Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và phương điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 3 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 5 1.1 Các khơng gian hàm khả vi và khả tổng . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Các khơng gian hàm khả tổng . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Khơng gian Sobolev cấp ngun dương . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . . . . . . 7 1.2.2 Khơng gian Sobolev H k (Q) . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt . . . . . 7 1.2.4 Khơng gian H k o (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Khơng gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) . . . . 8 1.3.1 Khơng gian H s (R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Khơng gian H s o (Ω) và khơng gian H s (Ω) . . . . . . . 11 1.4 Các khơng gian Sobolev đối ngẫu và định lý nhúng . . . . . 12 1.4.1 Các khơng gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG 14 2.1 Phương trình điều hòa và các cơng thức Green . . . . . . . 14 2.1.1 Phương trình điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Cơng thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Các cơng thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Một số tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 16 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2 Hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Hàm cơ bản và hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Biểu diễn tích phân của hàm điều hòa . . . . . . . . 19 2.3 Phát biểu bài tốn biên của phương trình điều hòa trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Cơng thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng và các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Bài tốn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.2 Bài tốn Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.3 Bài tốn hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Bài tốn biên của phương trình điều hòa trong miền ngồi . 24 2.6.1 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6.2 Phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . 25 3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA 26 3.1 Phát biểu bài tốn hỗn hợp đối với phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.2 Phát biểu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Hệ phương trình tích phân biên . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trên thực tế, nhiều bài tốn trong khoa học kỹ thuật thơng qua mơ hình tốn học được đưa đến việc giải các bài tốn biên đối với phương trình đạo hàm riêng. Trong đó rất ít bài tốn là các trường hợp đơn giản có thể tìm thấy nghiệm tường minh bằng các phương pháp giải tích. Còn đại đa số các trường hợp khác thì nghiệm tường minh hoặc khơng có hoặc rất phức tạp. Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là phương trình điều hòa và song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà tốn học. Việc nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài tốn điều hòa và song điều hòa là một lĩnh vực cần được nghiên cứu . Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả về lý thuyết đối với phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hòa và song điều hòa. Luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái qt về phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa. Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày một số kiến thức bổ trợ về các khơng gian hàm khả vi và khả tổng, khơng gian Sobolev cấp ngun dương H k (Q), H k 0 (Q), khơng gian Sobolev cấp thực H s (R n ), H s (Ω), các khơng gian Sobolev đối ngẫu và các định lý nhúng. Đây là nền tảng cho các kết quả sẽ trình bày trong các chương tiếp theo của luận văn. Chương hai chúng tơi giới thiệu về phương pháp phương trình tích phân biên đối với phương trình điều hòa trong mặt phẳng, cơng thức biểu diễn hàm điều hòa trên mặt phẳng, các cơng thức Green và các hàm cơ bản. Đồng thời cũng trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối với các bài tốn Dirichlet, bài tốn Newmann và bài tốn hỗn hợp. Chương ba của luận văn chúng tơi giới thiệu về phương trình song điều hòa và hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài tốn. Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa Học - 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đại học Thái Ngun. Qua đây tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập của mình. Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ để luận văn được hồn thiện hơn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, ngày 04 tháng 05 năm 2013. Người thực hiện Trần Đức Anh 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chuong này trình bày một số khái niệm bổ trợ cần thiết về các hàm khả tổng, khả vi, hàm suy rộng và khơng gian Sobolev. Nội dung của chương này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [7], [8]. 1.1 Các khơng gian hàm khả vi và khả tổng 1.1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi • Giả sử Ω là một miền mở trong khơng gian Euclid R n . Ký hiệu C(Ω) là lớp các hàm liên tục trong Ω. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n , ta kí hiệu Ω là bao đóng của Ω, tức là Ω = Ω ∪∂Ω. Khi đó C(Ω) là khơng gian định chuẩn với chuẩn: f C = max x∈Ω |f(x)|. (1.1) • Giá của hàm f(x) ∈ C(R n ) được kí hiệu là suppf là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm x ∈ R n mà tại đó f(x) = 0. Vậy suppf := {∀x ∈ R n , f(x) = 0} là một tập đóng trong R n . Nếu suppf là tập bị chặn trong Ω thì ta nói f là hàm có giá compact trong Ω. • Ký hiệu C m (Ω) là tập hợp của tất cả các hàm f(x) liên tục trong Ω cùng với các đạo hàm D α f(x), |α| ≤ m. Như vậy, C 0 (Ω) = C(Ω). Tập hợp của các hàm trong C m (Ω) có các đạo hàm D α f(x), |α| ≤ m được thác triển 5 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ liên tục vào Ω được ký hiệu là C m (Ω). Chuẩn trong C m (Ω) được xác định theo cơng thức f C m (Ω) = sup Ω m  |α|=0 |D α f(x)|. • Ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp của các hàm khả vi vơ hạn trong Ω. Tập hợp của các hàm khả vi vơ hạn và có giá compact trong Ω được ký hiệu là C ∞ o (Ω). Tập hợp các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong R n ký hiệu là C ∞ o . Tập hợp các hàm tiêu hạn trong Ω của lớp C m (Ω) ký hiệu là C m o (Ω). Tập hợp của các hàm từ C m (Ω) bằng khơng trên biên ∂Ω cùng với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m được ký hiệu là C m o (Ω). Cuối cùng, ký hiệu C m o là lớp các hàm thuộc C m (R n ) bằng khơng tại vơ cùng với tất cả các đạo hàm cho đến cấp m. 1.1.2 Các khơng gian hàm khả tổng • Tích phân Lebesgue của hàm f trên tập Ω được ký hiệu là  Ω f(x)dx,  R n f(x)dx =  f(x)dx. • Với 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu L p (Ω) = {f : Ω → C, f p L p (Ω) :=  Ω |f(x)| p dx < +∞}, L ∞ (Ω) = {f : Ω → C, f L ∞ (Ω) := essup Ω |f(x)| < +∞}, trong đó essup Ω |f(x)| = inf K {|f(x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω}. • Nếu f ∈ L p (Ω  ) đối với mọi Ω   Ω thì hàm f được gọi là p- khả tích tổng địa phương trong Ω. Tập hợp của tất cả các hàm p- khả tích tổng địa phương trong Ω được ký hiệu là L p loc (Ω). • Hàm f (đo được) được gọi là có hạn trong Ω nếu nó bằng khơng hầu khắp ở ngồi Ω   Ω. Tập hợp của các hàm tiêu hạn trong Ω thuộc L p (Ω) được ký hiệu là L p o (Ω). 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Khơng gian Sobolev cấp ngun dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev Định nghĩa 1.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong R n với biên trơn từng mảnh ∂Q và α = (α 1 , α 2 , ··· , α n ) là bộ đa chỉ số. Hàm f (α) ∈ L 1 loc (Q) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L 1 loc (Q), nếu < f, D α g > :=  Q f(x)D α g(x)dx = (−1) |α|  Q f (α) (x)g(x) dx =< f (α) , g >, ∀g ∈ C |α| o (Q). Nếu f ∈ C |α| (Q), thì đạo hàm suy rộng f (α) tồn tại và f (α) = D α f(x) hầu khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f là D α f. 1.2.2 Khơng gian Sobolev H k (Q) Định nghĩa 1.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L 2 (Q) có đạo hàm suy rộng cho đến cấp k thuộc L 2 (Q) được gọi là khơng gian Sobolev cấp k và được ký hiệu là H k (Q). H k (Q) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và chuẩn (f, g) =  Q   |α|≤k D α fD α g  dx, f =   Q   |α|≤k |D α f| 2  dx  1/2 . Rõ rằng là H 0 (Q) = L 2 (Q). Các tính chất quan trọng của khơng gian Sobolev: 1) C ∞ (Q) trù mật trong H k (Q) theo tiêu chuẩn của H k (Q). 2) H m+1+[n/2] (Q) ⊂ C m (Q). 1.2.3 Khái niệm về vết của hàm số trên một mặt Định nghĩa 1.3. Giả sử Q là miền giới nội trong R n và S là một mặt n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f(x) xác định tại 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một hàm f| x∈S được xác định tại mỗi điểm của S. Nếu chúng ta xét trong Q hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của f trên mặt S được xác định khơng đơn trị vì mesS = 0. Tuy nhiên, trong một nghĩa hồn tồn xác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1 chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi. Giả sử f ∈ H 1 (Q) và f k ∈ C 1 (Q), (k = 1, 2, ) hội tụ đến f trong H 1 (Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh (mỗi một mảnh được chiếu đơn trị xuống mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho  S |f k − f m | 2 dx ≤ Cf k − f m  H 1 (Q) . Vì L 2 (S) là khơng gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử f S ∈ L 2 (S) là giới hạn trong L 2 (S) của dãy f k (x S ), x S = x ∈ S. Hàm f S khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy f k hội tụ đến f trong H 1 (Q) và được gọi là vết của hàm f trên mặt S. 1.2.4 Khơng gian H k o (Q) Định nghĩa 1.4. Tập hợp của các hàm trong H k (Q) có vết trên biên Γ bằng khơng được ký hiệu là H k o (Q). Chuẩn trong H k o (Q) được sinh bởi chuẩn trong H k (Q). Khi đó H k o (Q) là khơng gian con đóng của H k (Q). 1.3 Khơng gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slo- bodeskii) 1.3.1 Khơng gian H s (R n ) Định nghĩa 1.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Khơng gian Sobolev-Slobodeski H s (R n ) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S  = S  (R n ), có biến đổi Fourier ˆu(ξ) thỏa mãn điều kiện: u 2 s =  R n (1 + |ξ|) 2s |ˆu(ξ)| 2 dξ < ∞. (1.2) 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... này giới thiệu về phương trình điều hòa và phương pháp phương trình tích phân biên để giải nghiệm bài tốn Nội dung chính của chương được hình thành từ tài liệu [2] 2.1 Phương trình điều hòa và các cơng thức Green 2.1.1 Phương trình điều hòa Phương trình n uxk xk = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn , u= (2.1) k=1 được gọi là phương trình điều hòa, hay phương trình Laplace trong miền Ω Nghiệm của phương trình Laplace trong... định hàm ψ(t) ta có phương trình tích phân loại một trên Γ1 với nhân logarithm, còn đối với hàm φ(t) thì ta có phương trình Fredholm loại hai trên Γ2 2.6 Bài tốn biên của phương trình điều hòa trong miền ngồi 2.6.1 Phát biểu bài tốn Xét phương trình điều hòa trong miền Ω− phần bù trên mặt phẳng của miền giới nội Ω+ có biên chung là Γ Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm của các bài tốn biên các hàm φ(s), ψ(s)... nghiệm của nó thường khơng được ổn định theo vế phải Để tìm nghiệm ổn định của các phương trình tích phân loại một thường vận dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov [7] Nếu sử dụng cơng thức (2.32) thì ta có phương trình tích phân: πψ(t)− ψ(s) ν t r = r2 Γ [b1 (s)−b1 (t)] 2(ν s r)(ν t r) − r2 ν s ν t ds, t ∈ Γ, r4 Γ (2.34) Phương trình (2.34) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và là phương trình. .. ωn δ và do đó số hạng thứ hai ở vế phải (13) tiến tới 0 khi ε → 0 2.3 Phát biểu bài tốn biên của phương trình điều hòa trong miền bị chặn Trong mục này trình bày phương pháp đưa bài tốn biên hỗn hợp hai chiều về phương trình tích phân biên một chiều Xét phương trình Laplace hai chiều 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ Φ(x, y) = + 2 = 0, (x, y) ∈ Ω+ , 2 ∂x ∂y (2.23) trong đó Ω+ ⊂ Rn là một miền bị chặn được giới hạn bởi biên. .. TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Nội dung chính của chương được hình thành từ tài liệu [7], [8], [9] 3.1 Phát biểu bài tốn hỗn hợp đối với phương trình song điều hòa 3.1.1 Phương trình song điều hòa Phương trình song điều hòa là phương trình có dạng n n 2 ∆ u = ∆(∆u) = uxj xk xj xk = 0 (3.1) k=1 j=1 Trong trường hợp hai biến (x1 , x2 ) ∈ R2 , phương trình (3.1) có dạng ∆2 u = ∂... 2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên 2.5.1 Bài tốn Dirichlet Giả sử φ(s) = b1 (s) được cho trên tồn bộ Γ Khi đó từ (2.31) ta có phương trình tích phân đối với hàm ψ(s): ψ(s) ln(r) ds = −πb1 (t) + Γ b1 (s) ν.r ds, t ∈ Γ r2 (2.33) Γ Trong trường hợp này giả thiết rằng b1 (t) ∈ H 1/2 (Γ) và tìm hàm ψ(t) trong lớp H −1/2 (Γ) Nhận xét rằng phương trình (2.33) là phương trình tích phân loại một, và. .. ΓD của biên là được cố định trong khi phần ΓN là tự do Nếu chúng ta ký hiệu u là trạng thái cân bằng của tấm chúng ta sẽ thu được bài tốn biên hỗn hợp sau cho phương trình song điều hòa 2 u = 0 trong Ω ∂u = g trên ΓD ∂n M u = p và N u = q trên ΓN , u = f và trong đó tốn tử biên M Γ và N D của tốn tử vi phân biên sau ΓN (3.3) (3.4) (3.5) tương ứng là hạn chế trên ΓD và ΓN M u = ν∆u + (1 − ν)M0 u và. .. đặt chỉnh 2.5.2 Bài tốn Neumann Giả sử ψ(s) = b2 (s) ∈ H −1/2 (Γ) được cho trên tồn bộ Γ Khi đó từ (2.31) ta có phương trình tích phân đối với hàm φ(s) ∈ H 1/2 (Γ) : πφ(t) − φ(s) ν.r ds = − r2 Γ b2 (s) ln(r) ds, t ∈ Γ (2.35) Γ Phương trình (2.35) là phương trình tích phân Fredholm loại hai và có cùng dạng với phương trình (2.34) Để bài tốn Neumann trong miền bị chặn Ω+ giải được phải có điều kiện ψ(s)... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một cách vật lý, M u là momen uốn, N u là lực ngang bao gồm lực cắt và momen xoắn [3] Điều kiện hỗn hợp (3.4) và (3.5) có thể giải thích tấm này là bị cố định trên ΓD , tự do trên biên ΓN Chúng ta đi tìm nghiệm yếu của bài tốn biên hỗn hợp (3.3), (3.4) và (3.5) 3.2 Tính duy nhất nghiệm Khơng gian nghiệm của phương trình song điều hòa (3.3) là khơng gian chuẩn tắc Sobolev H 2 (Ω) của sự phân chia... 2.6.2 Phương trình tích phân biên Trong trường hợp này ta có cơng thức πφ(t) = 2πΦ∞ − ψ(s)G(s; t) − φ(s) ∂G(s; t) ds, t ∈ Γ, ∂νs (2.41) Γ trong đó hằng số Φ∞ là chưa biết và cần phải được xác định Điều này có thể thực hiện được bằng cách sử dụng điều kiện về hằng số Ψ∞ : ψ(s) ds = Ψ∞ (2.42) Γ 25 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN . http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG Chương này giới thiệu về phương trình điều hòa và phương pháp phương trình tích phân biên để giải nghiệm. . 13 2 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG 14 2.1 Phương trình điều hòa và các cơng thức Green . . . . . . . 14 2.1.1 Phương trình điều hòa song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học, kỹ sư và các nhà tốn học. Việc nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải các bài tốn điều hòa và