Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng

Cho đến nay,dựa trên công trình này, một số tích chập suy rộng đã được xây dựng vànghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Stieltjes,Hilbert, Fourier cosine và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

− − − − − − − − −

NGUYỄN THANH HỒNG

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER, FOURIER

COSINE, FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đạihọc Quốc gia Hà Nội

Tập thể hướng dẫn khoa học:PGS TS Nguyễn Xuân Thảo

GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

vào hồi 14 giờ 00 ngày 01 tháng 3 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận án này tại:

- Thư Viện Quốc Gia Việt Nam

MỤC LỤC

Trang phụ bìa 1

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

MỤC LỤC 5

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 7

MỞ ĐẦU 9

Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER SINE VỚI HÀM TRỌNG 18 1.1 Định lí kiểu Watson 19

1.2 Định lí kiểu Plancherel 26

1.3 Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân 30

Chương 2 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG 40 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-cosine với hàm trọng 40

2.1.1 Định lí kiểu Watson 41

2.1.2 Định lí kiểu Plancherel 46

2.1.3 Ví dụ 50

2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-sine với hàm trọng 53

2.2.1 Tính unita trong không gian L2(R+) 53

2.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2(R+) 59

2.2.3 Ví dụ 62

2.3 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine,

Fourier và Fourier cosine với hàm trọng 662.3.1 Tính chất toán tử tích chập suy rộng 672.3.2 Định lí kiểu Watson 73

3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine 773.1.1 Định lí kiểu Young 793.1.2 Một bất đẳng thức trong không gian với trọng đối với

tích chập Fourier cosine 823.1.3 Áp dụng đánh giá nghiệm một số bài toán trong không

gian Lp(R+, ρ) 843.2 Một số lớp các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 883.2.1 Phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt 883.2.2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt 943.3 Một số lớp các bài toán vi-tích phân 983.3.1 Bài toán vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy

rộng 993.3.2 Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a Các không gian hàm dùng trong luận án

• R+ = {x ∈ R, x > 0}

• Lp(R+), 1 6 p < ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ saocho

• kf kLp(R+) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp(R+), xác định bởi

• kf kLp(R+,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp(R+, ρ), xác định bởi

b Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng trong luận án

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài

Lý thuyết phép biến đổi tích phân đã ra đời và liên tục phát triển trongsuốt mấy trăm năm qua và có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt

là trong các ngành Vật lí như quang học, điện, cơ học lượng tử, âm thanh

Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với các phép biến đổi tíchphân còn có vai trò không thể thiếu trong các ngành y sinh học, địa lí, hảidương học, Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặcbiệt quan trọng trong lí thuyết cũng như trong ứng dụng phải kể đến trướchết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biếnđổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phânHankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Bản thân phép biến đổi Fouriercũng ra đời xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J nghiên cứu về quátrình truyền nhiệt

Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [9, 41])

Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp(R), 1 6 p 6 2, thì ta có phép biến đổi Fourierngược như sau (xem [9, 41])

f (x) = (F−1g)(x) = F−1[g](x) = lim

N →+∞

1

√2π

Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phépbiến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20 Tích chập đầutiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụ thể tíchchập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng như sau (xem[39])

Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau (xem [39])

F [f ∗

F g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1(R)

Năm 1951, Sneddon I N xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phépbiến đổi Fourier cosine như sau (xem [39])

xử lí ảnh,

Mặc dù có rất nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưngcho đến trước những năm 50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập đốivới các phép biến đổi tích phân được xây dựng

Năm 1958, lần đầu tiên Vilenkin Y.Ya thiết lập được công thức tích chậpvới hàm trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox (xem [58]) Gần một thập

kỉ sau, năm 1967, Kakichev V.A đã đưa ra một phương pháp kiến thiết đểxây dựng tích chập với hàm trọng đối với một phép biến đổi tích phân bất

kì (xem [20]) Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đối với các phép biếnđổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng đối vớiphép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [20])

Vào năm 1951, trong cuốn sách của mình [38], Sneddon I.N đưa ra mộtcông thức tích chập "lạ", khi trong đẳng thức nhân tử hoá của nó có haiphép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine Tích chập này xácđịnh như sau (xem [38])

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.13)

thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parseval dưới đây (xem [38, 6])

Fs[f ∗

1 g])(y) =(Fsf )(y)(Fcg)(y), f, g ∈ L1(R+), (0.14)(f ∗

1 g)(x) =Fs[(Fsf )(y)(Fcg)(y)](x), f, g ∈ L2(R+) (0.15)Khoảng những năm 90 của thế kỉ trước, Yakubovich S B đã giới thiệu một

số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H theo chỉ số Trong đó đẳngthức nhân tử hoá có các phép biến đổi khác nhau thuộc cùng một họ Trên

Kontorovich-cơ sở đó và tiếp theo ý tưởng của Kakichev V.A [20], năm 1998, KakichevV.A và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phương pháp kiến thiết xây dựng tíchchập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì (xem[22]) Kết quả trên đã mở ra một hướng mới nghiên cứu và xây dựng tíchchập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau Cho đến nay,dựa trên công trình này, một số tích chập suy rộng đã được xây dựng vànghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Stieltjes,Hilbert, Fourier cosine và Fourier sine (xem [43]); tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi I (xem [2, 52]); tích chập suy rộng với hàm trọng đối với cácphép biến đổi Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược (xem [2, 55]);tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân dạng Fourier (xem[15, 16]) Tiếp theo, mở rộng khái niệm về tích chập suy rộng, khái niệm

về đa chập đã được Kakichev V.A xây dựng năm 1998 (xem [21]) Đặc biệt,năm 2008, trong Luận án Tiến sĩ của mình (xem [1]), tác giả Nguyễn Minh

Khoa đã xây dựng một số tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhómcác phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine, góp phầnlàm phong phú hơn lý thuyết tích chập, tích chập suy rộng đối với nhóm cácphép biến đổi trên (xem [48, 45, 51, 47, 49, 25]).

Ngoài ra, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phânToeplitz-Hankel (xem [19, 57])

có thể giải được và cho nghiệm dưới dạng đóng (xem [42]) Phương trình này

có rất nhiều ứng dụng thú vị trong các lĩnh vực khác nhau như lí thuyết tán

xạ, lí thuyết động lực học chất lỏng, lí thuyết lọc tuyến tính, trong nghiêncứu về va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, (xem[19, 57]) Tuy nhiên, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt đối với nhân Hankel

k1 và nhân Toeplitz k2, bài toán tìm nghiệm đóng cho phương trình (0.16)tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở

Bên cạnh đó, dễ thấy phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.16) cóthể viết lại dưới dạng sau

f (x) +

√2π(f ∗

F c

h1)(x) +

√2π(f ∗

1 h2)(x) = g(x), x > 0,

trong đó h1 = 12(k1 + k2) và h2 = 12(k2 − k1) Vì vậy, nghiên cứu các tíchchập, tích chập suy rộng có thể mở rộng các lớp phương trình tích phânToeplitz-Hankel (0.16) giải được nghiệm dưới dạng đóng

Song song với lí thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập đối với cácphép biến đổi tích phân, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập cũngđược xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị Cụ thể, trong tíchchập bất kì của hai hàm f và g, nếu ta cố định một hàm, chẳng hạn cố định

g ≡ k, như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gianhàm xác định, ta được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f 7→ g = f ∗ k

Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biếnđổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [41])

f (x) 7→ g(x) =

Z ∞ 0

k(xy)f (y)dy

Hơn nữa, ta cũng có thể nghiên cứu phép biến đổi tổng quát dạng f (x) 7→

g = D(f ∗ k)(x), trong đó D là một toán tử nào đó Trong những năm gầnđây, một số lớp các phép biến đổi tích phân dạng trên liên quan đến tích chậpFourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin đã được xây dựng

và nghiên cứu trong [5, 6, 11, 12, 28, 29, 54, 59] Tuy nhiên, tất cả các côngtrình này đều nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng không có hàm trọng Đối với các tích chập và tích chập suyrộng có hàm trọng, chưa có công trình nào nghiên cứu về phép biến đổi tíchchập suy rộng dạng trên Bên cạnh đó, mặc dù có nhiều ứng dụng trong cácbài toán cơ học, vật lí, kĩ thuật, thậm chí sinh học và có khá nhiều các côngtrình nghiên cứu về phương trình vi-tích phân kiểu tích chập trong thời giangần đây (xem [7, 26]), không có nhiều phương trình, hệ phương trình vi-tíchphân có thể giải được nghiệm dưới dạng đóng Trong trường hợp D là cáctoán tử vi phân, ta có thể áp dụng vào thiết lập công thức nghiệm đóng chocác phương trình và hệ phương trình vi-tích phân tương ứng

Do những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng trong việc giảicác bài toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trìnhđạo hàm riêng, các bài toán Toán-lí, , việc giải các bài toán đó thườngnhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vì vậy, xây dựng các bấtđẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướngnghiên cứu được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Một bấtđẳng thức điển hình đối với tích chập phải kể tới là bất đẳng thức Young đốivới tích chập Fourier (xem [3]) Tuy nhiên, trong không gian hàm điển hình

L2(R), bất đẳng thức này không đúng

Trong một loạt các công trình [34, 37, 35, 36], các tác giả Saitoh S., Vũ

Kim Tuấn, Yamamoto M đã xây dựng một lớp bất đẳng thức đối với cáctích chập Fourier và tích chập Laplace trong không gian Lp(R, ρ) với hàmtrọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng thú vị Ưu điểm của các bất đẳng thứcnày là áp dụng được cho trường hợp p = 2 Bất đẳng thức tương ứng với tíchchập đối với các phép biến đổi tích phân khác, cũng như đối với tích chậpvới hàm trọng, tích chập suy rộng với hàm trọng vẫn chưa được xây dựng vànghiên cứu.

Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Các phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier sine, Fouriercosine và ứng dụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của Luận án là xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tíchphân kiểu tích chập với hàm trọng và kiểu tích chập suy rộng với hàm trọngđối với nhóm các phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine Cụ thể,chúng tôi nghiên cứu các tính chất của các toán tử tích phân xây dựng đượcnhư tính unita trong không gian L2(R+), và tính bị chặn trong không gian

Lp(R+), 1 6 p 6 2 Từ đó, chúng tôi xây dựng những ứng dụng cụ thể nhưđánh giá nghiệm của các bài toán phương trình vi phân, phương trình tíchphân, phương trình đạo hàm riêng; giải các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng; giải các phương trình vi-tíchphân và hệ phương trình tích phân cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án này, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi tíchphân, kĩ thuật đánh giá tích phân trong các không gian Lp(R), Lp(R+) và

Lp(R+, ρ) để chứng minh sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân và tính

bị chặn của chúng trong không gian Lp(R+) Sử dụng các kĩ thuật đánh giábất đẳng thức trong không gian Lp(R+) để chứng minh các bất đẳng thức vàxây dựng các đánh giá nghiệm Bên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng các kĩthuật phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine vào xây dựng và

giải các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phươngtrình tích phân, phương trình và hệ phương trình vi-tích phân.

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chialàm ba chương:

Chương 1, xây dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpvới hàm trọng đối với phép biến đổi Fourier sine, nhận được điều kiện cần và

đủ để phép biến đổi xây dựng được là unita trong không gian L2(R+) Định líkiểu Plancherel và tính bị chặn của phép biến đổi mới xây dựng trong khônggian Lp(R+) đã được chứng minh

Chương 2, xây dựng và nghiên cứu các lớp phép biến đổi tích phân liênquan đến tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổitích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine Định lí chính trong phầnnày là các định lí kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính unitacủa các phép biến đổi mới xây dựng được trong không gian L2(R+) Bên cạnh

đó, chúng tôi xây dựng một số ví dụ cụ thể minh hoạ cho sự tồn tại của cáclớp phép biến đổi này Ứng dụng các phép biến đổi này trong việc giải cácbài toán vi-tích phân và hệ phương trình vi-tích phân được trình bày cụ thểtrong Chương 3

Trong Chương 3, chúng tôi xây dựng một số bất đẳng thức đối với tíchchập Fourier cosine trong không gian hàm Lp(R+, ρ) với hàm trọng dương

ρ và áp dụng đánh giá nghiệm các bài toán phương trình vi phân thường,phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng Ứng dụng của tíchchập, tích chập suy rộng để thiết lập và giải một số lớp phương trình tíchphân Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân đặc biệt và trường hợp nhânbất kì nhưng vế phải đặc biệt cũng được nghiên cứu Phần cuối chương làứng dụng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm trọngxây dựng trong chương 2 vào giải một số lớp phương trình vi-tích phân và

hệ phương trình vi-tích phân

5 Ý nghĩa của các kết quả của Luận án

Sự khác biệt giữa các kết quả của luận án và các luận án trước đó theocùng hướng nghiên cứu của tác giả (xem [1, 2]) thể hiện ở việc tích chập đốivới các phép biến đổi tích phân và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập làhai đối tượng hoàn toàn khác nhau, vì vậy cách tiếp cận, nghiên cứu chúngcũng khác nhau Hơn nữa, các kết quả của luận án được xây dựng trongkhông gian L2(R+) và Lp(R+), 1 6 p 6 2 thay vì trong L1(R+) như trongcác luận án trước Các kết quả của Luận án góp phần làm phong phú thêm về

lí thuyết các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tích phân kiểu tích chậpsuy rộng, và bất đẳng thức tích chập suy rộng; phong phú thêm lí thuyếtphương trình tích phân, phương trình vi-tích phân Các kết quả và ý tưởngcủa luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các phép biến đổi tích phânkiểu tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác Nội dungchính của Luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danhmục công trình đã công bố liên quan đến Luận án" (trang 113), cáckết quả này đã được báo cáo tại:

- Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 7 tại Quy Nhơn năm 2007; Hội nghịQuốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA)năm 2008; Hội nghị Quốc tế Kravchuk, Ukraine lần thứ 8, 2010; Hội nghịtoàn Quốc Toán học và ứng dụng lần thứ III năm 2010; Hội nghị trườngĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội các năm 2009, 2010

- Seminar Giải tích và Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên Hà Nội; Seminar Giải tích, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội;Seminar Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học

Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP

FOURIER SINE VỚI HÀM TRỌNG

Tích chập của hai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = sin y đối với phépbiến đổi tích phân Fourier sine xác định như sau (xem [20, 50])

(f ∗γ

F s

g)(x) = 1

2√2π

Fs(f ∗γ

Fsg)(y) = sin y(Fsf )(y)(Fsg)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R+), (1.2)trong đó, Fs là phép biến đổi Fourier sine (xem [9]) Tích chập này đượcnghiên cứu kĩ hơn trong tài liệu [50]

Trong chương này, chúng tôi xây dựng và nghiên cứu một lớp các phépbiến đổi tích phân liên quan đến tích chập (1.1), cụ thể, lớp các phép biếnđổi có dạng

(K1;k1,k2f )(x) =

1− d

Chúng ta nhận được điều kiện cần và đủ đối với k1 và k2, để phép biến đổi (1.3)

là unita trong L2(R+) Các định lí kiểu Watson và Plancherel cho lớp phépbiến đổi trên (1.3) trong L2(R+) cũng được chứng minh Hơn nữa, tính bị chặncủa toán tử tích phân (1.3) từ Lp(R+) vào Lq(R+) (1 6 p 6 2), p−1+ q−1 = 1cũng được chứng minh

1.1 Định lí kiểu Watson

Trước tiên, ta chứng minh đẳng thức Parseval sau đây

Bổ đề 1.1.1 Cho hai hàm f, g ∈ L2(R+) Khi đó ta có đẳng thức Parsevalsau

(F f1)(u)(F g1)(u){cos((x − 1)u) + i sin (x − 1)u
}du.

Mặt khác, để ý rằng hàm số (F f1)(u)(F g1)(u) sin (x + 1)u
và hàm số(F f1)(u)(F g1)(u) sin (x − 1)u
là các hàm số lẻ đối với u nên tích phântrên R của chúng bằng 0, suy ra

Định lí 1.1.1 Giả sử k1, k2 là hai hàm số trong không gian L2(R+) Khi đóđiều kiện

|2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)| = √ 1

là unita trên L2(R+) và phép biến đổi ngược có dạng sau

ở đây k1, k2 là liên hợp phức tương ứng của k1, k2

Nhận xét 1.1.1 Phép biến đổi (1.6) và phép biến đổi ngược của nó (1.7) cóthể viết lại dưới dạng sau

Chứng minh (Định lí 1.1.1) Điều kiện cần Giả sử k1 và k2 thoả mãn điềukiện (1.5) Ta biết rằng các hàm h(y), yh(y), y2h(y) thuộc không gian L2(R)khi và chỉ khi đồng thời các hàm (F h)(x), dxd (F h)(x) và dxd22(F h)(x) cũngthuộc L2(R) (Định lí 68, tr 92, [41]) Ngoài ra,

h(y)e−ixydy = F(−iy)2h(y)(x)

Đặc biệt, nếu h tương ứng là hàm chẵn hay hàm lẻ sao cho h(y) và y2h(y)thuộc L2(R+) thì ta có các đẳng thức sau

(1.8)

Theo điều kiện (1.5), suy ra √

2π(1+y2) 2 sin y(Fsk1)(y)+(Fck2)(y)
bị chặn,nên √

2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)
(Fsf )(y) ∈ L2(R+) Từ đó, sửdụng bổ đề 1.1.1, đẳng thức Parseval đối với tích chập suy rộng (0.13) vàcông thức (1.8) ta có

2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)
(Fsf )(y)(x)

Theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine

kf kL2(R+) = kFsf kL2(R+) và chú ý rằng k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5)

ta có

kgkL2(R+) =k√

2π(1 + y2)(2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y))(Fsf )(y)kL2(R+)

=kFsf kL2(R+) = kf kL2(R+).Vậy phép biến đổi (1.6) là đẳng cự

Mặt khác, do √

2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)
(Fsf )(y) ∈ L2(R+),

ta có

(Fsg)(y) = √

2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)
(Fsf )(y)

Từ điều kiện (1.5) suy ra

(Fsf )(y) =

√2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y)
(Fsg)(y)

Lại từ điều kiện (1.5) đối với k1, k2 dẫn tới √

2π(1 + y2) 2 sin y(Fsk1)(y) +(Fck2)(y)
(Fsg)(y) ∈ L2(R+) Sử dụng công thức (1.8) ta có

Vậy phép biến đổi (1.6) là unita trên L2(R+) và phép biến đổi ngược có dạng(1.7)

Điều kiện đủ Giả sử phép biến đổi (1.6) là unita trên L2(R+) với phépbiến đổi ngược dạng (1.7) Khi đó theo hệ thức Parseval đối với phép biếnđổi Fourier sine ta có

kgkL2(R+) =k√

2π(1 + y2)(2 sin y(Fsk1)(y) + (Fck2)(y))(Fsf )(y)kL2(R+)

=kFsf kL2(R+) = kf kL2(R+), ∀f ∈ L2(R+) (1.9)Xét toán tử nhân Mθ[·] xác định bởi Mθ[f ](y) = θ(y)f (y), trong đó θ(y) =

Do đó k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5) Định lí được chứng minh xong 2

Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tíchphân Fourier cosine và sine có dạng (xem [23])

f (y)[sign(y − x)g(|y − x|) + g(y + x)]dy, x > 0, (1.10)

tích chập suy rộng này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá và đẳng thức Parsevaldưới đây [23, 54]

Fc[f ∗

2 g](y) =(Fsf )(y)(Fsg)(y), f, g ∈ L1(R+), (1.11)(f ∗

2 g)(x) =Fc[(Fsf )(y)(Fsg)(y)](x), f, g ∈ L2(R+) (1.12)Dưới đây ta chỉ ra một lớp hàm k1, k2 thoả mãn điều kiện (1.5) Giả sử

h1, h2 ∈ L2(R+) thoả mãn điều kiện

|(Fsh1)(y)(Fsh2)(y)| = 1

(1 + y2)(1 + sin2y). (1.13)Chẳng hạn,

h1(x) =Fs

p(1 + y2)(1 + sin2y)

i(x);

h2(x) =Fs

p(1 + y2)(1 + sin2y)

i(x),

trong đó u, v là các hàm xác định trên R+

Cho k1, k2 xác định bởi

k1(x) = 1

2√2π(h1

2y(Fsh1)(y)(Fsh2)(y) + √1

2π(Fsh1)(y)(Fsh2)(y)

2

y)(Fsh1)(y)(Fsh2)(y)

= √ 1

2π(1 + y2).Vậy k1 và k2 thoả mãn điều kiện (1.5)

Một tích chập suy rộng khác của hai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = sin yđối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine cùng với đẳng thứcnhân tử hoá tương ứng có dạng (xem [48])

(f ∗γ

1 g)(x) = 1

2√2π

2y(Fch1)(y)(Fch2)(y) + √1

2π(Fch1)(y)(Fch2)(y)

2y)(Fch1)(y)(Fch2)(y)

... dựng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập khơng

có hàm trọng Cách xây dựng khơng áp dụng với tích chập v? ?tích chập suy rộng có hàm trọng hàm trọng có khơngđiểm Phép biến đổi tích phân. .. L1(R+)

Để xây dựng lớp phương trình tích phân dạng chập, ta nhắc lại tích chậpsuy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine, với hàm trọng γ(y) = sin y xác định sau (xem... L1(R+)

Chứng minh Áp dụng phép biến đổi Fourier sine lên phương trình thứ nhất ,biến đổi Fourier cosine lên phương trình thứ hai hệ, sử dụng đẳngthức nhân tử hố tích chập (1.1),(0.13)