)

+ sign(x − u + 1)g(|x − u + 1|) − g(x + u + 1)

− sign(x − u − 1)g(|x − u − 1|)idu (0.9)Đẳng thức nhân tử hóa của tích chập này là

λ + (F k)(x)



Cần phải lưu ý rằng quá trình giải phương trình (0.10) như trình bày ở trên

là hoàn toàn hình thức, vì rằng ta chưa xác định không gian nghiệm cũng nhưcác điều kiện cho đẳng thức nhân tử hóa và điều kiện cho phép lấy biến đổiFourier ngược Tuy vậy, những điều lo ngại vừa nêu được giải quyết rất tốt đẹpnếu ta chọn không gian L1(R) hoặc L2(R), và sử dụng định lý Wiener-Lèvy

để đảm bảo cho việc tồn tại ánh xạ Fourier ngược như đã thể hiện trong côngthức (0.12)

Bây giờ, ta đề cập đến một ứng dụng khác của tích chập

Nhắc lại rằng nếu hai hàm f (x), g(x)khả tích Lebesgue trên R(nghĩa là f, g ∈

L1(R)) thì nói chung, hàm số tích f (x)g(x) không khả tích trên R (f g có thểkhông thuộc không gian L1(R)) Tình hình này sẽ thay đổi nếu tích thôngthường vừa nêu của hai hàm f, g được thay thế bởi phép toán nhân ∗ được xácđịnh theo (0.6) Nói cụ thể hơn, người ta chứng minh được rằng nếuf, g ∈ L1(R)

thì hàm tích chập f ∗

Fg ∈ L1(R) Hơn nữa, phép toán∗là giao hoán, có tính kếthợp, và phép nhân này thỏa mãn quy tắc phân phối đối với phép cộng thông

thường của các hàm số Biểu thị dưới dạng các công thức, ta có thể phát biểulại như sau:

và các tài liệu tham khảo ở đó)

Có thể dễ dàng liệt kê một danh sách dài các tác giả và những công trìnhcông bố của họ liên quan đến tích chập của các phép biến đổi tích phân vàứng dụng: V A Kakichev, O I Marichev, S B Yakubovich, V K Tuan, S.Saitoh, L E Britvina, I Feldman, I Gohberg, H J Glaeske, H M Srivastava,

B Silbermann, N Krupnik, D T Duc, N X Thao, Tr Tuan, N M Khoa, (xem trong tài liệu tham khảo của luận án) Trong số này, có nhiều nhà toánhọc đứng đầu nhóm nghiên cứu tiềm năng ở các trung tâm nghiên cứu toánhọc trên khắp thế giới, họ đã và đang tạo ra những khám phá thú vị của lýthuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân: S B Yakubivich (Porto, BồĐào Nha), V K Tuan (Hoa kỳ), S Saitoh (Aveiro, Bồ Đào Nha và Nhật Bản),

L E Britvina (Ukraine), I Gohberg (Israel), H M Srivastava (Canada), B.Silbermann (Đức) Một nguyên nhân khác mà lý thuyết tích chập đã thu hút

sự quan tâm của các nhà nghiên cứu toán học là, mỗi một tích chập lại là mộtphép biến đổi tích phân mới và do đó có thể lại là một đối tượng nghiên cứumới (xem [10, 33, 42]) Thực vậy, nói nôm na, các phép biến đổi quen biết nhưphép biến đổi tích phân kỳ dị Cauchy, phép biến đổi Weierstrass là tích chập

Trong luận án này, chúng tôi xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier

và phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học, phép biến đổi Hartley,hai phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine, và xét những ứng dụng củatích chập đã xây dựng được Sử dụng các tích chập đó, chúng tôi thu được tínhgiải được cho một lớp phương trình tích phân dạng tích chập, phương trìnhtích phân với nhân Toeplitz-Hankel, với nhân Toeplitz-Hankel có dịch chuyển,

và phương trình tích phân với nhân Gaussian Hơn nữa, luận án còn thu đượcđiều kiện cần và đủ để những lớp phương trình kể trên có nghiệm, và công thứcnghiệm tường minh

So sánh những gì thu được trong Chương 2 và 3 của luận án này với nhữngkết quả trong các công trình [34, 35, 36, 37, 38, 39], có hai điểm khác biệt nổibật sau đây:

• Thứ nhất, tất cả các tích chập được xây dựng trong luận án đều dùngđược cho việc cấu trúc vành định chuẩn cho không gian L1(R), và phầnlớn trong số đó là giao hoán Nghĩa là, L1(R), được trang bị bởi mộttrong các phép nhân tích chập trong luận án này cùng với chuẩn thíchhợp, trở thành một vành định chuẩn; phần lớn các vành trong số đó làgiao hoán Tuy nhiên, L1(R) không thể được trang bị bởi phép nhân tíchchập trong các công trình vừa trích dẫn vì chúng là các phép toán không

có tính kết hợp

• Thứ hai, luận án thu được các điều kiện cho tính giải được của phươngtrình tích phân; những điều kiện giải được là tự nhiên do nó phù hợpvới tính giải chuẩn của toán tử Fredholm (Noether), và điều kiện cần và

đủ để phương trình tích phân có nghiệm duy nhất và công thức nghiệmtường minh, trong khi một số công trình khác chỉ thu được điều kiện đủcho tính giải được và công thức nghiệm ẩn của phương trình

Luận án được chia thành ba chương, và được kết cấu như sau

Chương 1 trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biếnđổi tích phân Fourier và phép biến đổi ngược, phép biến đổi Fourier-cosine

và Fourier-sine, và phép biến đổi Hartley Mục 1.1 đề cập đến phép biến đổi

Fourier và phép biến đổi Fourier ngược, định lý duy nhất và định lý Plancherelcủa phép biến đổi Fourier và một số tính chất toán tử cơ bản của toán tử tíchphân Fourier Mục 1.2 trình bày các tính chất cơ bản của phép biến đổi Harley,phép biến đổi ngược, và chứng minh một số đặc trưng toán tử của toán tử tíchphân Hartley Mục 1.3 trình bày phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine

và các tính chất toán tử của hai toán tử tích phân này Trong Mục 1.4, luận

án thu được một số đặc trưng đại số của các toán tử tích phân Tc, Ts, F, H đãđược xét đến trong các Mục 1.1, 1.2, và 1.3

Chương 2 xây dựng tích chập của các phép biến đổi tích phân dạng Fourier

và mở rộng cho phép biến đổi Fourier với các phép biến đổi hình học Trong mụcđầu tiên của chương, luận án đưa ra một phát biểu về tích chập của các toán tửtuyến tính trên cơ sở các định nghĩa đã biết của các toán tử tích phân TrongMục 2.2, luận án xây dựng tích chập của phép biến đổi Fourier với các phépbiến đổi hình học: phép tịnh tiến, phép đồng dạng, và phép nghịch đảo TrongMục 2.3, luận án xây dựng tích chập và tích chập có trọng của phép biến đổiFourier Tích chập và tích chập có trọng của các phép biến đổi Fourier-cosine

và Fourier-sine được trình bày trong Mục 2.4 Trong Mục 2.5, luận án trìnhbày tích chập của phép biến đổi Hartley, và tích chập liên kết giữa hai phépbiến đổi tích phân Hartley và Fourier

Chương 3 trình bày ứng dụng của các tích chập đã xây dựng ở Chương 2.Mục 3.1 nghiên cứu ứng dụng của tích chập vào việc trang bị cho không giantuyến tính L1(Rd) sao cho nó có thể trở thành vành định chuẩn Ứng dụng củacác tích chập để giải phương trình tích phân được trình bày trong Mục 3.2

Có bốn lớp phương trình tích phân được nghiên cứu trong mục này Mục 3.2.1nghiên cứu tính giải được và công thức nghiệm của phương trình tích phân vớinhân Toeplitz-Hankel hỗn hợp Mục 3.2.2 là một mở rộng cho lớp phương trìnhtrong Mục 3.2.1, đó là các lớp phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel

có dịch chuyển và có trễ Mục 3.2.3 trình bày lớp các phương trình tích phândạng tích chập được khái quát từ hai lớp phương trình đã nghiên cứu trongcác Mục 3.2.1, 3.2.2 Trong Mục 3.2.4, nhờ các tích chập của phép biến đổi tíchphân Fourier với các phép biến đổi hình học, luận án nghiên cứu được tính giảiđược và công thức nghiệm tường minh của một số lớp phương trình tích phânvới nhân dạng Gauss

Những nội dung chủ yếu của luận án đã được công bố trên các công trìnhđược liệt kê ở mục Danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án và

được báo cáo tại các hội nghị và xêmina dưới đây:

- Xeminar Giải tích - Đại số, Trường đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN

Xeminar bộ môn Toán Giải tích, Trường đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN

Xeminar bộ môn Toán học tính toán, Trường đại học Khoa học Tự nhiên

Chương 1 TÍNH CHẤT TOÁN TỬ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI

TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản, định lý tồn tạiphép biến đổi ngược của các phép biến đổi Fourier, Hartley, Fourier-cosine vàFourier-sine Mục 1.1 nhắc lại định nghĩa phép biến đổi Fourier, các tính chất cơbản và ví dụ minh họa Trong mục này, luận án nhắc lại định lý ngược, định lýtồn tại, định lý duy nhất và định lý Plancherel của phép biến đổi Fourier Mục1.2 trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản và các định lý tồn tại của phépbiến đổi Hartley Mục 1.3 trình bày phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine

và một số tính chất cơ bản Luận án không trình bày định lý ngược, định lýPlacherel cho phép biến đổi Fourier-cosine và Fourier-sine vì chúng không đẳng

cự và không đơn ánh trong L2(R) Mục 1.4 trình bày đặc trưng đại số của cácphép biến đổi dạng Fourier

Nhấn mạnh rằng, chương này trình bày một số tính chất cơ bản của phépbiến đổi tích phân Fourier, Hartley, Fourier-cosine và Fourier-sine của hàm mộtbiến (hàm xác định trên R), mục đích là để cho các ví dụ minh họa sẽ đượctính toán trực tiếp và rõ ràng hơn Tuy thế, tất cả các tính chất trong chươngnày vẫn còn đúng cho những phép biến đổi đó của hàm nhiều biến (Rd) màkhông có sự khác biệt nào về bản chất, ngoại trừ một vài hệ số có thể có trongtừng đẳng thức hoặc từng công thức tích phân

Trước hết, luận án trình bày định nghĩa một số không gian hàm cơ bảnđược sử dụng trong luận án

Không gian L1(R), L2(R) được định nghĩa như sau

L1(R) = {f : R → C | f là khả tích Lebesgue (tuyệt đối) trên R},

Định nghĩa 1.1.1 ([26]) Phép biến đổi Fourier của hàmf được kí hiệu(F f )(x)

hoặc f (x)ˆ và được xác định bởi tích phân

(F f )(x) = √1

2πZ

Điều kiện đủ để hàm f (x) có phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) hay (1.2)

là f khả tích tuyệt đối trên R, hay trên Rd tương ứng

Trong luận án này, miền xác định của phép biến đổi Fourier sẽ được giớihạn trong không gian các hàm khả tích tuyệt đối Việc giới hạn này là quámạnh cho nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học Một số hàm đơn giản nhưcác hàm hằng, hàm lượng giác như sin ax, cos ax, hay hàm mũ ex đều không cóphép biến đổi Fourier nhưng chúng lại rất hay sử dụng Tích phân (1.1) khônghội tụ khi f (x) là một trong số các hàm trên Đây là đặc điểm hạn chế của lýthuyết Fourier Tuy nhiên, sự hạn chế này được giải quyết bằng cách mở rộngđịnh nghĩa của phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng

Trong phạm vi của luận án, chúng ta chỉ xét các hàm cổ điển, cụ thể các hàmđược xét trong luận án này thuộc một trong các không gian L1(R), L2(R).Sau đây ta xét một số ví dụ

Ví dụ 1.1.2 Xét hàm f (x) = e−ax , trong đó a > 0 Dễ thấy rằng hàm

−x2 4a

trong đó chúng ta đã thực hiện đổi biến

z = y + ix

2a.

Trong trường hợp này f ∈ Lˆ 1

(R).Nếu a = 12 thì ta thu được

f = ˆf

Hàm này được gọi là hàm tự nghịch đảo đối với phép biến đổi Fourier

Ví dụ 1.1.3 Xét hàm số f (x) được xác định như sau

Z +a

−a

e−ixydy =

r2π

sin ax

x
= ˆf (x)

Trong trường hợp này, hàm f ∈ L1(R) Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier của

nó (hàm ảnh f (x)ˆ ) lại không thuộc không gian L1

(R) Ta sẽ chứng minh điều

này Dễ dàng thấy rằng hàm số f (x)ˆ liên tục trên đoạn [−1, 1] Do đó f (x)ˆ khả

tích trên đoạn này Với |x| ≥ 1, ta có

sin axx

Z +∞

1

cos 2ax2|x| dx

hội tụ, nhưng

Z −1

−∞

12|x|dx và

Z +∞

1

12|x|dx

là phân kỳ Vậy hàm số

(F f )(x) =

r2π

sin axx

không khả tích tuyệt đối, nên nó không thuộc không gian L1(R)

Qua hai ví dụ trên, ta thấy rằng nếu f ∈ L1(R) thì hàm ảnh (F f )(x) có thểthuộc hoặc không thuộc không gian L1(R)

trong đó a > 0 cho trước Dễ dàng chứng minh f ∈ L2(R) Thật vậy, dễ thấy

f liên tục trên đoạn [−1, 1] Trên mỗi khoảng (−∞, −1] và [1, +∞), ta có

... f0(x) với x ∈ R hầu khắp nơi

Chứng minh 1) Theo Định lý 1.1.14, hàm dấu tích phân (1.6) thuộckhông gian S Sử dụng định lý Fubini Bổ đề 1.1.15, ta có

với x ∈ R Đẳng thức (1.6) chứng... lý chứng

Định lý 1.1.14 ([32]) Phép biến đổi Fourier ánh xạ liên tục từ S vào S.Chứng minh... Cho g ∈ S Sử dụng định lý Fubini cho tíchphân bội

√2πZ

Khi phép biến đổi Fourier-cosine