Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KIỂU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Minh Khoa Thái Nguyên – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đưa ra trong luận văn là hoàn toàn trung thực, chưa được ai công bố trong công trình nào. Tác giả luận văn Nguyễn Văn Tuấn           LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học cao học, nghiên cứu và viết luận văn tốt nghiệp tác giả đã nhận được nhiều sự ủng hộ của Phòng Giáo dục - Đào tạo huyện Yên Lập – tỉnh Phú Thọ, lãnh đạo và các đồng nghiệp trường THCS Trung Sơn , sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Tác giả còn nhận được sự chia sẻ, động viên của các bạn đồng nghiệp và người thân. Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Minh Khoa về chuyên môn, thầy luôn nhiệt tình, tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấp nhiều tài liệu quý báu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua h ọc tập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quý giá này. Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tuấn  MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ……… ………………………………………………………… Lời cam đoan …………………………………………… …………………… Mục lục …………………………………………………………………. …… Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ……………………………… … 1 MỞ ĐẦU ………………………………………………………………… 2 1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………………… 2 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu …………………………………………. 6 3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………….……… 7 4. Phương pháp nghiên cứu …………………………………….…………… 7 NỘI DUNG Chương 1. Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine … …8 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier ……………………………………………… 8 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ……………………… ….8 1.1.2 Các tính ch ất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier … …. 9 1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine ……………………….……. 17 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine …………….…… …. 17 1.2.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier cosine …… … 18 1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine …………………… …. 19 1.2.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine ……………… . 20 1.3 Áp dụng giải phương trình truyền nhiệt ……………………… ……… 22 1.3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt ……………………………. 22 1.3.2 Thuật toán giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier ………… 22 Chương 2. Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ……………………… …… 25 2.1 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine …………………………………………………………… ………. 25 2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine … … 25 2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập ………………… … …. 25 2.2 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine ……………………………………………… … 29 2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine ………………………………………………………… ……. 29 2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập …………………… …… 29 2.3 Phương trình tích phân đối với đa chập có hàm trọng của các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine ………………….…… 31 2.3.1 Đa chập có hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine; Fourier và Fourier sine …………………………………………… 31 2.3.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập …………………… …… 32 KẾT LUẬN ………………………………………………….……… … 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….…… … …. 35  1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .   ,0x R x     .   L  là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên   0; sao cho: 0 ()f x dx     .   2 ,1Lx là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên sao cho: 2 1 ( )x f x dx       1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Hướng rẽ nhánh phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20. Gần trọn một thế kỷ các tích chập đơn đối với từng phép biến đổi tích phân ngự trị. Trong số đó phổ biến được áp dụng nhiều nhất là các tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Laplace, Kontorvich-Lebedev, Melin, Stieltjes,.…   4,7,8,13 Khoảng hai thập kỷ trở lại đây các tích chập suy rộng mới được xây dựng bởi các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich,… Với sự xuất hiện của tích chập suy rộng lớp các phương trình tích phân giải được nghiệm dưới dạng đóng trở nên phong phú hơn bởi trong đẳng thức nhân tử hóa then chốt không chỉ có một phép biến đổi tích phân mà có từ hai đến ba phép biến đổi tích phân. Các trường hợp riêng của bài toán mở phương trình tích phân Toeplitz-Hankel   3,14,   12 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), f x k x y k x y f y dy g x x          , giải được nhiều hơn, đa dạng hơn. Cũng vào năm 1997, sau khi đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng, với ý tưởng mở rộng tổng quát hơn, mở rộng đến tối đại, Kakichev đã đưa ra khái niệm đa chập của n+1 phép biến đổi tích phân 12 , , , , n K K K K với hàm trọng ()x  của n hàm 12 , , , n f f f mà đối với nó có đẳng thức nhân tử hóa cốt yếu sau   5 : 2 1 2 1 1 *( , , , ) ( ) ( )( )( ) n K f f f y y K f y       (0.1) Từ ý tưởng khởi đầu của Kakichev trong vòng hơn 10 năm trở lại đây Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa và một số tác giả khác đã công bố một số đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Hartley,…   9,15,16,17 Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập là một bước phát triển mới không chỉ ở phạm vi lý thuyết các phép biến đổi tích phân mà còn mở rộng sự ứng dụng cho phương trình, hệ phương trình tích phân. Chính vì vậy mà tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Các tích chập, đa chập đã biết dùng trong luận văn Tích chập của hai hàm , ( )f g L đối với phép biến đổi tích phân Fourier   7,13 1 ( * )( ) ( ) ( ) , 2 F f g x f x y g y dy x        (0.1) Với đẳng thức nhân tử hóa: ( * )( ) ( )( )( )( ), F F f g y Ff y Fg y y   (0.2) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine của hai hàm f,g   7 0 1 ( * )( ) ( ) ( ) ( ) , 0 2 c F f g x f y g x y g x y dy x            (0.3) 3 Và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( * )( ) ( )( ).( )( ), 0 c c c c F F f g y F f y F g y y   (0.4) Năm 1951 Sneddon đã xây dựng tích chập suy rộng đến tâm đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine cho hai hàm   1 , ( ) 7f g L   1 0 1 ( * )( ) ( ) ( ) ( ) , 0 (0.5) 2 f g x f y g x y g x y dy x            Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa 1 ( * )( ) ( )( ).( )( ), 0 (0.6) s s c F f g y F f y F g y y   Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sin   7 2 0 1 ( * )( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) , 0 2 f g x f y ign y x g y x g y x dx x             (0.7) Với đẳng thức nhân tử hóa: 2 ( * )( ) ( )( ).( )( ), 0 c s s F f g y F f y F g y y   (0.8) Tích chập suy rộng với hàm trọng 1 ( ) sinxx   của hai hàm f,g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine   11 1 3 0 1 ( * )( ) ( ) ( 1) ( 1) 22 f g x f y g x y g y x              ( 1) ( 1) , 0g y x g x y dy x       (0.9) [...]... các đa chập đã biết đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine để khảo sát các phương trình tích phân kiểu đa ch 6 3 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các phép biến đổi tích phân, tích chập, đa chập của các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng chúng vào giải phương trình tích phân dạng đa chập 4 Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phép. ..  e 4t u0 ( x   )dx   24 CHƯƠNG 2 Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 2.1 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine 2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Định nghĩa 2.1.1 Đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của các hàm f, g và h được xác định bởi: 1... (h F 1 ) c Dễ thấy : f  L(  ) Ta chứng minh xong định lý 2.2 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourie sine 2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine Định nghĩa 2.2.1 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f,g,h được xác định như sau: 1 * ( f , g , h)( x)  Fc ,... dạng đa chập 4 Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phép biến đổi tích phân , tích chập, tích chập suy rộng, đa chập đã biết, lý thuyết phương trình tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm 7 CHƯƠNG 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 1. 1Phép biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier Định nghĩa 1 Cho f  L( R), hàm ( Ff ) được xác... f,g,h là các hàm thuộc L(  (2.2.1) ) , khi đó đa chập (2.2.1) đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f,g,h thuộc L(  ) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:   Fc  * ( f , g , h)  ( y)  ( Fs f )( y)( Fs g )( y)( Fc h)( y), y  0  Fc , Fs  Định lý này được chứng minh trong bài báo 16 2.2.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập Xét phương trình tích phân: ...    1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine Định nghĩa 1 Cho f  L( R) , hàm Fc f xác định bởi:  f ( y)  ( Fc f )( y)  2    f ( x)cos xydx 0 Được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f Ta có công thức biến đổi ngược là: (1.2.1) 17  2 f ( x)  ( Fc f )( x)      f ( y)cos xydy (1.2.2) 0 Ví dụ: Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm... 2.1.2: Cho f,g và h là các hàm thuộc L( (2.1.1)  ) , khi đó đa chập đối với phép biến đổi Fourier cosine (2.1.1) của các hàm f, g, h thuộc L(  ) và có đẳng thức nhân tử hóa sau:   Fc  *( f , g , h)   y    Fc f   y   Fc g   y   Fc h   y   Fc  Định lý này đã được chứng minh trong bài báo 17 2.1.2 Phương trình tích phân kiểu đa chập a) Xét phương trình tích phân 1 f ( x )   2... )d (t ), t  ax a 1  y  ( Fc f )   a a Định nghĩa 2 Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của hai hàm f và g được xác định bởi: 1     f F g  ( x)  2  c    f (t )  g  x  t   g  x  t dt , x  0   (1.2.3) 0 Tính chất 3 ( Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine ) Cho f , g  L(R ) khi đó tích chập (1.2.3) cũng thuộc L( R ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử... iy )2   y ] 2a 4a dx e 2 1 1 eiyxax dx    2  2  Với phép biến đổi t  x  2 iy ta nhận được: 2a 8  y 1  4a at 2 1 4ya f ( y)  e  e dt  e 2 2a  2  2 1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier Tính chất 1 Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi tuyến tính: F (1 f1  2 f2 )  1 (Ff1 )  2 (Ff2 ) với mọi 1,2  và f1, f2  L( ) Chứng minh Từ định nghĩa... phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine 16 1 * ( f , g , h)( x)  Fc , Fs 2     0 f (u) g (v) h( x  u  v )   0 h( x  u  v )  h( x  u  v )  h( x  u  v ) dudv, x  0 (0.15) 5 Thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:   Fc  * ( f , g , h)  ( y)  ( Fs f )( y)( Fs g )( y)( Fc h)( y ), y  0  Fc , Fs  (0.16) Đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine 17 . dụng biến đổi Fourier ………… 22 Chương 2. Phương trình tích phân kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ……………………… …… 25 2.1 Phương trình tích phân. kiểu đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine. Các tích chập, đa chập đã biết dùng trong luận văn Tích chập của hai hàm , ( )f g L đối với phép biến. kiểu đa chập ………………… … …. 25 2.2 Phương trình tích phân đối với đa chập của phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine ……………………………………………… … 29 2.2.1 Đa chập đối với các phép biến