skkn sử DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC để GIẢI NHANH một số bài TOÁN DAO ĐỘNG điều hòa TRONG CHƯƠNG TRÌNH vật lí12 THPT

Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải các bài tập dao động đã thỏa mãn được điều đó.. Tuy nhiên, hầu hết các tác giả chưa hoặc còn ít đề cập đến

kĩ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng Bởi vậy, với mỗi bài toán đề ra, người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà phải tìm cách giải nhanh nhất có thể

Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải các bài tập dao động đã thỏa mãn được điều đó Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng nắm được thuần thục và nhanh nhạy công cụ này do các em rất lúng túng khi dùng đường tròn lượng giác và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động này Trên thực tế, đã có khá nhiều đề tài nghiên cứu xung quanh vấn đề này và đã thu được một số kết quả nhất định Tuy nhiên, hầu hết các tác giả chưa hoặc còn ít đề cập đến bài toán vận dụng trực tiếp đường tròn lượng giác cho việc dùng hệ trục Oxv (dao động cơ), hệ trục Ouu’ (trong điện xoay chiều) … Và hầu hết các đề tài mới chỉ đề cập đến việc vận dụng mối liện hệ đó để giải quyết các bài toán trong chương dao động cơ, còn ít đề cập đến các chương khác Nên việc sử dụng những kỹ năng giải nhanh các bài tập là rất cần thiết

- Trong chương trình vật lí lớp 12 có 4 chương học liên quan đến các đại lượng được biểu thị bằng các hàm số điều hoà (dạng hàm số cosin hay sin)

Đó là các chương:

Chương 1: Dao động cơ

Chương 2: Sóng âm và sóng cơ

Chương 3: Dòng điện xoay chiều

Chương 4: Dao động và sóng điện từ

Các đại lượng biểu thị bằng hàm số điều hoà thường gặp: li độ x, vận tốc v, gia tốc a, lực kéo về ???F kv

, động năng, thế năng; phương trình truyền sóng, cường độ dòng điện, hiệu điện thế, suất điện động cảm ứng, từ thông, điện tích tụ điện, năng lượng điện trường của tụ điện, năng lượng từ trường của

cuộn cảm Học sinh được học khá nhiều trong môn Toán về kiến thức các hàm số lượng giác (hàm sin, cosin, tan, cot) ở lớp 11

b Cơ sở thực tiễn

- Lượng kiến thức, số câu hỏi trong các đề thi hiện nay liên quan đến hàm điều hoà là tương đối nhiều Số lượng các bài tập trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học hàng năm liên quan đến các đại lượng biểu thị theo hàm số điều hoà khá nhiều

- Qua một số năm giảng dạy và ôn thi Đại học cho học sinh tôi thấy rằng nếu giải theo cách truyền thống mất khá nhiều thời gian, cho nên rất cần có những phương pháp giải nhanh cho các bài tập loại này góp phần đáp ứng yêu cầu hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Học sinh đã được trang bị khá tốt kiến thức các hàm số lượng giác, đặc biệt là đường tròn lượng giác trong môn toán

Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT

SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TRONG CHƯƠNG TRÌNH

- Thông qua đề tài rèn luyện, phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các kiến thức của phần lượng giác trong toán học Hàm số điều hoà, đồ thị hàm điều hoà, đường tròn lượng giác

- Kiến thức Vật lí, các đại lượng biến thiên điều hoà thuộc các chương 1,2,3,4 trong sách giáo khoa Vật lí 12

- Học sinh: lớp 12A, 12E, 12G

4 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài này tôi chọn phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu Đọc các sách giáo khoa phổ thông sách

tham khảo phần: “Dao động điều hòa, sóng cơ học, sóng điện từ, dòng điện xoay chiều…”

- Phương pháp thống kê Chọn các bài có trong chương trình phổ thông, các bài thường gặp trong các kì thi

- Phương pháp phân tích và tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

I Cơ sở lý thuyết áp dụng trong chuyên đề:

1 Kiến thức về đường tròn lượng giác

2 Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều

- Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn và

có độ lớn vận tốc không thay đổi

- Các đại lượng đặc trưng trong chuyển động tròn đều: Bán kính R, chu kì

- Đường tròn lượng giác (vòng tròn

lượng giác): Là đường tròn tâm O, có

bán kính quy ước R = 1 đơn vị độ dài

Trên đường tròn gắn hệ trục toạ độ Oxy,

trục hoành Ox biểu diễn giá trị hàm số

cosin, trên trục tung Oy biểu diễn giá trị

hàm số sin

- Quy ước góc lượng giác tăng theo

chiều ngựơc kim đồng hồ; chiều dương

góc lượng giác ngược kim đồng hồ,

chiều âm góc lượng giác cùng chiều kim

đồng hồ

- Với một chất điểm chuyển động tròn đều, muốn xác định vị trí ta phải chọn một trục Ox trên đường tròn làm mốc

- Vị trí ban đầu của vật là M0, xác định bởi góc φ, với tốc độ góc ω, vào thời điểm t vật đến vị trí M, có tọa độ xác định bởi góc α = ωt + φ (1)

- Lưu ý rằng trong dao động điều hòa tần số góc ω luôn dương, dẫn đến góc quay ωt luôn dương nên vật luôn chuyển động theo chiều dương ngược chiều kim đồng hồ

- Ta có thể tạo mối liên hệ về hình thức của phương trình này với phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều x=xo +vt Việc này có tác dụng giúp cho học sinh tiếp thu tốt khi phải tiếp xúc với một hình thức có phần lạ lẫm của phương trình (1)

Các đại lượng tương ứng giữa chuyển động tròn đều

Gọi P là hình chiếu của điểm M lên

trục Ox trùng với một đường kính của

đường tròn và gốc O trùng với tâm của

đường tròn Ta thấy P dao động trên Ox

quanh gốc toạ độ O Vị trí ban đầu của P là

điểm P0 xác định: x0= OP0= Acosφ

vị trí P ở thời điểm t xác định bởi:

x = OP=Acos(ωt+φ)

+ Li độ là hàm cosin nên được biểu diễn bằng

trục cosin có chiều dương hướng từ trái sang phải với biên độ là A

+ Vận tốc là hàm trừ sin nên được biểu diễn bằng trục ngược với trục sin có chiều dương hướng từ trên xướng dưới với biên độ là A

+ Gia tốc là hàm trừ cosin nên được biểu diễn bằng trục ngược với trục cosin có chiều dương hướng từ phải sang trái với biên độ là 2A

* Ý nghĩa

+ Khi ta biễu diễn một trong 3 đại lượng x, v, a ta có thể xác định được

ngay hai đại lượng còn lại một cách nhanh chóng

+ Từ hình vẽ có thể nhận biết được nhiều thông tin bổ ích về tích chất của một vật dao động điều hòa

Sự tương ứng các đại lượng trong chuyển động tròn đều và

dao động điều hoà

Chuyển động tròn đều Dao động điều hoà

Góc ban đầu: φ Pha ban đầu: φ

Góc ở thời điểm t: ωt + φ Pha dao động ở thời điểm t: ωt + φ

Góc quét của bán kính: α = ωt Góc pha thay đổi trong khoảng thời gian t: α = ωt

3 Sự tích hợp giữa đường tròn lượng giác với kiến thức vật lí liên quan

- Xét một dao động điều hoà có: Phương trình dao động: x = Acos(ωt+φ) Trong dao động ta quan tâm nhiều đến các vị trí đặc biệt ứng với các góc pha

đặc biệt Có 9 vị trí tương ứng với các góc pha: 0 0 , ±30 0 , ±45 0 , ±60 0 , ±90 0 , ±120 0 , ±135 0 , ±150 0 , 180 0

a

Các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà

Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các vị trí đặc biệt

- Tại các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà thì các đại lượng như lực kéo

về, vận tốc, gia tốc, động năng, thế năng đều có những giá trị và những liên hệ đặc biệt; việc nắm vững đặc điểm các vị trí này để giải nhanh các bài tập

Lực kéo về: F = -kx = - kAcos(ωt+φ) (giá trị lực kéo về lớn nhất Fm = kA) Gia tốc: a = -ω2Acos(ωt+φ) = -ω2x (giá trị gia tốc lớn nhất am= ω2A)

-1350 -1500



 2



 3

2

 4

3

 6

Giá trị các đại lượng ở các vị trí đặc biệt

lớn

Phần trăm

Độ lớn

Phần trăm

So sánh

2

A

2

m F

2

m a

2

m V

2

m a

m

V 2

2

m a

m

V 2

2

m a

2

m V

Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các đại lượng

- Vật chuyển động tròn đều trong thời gian ∆t, góc quét của bán kính là α

Các công thức trên được vận dụng thường xuyên

trong quá trình giải bài tập dao động điều hoà,

với α = Pha cuối φc- Pha đầu φđ = ω∆t

4 3

Lưu ý: Tất cả các liên hệ trên đều có thể vận dụng cho dao động điện từ

Tôi nhận thấy sự tương ứng giữa mạch dao động điện từ LC và dao động

cơ điều hòa dù đã được giảm tải, song do dao động điện từ chỉ được học trong thời gian ngắn, học sinh thường quên phương thức vận động của mạch và các công thức để làm bài tập, nên tôi cho cho rằng việc ghi nhận các đại lượng tương ứng giữa hai loại dao động sẽ dễ dàng suy ra các kết quả của dao động điện từ từ các kết quả tương ứng của dao động cơ học

Li độ x = Acos(ωt+φ) Điện tích q = Q0cos(ωt+φ), q = Cu

Vận tốc v = x’= -ωAsin(ωt+φ) Cường độ dòng điện i = q, = -Q0sin(ωt+φ) Động năng Wđ = 2

II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 1: Xác định pha ban đầu để viết phương trình dao động điều hòa

1 Phương pháp truyền thống

- Pha ban đầu phụ thuộc vào cách chọn mốc thời gian t0 = 0

- Xác định các thông số của trạng thái mốc thời gian x0, v0

- Giải hệ phương trình lượng giác ở thời điểm mốc thời gian

2 Phương pháp đường tròn lượng giác

- Xác định li độ x0 tại thời điểm gốc thời gian t0 = 0

- Từ vị trí x0 dựng đường thẳng (d)Ox (d) cắt

đường tròn lượng giác tại hai vị trí góc và 

- Hai giá trị và là pha ban đầu của dao động

pha  ứng với trạng thái ban đầu chuyển động theo chiều âm,

pha  ứng với trạng thái ban đầu chuyển động theo chiều dương

- Trong đó

A

x0

cos cos    

3 Bài tập áp dụng

Bài 1: Một vật dao động điều hoà với tần số góc 10 5 rad/s Tại thời điểm t

= 0 vật có li độ 2cm và có vận tốc v = -20 15cm/s Phương trình dao động của vật là:



v x

15 20

b) Phương pháp đường tròn lượng giác

- Gốc thời gian được chọn tại vị trí



 (d)

Bài 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(t + ) Thời

điểm ban đầu vật qua vị trí có li độ x = - 2 3cm và động năng của vật đang tăng Xác định pha ban đầu ?

Thay điều kiện ở mốc thời gian t0 = 0, ta được hệ phương trình sau:

Khi t = 0 thì x = - 2 3 - 2 3 = 4cosφ cosφ = 2 3

b) Phương pháp đường tròn lượng giác

- Gốc thời gian được chọn tại vị trí x0 = -2 3= - A

2

3 2

- Do ở mốc thời gian động năng tăng nên độ

lớn vận tốc tăng, vật đi về vị trí cân bằng tức

là đi theo chiều dương, do đó pha ban đầu âm

Vậy φ =

6

5

 Đáp án A

*Kết luận Việc giải phương trình lượng giác trong nhiều trường hợp mất

nhiều thời gian Sử dụng đường tròn lượng giác khi đã quen cho kết quả nhanh hơn và trực quan

Dạng 2: Xác định số lần qua một trạng thái x đã biết

* Thay t1 và t2 vào điều kiên: t1 < t ≤ t2  Phạm vi giá trị của k (Với k  Z)

* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó

2 Giải pháp đường tròn lượng giác

- Xác định vị trí pha ban đầu φđ = φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm Đ

- Xác định pha cuối cùng φc = ωt + φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm C

- Xác định góc pha tương ứng của vị trí x: từ x dựng đường thẳng (d)Ox, (d) cắt đường tròn tại hai điểm M, N

Trong n chu kỳ số lần vật qua vị trí x 2n lần, xét trong phần góc lẻ φ l vật chuyển động tròn đều tương ứng từ điểm đầu Đ đến điểm cuối C; khi đó có đi qua M và N nữa không

Nếu từ Đ đến C không gặp M,N thì kết quả là: 2n lần

Nếu từ Đ đến C chỉ gặp một trong hai điểm M,N thì kết quả là: (2n + 1)lần Nếu từ Đ đến C gặp M,N thì kết quả là: (2n + 2) lần

hay φ c = n.2+ φ l , với n là số chu kỳ

- Trong mỗi chu kỳ vật qua mỗi vị trí biên một

3 Bài tập ví dụ

Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(5t

/3) (cm; s) Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t = 0 Chất điểm qua vị trí có

li độ x = + 1,5 cm mấy lần

A 7 lần B 6 lần C 5 lần D.4 lần

Bài giải a) Phương pháp truyền thống

Giải phương trình: 3cos(5t /3) = + 1,5 ↔ cos(5t /3) = 0,5

5t1 /3 = /3 + k12 5t1 = 2/3 + k12 t1= 2/15 + 2k1/5 5t2 /3 = /3 + k22 5t2 = k22 t2= 2k2/5

Thay vào điều kiện trong giây đầu tiên: 0 < t ≤ 1

- Vị trí x = + 1,5 ứng với góc pha 600 (điểm M) và -600 (điểm N)

- Từ Điểm Đ quay đến C qua M, nên số lần vật dao động

Qua vị trí x = 1,5cm trong giây đầu tiên là: 2n + 1 = 2.2 + 1 = 5 (lần)

Bài 2: Một vật dao động điều hoà có phương trình 2cos(4 )( )

 t = 3 ↔

4

3 6 4

4 t  k

2 8

4 t   k

2 24

Vậy có 16 giá trị của k phù hợp, tức là có 16 lần vật qua vị trí động năng bằng

3 lần thế năng trong 2 giây đầu tiên

b) Phương pháp đường tròn lượng giác

- Vị trí có Wđ = 3Wt là các vị trí A/2, và –A/2

các vị trí này biểu diễn tương ứng trên đường

tròn lượng giác tại các điểm M,N,P,Q

- Vị trí pha ban đầu Đ(-300),

- Góc pha cuối sau 2 giây:

φc = 1410 0

6

47 6 2

3

1410   → n = 3, φt = 3300

Vị trí pha cuối C(3300), C trùng với Đ, trong 2 giây đầu chuyển động tròn đều tương ứng được 3 vòng và vòng cuối đi qua đủ 4 điểm M, N, P, Q Vậy có 3.4 + 4 = 16 lần

Bài 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t +

6



) cm Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương

A 9/8 s B 11/8 s C 5/8 s D 1,5 s

Bài giải a) Phương pháp truyền thống

b) Phương pháp đường tròn lượng giác

Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua M2.Qua M2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M0 đến M2

* Kết luận: Trong bài toán này việc giải phương trình lượng giác là dài và

khó khăn khi nghiệm là vị trí góc pha không rơi vào các góc đặc biệt

Dạng 3: Xác định khoảng thời gian để vật đi từ trạng thái 1 sang trạng thái 2

M0

- Hiệu chỉnh khoảng thời gian từ t1 đến t2 rút ra kết quả: t = t2min – t1min

- Nếu tính thời gian ngắn nhất để đi từ vị trí x1 đến vị trí x2 thì khi giải hệ các phương trình trên cần lưu ý vận tốc ở các vị trí phải xét trường hợp cùng chiều từ x1 đến x2

- Có thể chọn lại mốc thời gian t0 = 0 tại khi vật ở trạng thái 1, giải phương trình lượng giác trạng thái 1 để được pha ban đầu mới Khi đó ta lấy t1 = 0, sau đó giải phương trình lượng giác ở trạng thái 2 với phương trình pha ban đầu mới xác định t2

2 Phương pháp đường tròn lượng giác

- Trạng thái 1 được biểu diễn bằng điểm M trên đường tròn lượng giác có góc pha φ1

- Trạng thái 2 được biểu diễn bằng điểm N trên đường tròn lượng giác có góc pha φ2

- Góc quét của bán kính chuyển động tròn đều trên cung MN là góc α Thời gian dao động điều hoà từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 bằng thời gian vật chuyển động tròn đều tương ứng quét hết cung α

- Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x1 = 2cm đến x2 = 2 3cm thì vận tốc v1

và v2 cùng chiều từ x1 = 2cm đến x2 = 2 3cm, tức là cùng chiều dương

- Giải hệ phương trình lượng giác:

x = x1 2

3

2 4 , 0 cos

x = x2 2 3

3

2 4 , 0 cos

5 4

A

2 2

2 2

12

2

22

U U





6



- Vẽ đường tròn lượng giác, xác định các

góc biểu diễn các trạng thái như hình vẽ

- Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x1 = 2cm

đến x2 = 2 3cm bằng thời gian chuyển động

tròn đều tương ứng quét hết cung MN? = α = 300

* Kết luận Qua bài toán trên chúng ta

thấy rằng từ một bài toán chúng ta có thể khai thác từ nhiều khía cạnh khác

nhau để học sinh có thể tư duy sáng tạo

Bài 3 Đặt điện áp: u U 2 cos(100 t) vào hai đầu một mạch điện xoay

chiều gồm cuộn dây thuần cảm độ tự cảm L = 0,5π (H) mắc nối tiếp với tụ điện

có điện dung

4

1 0 ( )





 Tại thời điểm t, cường độ dòng điện và điện áp

qua mạch là i = 2A; u = 200V Giá trị của U là:

  sin2(100πt) =

2

22

Từ u = U 2 cos(100πt)  cos2(100πt) =

2

22

Sin2α + cos2α = 1 suy ra U ≈ 158 V Đáp án A

* Kết luận Từ bài toán trên chúng ta có thể đặt thêm một số giả thiết và đưa

ra các yêu cầu khác của bài toán nhằm phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh

Bài 4: Một mạch dao động LC có L=2mH, C=8pF, lấy 2=10 Thời gian ngắn nhất từ lúc tụ bắt đầu phóng điện đến lúc có năng lượng điện trường bằng ba lần năng lượng từ trường là:

- Trước hết phải lập phương trình điện tích: qQ0cos  t 

Theo các dữ kiện đề bài ta lập được: 6

10 5 ,

Chọn mốc thời gian là lúc tụ bắt đầu phóng điện; giải hệ điều kiện ban đầu

0

0  cos 2 , 5 10  sin 2 , 5 10

- Sau đó giải phương trình lượng giác: Eđ = 3Et, rút ra 4 họ nghiệm, mỗi họ nghiệm xác định giá trị t thứ nhất (với điều kiện t > 0); kết quả là giá trị nhỏ nhất trong 4 giá trị trên: t = 6

10 15

(s)

b) Sử dụng đường tròn lượng giác

- Vẽ đường tròn lượng giác như hình bên vị trí M ứng với thời điểm tụ bắt đầu phóng điện (vị trí biên) Vị trí N ứng với thời điểm Eđ = 3Et (vị trí 3

5 , 2

1 30 360

10

Tại thời điểm t: Ta có

A



1 300

- Theo nhận xét về trạng thái đầu ta tách:

12 12 6

T T T

U

* Kết luận Bài toán loại này giải bằng phương trình lượng giác là khá dài, có

nhiều họ nghiệm nên việc biện luận cũng mất nhiều thời gian Còn phương án đường tròn lượng giác cho kết quả nhanh

Lược đồ thời gian