Sử dụng công thức thay thế công thức đạo hàm, tích phân để giải các bài toán đại số tổ hợp

111Equation Chapter Section 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Đặc biệt Tỉnh ta số tỉnh nước tổ chứa thi học sinh giỏi văn hóa cho học sinh khối 11 toán Tổ hợp lại trọng Trong nội dung có số tốn ứng dụng dạo hàm tích phân để giải Nhưng vấn đề dặt nội dung đạo hàm học cuối chương trình 11 tích phân học chương trình 12 Vì học sinh lớp 11 chưa có kiến thức kỹ để giải tốn Tổ hợp dạng Vậy đưa dạng đề vào đề thi học sinh giỏi văn hóa mà thầy học sinh giải triệt để ? Để giúp thầy giáo có thêm chun đề Tổ hợp ôn luyện học sinh giỏi giúp em học sinh có cơng cụ làm tập, tơi chọn đề tài " Sử dụng công thức thay đạo hàm, tích phân để giải tốn Đại số tổ hợp" làm đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài - Xây dựng chuyên đề ôn thi học sinh giỏi mơn Tốn THPT thiết thực có hiệu - Góp phần nâng cao kỹ giải toán tổ hợp cho giáo viên học sinh - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, giúp em thấy đa dạng lời giải toán 1.3 Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : Nhiệm vụ : - Hệ thống lại công thức khai triển nhị thức niu tơn Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng: Học sinh lớp 11 - Tài liệu : Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp nâng cao – bản, Sách tâp, Sách giáo viên đề thi đại học, học sinh giỏi mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo 1.4.2 Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thơng qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn Tốn môn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn Tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người 2.1.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên em không tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tịi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải chắt lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh 2.1.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thơng minh, nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư toán học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, tải Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài không quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà 2.2 Thực trạng vấn đề : Hiện phần Đại số tổ hợp có sử dụng Đạo hàm Tích phân chưa viết theo chuyên đề cách hệ thống bản, khó cho giáo viên lẫn học sinh giảng dạy học tập nội dung Mặt khác nội dung Đại số tổ hợp lại học trước nội dung Đạo hàm Tích phân nên học sinh chưa có kỹ vận dụng kiến thức cách khéo léo Vì xây dựng hệ thống cơng thức thay Đạo hàm Tích phân vấn đề cần thiết có nhiều ứng dụng 2.3 Nội dung lý thuyết : CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON Với cặp số a, b số n nguyên dương, ta có : (a  b) n  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b   Cnn1ab n 1  Cnnb n n! Cnk  k !(n  k )! với : + Số số hạng bên phải khai triển n+1 số hạng + Tổng số mũ a b khai triển n + Các hệ số khai triển là: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn 1 , Cnn + Cnk  n  k  k 1 Cn k Cnk  Cnn k �k �n với ý : CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG k Cnk  n.Cnk11 Dạng 1: Sử dụng công thức : (I) tính tổng Chứng minh cơng thức (I) k Cnk  n.Cnk11 n! (n  1)! � k  n k !( n  k )! ( k  1)!( n  k )! n! n! �  (k  1)!(n  k )! (k  1)!(n  k )! Bài toán áp dụng : Bài toán 1: k n Tính tổng: A  1.Cn  2.Cn  3.Cn   k Cn   n.Cn Hướng dẫn: Áp dụng công thức (I) k Cnk  n.Cnk11 1.C  n.C n ta được: n 1 2.Cn2  n.Cn11 + Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta : A  n(Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11 ) + Xét khai triển : (1  x) n 1  Cn01  x.Cn11  x Cn21   x n 1.Cnn11 + Thay x = vào khai triển (1) : n 1 + Thay vào tổng A  n.2 Vậy : n 1 C n 1 C n 1 C n 1 (1)   Cnn11 1.Cn1  2.Cn2  3.Cn3   k Cnk   n.Cnn  n.2n 1 Trong trang này: Mục LT có tham khảo TLTK[1];cơng thức(I), tác giả Bài tốn 2: Tính tổng : Hướng dẫn: B  1.Cn1  2.2.Cn2  3.2 2.Cn3   k k 1.Cnk   n.2 n1.Cnn k k 1 k C  n C n n 1 ta được: Áp dụng công thức (I) 1.Cn1  n.Cn01 2.Cn2  n.Cn11 B  n(C n 1  2.C n 1  C 2 n 1   2k 1.Cnk11   n 1.Cnn11 ) (1  x)n 1  Cn01  x.Cn11  x Cn21   x n1 Cnn11 (1) + Xét khai triển : + Thay x = vào khai triển (1) ta được: 3n 1  1.Cn01  2.Cn11  22 Cn21   2n1 Cnn11 n 1 + Thay vào tổng B được: B  n.3 2 k 1 k n 1 n n 1 C  2.2 C  3.2 C   k C   n C  n n n n n n Vậy Bài toán tổng quát : B  1.Cn1  2.a.Cn2  3.a Cn3   k a k 1.Cnk   n.a n 1.Cnn Tính tổng: n 1 Đáp án : B  n.( a  1) Bài toán 3: C  3.Cn1  4.Cn2  5.Cn3   ( n  2).Cnn Tính tổng : Hướng dẫn: n n Ta có : C  (1.Cn  2.Cn  3.Cn   n.Cn )  2.(Cn  Cn  Cn  Cn ) k n n 1 + Tính : A  1.Cn  2.Cn  3.Cn   k Cn   n.Cn = n.2 ( toán 1) (1  x ) n  Cn0  x.Cn1  x Cn2   x n Cnn + Xét khai triển : (2) + Thay x = vào khai triển (2) : 2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn � 2n  n  Cn1  Cn2   Cnn n 1 n ta : C  n.2   n 3.Cn1  4.Cn2  5.Cn3   (n  2).Cnn  n.2n 1  2n  n Vậy: n Bài tốn tổng qt : Tính tổng: C  (1  m).Cn  (2  m).Cn  ( n  m).Cn Đáp số Bài toán 4: C  (1Cn1  2Cn2  nCnn )  m(Cn1  Cn2   Cnn ) Tính tổng : Hướng dẫn: D  3.Cn1  4.2.Cn2  5.2 2.Cn3  6.23.Cn4   (n  2).( 2) n 1.Cnn D  [1.Cn1  2.2.Cn2  3.22.Cn3  4.23.Cn4   n.( 2) n 1.Cnn ]  +[2.Cn1  22.Cn2  23.Cn3  4.Cn4   (2) n Cnn ] Trong trang này: Bài toán 2; 3; có tham khảo TLTK[2] + Tính tổng : D1  [1.Cn1  2.2.Cn2  3.22.Cn3  4.23.Cn4   n.( 2) n 1.Cnn ] k k 1 + Áp dụng công thức (I), k Cn  n.Cn 1 ta được: 1.Cn1  n.Cn01 2.Cn2  n.Cn11 nên : D1  n(C n 1  2.C n 1  C 2 n 1  23.Cn31   (2) n 1.Cnn11 ) (1  x)n 1  Cn01  x.Cn11  x Cn21   x n1.Cnn11 (1) + Xét khai triển : + Thay x = - vào khai triển (1) : 2 3 n 1 n 1 n 1 ( 1) n1  Cn 1  2.Cn 1  Cn 1  Cn 1   ( 2) Cn 1  ( 1) n 1 tìm được: D1  n.(1) D =2.Cn1  22.Cn2  23.Cn3  24.Cn4   (2) n Cnn + Tính tổng : (1  x) n  Cn0  x.Cn1  x Cn2   x n Cnn + Xét khai triển : (2) + Thay x = -2 vào khai triển (2) được: Cn0  [2.Cn1  22.Cn2  23.Cn3  24.Cn4   ( 2) n Cnn ]  ( 1) n tìm được: D2  Cn  (1)  n  (1) n 1 n n 1 + Tính được: D  n.(1)  n  (1)  n  (1) (n  1) n n Sau tính tổng giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát toán Bài toán 5: E  4.Cn1  5.2.Cn2  6.22.Cn3   ( n  3).2 n 1.Cnn Tính tổng: Hướng dẫn: Ta có : E  (Cn1  2.2.Cn2  3.22.Cn3   n.2n 1.Cnn )  3(Cn1  2.Cn2  22.Cn3   2n 1.Cnn ) + E1  Cn1  2.2.Cn2  3.22.Cn3   n.2 n 1.Cnn Tính tổng: Dựa vào cơng thức (I), tính : E1  n(Cn01  2.Cn11  22.Cn21   2n 1.Cnn11 )  n.3n 1 + Tính tổng: (2.Cn1  22.Cn2  23.Cn3   2n.Cnn ) 3  (Cn0  2.Cn1  22.Cn2  23.Cn3   n.Cnn )  Cn0  (3n  n) 2 E  n.3n 1  (3n  n) Tìm : E2  3(Cn1  2.Cn2  22.Cn3   2n 1.Cnn )  Trong trang này: Bài toán có tham khảo TLTK[3] Bài tốn tổng qt: Tính tổng: E  (1  m).a r Cn1  (2  m).a r 1.Cn2  (3  m).a r  Cn3   (n  m).a r  n 1.Cnn Hướng dẫn: E  a r (Cn1  2a.Cn2  3a Cn3   n.a n 1.Cnn )  m.a r 1 (aCn1  a Cn2   a n C nn )   n.a r (1  a ) n1  m.a r 1 (1  a) n  m.n.a r 1 Bài toán 6: n F  C  C  C   ( n  2) C n n n n Tính tổng: Hướng dẫn: F  (3.Cn3  4.Cn4   n.Cnn )  2(Cn3  Cn4   Cnn ) + Ta có: + Tính tổng: F1  3.Cn3  4.Cn4   n.Cnn  n(Cn21  Cn31   Cnn11 )  n(Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11 )  n(1  n  1)  n.2 n 1  n + Tính tổng : F  2(Cn3  Cn4   Cnn )   2(Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   Cnn )  2(Cn0  Cn1  Cn2 )  n(n  1) )  2.2n  ( n  n  2) n 1 n n 1 + Tìm được: F  n.2  n  2.2  n  n   ( n  4)  n   2.2n  2(1  n  n n 1 C  C  C   ( n  2) C  ( n  4)  n  n n n n Vậy: Sau tính tổng giáo viên yêu cầu học sinh tổng qt tốn Bài tốn 7: Tính tổng: Hướng dẫn: G  1.2.Cn1  2.3.Cn2  3.4.Cn3   n( n  1).Cnn + Áp dụng công thức (I) k Cnk  n.Cnk11 ta được: 1.Cn1  n.Cn01 2.Cn2  n.Cn11 + Tính được: G  n[2.Cn01  3.Cn11  4.Cn21   (n  1).Cnn11 ]= =2n(C0n 1  Cn11   Cnn11 )  n[Cn11  2.Cn21  3.Cn31   ( n  1).Cnn11 ] + Tính tổng: G1 =2n(C0n 1  Cn11   Cnn11 )  2.n.2n 1  n.2n Trong trang này: Bài toán tổng qt tác giả;bài tốn 6;7 có tham khảo TLTK[3] + Tính tổng: G2 =n[Cn11  2.Cn21  3.Cn31   (n  1).Cnn11 ] k k 1 k C  ( n  1) C n  n  , ta được: Áp dụng công thức: G2 =n( n  1)(Cn0  Cn1  Cn2   Cnn22 )  n( n  1).2n 2 n2 n2 + Tính được: G  n.2  n(n  1).2  n(n  3)2 Bài tốn 8: Tính tổng H  1.2.3.Cn1  2.3.32.Cn2  3.4.33.Cn3   n.( n  1).3n.Cnn ( n �2) Hướng dẫn: k Cnk  n.Cnk11 ta được: + Áp dụng công thức (I) 1.Cn1  n.Cn01 n 2.Cn2  n.Cn11 � H  n(2.3.C n 1  3.3 C n 1  4.3 C n 1   ( n  1).3 C n n 1 n 1   n.2.3(Cn01  3.Cn11  32.Cn21   3k Cnk1   3n 1.Cnn11 )   n.32 [Cn11  2.3.Cn21  3.32.Cn31   k 3k 1.Cnk1   ( n  1).3n 2.Cnn11 ] + Tính tổng H1  n.2.3(Cn01  3.Cn11  32.Cn21   3k Cnk1   3n 1.Cnn11 )  6n.4n 1 H  n.32 [Cn11  2.3.Cn21  3.32.Cn31   k 3k 1.Cnk1   ( n  1).3n  2.Cnn11 ]= =9n(n-1).(C0n   3.Cn1  32.Cn2   3k 1.Cnk21   3n  2.Cnn22 )  9n( n  1).4 n  n 1 n2 n2 H  n  n ( n  1).4  (9 n  15n) Tính được: Bài tốn 9: nk n 1 Tính tổng: K  n.Cn  (n  1).Cn   kCn   Cn Hướng dẫn: Cnk  Cnn  k + Áp dụng công thức : K  n.Cnn  (n  1).Cnn 1   kCnk   Cn1 + Áp dụng công thức (I) k Cnk  n.Cnk11 ta được: 1.Cn1  n.Cn01 2.Cn2  n.Cn11 n 1 k n 1 Tính K  n.C  (n  1).Cn   kCn   Cn  n.2 n n Trong trang này: Bài toán 8; có tham khảo TLTK[2] Bài tốn 10: Tìm số tự nhiên n cho: C2 n 1  2.2.C22n 1  3.22.C23n 1  4.23.C24n 1   (2n  1).2 n.C22nn11  2017 (1) Hướng dẫn: k Cnk  n.Cnk11 + Áp dụng công thức (I) được: 1.C2 n 1  (2n  1)C20n 2.C22n 1  (2n  1).C21 n VT (1')  (2n  1)(C  2.C  C22nn  23.C23n   22 n.C22nn )  (2n  1).(1  2) n 2n 2n 2n + Thay vào (1') : (2n  1).(1  2)  2n   2017 , tìm n = 1008 Bài tập vận dụng: Tính tổng sau: 1 99 198 100 199 L  100.C100 ( )99  101.C100 ( )100   199.C100 ( )  200.C100 ( ) 2 2 1/ n2 n2 n 1 n 1 2/ M  n.Cn  ( n  1).Cn   (1) 2.Cn  ( 1) Cn 3/ N  22.Cn2  32.Cn3  2.Cn4  52.Cn5   (1) n n Cnn Cnk Cnk11  Dạng 2: Sử dụng công thức : k  n  (II) tính tổng Chứng minh cơng thức (II) Ta có : Cnk C k 1  n 1 k 1 n 1 n! (n  1)!  (k  1) k !(n  k )! (k  1)!( n  k )! (n  1)! (n  1)! �  k !(n  k )! k !(n  k )! � ( n  1) Bài toán áp dụng : Bài toán 1: A  Cn0  Cn1 Cn2 Ck Cn    n   n k 1 n 1 Tính tổng: Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (II), ta được: Cn11 C  n 1 Cn Cn21  n 1 n Trong trang này: Bài toán 10; 1; tập vận dụng có tham khảo TLTK[2], cơng thức (II) tác giả + Tìm : A C0 1 (Cn11  Cn21  Cn31   Cnn11 )  (Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11 )  n 1  (2 n 1  1) n 1 n 1 n 1 n 1 Vậy A (2n 1  1) n 1 Bài toán 2: Cn0 Cn1 Cn2 Cnk Cnn B       k 2 n2 Tính tổng: Hướng dẫn: Cn0 Cn1 Cn2 Cnk k  Cnn n  B        2 3 k 1 k  n 1 n  1 k  k 1 n  n 1  ( Cn 1  Cn21  Cn31   Cn 1   Cn 1 )  n 1 k 2 n2 1  (Cn2  2Cn3  3Cn4   ( k  1)Cnk22  ( n  1)Cnn22 )  n 1 n   [Cn1  2Cn2  3Cn3   (n  2)Cnn22 ](n  1)(n  2)  (C1 Cn  n2    Cnn22 ) ( n  1)( n  2) + Tính : B1  Cn1  2Cn2  3Cn3   (k  2)Cnk22   ( n  2)Cnn22 k Cnk  n.Cnk11 + Áp dụng công thức (I) B1  (n  2)(Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11 )  (n  2).2n 1 B2  Cn1  Cn2   Cnn22  (Cn0  Cn1   Cnn22 )  Cn0  n   B + Tìm : [(n  2).2n 1  2n   1] ( n  1)(n  2) B Vậy : [(n  2).2n 1  2n   1] (n  1)(n  2) Bài toán 3: C 1 1 18 19 C19  C19  C19  C19   C19  C19 20 21 Tính tổng: Hướng dẫn: 19 18 20 19 C  C190  C191  C192  C193   C19  C19 20 19 21 20 k k 1 Cn C  n 1 k 1 n 1 + Áp dụng công thức (II) : Trong trang này: Bài toán 2; có tham khảo TLTK[4] 1 19 C190 C20 C19 C20 C192 C20 C19 C2020  ;  ;  ; ;  20 20 20 20 20 tính được: C 1 2 3 4 19 19 20 20 ( C20  C20  C20  C20   C20  C20 ) 20 20 21 + Áp dụng công thức (II), được: 10 C20 C2  21 21 C20 C21  21 �C  1 3 20 (C212  2C21  3C21  4C21   19C21  20C2121 )  20 21 20 21 [(2C21  3C21  4C21  5C21   20C21  21C21 ) 20.21 20 21 (C21  C21  C214  C21   C21  C21 )]  + Tính tổng: C1  (2C212  3C21  4C214  5C21   20C2120  21C2121 ) 20.21 + Áp dụng công thức (I): 2C21  21C20 3C21  21C202 4C21  21C20 1 19 21(C20  C202  C20  C204   C20  C2020 )  20.21 1 19  C20  (C20  C20  C20  C20  C20   C20  C2020 )  20 20 1   (1  1) 20  20 20 20 � C1  + Tính tổng: C2  (C212  C21  C214  C21   C2120  C2121 )  20.21 1  [(C21  C21  C212  C21  C214  C21   C2120  C2121 )  (C210  C21 )]  20.21 1  [(1  1) 21  (1  21)  21.20 21 �C  1   20 21 421 11 Vậy 1 19 20 1 C  C190  C19  C19  C19   C1918  C1919  20 19 21 20 421 Bài toán 4: 2 2 8192 2C20n  C22n  C24n  C26n   C22nn  2n  2n  Tìm n thỏa mãn: Hướng dẫn: +Áp dụng công thức (II) được: C22nn11 C  2n  C2 n C22nn11  2n  2n + VT  (2C21n 1  2C23n 1  2C25n 1   2C22nn11 ) 2n  C21n 1  C22nn1 C23n 1  C22nn12 C25n 1  C22nn14 + Có : + Đẳng thức cho trở thành: 8192 (C20n 1  C21n1  C22n1   C22nn1  C22nn11 )  2n  2n  n 1 8192 �  �n6 2n  2n  Vậy n = Bài tốn 5: Tìm a n nguyên dương thỏa mãn: a a3 a n 1 n 127 aC2 n  C2 n  C2 n   Cn  ; An  20n n 1 Hướng dẫn: n! An3  20n �  20n � n  ( n  3)! + + Áp dụng công thức (II), được: Trong trang này: Bài tốn 4; có tham khảo TLTK[2] 12 Cn11 n 1 Cn Cn21  n 1 Cn0  1 127 (1  a )n 1   n 1 + Đẳng thức cho trở thành: n  + Thay n = vào đẳng thức được: (1  a)  128 � a  Vậy n= a = Bài toán 6: (  x5 )n Tìm hệ số x20 khai triển: x , biết : n C C C Cn0  n  n   (1) n n  n  13 Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (II) được: 1 (Cn11  Cn21  Cn31   ( 1) n 1 Cnn11 )  n 1 13 1 � [Cn01  (Cn01  Cn11  Cn21   (1) n Cnn11 )]  n 1 13 n 1 (1  1) �   � n  12 n 1 n 1 13  x5 )6 + Thay n = 12 vào khai triển: x C12k ( )12  k ( x5 ) k  C12k 212  k x8 k 36 x có số hạng tổng quát là: + Theo giả thiết : 8k  36  20 � k  25 C127 Vậy hệ số là: Bài toán 7: ( �D 99 99 2 100 (C100 )  (C100 )  (C100 )   (C100 )  100(C100 ) 100 99 98 Hướng dẫn: + Áp dụng công thức: Cnk  Cnn  k 99 C100  C100 98 C100  C100 13 Trong trang này: Bài tốn 6; có tham khảo TLTK[3] + Tổng trở thành: 1 99 2 98 3 97 99 99 100 D C100 C100  C100 C100  C100 C100   C100 C100  100C100 C100 100 99 98 + Áp dụng Cnk C k 1  n1 công thức (II) k  n  99 C100 C100  101 100 101 98 C100 C 99  101 99 101 1 100 99 98 99 100 (C100 C101  2C100 C101  3C100 C101   99C100 C101  100C100 C101 ) 101 k Cnk  n.Cnk11 + Áp dụng công thức (I) 1.C100  100.C990 �D 2.C100  100.C99 100 100 99 98 (C99 C101  C99 C101  C992 C101   C9998 C101  C9999 C101 ) 101 98 99 (1  x)99  C99  x.C99  x 2C992  x98C99  x99C99 + Xét khai triển : (1) �D 100 101 (1  x)101  C101  x.C101  x 2C101  x100C101  x101C101 100 + Lấy vế nhân vế (1) 92) hệ số số hạng chứa x 100 99 98 99 C990 C101  C99 C101  C992 C101   C99 C100 (2) là: 200 100 100 + Trong khai triển: (1  x) có hệ số số hạng chứa x là: C200 100 99 98 99 100 C C  C C  C C   C C 99 101 99 101 99 101 99 100 nên ta được: = C200 100 100 D C200 101 Vậy Bài toán 8: 22  1 24  26  22018  2017 E C2018  C2018  C2018   C2018 2018 Tính tổng: Hướng dẫn: 14 Cnk C k 1  n1 k 1 n 1 + Áp dụng công thức (II) Trong trang này: Bài toán tác giả C2018 C2019  2019 C2018 C2019  2019 �E 2018 [(22  1)C2019  (24  1)C2019  (26  1)C2019   (2 2018  1)C2019 ]= 2019 2018 (22 C2019  24 C2019  26 C2019   22018 C2019 ) 2019 2018  (C2019  C2019  C2019   C2019 ) 2019 Xét khai triển 2018 2018 (1  x) 2019  C2019  xC2019  x 2C2019   x 2018C2019  x 2018C2019 (1) + Thay x = vào khai triển (1): 2018 2019 32019  C2019  2C2019  22 C2019   22018 C2019  22019 C2019 = + + Thay x = -2 vào khai triển (1) được: 2018 2019 ( 1) 2019  C2019  2C2019  22 C2019   2018 C2019  2019 C2019 + Cộng vế với vế được: 32019  2018  C2019  22 C2019  24 C2019   22018 C2019 32019  2018 �  22 C2019  24 C2019  26 C2019   22018 C2019 (2) + Thay x = vào khai triển (1) được: 2018 2019 22019  C2019  C2019  C2019   C2019  C2019 + Thay x = -1 vào khai triển (1) được: 2018 2019  C2019  C2019  C2019   C2019  C2019 Cộng vế với vế được: 15 22019 2018  C2019  C2019  C2019   C2019 22019  2 2018 �  C2019  C2019  C2019   C2019 �E  + Từ (2) (3) 3  (  ) 2019 2 2019 2019 2019 (3)  1 4038 2019 Bài tốn 9: Tính tổng: 10 2018 20 C2018 21 C2018 22 C2018 23 C2018 22018 C2018 F      1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 Trong trang này: Bài toán tác giả Hướng dẫn: Cnk C k 1  n 1 k 1 n 1 + Áp dụng công thức(II) 2019 21 C2019 2 C2019 23 C2019 2018 C2019 20 C2019 �F  (      ) 2019 2020 + Áp dụng công thức(II), được: 1 2020 �F  (20 C2020  21 C2020  22 C2020  23 C2020   22018 C2020 ) 2019 2020 1 2020  22 [(20 C2020  21 C2020  22 C2020  23 C2020   22020 C2020 )  (1  2C2020 )] 2019.2020 1  [(1  2) 2020  (1  2.2020)  2019.2020.2 4038 0 1 2 2018 C2018 C2018 C2018 23 C2018 22018 C2018       2.3 3.4 4.5 2019.2020 4038 Vậy 1.2 Bài tốn 10: Tính tổng: Hướng dẫn G + Áp dụng công thức �G  22 n 1 22 n 1 22 n 3 23 21 Cn  Cn  Cn   Cnn 1  Cnn n 1 n n 1 Cnk  Cnn k 22 n 1 n 2 n1 n 1 2 n3 n  23 21 Cn  Cn  Cn   Cn1  Cn0 n 1 n n 1 + Áp dụng công thức (II) Cnk C k 1  n1 k 1 n 1 16 �G   (22 n 1 Cnn11  22 n 1 Cnn1  22 n 3 Cnn11   23 Cn21  2Cn11 )  n 1 [(22 n 1 Cnn11  22 n 1 Cnn1  22 n 3 Cnn11   23 Cn21  2Cn11 ) n 1 + Xét khai triển: (1  x ) n 1  Cn01  xCn11  22 x 2Cn21  23 x 3Cn31   2n 1 x n 1Cnn11 + Thay x = vào khai triển : 5n 1  Cn01  22 Cn11  24 Cn21  26 Cn31   22 n  Cnn11   2( Cn01  2Cn11  23 Cn21  25 Cn31   2 n 1 Cnn11 ) 5n 1 Cn01 5n 1  �G  (  ) n 1 2 2(n  1) n 1 n 1 n 3 2 23 21 5n 1  G Cn0  Cn1  Cn2   Cnn 1  Cnn  n 1 n n 1 2(n  1) Vậy : 11 Trong trang này: Bài tốn 10 có tham khảo TLTK[4] 2.4 Kết đạt Sau dạy xong cho học sinh lớp 11A3 làm kiểm tra để kiểm tra tính khả thi đề tài đối chiếu với kết kiểm tra trước học này, thu kết sau : Đề kiểm tra Bài 1: Tính tổng 1 2016 2017 A  C2018  C2018  C2011   C2018  C2018 2017 2018 a/ 2n2 B  2C2 n  4C2 n  6C2 n   (2n  2)C2 n  2nC22nn b/ Bài 2: a/ Tìm số tự nhiên n biết: 2Cn0  3Cn1  4Cn2   (n  1)Cnn 1  (n  2)Cnn  320 (  x )n b/ Tìm hệ số x20 khai triển x biết: 1 1 Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   (1) n Cnn  n 1 13 Trước học Tổng số học sinh 45 Điểm Giỏi (8-10) 8(17,8%) Điểm Khá (6,5-dưới 8) 15(33,3%) Điểm TB (5- 6) 15(33,3%) Điểm Yếu (3,5- 5) 5(11,1%) Điểm Kém (