skkn giải một số bài toán đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11 thpt xuân mỹ

Nếu như các em phân biệt được sự khác nhau giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp; hơn nữa các em hiểu được trong trường hợp nào thì dùng hoán vị hay chỉnh hợp hay là tổ hợp thì việc giải quy

MỤC LỤC

TRANG

I Lý do chọn đề tài: 2

II Cơ sở lý luận và thực tiễn 1/ Lý luận 3

2/ Cơ sở thực thực tiễn 3

III Tổ chức thực hiện các giải pháp

1/ Mô tả cách thức tổ chức 5

2/ Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải 7

3/ Phân tích, so sánh kết quả 16

IV Hiệu quả đề tài 17

V Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng 18

VI Tài liệu tham khảo 19

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG

CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học

kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các môn học khác Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,

nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp học sinh giải quyết bài toán Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp nào Là một giáo viên THPT trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi,nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 11 nhiều năm Vì đa số học sinh nhận thức còn chậm; tiếp thu kiến thức một cách máy móc Do đó giáo viên cần đi sâu vào phần trọng tâm; đưa ra phương pháp thật là cụ thể cho học sinh dễ hiểu và

dễ nhớ Đại số tổ hợp là một trong những đơn vị kiến thức quan trọng Trong chương trình lớp 11 trong chương trình toán THPT, đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN Đa số các em khi học định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp và

tổ hợp không hiểu và không phân biệt rõ ràng sự khác biệt giữa các định nghĩa này

Do đó khi giải quyết bài toán thì dễ bị nhầm lẫn và không xác định được dạng nào Nếu như các em phân biệt được sự khác nhau giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp; hơn nữa các em hiểu được trong trường hợp nào thì dùng hoán vị hay chỉnh hợp hay là tổ hợp thì việc giải quyết bài toán rất là đơn giãn Do đó sau thời gian trăn

trở trước khó khăn của các em học sinh tôi đã mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Giải một số bài toán đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11”nhằm cải tiến từ giải

pháp đã có, giúp các em tiếp thu kiến thức và giải các bài toán dễ dàng hơn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1/ Cơ sở lý luận:

Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng” Tôi cũng đồng tình với lời khẳng định và bài viết của thầy mà điều này tôi cũng đã từng trăn trở Vai trò của người thầy (cô) giáo trực tiếp giảng dạy môn toán chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải bài toán “Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính” (Trường Đại học Tổng hợp) đã viết “Có thể nói rằng sự linh hoạt trong suy nghĩ là một điều kiện cần thiết để đạt được kết quả tốt trong việc học toán”.Bên cạnh đó việc vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản thuộc chương trình môn học cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu cũng là vấn đề quan tâm của GS “Trần Tuấn Điệp” (Trường ĐHBK Hà Nội)

2/ Cơ sở thực tiễn:

a/ Thuận lợi:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy đa số học sinh muốn nắm vững kiến thức toán học; muốn tìm cho mình một cách học toán sao cho phù hợp với khả năng Các em còn muốn kiến thức mà mình có được phải nhớ lâu và dễ vận dụng vào giải toán.… Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lãnh nhau giữa các đồng nghiệp để trau dồi, nâng cao chuyên môn Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản để giải toán Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, chính xác từng lời giải Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như tìm lời giải một lớp các bài toán về đại số tổ hợp

b/ Khó khăn:

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết Do đó học sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển mà chỉ xét tuyển nên có nhiều học sinh còn yếu về học lực Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở

Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số học sinh vẫn chưa ý thức được việc học Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi Đa số học sinh không

có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông dân có hoàn cảnh khó khăn,sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp gia đình Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt

Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 11 đa số các em gặp khó khăn khi giải toán đại số tổ hợp Cũng như không tìm ra cách giải 1 bài toán cho chính xác Do đó tôi đã đưa ra lời giải một số bài toán giúp các em làm quen Hiện nay phần lớn các em học sinh không chịu đào sâu suy nghĩ, sử dụng kiến thức

đã học một cách máy móc vào giải toán Và các em chỉ biết giải theo những bài toán cụ thể theo một phương pháp nhất định; Không chịu phân tích, tổng quát hoá, bằng cách liên hệ đến các trường hợp tương tự Hay nói một cách đơn giản là không biết đề ra những câu hỏi, những thắc mắc xoay quanh bài toán đó, tự giải quyết và rút ra những kết luận cần thiết

Đại số tổ hợp trong chương trình 11 bài “ Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hơp ” đã được trình bày rõ ràng cụ thể từng phần, thời gian phân phối là 4 tiết Tuy nhiên thời gian như vậy thì không thể làm cho học sinh yếu kém hiểu hết các định nghĩa

về Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp để vận dụng vào giải bài tập chính xác được Các dạng bài tập chưa phong phú, rõ ràng để giúp cho các em rèn luyện được kỹ năng giải toán Đa số các em học sinh ở trường THPT Xuân Mỹ đa số là học sinh yếu, tiếp thu kiến thức còn chậm Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy đa số các em hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp,

… Nói chung khi đọc một bài toán thì các em không biết mình nên áp dụng khái niệm nào để giải; không biết đặt câu hỏi để phân tích chọn ra cách giải chính xác

Ở bài kiểm tra 45 phút của chương này của vài năm trước thì tôi thây kết quả vẫn còn thấp Lý do ở đây là đa phần các em giải bài theo quán tính, chưa xác định rõ phải dùng khái niệm hoán vị - chỉnh hợp hay tổ hợp Hơn nữa một số tác giả trình bày về đại số tổ hợp rất hay và rất đầy đủ nhưng học sinh yếu kém thì không thể hiểu và nhớ hết được Do đó tôi đã quyết định thay thế một phần giải pháp đã có mong rằng giúp các em nắm bắt từ từ các kiến thức một cách chắc chắn hơn trong việc học toán đại số tổ hợp Từ đó nhằm rèn luyện

kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Giải pháp: Nêu lại kiến thức về hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp và phân biệt giữa

chúng để vận dụng vào giải toán đại số tổ hợp

1/ Mô tả cách thức tổ chức:

Vấn đề khó khăn ở đây là học sinh phải hiểu và phân biệt được khi nào thì dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào cần kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( bài toán kết hợp) Từ đó vận dụng vào giải bài tập linh hoạt hơn và chính xác hơn

Các lớp 11A4 và 11A5 năm học 2013 – 2014 mà tôi dạy đa số là học sinh yếu kém Hơn nữa phần lớn các em không chịu khó tự học và tìm tòi, học hỏi từ bạn

bè, thầy cô hay các tài liệu có liên quan Do đó tôi đã vận dụng sáng kiến kinh nghiệm của mình vào tiết dạy bài “ Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp “ giúp học sinh hiểu và vận dụng kiến thức vào giải bài tập được dễ dàng hơn

Trước tiên ta cần cho học sinh đọc các định nghĩa và cần nhớ các công thức về

hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

a HOÁN VỊ:

• Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥1) mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

• Công thức: P n= n! (n ≥1)

• Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 4 chiếc ghế theo hàng

ngang

Từ ví dụ này ta thấy có 4 phần tử và lấy ra 4 phần tử rồi sắp xếp thứ tự 4

phần tử đó Do đó ta dùng hoán vị để tìm số cách sắp xếp chỗ ngồi

Lời giải: Ta sắp xếp thứ tự cho 4 bạn Ta có số cách xếp 4 bạn

vào 4 chiếc ghế theo hang ngang là: P4 = 4! = 24 (cách)

b CHỈNH HỢP:

• Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥1) kết quả của

việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

• Công thức: k

n

A =(n k−n!)! ( 1 ≤ k ≤ n )

• Ví dụ: Từ các chữ số : 2,3,5,7 có bao nhiêu số tự nhiên có ba

chữ số đôi một khác nhau

Cho 4 chữ số nhưng chọn ra 3 chữ số đôi một khác nhau để tạo thành số

tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau Mỗi cách thay đổi thứ tự của 3 chữ số lấy

ra chính là 1 số cần tìm Do đó ta dùng chỉnh hợp chập 3 của 4 như cách giải sau

Lời giải: Ta lấy từ 4 chữ số 2,3,5,7 ra 3 chữ số và sắp xếp theo

thứ tự Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là:

4!

4 (4 3)!

A = − = = 24 ( số)

c TỔ HỢP:

• Định nghĩa: Giả sử tập hợp A có n phần tử (n≥1) mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần

tử đã cho

• Công thức: !

n k

Cn k n k = − (1 ≤ k ≤ n )

• Ví dụ: 1 tổ có 10 bạn , lấy 4 bạn đi quét nhà Hỏi có bao nhiêu

cách chọn

Tập hợp gồm 10 bạn chỉ lấy đi 4 bạn đi quét nhà Trong 4 bạn này không cần

có sự sắp xếp nào cả vì lấy ra 4 bạn chỉ cho ta 1 kết quả Do đó ta phải dùng công thức tổ hợp để tính số cách chọn

Lời giải: Ta lấy từ 10 người ra 4 người và không sắp xếp thứ tự

Số cách chọn 4 bạn đi quét nhà là: C10 4!(10 4)!4 = 10!− =210 ( cách)

Từ các định nghĩa và các ví dụ cụ thể trên ta phải đặt câu hỏi cho việc giải một bài toán bất kỳ để tìm lời giải một cách chính xác nhất Đó là ta phải phân biệt được khi nào thì dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào cần kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( bài toán kết hợp) thì đặt câu hỏi để chọn lựa như sau:

1 Có sắp xếp thứ

tự hay không?

2 Nếu sắp xếp thì

sắp xếp bao nhiêu

phần tử khác

nhau?

Tất cả (n phần tử)

1

n≥

Chỉ k phần tử trong n phần tử ( 1 ≤ k ≤ n )

Chỉ k phần tử trong n phần tử ( 1 ≤ k ≤ n )

Với câu hỏi 1 ta nhận biết được tổ hợp, còn câu hỏi 2 ta nhận biết được hoán

vị và chỉnh hợp Lưu ý cho các em là khi k = n thì chỉnh hợp cũng là hoán vị và ngược lại Các em học sinh khi chưa đặt câu hỏi để phân biệt rõ ràng thì hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp và giải một bài toán rất khó khăn, mơ hồ giữa các phép toán này Sau khi vận dụng sáng kiến này thì đa số các em hiểu rõ hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp hơn; giải quyết bài toán dễ dàng hơn nhiều

2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Sắp xếp các số (không có chữ số 0)

Ví dụ1 : Từ các chữ số của tập A = {1,2,3,4,5 Hỏi: }

a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

c/ Có bao nhiêu tập hợp con gồm 3 phần tử thuộc tập hợp A

Giải :

Để giải bài toán này các em học sinh phải đặt từng câu hỏi như trên để phân biệt dùng hoán vị, chỉnh hợp, hay tổ hợp

Lấy 5 chữ số từ tập hợp gồm 5 phần tử thì dùng hoán vị

a/ Mỗi số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập A ứng với chỉ một hoán vị của 5 phần tử của tập A

Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau là:

P5 = =5! 120 (số)

Có sắp xếp 3 chữ số lấy ra từ tập hợp gồm 5 chữ số là dùng chỉnh hợp chập 3 của 5

b/ Mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập A ứng với chỉ một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập A

Vậy số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là:

A53=(5 3 !−5! ) =60 (số)

Tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A thì không sắp xếp thứ tự 3 phần tử này Khi đó ta dùng tổ hợp để tính số tập hợp

c/ Mỗi tập hợp gồm 3 phần tử hình thành từ tập A ứng với chỉ một tổ hợp chập

3 của 5 phần tử của tập A

Vậy số tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A là:

C5 3! 5 3 !3= ( 5!− ) =10 (tập hợp)

Ví dụ 2: Từ các phần tử của tập hợp B = {3,5,7,9 Hỏi }

a/ Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

b/ Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

c/ Có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử?

Giải:

Bài toán này giải tương tự như ví dụ 1 cho các em tự làm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán

a/ Mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập B ứng với chỉ một hoán vị của 4 phần tử của tập B

Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là:

P4= =4! 24 (số)

b/ Mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập B ứng với chỉ một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử của tập B

Vậy số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là:

A43=(4 3 !4!− ) = =4! 24 (số)

c/ Mỗi tập hợp gồm 2 phần tử hình thành từ tập B ứng với chỉ một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử của tập B

Vậy số tập hợp con gồm 2 phần tử là:

C42=2! 4 2 !( 4!− ) =6 (tập hợp)

Tuy nhiên các em học sinh có thể giải bằng phương pháp dùng qui tắc nhân hoặc cách giải khác vẫn được Ở đây tôi muốn các em phải phân biệt rõ ràng giữa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và biết vận dụng vào giải toán

Dạng 2: Sắp xếp các số (có chữ số 0)

Ví dụ3 : Từ các phần tử của tập hợp A = {0,1,2,3,4,5,6 Hỏi Lập được bao nhiêu }

số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau

Phương pháp:

+ Ta tính số các số có chữ số đầu tiên là 0 ( những số này thực chất coi như

không tồn tại) (1)

+ Ta tính số các số ( kể cả chữ số 0 đứng đầu) (2)

+ Số các số tự nhiên cần tìm là lấy (2) trừ (1)

Giải:

+ Các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà chữ số đầu là 0 có dạng:

0abcde

+ Có 1 cách chọn chữ số 0 đứng đầu

+ 5 chữ số còn lại abcde được chọn trong 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 Có 56 A cách chọn

Vậy có: 1 5A = 566 A số (chữ số đầu là 0 ).

Mặt khác: từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 thì số tự nhiên có 6 chữ số có thể lập

được( kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu) là: 6A7

Vậy ta có số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (Số 0 không đứng đầu) là: 6

7

A - 56 A = 4320 (số)

Dạng 3: Sắp xếp các số (có điều kiện kèm theo)

Ví dụ4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi

a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau b/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau có chữ số hàng đơn vị là 5

Để giải bài tập này chúng ta phải ưu tiên cách chọn chữ số có điều kiện trước Sau đó mới tìm cách chọn cho các chữ số còn lại

Giải: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng: abc

a/ Vì số tự nhiên chẵn nên chữ số tận cùng phải chia hết cho 2

+ Số chẵn thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 4 Vậy c có 2 cách chọn

+ Sau khi chọn 1 số làm c thì ab còn 4 chữ số để mà chọn (trừ số đã chọn làm c) Vậy số cách chọn ab trong 4 số đó sẽ là chỉnh hợp chập 2 của 4: 2 A4

Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 2 2A = 24 (số)4

b/ Vì chữ số hàng đơn vị là 5, khi đó hai chữ số còn lại thì chọn trong các số còn lại ta có:

+ Chữ số hàng đơn vị là 5 nên c có 1 cách chọn

+ Vậy còn 4 chữ số 1,2,3,4 (trừ số 5) để chọn làm ab Vậy số cách chọn ab

trong 4 chữ số đó sẽ là chỉnh hợp chập 2 của 4: 2A4

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau mà chữ số hàng đơn vị

là 5 là: 1 2A = 12 (số)4

Ví dụ 5: Từ các phần tử của tập hợp B = {0,1,2,3, ,9 Hỏi:}

a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau b/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau c/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

Giải:

a/ Số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng: abcde

Số chẵn thì chữ số tận cùng là một trong các chũ số 0,2,4,6,8

+ Nếu e = 0 thì số abcd còn 9 chữ số để mà chọn Vậy số cách chọn số abcd trong 9 chữ số đó là chỉnh hợp chập 4 của 9 là: 4 A9

Vậy có: 1 4A = 49 A số có 5 chữ số ( có chữ số tận cùng là 0)9

+ Nếu c ∈{2,4,6,8} thì c có 4 cách chọn Còn abcd được chọn trong 9 số còn lại (trừ số đã chọn làm c) kể cả trường hợp số 0 đứng đầu Vậy có 4 4A9

+ Nếu c ∈{2,4,6,8} và a = 0 thì c có 4 cách chọn và a có 1 cách chọn;

Còn bcd được chọn trong 8 chữ số còn lại (trừ 2 số đã chọn làm a,c ) là chỉnh hợp

chập 3 của 8 là 3A Vậy có 4.1 388 A = 4 38 A

Vậy: Số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau (số 0 không đứng đầu) = số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau (có tận cùng là

chữ số 0) + số tự nhiên chẵn dạng abcde có các chữ số đôi một khác nhau (kể cả

trường hợp số 0 đứng đầu và chữ số tận cùng khác 0) - số các số tự nhiên chẵn có

dạng 0bcde có các chữ số đôi một khác nhau (trường hợp số 0 đứng đầu và chữ số

tận cùng khác 0)

Ta có: số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là:

4A + 4 49 A – 4 389 A = 13776 (số)