Một số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT (Khóa luận tốt nghiệp)

Một số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPTMột số phương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi muốn gửi lời cảm ơn và tri ân sâu sắc đến thầy Trần MạnhHùng - người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trìnhthực hiện khóa luận tốt nghiệp

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô Trường Đại học QuảngBình, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Khoa học tự nhiên đã dạy dỗ, tạo điềukiện cho tôi trong suốt những năm tháng ngồi trên giảng đường đại học Chínhnhững điều đó đã giúp tôi học được rất nhiều điều bổ ích không những trongchuyên ngành của mình mà trong cả cuộc sống

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị khóa trước,tập thể lớp ĐHSP Toán K56, bạn bè xung quanh và những người đã động viên,giúp tôi vượt qua những khó khăn thử thách Đó chính là động lực để tôi khôngngừng cố gắng học tập và để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

i

Mục lục

MỞ ĐẦU 4

Chương 1 Lý thuyết về tổ hợp 7 1.1 Tập hữu hạn, tập vô hạn 7

1.2 Quy tắc cộng 7

1.3 Quy tắc nhân 8

1.4 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 9

1.4.1 Hoán vị 9

1.4.2 Chỉnh hợp 9

1.4.3 Tổ hợp 10

1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp, tổ hợp lặp 11

1.5.1 Chỉnh hợp lặp 11

1.5.2 Hoán vị lặp 11

1.5.3 Tổ hợp lặp 12

1.6 Nhị thức Newton 12

1.6.1 Công thức nhị thức Newton 12

1.6.2 Các tính chất của công thức nhị thức (a + b)n 12

1.6.3 Các kết quả 13

1.7 Tam giác Pascal 13

Chương 2 Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm 14

1

2.1 Phương pháp đếm trực tiếp 14

2.2 Phương pháp đếm loại trừ 17

2.3 Phương pháp tạo vách ngăn 19

2.4 Phương pháp "dán" phần tử 21

2.5 Phương pháp thêm bớt 22

2.6 Phương pháp liệt kê các trường hợp 26

2.7 Phương pháp song ánh 29

2.8 Phương pháp sử dụng hàm sinh 30

Chương 3 Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về tổ hợp 33 3.1 Sử dụng trực tiếp định nghĩa về tổ hợp để chứng minh các đẳng thức về tổ hợp 33

3.2 Dùng khai triển nhị thức Newton và những kĩ thuật đặc biệt để chứng minh các đẳng thức về tổ hợp 36

3.3 Phương pháp sử dụng tích phân để chứng minh các đẳng thức về tổ hợp 39

3.4 Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh các đẳng thức về tổ hợp 43

3.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski để chứng minh các đẳng thức tổ hợp 46

Chương 4 Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa 49 4.1 Chứng minh một số bài toán chia hết 49

4.2 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình tổ hợp 52

4.3 Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton 61

4.4 Tính tổng 71

2

KẾT LUẬN 76Tài liệu tham khảo 77

3

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học tổ hợp là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về sự liệt

kê, tổ hợp, hoán vị, các tập hợp và các tính chất toán học của chúng Lýthuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán mới vào quảng thế kỉXVII bằng một loạt các công trình nghiên cứu của các nhà toán học Pascal,Fermat, Leibniz, Các bài toán tổ hợp đã có mầm mống từ rất sớm Ngoài

ra, dựa trên luật chơi của cờ tướng và cờ vua, nhiều loại cờ cũng đã ra đời.Chẳng hạn, năm 1525, một người Italia tên là Guarini di Forli đã đặt ra mộtcâu hỏi với kiểu bàn cờ vua 3 × 3 ô, trong đó đặt hai quân mã màu đen vàhai quân mã màu trắng đặt ở bốn góc của bàn cờ sao cho hai quân cùngmàu thì nằm trên một hàng Câu hỏi mà ông đặt ra là: Sau bao nhiêu nước

đi thì kết thúc trò chơi, quân mã một bên sẽ bị bên kia ăn hết? Đây là mộttrò chơi trí tuệ khá thú vị và đến bây giờ vẫn có nhiều người chơi Sau này,người ta đã tính toán được chính xác số bước đi tối thiểu là 16 Chủ đề về tổhợp cũng đã được nghiên cứu từ thế kỷ XVII khi những câu hỏi về tổ hợpđược nêu ra trong những công trình nghiên cứu của các trò chơi may rủi.Năm 1850, Guthrie, người đã có nhận xét có thể dùng bốn màu khác nhau

để tô các tỉnh của nước Anh sao cho không có hai tỉnh kề nhau cùng màu.Giả thuyết này đã thách thức các nhà toán học khoảng hơn một thế kỉ Mãitới tận năm 1977, Appel và Haken mới quy được bài toán qui màu bản đồ

về việc xem xét trên 1900 cấu hình tổ hợp, Từ chỗ chỉ nghiên cứu cáctrò chơi, bài toán về kinh tế xã hội, tổ hợp đã trở thành ngành toán họcphát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.Hơn nữa, tổ hợp cũng là một dạng toán nằm trong chương trình THPT

và có cấu trúc trong các đề thi THPT Quốc gia và cũng là một mảng toánkhó, nhưng lại có ứng dụng nhiều trong cuộc sống hằng ngày

Hiện nay, đa số học sinh đều gặp khó khăn trong việc giải các bài tập

4

có liên quan đến toán tổ hợp Đặc biệt, đội ngũ học sinh giỏi khi tham giacác kì thi cấp tỉnh, cấp quốc gia gặp nhiều lúng túng trong việc giải nhữngbài toán dạng này.

Với lí do trên, tôi đã tìm hiểu và đã chọn nghiên cứu đề tài :"Một sốphương pháp giải các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT".Nhằm cung cấp cho học sinh một hệ thống phương pháp giải các bài toán

tổ hợp từ đó nâng cao khả năng giải toán và tư duy cho học sinh

2 Mục đính nghiên cứu

Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống về các khái niệm, cácphương pháp giải một số bài toán tổ hợp để ứng dụng vào việc giải toán

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là phân loại, đưa ra cácphương pháp toán giải các bài toán đại số tổ hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáotrình về các vấn đề cần nghiên cứu như: phương pháp đếm, phương phápgiải các bài toán chứng minh đẳng thức,

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Các ý kiến của giảng viên hướngdẫn và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên,Trường Đại học Quảng Bình

5 Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn

Việc giải các bài toán tổ hợp có ý nghĩa lớn trong các ngành, các lĩnhvực khác nhau như: công nghệ - thông tin, kinh tế,

Ngoài ra, đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh hay nhữngsinh viên chuyên ngành Toán, đặc biệt là những bạn đam mê Olympic Toán.Với bản thân, qua việc nghiên cứu đề tài em đã hệ thống cũng như ôn tậplại những kiến thức đã học về các phương pháp giải các bài toán về tổ hợp

5

6 Bố cục khóa luận

Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu thamkhảo, nội dung khóa luận được trình bày gồm 4 chương:

Chương 1: Lý thuyết tổ hợp

Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán tổ hợp đếm

Chương 3: Một số phương pháp chứng minh các đẳng thức về tổ hợpChương 4: Một số dạng toán khác và các ví dụ minh họa

6

Nếu tập S không là tập hữu hạn thì ta nói tập S vô hạn.

Tập hợp tương đương: Các tập hợp tương đương, còn được gọi là tập hợpđẳng lực, là các tập hợp mà giữa các phần tử của chúng có thể thiết lập quan

hệ tương đương, tức quan hệ tương ứng một-một (song ánh)

Nhận xét 1.1.1 Hai tập hợp có cùng lực lượng khi và chỉ khi tồn tại mộtsong ánh từ tập hợp này vào tập hợp kia

Có n2 cách thực hiện phương án A2

Có nk cách thực hiện phương án Ak

Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1 + n2 + + nk cách

• Quy tắc cộng được phát biểu dưới dạng tập hợp

Nếu tập hợp hữu hạn A là hợp của n tập đôi một rời nhau A1, A2, , An

thì:

| A |=| A1 | + | A2 | + + | An |

Chú ý Cho hai tập hợp A và B, A ∩ B 6= ∅ nếu cộng số phần tử của A với số

phần tử của B thì số phần tử của A ∩ B sẽ được tính hai lần Do đó, ta có quy

tắc cộng mở rộng đối với hai phần tử:

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử một công việc nào đó bao gồmk công đoạnA1, A2, , Ak

Công đoạn n1, có thể thực hiện theo A1 cáchCông đoạn n2, có thể thực hiện theo A2 cách

.Công đoạn nk, có thể thực hiện theo Ak cáchKhi đó, công việc có thể được thực hiện bởi n1n2 nk cách

• Quy tắc nhân được phát biểu dưới dạng tập hợp

Nếu A1, A2, , An là các tập hợp hữu hạn bất kì và A1 × A2 × × An

là tích Descartes của n tập hợp đó thì:

8

Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full