Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier và ứng dụng

Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ––––––––––––––––– TRẦN VĂN HƯNG ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HARTLEY, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Mục lục Một số ký hiệu dùng luận văn Lời cảm ơn Lời mở đầu Các phép biến đổi tích phân Hartley,Fourier cosine, Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Hartley 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Hartley 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi Hartley 8 1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 11 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine 11 1.2.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier cosine 12 1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.3.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier sine 1.3.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine giải phương trình vi phân đạo hàm riêng 15 15 16 18 Đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine 21 2.1 Định nghĩa đa chập 21 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 Các tính chất đa chập 21 phương trình tích 21 24 25 2.3 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Ứng phân kiểu đa chập 2.3.1 Phương trình tích phân kiểu đa chập 2.3.2 Hệ phương trình tích phân dạng đa chập 30 30 33 Tính chất Tính chất Tính chất dụng giải phương trình, hệ Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 37 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một số ký hiệu dùng luận văn • R+ tập số thực dương • L(R) tập hàm f xác định R cho +∞ |f (x)|dx < +∞ −∞ • L(R+ ) tập hàm f xác định R cho +∞ |f (x)|dx < +∞ • Lα,β,γ (R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > tập hợp hàm f: p +∞ p |x|α e−β|x| |f (x)|p dx < ∞ −∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Minh Khoa, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013 Tác giả Trần Văn Hưng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong báo [5], Kakichev đưa khái niệm đa chập, mở rộng tổng quát tích chập suy rộng Kakichev đưa phương pháp kiến thiết đa chập n + phép biến đổi tích phân K, K1 , K2 , , Kn với hàm trọng γ(x) n hàm f1 , f2 , , fn mà có đẳng thức nhân tử hóa then chốt sau K[γ(f1 , f2 , , fn )](y) = γ(y).(K1 f1 )(y) (Kn fn )(y) (1) Trên sở báo đa chập phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes Fousier cosine công bố tác giả Nguyễn Xuân Thảo năm 1999 Trong vài năm trở lại tác giả Nguyễn Minh Khoa công bố số đa chập chùm phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập bước phát triển mới, mở rộng khơng phạm vi lý thuyết phép biến đổi tích phân mà mở rộng ứng dụng cho lớp phương trình, hệ phương trình vi tích phân phức tạp Chính lẽ đề tài đa chập phép biến đổi tích phân ln lơi có tính khoa học cao Vì chọn hướng nghiên cứu luận văn Đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine Các tích chập biết dùng luận văn Tích chập hai hàm f, g ∈ L1 (R) phép biến đổi tích Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ phân Fourier[6] (f ∗ g)(x) = √ 2π F +∞ f (x − y)g(y)dy, x ∈ R (2) −∞ với đẳng thức nhân tử hóa F (f ∗ g)(y) = (F f )(y).(F g)(y), ∀y ∈ R (3) F Tích chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine [8] Fc hai hàm f g xác định sau F (f ∗ g)(x) = √ 2π Fc +∞ f (y)[g(|x + y|) + g(x + y)]dy, x > (4) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y).(Fc g)(y), ∀y > (5) Fc Năm 1951 Sneddon xây dựng tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine [8] cho hai hàm f , g ∈ L(R) (f ∗ g)(x) = √ 2π +∞ f (t)[g(|x − t|) − g(n + t)]dt, x > (6) với đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fc g)(y), ∀y > (7) Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine (f ∗ g)(x) = √ 2π ∞ f (y)[sign(y − x)g(|y − x|) + g(y + x)]dx, x > 0 (8) Với đẳng thức nhân tử hóa Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y).(Fs g)(y), ∀y > (9) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine, Fourier cosine Xây dựng nghiên cứu đa chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine đồng thời đưa úng dụng giải phương trình hệ phương trình tích phân dạng đa chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine, Fourier cosine ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân đa chập Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình tích phân kết giải tích, giải tích hàm • Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng V.A Kakichev, Nguyễn Xuân Thảo kỹ thuật báo Nguyễn Minh Khoa để xây dựng nghiên cứu đa chập ứng dụng chúng Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine Nhắc lại định nghĩa tính chất phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine đưa số ví dụ áp dụng Chương 2: Đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine Xây dựng nghiên cứu tính chất đa chập đưa ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân đa chập Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Các phép biến đổi tích phân Hartley,Fourier cosine, Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Hartley 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Hartley Định nghĩa 1.1 Các phép biến đổi tích phân Hartley hàm f ký hiệu (H1 f ), (H2 f ) xác định tương ứng (H1 f )(x) = √ f (y) cas(xy)dy, (1.1) 2π R (H2 f )(x) = √ f (y) cas(−xy)dy, (1.2) 2π R Trong f hàm thực phức xác định R casx = cos x + sin x Nhận xét 1.1 (H1 f )(x) = (H2 f )(−x), (H1 f (−y))(x) = (H2 f (y))(x) Ví dụ 1.1 x>0 0, f (x) = √  2πe−x , x < 0, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta có : (H1 f )(x) = 1.1.2 x+1 , x2 + (H2 f )(x) = x−1 x2 + Các tính chất phép biến đổi Hartley Tính chất 1.1 Nếu f ∈ L(R) (Hi f ) ∈ C0 (R), (i = 1, 2) (Hi f ) ∞ ≤ f Chứng minh Vì |cas(xy)| ≤ √ 2, nên |(Hi f )(x)| ≤ f , (∀f ∈ L(R), ∀x ∈ R) (1.3) Mặt khác, S trù mật L(R) nên với f ∈ L(R) tồn dãy fn ∈ S cho fn − f → Từ (Hi fn ) ∈ S ⊂ C0 (R) (1.3) suy (Hi fn ) hội tụ đến (Hi f ) R Ta điều phải chứng minh Tính chất 1.2 (Định lý ngược) Bencewelr Nếu f ∈ L(R), (Hi f ) ∈ L(R) (i = 1, 2) f1 (x) =: √ 2π (H1 f )(y)cas(xy)dy, R f2 (x) := √ (H2 f )(y)cas(−xy)dy 2π R fi (x) = f (x) hầu khắp nơi R, (i = 1, 2) Chứng minh Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H1 f ) ∈ L(R) áp dụng đinh lý Fubini cho tích phân bội sau f (x)g(y)cas(xy)dxdy, R R ta nhận đẳng thức f (x).(H1 g)(x)dx = R g(y)(H1 f )(y)dy (1.4) R Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đến ta suy (2.3), thay y = -y ta thu công thức (2.4) Tiếp theo ta chứng minh tính chất Parseval (2.5) (2.6) Thật vậy, từ giả thiết h ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) áp dụng định lý Fubini ta có H2 [signy.(Fc (|y|)).(Fs (|y|)).(H1 h(y))] =− 2π +∞ +∞ f (u)g(v)[H1 (H1 h)(x + u−) − H1 (H1 h) 0 (x + u + v) + H1 (H1 h)(x − u − v) − H1 (H1 h)(x − u + v)]dudv = −(∗(f, g, h))(x), ∀x ∈ R 2.2.2 Tính chất Định lý 2.2 Cho f, g ∈ L1 (R+ ) h ∈ L1 (R) Khi tích chập suy rộng với hàm trọng (2.1) thỏa mãn đẳng thức sau γ ∗(f, g, h) = −i(f ∗ g) ∗ h, F Chứng minh Sử dụng khai triển tích phân Fourier ta thu Re[(F f )(y)] = [H1 f + H2 f ](y) Im[F f )(y)] = [H2 f − H1 f ](y), ∀y ∈ R Như vậy, ta biểu diễn phép biến đổi Fourier dạng (F f )(y) = Re[(F f )(y)] + iIm[(F f )(y)] 1−i 1+i = (H1 f )(y) + (H2 f )(y), ∀y ∈ R 2 (2.7) Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4) ta nhận 1−i 1+i H1 [∗(f, g, h)](y) + H2 [∗(f, g, h)](y) 2 1−i 1+i = signy.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|) (H2 h)(y) − (H1 h)(y) 2 1−i 1+i = −isigny.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|) (H2 h)(y) − (H1 h)(y) 2 24 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Sử dụng biểu diễn (2.7) phép biến đổi Fourier ta thu F (∗(f, g, h))(y) = −isigny.(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).(F h)(y) γ γ 3 = −iF (f ∗ g)(y).(F h)(y) = F [−i(f ∗ g) ∗ h](y), ∀y ∈ R F γ Từ suy (∗(f, g, h))(x) = [−i(f ∗ g) ∗ h](x) 2.2.3 F Tính chất Định lý 2.3 Cho f, g, k, l ∈ L1 (R+ ) h ∈ L1 (R) Khi đa chập (2.1) thỏa mãn đẳng thức sau a) ∗(k, l, ∗(f, g, h)) = ∗(f, g, ∗(k, l, h)) = ∗(f, l, ∗(k, g, h)) = ∗(k, g, ∗(f, l, h)) b) ∗(f ∗ k, g, h) = ∗(f, g ∗ k, h) = ∗(k, g ∗ f, h) Fc Chứng minh a) Ta chứng minh đẳng thức thứ a) Thật từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) ta có H1 [∗(k, l, ∗(f, g, h))](y) = signy(Fc k)(|y|).(Fs l)(|y|).H2 (∗(f, g, h))(y) = signy(Fc k)(|y|).(Fs l)(|y|)[−signy).(Fc f )(|y|) (Fs g) × (|y|).(H1 h)(y)] = signy(Fc f )(|y|).(Fs g)(|y|).H2 (∗(k, l, h))(y) = H1 [∗(f, g, ∗(k, l, h))](y), ∀y ∈ R Điều dẫn tới ∗[k, l, ∗(f, g, h)] = ∗(f, g, ∗(k, l, h)) L1 (R) Một cách tương tự ta chứng minh đẳng thức lại a) 25 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ta viết H1 (∗(f ∗ k, g, h))(y) = signy.(Fc (f ∗ k))(|y|) Fc Fc = signy.(Fc f )(|y|).(Fc k)(|y|).(Fs g)(|y|) .(H2 h)(y) = signy.(Fc f )(|y|).(Fs (g ∗ k))(|y|).(H2 h)(y) = H1 (∗(f, g ∗ k, h))(y), ∀y ∈ R, Vì ta nhận ∗(f ∗ k, g, h) = ∗(f, g ∗ k, h) Các phần Fc khác trường hợp b chứng minh tương tự Tiếp sau, ta nghiên cứu đa chập suy rộng với hàm trọng không gian hàm số Lα,β,γ (R) nhận đánh giá chuẩn s Định lý 2.4 Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ), h ∈ Lr (R), cho p, q, r > 1/p + 1/q + 1/r = Khi đa chập suy rộng với hàm trọng (2.1) bị chặn Lα,β,γ (R), S > 1, α > −1, β > 0, s γ > 0, thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn sau ∗ (f, g, h)Lα,β,γ (R) ≤ C f s Lp (R+ ) , g Lq (R+ ) , h Lr (R) , (2.8) Ở C = 21+1/s /πγ 1/s β −(α+1)/γ−s Γ1/s ((α + 1)/γ) Nếu thêm điều kiện f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), g ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ), h ∈ L1 (R+ ) ∩ Lr (R) (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4) thuộc vào khơng gian C0 (R) Hơn thêm điều kiện cho h, h ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ∩ Ln (R) đẳng thức Parseval (2.5) (2.6) thỏa mãn Chứng minh Ta chứng minh | ∗ (f, g, h)(x)| ≤ (2/π) f Lp (R+ ) , g Lq (R+ ) , h Lr (R) 26 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Thật từ Định nghĩa 2.1 ta có đánh giá sau 2π + 2π + 2π + 2π ∞ ∞ | ∗ (f, g, h)(x)| = |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|dudv ∞ ∞ 0 |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u + v)|dudv ∞ ∞ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u − v)|dudv 0 ∞ ∞ |f (u)|.|g(v)|.|h(x − u + v)|dudv 0 (2.9) Giả sử I1 , I2 , I3 I4 tích phân nhỏ biểu diễn Không giảm tổng quát ta coi ∞ I1 (x) = 2π ∞ |f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)|dudv 0 Đặt p1 , q1 , r1 số mũ liên hợp p, q, r U (u, v) = |g(v)|q/p |h(x + u − v)|r/p1 ∈ Lp1 (R2 ) + V (u, v) = |h(x + u − v)|r/q1 |f (u)|p/q1 ∈ Lq1 (R2 ) + W (u, v) = |f (u)|p/r1 |g(v)|q/r1 ∈ Lr1 (R2 ) + Ta có U.V.W = [f (u)|.|g(v)|.|h(x + u − v)| Sử dụng định nghĩa chuẩn không gian Lp1 (R2 ) định lý Fubini + ta viết U p1 Lp1 (R2 ) + +∞ +∞ {|g(v)|q/p1 |h(x + u − v)|r/p1 }p1 dudv = 0 +∞ +∞ q |h(x + u − v)|r du dv |g(v)| = 0 +∞ +∞ q ≤ |h(x + u − v)|r du dv |g(v)| −∞ +∞ |g(v)|q h = = g q Lq (R+ ) h r Lr (R) dv r Lr (R) 27 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tương tự, ta nhận W q1 Lq1 (R2 ) + = f p Lp (R+ ) r Lr (R) ; h r1 Lr1 (R2 ) + W = f p Lp (R+ ) g q Lq (R+ ) (2.10) Từ giả thiết 1/p + 1/q + 1/r = suy 1/p1 + 1/q1 + 1/r1 = Sử dụng bất đẳng thức Holder (2.10) ta có đánh giá sau ∞ ∞ I1 = 2π U.V.W dudv 0 ≤ 1/p1  ∞ ∞  1 2π U p1 dudv  0 = U 2π Lp1 (R2 ) + ≤ ( g 2π q/p1 Lq (R+ ) ( f = p/r1 Lp (R+ ) f 2π V q1 dudv   V Lq1 (R2 ) + 1/q1  ∞ ∞ W W r1 dudv   1/r1 ∞ ∞ 0 Lr1 (R2 ) + h Lr (R)r/p1 ).( f p/q1 Lq (R+ ) h Lr (R)r/q1 ) g Lq (R)q/r1 ) Lp (R+ ) g Lq (R+ ) h Lr (R) (2.11) Một cách tương tự ta nhận đánh giá cho I2 , I3 , I4 Ik ≤ f 2π Lp (R+ ) g Lq (R+ ) h Lr (R+ ) (2.12) h Lr (R+ ) (2.13) −(α+1)/γ α+1 β Γ , γ γ (2.14) Từ (2.9) - (2.12), ta nhận |∗ (f, g, h) (x)| ≤ f π Lp (R+ ) g Lq (R+ ) Sử dụng công thức 3.381.10 [3], ∞ γ |x|α e−β|x| dx = −∞ 28 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ (2.13), (2.14) ta có ∞ ∗ (f, g, h) (x) s Lα,β,γ (R) s γ |x|α e−β|x| |∗ (f, g, h) (x)|s dx = −∞ ∞ ≤ α −β|x|γ |x| e π −∞ h s r (R) dx L = C s f s p (R+ ) L g s f s Lp (R+ ) s Lq (R+ ) h g s Lq (R+ ) s Lr (R) , = C s 21+1/s πγ 1/s β −(α+1)/γ.s Γ1/s ((α + 1) /γ) Ở C = 21+1/s πγ 1/s β −(α+1)/γs Γ1/s ((α + 1)/γ) Vì ta nhận đánh giá (2.8) Từ f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ), g ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ ), h ∈ L1 (R+ ) ∩ Lr (R+ ) ba hàm số f, g, h thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1, từ dẫn tới ∗(f, g, h) ∈ C0 (R) ∩ Lp (R) (2.3), (2.4) Hơn nữa, h ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) ∩ Lr (R) thỏa mãn giả thiết định lý 2.1 (2.5), (2.6) Định lý 2.5 Định lý kiểu Tichmarch Cho f, g ∈ L1 (R+ , ex ), h ∈ L1 (R+ , |ex |) Khi ∗(f, g, h)(x) = 0, ∀x ∈ R f (x) = 0, ∀x ∈ R+ g(x) = 0, ∀x ∈ R+ h(x) = 0, ∀x ∈ R+ Chứng minh Từ giả thiết ∗(f, g, h)(x) = 0, ∀x ∈ R suy H1 (∗(f, g, h)(y) = 0, ∀y ∈ R Áp dụng định lý 2.1 ta có Sincef ∈ L1 (R+ )∩Lp (R+ ) , g ∈ L1 (R+ )∩Lq (R+ ) , h ∈ L1 (R)∩Lr (R) suy f (x) = 0, ∀x ∈ R+ g(x) = 0, ∀x ∈ R+ h(x) = 0, ∀x ∈ R+ Định lý chứng minh 29 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3 Ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân kiểu đa chập 2.3.1 Phương trình tích phân kiểu đa chập Xét phương trình tích phân sau ∞ ∞ ϕ(u)ψ(v)θ1 (x, u, v)dudv = h(x), x ∈ R f (x) + λ (2.15) λ số phức, ϕ, ψ hàm số thuộc L1 (R) , h(x) ∈ L1 (R), f (x) ∈ L1 (R) θ1 (x, u, v) = [f (−x − u + v) − f (−x − u − v) 2π +f (−x + u + v) − f (−x + u − v) Để đơn giản phương trình (2.15), ngồi việc sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier Hrtley ta dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử f (x) ∈ L1 (R), g(x) ∈ L1 (R) Khi tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier hai hàm f g ký hiệu (f ∗ g) thuộc L1 (R) thỏa mãn đẳng H,F thức nhân tử hóa sau H1 f ∗ g (y) = (F f ) (y) (H1 g) (y) , y ∈ R (2.16) H2 f ∗ g (y) = (F f ) (−y) (H2 g) (y) , y ∈ R (2.17) H,F H,F Ở (f ∗ g) xác định H,F ∞ f ∗ g (x) = √ H,F 2π f (u) [g (x − u) + g (x + u) −∞ +ig (−x − u) − ig (−x + u) du, x ∈ R 30 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh Trước hết ta chứng minh (f ∗ g)L1 (R) Thật vậy, ta H,F có +∞ +∞ +∞ |f ∗ g)(x)|dx ≤ √ |f (u)|.[|g(x − u)| H,F 2 −∞ −∞ −∞ + |g(x + u)| + |ig(−x − u)| + | − ig(−x + u)|]dudx = √ 2 +∞ +∞ |f (u)|du −∞ |g(t)|dt < ∞ −∞ Vậy (f ∗ g) ∈ L1 (R) Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử H,F hóa Khơng giảm tổng qt ta chứng minh đẳng thức (2.16), đẳng thức (2.17) chứng minh tương tự Thật vậy, ta có +∞ (F f )(y).(H1 g)(y) = √ f (u)[cos(uy) − i sin(uy)]dx 2π −∞ +∞ √ g(v)cas(vy)dv 2π −∞ +∞ +∞ = f (u)g(v){cas[(u + v)y] + cas[−(u − v)y] 4π −∞ −∞ + icas[−(u + v)y] − icas[(u − v)y]}dudv Sử dụng phép biến u + v = x; −u + v = x; −(u + v) = x u − v = x cho tích phân bên phải biểu thức tương ứng, ta nhận (F f )(y).(H1 g)(y) = √ 2π +∞ −∞ cas(xy) √ 2π +∞ f (u) −∞ [g(x − u) + g(x + u) + ig(−x − u) − ig(−x + u)]du dx √ 2π +∞ cas(xy).(f ∗ g)(y), H,F −∞ Ta có đẳng thức (2.16) Bổ đề chứng minh γ Định lý 2.6 Giả sử + λF (ϕ ∗ ψ)(y) = 0, ∀y ∈ R Khi phương trình (2.15) có nghiệm L1 (R) dạng f (x) = h(x) − (l ∗ h)(x), H,F 31 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ l ∈ L1 (R) xác định γ λF (ϕ ∗ ψ)(y) (F l)(y) = γ + λF (ϕ ∗ ψ)(y) Chứng minh Sử dụng Định nghĩa 2.1, phương trình (2.15) viết lại dạng f (x) + λ[∗(ϕ, ψ, f (−t))](x) = h(x) Vì hàm f (x), [∗(ϕ, ψ, f (−t))](x) h(x) thuộc L1 (R) nên áp dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập tương ứng ta nhận (H1 f )(y) + λsigny(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|).(H2 f (−t))(y) = (H1 h)(y), (H1 f )(y) + λsigny(Fc ϕ)(|y|).(Fs ψ)(|y|).(H1 f (−t))(y) = (H1 h)(y), γ (H1 f )(y)[1 + λF (ϕ ∗ ψ)(y)] = (H1 h)(y) γ Vì + λF (ϕ ∗ ψ)(y) = nên phương trình (2.15) có nghiệm nhất: (H1 f )(y) = (H1 f )(y) γ + λF (ϕ ∗ ψ)(y) (2.18) γ λF (ϕ ∗ ψ)(y) = (H1 f )(y) − γ + λF (ϕ ∗ ψ)(y) Nhờ định lý Wierner - Levy, tồn hàm l ∈ L1 (R) cho γ λ.F (ϕ ∗ ψ)(y) (F l) = γ , (2.19) + λ.F (ϕ ∗ ψ)(y) Từ (2.16); (2.18); (2.19) ta nhận (H1 f )(y) = (H1 h)(y)[1 − (F l)(y)] H1 [h − (l ∗ h)](y), ∀y ∈ R H1 ,F 32 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Điều cho ta nhận f (x) = h(x) − (l ∗ h)(x) ∈ L1 (R) H1 ,F Ta chứng minh xong định lý 2.3.2 Hệ phương trình tích phân dạng đa chập Xét hệ phương trình tích phân cho dạng ∞ ∞ f (x) + λ ∞ ∞ λ1 ϕ1 (u)ψ1 (v)θ2 (x, u, v)dudv = p(x) 0 (2.20) ϕ2 (u)ψ2 (v)θ3 (x, u, v)dudv + h(x) = g(x) 0 Ở λ1 , λ2 số phức; ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 hàm thuộc L1 (R+ ) p(x), q(x) hàm thuộc L1 (R); f, h ẩn hàm [h(x + u − v) − h(x + u + v)+ 2π + h(x − u − v) − h(x − u + v)], θ2 (x, u, v) = [f (x + u − v) − f (x + u + v)+ 2π + f (x − u − v) − f (x − u + v)] θ2 (x, u, v) = Định lý 2.7 Nếu điều kiện sau thỏa mãn − λ1 λ2 Fc [(ψ1 ∗ ϕ1 ) ∗(ψ2 ∗ ϕ2 )](y) = 0, ∀y > 0, tồn nghiệm thuộc L1 (R) × L1 (R) hệ (2.20) xác định f (y) = p (x) − l ∗ p (x) − λ1 [∗ (ϕ1 , ψ2 , q)] (x) + H,F + λ1 l ∗ [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (x) H,F h (x) = p (x) − l (−t) ∗ q (x) − λ2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (x) H,F + λ2 l (−t) ∗ [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (x) ∈ L1 (R) H,F 33 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ở l ∈ L1 (R) hàm thác triển chẵn hàm l R, xác định Fc Fcˆ (y) = l ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 1 − Fc (y) ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 (y) Chứng minh Sử dụng định lý 2.6, ∀y > hệ phương trình (2.20) viết lại dạng f (x) + λ1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , h)] (x) = p (x) , (2.21) λ2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , f )] (x) + h (x) = q (x) , x ∈ R Nhờ đẳng thức nhân tử hóa đa chập (2.20), ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính sau (H1 f ) (y) + λ1 signy (Fc ϕ1 ) (|y|) (Fs ψ1 ) (|y|) (H2 p) (y) = (H1 p) (y) − λ2 signy (Fc ϕ2 ) (|y|) (Fs ψ2 ) (|y|) (H1 f ) (y) + (H2 p) (y) = (H2 q) (y) , ∀y ∈ R (2.22) Với việc sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.21) (2.22) định thức ∆ hệ xác định sau ∆= −λ2 sin ny (Fc ϕ2 ) (|y|) (Fs ψ2 ) (|y|) = + λ1 λ2 Fc ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 λ1 sin ny (Fc ϕ1 ) (|y|) (Fs ψ1 ) (|y|) (y) Theo giả thiết ∆ = hệ (2.20) có nghiệm Ta biểu diễn dạng sau ∆ 1 = ∆ 1+λ λ F ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 (y) c λ1 λ2 Fc =1− + λ1 λ2 Fc ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 ψ1 ∗ ϕ ∗ ψ2 ∗ ϕ 2 (y) (y) 34 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hơn theo định lý Wiener-Levy, tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) cho: ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 λ1 λ2 Fc Fc l (y) = + λ1 λ2 Fc , ∀y > ψ1 ∗ ϕ1 ∗ ψ2 ∗ ϕ2 (y) (y) Giả sử l mở rộng chẵn l R Vì Fc l (x) = (F l) (x) , ∀x ∈ R ta có ∆ = − (F l) (y) Để nhận nghiệm hệ(2.20) ta tới định thức sau ∆1 = (H1 p) (y) λ1 signy (Fc ϕ1 ) (|y|) (Fs ψ1 ) (|y|) (H2 q) (y) = (H1 p) (y) − λ1 H1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (y) , y ∈ R Dựa vào (2.16), ta có ∆1 = {(H1 p) (y) − λ1 H1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (y)} {1 − (F l) (y)} ∆ = (H1 p) (y) − H1 l ∗ p (y) − λ1 H1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (y) + (H1 h) (y) = H,F +λ1 H1 l ∗ [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (y) H,F = H1 y − l ∗ p − λ1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] + H,F +λ1 H1 l ∗ [∗ (ϕ1 , ψ2 , q)] (y) , ∀y ∈ R H,F Từ ta nhận f (x) = p (x) − l ∗ p (x) − λ1 [∗ (ϕ1 , ψ1 , q)] (x) + H,F + λ1 l ∗ [∗ (ϕ1 , ψ2 , q)] (x) ∈ L1 (R) H,F 35 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tương tự, ta tính định thức thứ hệ (2.20) ∆2 = −λ2 signy (Fc ϕ2 ) (|y|) (Fs ψ2 ) (|y|) (H1 p) (y) (H2 q) (y) = (H2 q) (y) − λ2 H2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (y) , ∀y ∈ R Dựa (2.17), ta đến ∆2 = {(H2 q) (y) − λ2 H2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (y)} ∆ {1 − (F l (−t)) (y)} (H2 h) (y) = = H2 q − l (−t) ∗ q − λ2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] + H,F + λ2 l (−t) ∗ [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] H,F (y) , ∀y ∈ R Điều dẫn tới h (x) = q (x) − l (−t) ∗ q (x) − λ2 [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (x) H,F +λ2 l (−t) ∗ [∗ (ϕ2 , ψ2 , p)] (x) ∈ L1 (R) H,F Chứng minh hồn thành 36 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Những kết luận văn 1) Trình bày định nghĩa, tính chất phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine Hartley đồng thời nêu số áp dụng 2) Nghiên cứu đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine đồng thời ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân kiểu đa chập Những hướng nghiên cứu luận văn nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu đa chập tương ứng bất đẳng thức kiểu đa chập 37 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] N.I.Achivzer, Lectures of Approximation theory, Science Publishing House, Moscow, 1965 [2] R.N.Biacewell, The Hartley Transform , Oxford University Press, New York, 1986 [3] LS.Gradstehn and I.M.Ryzhik, Table of Integral, Series and Product , Academic Press, Amsterdom, Boston, Heidelberg, London, 2007 [4] N.T.Hy, Fourier cosine convolution integralities and applycation , Intergral Transform Spec.Funct 21(10)(2010),pp, 755 - 763 [5] V.A.Kakichev, Polycon convolution, TPTU, Tayanroy, 1997, 54p, in Russian [6] I.N.Sneddon, The use of Integral transforms, MC Graw - Hill, NewYork, 1972 [7] N.X.Thao, N.M.Khoa, On the generalizal convolution with a weight function for the Fourier, Fourier cosine and sine transforms , Vietnam5.Math 33(2005), IP 421 - 436 [8] J.E.C.Tichmarch, Introdution to the Theory of Fourier integrals, Chelsea Publishing Co, New York, 1986 38 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine 2.1 Định nghĩa đa chập Định nghĩa 2.1 Đa chập phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine Fourier sine hàm... đầu Các phép biến đổi tích phân Hartley ,Fourier cosine, Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Hartley 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Hartley 1.1.2 Các tính chất phép biến đổi. .. trình tích phân dạng đa chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập có hàm trọng phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine, Fourier cosine ứng dụng vào giải phương trình tích phân,