Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm vật lý

Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả bằng ngôn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT VĨNH TƯỜNG

CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN

TRẮC NGHIỆM VẬT LÍ.

Đối tượng bồi dưỡng: học sinh lớp 12

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 09 tiết

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở khoa học của vấn đề nghiên cứu

a) Cơ sở lý luận.

- Vật lý là môn khoa học cơ bản nên việc dạy vật lý trong trường phổ thông phải giúp

học sinh nắm được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bộ môn, mối quan hệ giữa vật lý và các môn khoa học khác để vận dụng các quy luật vật lý vào thực tiễn đời sống Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học sinh phải biết vận dụng tốt toán học vào vật lý để trả lời nhanh, chính xác các dạng bài tập vật lý nhằm đáp ứng tốt các yêu cầu ngày càng cao của các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐH, cao đẳng Vấn đề đặt ra là với số lượng lớn các công thức vật lý trong chương trình THPT làm sao nhớ hết để vận dụng, trả lời các câu hỏi trong khi đề thi trắc nghiệm phủ hết chương

trình, không trọng tâm, trọng điểm, thời gian trả lời mỗi câu hỏi quá ngắn, (trung bình

không quá 1,8 phút/câu) nên việc có những kỹ năng giải nhanh các bài tập là rất cần

thiết

- Trong chương trình vật lí lớp 12 có 4 chương học liên quan đến các đại lượng được biểu thị bằng các hàm số điều hoà (dạng hàm số cosin hay sin) Đó là các chương:

Chương 1: Dao động cơ

Chương 2: Sóng âm và sóng cơ

Chương 3: Dòng điện xoay chiều

Chương 4: Dao động và sóng điện từ

Các đại lượng biểu thị bằng hàm số điều hoà thường gặp: li độ x, vận tốc v, gia tốc a, lực kéo về Fuurkv , động năng, thế năng; phương trình truyền sóng, cường độ dòng điện, hiệu điện thế, suất điện động cảm ứng, từ thông, điện tích tụ điện, năng lượng điện trường của tụ điện, năng lượng từ trường của cuộn cảm

- Học sinh được học khá nhiều trong môn Toán về kiến thức các hàm số lượng giác (hàm sin, cosin, tan, cot) Gồm 2 chương trong sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp11: Chương 1: Hàm số lượng giác

Chương 2: Phương trình và hệ phương trình lượng giác

b) Cơ sở thực tiễn

- Lượng kiến thức, số câu hỏi trong các đề thi hiện nay liên quan đến hàm điều hoà là tương đối nhiều Số lượng các bài tập trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học hàng năm liên quan đến các đại lượng biểu thị theo hàm số điều hoà khá nhiều

- Qua một số năm giảng dạy và ôn thi đại học cho học sinh tôi thấy rằng nếu giải theo cách truyền thống mất khá nhiều thời gian, cho nên rất cần có những phương pháp giải nhanh cho các bài tập loại này góp phần đáp ứng yêu cầu hình thức thi trắc nghiệm hiện nay Học sinh đã được trang bị khá tốt kiến thức các hàm số lượng giác, đặc biệt là đường tròn lượng giác trong môn toán

Với những lí do trên tôi viết chuyên đề:

“ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC GIẢI NHANH MỘT SỐ

BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VẬT LÍ”

2

Mục đích:

- Giúp học sinh hình thành kỹ năng giải nhanh một số bài toán vật lí bằng cách sử dụng đường tròn lượng giác

- Giúp học sinh nhận thức sâu sắc việc áp dụng kiến thức toán học phù hợp để giải toán vật lí.

- Chỉ ra các mối quan hệ trực quan của các đại lượng vật lý, phương pháp, thủ thuật sử dụng các công thức này để giải nhanh nhất, chính xác nhất các bài tập

- Thông qua đề tài rèn luyện, phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :

- Kiến thức Toán: Hàm số điều hoà, đồ thị hàm điều hoà, đường tròn lượng giác

- Kiến thức Vật lí: Các đại lượng biến thiên điều hoà thuộc các chương 1,2,3,4 trong sách giáo khoa Vật lí 12

- Học sinh: lớp 12A1, 12A3, 12A5

B NỘI DUNG:

I Cơ sở lý thuyết áp dụng trong chuyên đề:

1 Kiến thức về đường tròn lượng giác

- Đường tròn lượng giác (vòng tròn lượng giác): Là đường tròn tâm O, có bán kính quy ước R = 1 đơn vị độ dài Trên đường tròn gắn hệ trục toạ độ Oxy, trục hoành Ox biểu diễn giá trị hàm số cosin, trên trục tung Oy biểu diễn giá trị hàm số sin

- Quy ước góc lượng giác tăng theo chiều ngựơc kim đồng hồ; chiều dương góc lượng giác ngược kim đồng hồ, chiều âm góc lượng giác cùng chiều kim đồng hồ

- Giữa giá trị các góc lượng giác đặc biệt và giá trị các hàm cosin, sin được biểu diễn như trên hình vẽ: toạ độ (x, y) = (cosθ, sinθ)

2 Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều

- Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn và có độ lớn vận tốc không thay đổi

- Các đại lượng đặc trưng trong chuyển động tròn đều: Bán kính R, chu kì T, tần số

f, tốc độ góc ω, và tốc độ dài v

ω ω

π π

π ω

(1,0) cos (-1,0)

1 , 2

1 , 2 3

1 , 2

1 , 2 3







 2

2 , 2 2

2 , 2 2

2 , 2 2







 2

3 , 2

3 , 2 1

3 , 2

3 , 2 1

sin

0 0 = 0π = 2π

180 0 = π

30 0 = π /6

-30 0 =-π /6

-45 0 =-π /4 -60 0 =-π /3

45 0 = π /4

60 0 = π /3

-150 0 =-5π /6

150 0 = 5π /6

-135 0 =-3π /4

135 0 = 3π /4

-120 0 =-2π /3

120 0 = 2π /3

-90 0 = - π/2

90 0 = π /2

- Với một chất điểm chuyển động tròn đều, muốn xác định vị trí ta phải chọn một trục Ox trên đường tròn làm mốc

Vị trí ban đầu của vật là Mo, xác định bởi góc φ, với tốc độ góc ω, vào thời điểm t vật đến vị trí M, có tọa độ xác định bởi góc α = ωt + φ (1)

- Lưu ý rằng vật luôn chuyển động theo chiều dương ngược chiều kim đồng hồ vì trong dao động điều hòa tần số góc ω luôn dương, dẫn đến góc quay ωt luôn dương

- Ta có thể tạo mối liên hệ về hình thức của phương trình này với phương

trình của chuyển động thẳng biến đổi đều x=xo +vt Việc này có tác dụng

giúp cho học sinh tiếp thu tốt khi phải tiếp xúc với một hình thức có phần lạ

lẫm của phương trình (1)

Bảng 1 Các đại lượng tương ứng giữa

chuyển động tròn đều và chuyển động thẳng đều

Gọi P là hình chiếu của điểm M lên trục Ox

trùng với một đường kính của đường tròn và

gốc O trùng với tâm của đường tròn Ta thấy

P dao động trên Ox quanh gốc toạ độ O

vị trí ban đầu của P là điểm P0 xác định x0= OP0= Acosφ

vị trí P ở thời điểm t xác định bởi x = OP=Acos(ωt+φ)

Vì hàm sin hay hàm cosin là hàm điều hoà, nên dao động của P là một dao động điều hoà trên quỹ đạo P1P2 = 2A

Kết luận về liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều:

Điểm P dao động điều hoà trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của mộ điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó

Bảng 2 Sự tương ứng các đại lượng trong chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Chuyển động tròn đều Dao động điều hoàBán kính R Biên độ dao động A

Tần số f Tần số fTốc độ góc ω Tần số góc ωGóc ban đầu: φ Pha ban đầu: φGóc ở thời điểm t:

ωt+φ

Pha dao động ở thời điểm t:

ωt+φGóc quét của bán kính

α=ωt

Góc pha thay đổi trong khoảng thời gian t:

α=ωt

3 Sự tích hợp giữa đường tròn lượng giác với kiến thức vật lí liên quan

- Xét một dao động điều hoà có: Phương trình dao động: x = Acos(ωt+φ)

x

Trong dao động ta quan tâm nhiều đến các vị trí đặc biệt ứng với các góc pha đặc

biệt Có 9 vị trí tương ứng với các góc pha: 0 0 , ±30 0 , ±45 0 , ±60 0 , ±90 0 , ±120 0 , ±135 0 ,

Hiệu dụng dương

Lưu ý: Để dễ nhớ các vị trí đặc biệt tôi đưa ra tên gọi như trên, và quy ước gọi tên như

vậy trong toàn bộ đề tài Các vị trí cân bằng, biên âm, biên dương được hiểu từ trong dao động điều hoà; vị trí nửa biên vì li độ bằng một nửa giá trị biên, vị trí hiệu dụng được hiểu nhờ khái niệm hiệu dụng các đại lượng điện xoay chiều (giá trị hiệu dụng = giá trị cực đại/ 2), vị trí không tên được đặt tên như vậy vì vị trí này không có tên gì đặc biệt 9 vị trí này cũng thường gặp trong nhiều bài toán

- Do dao động điều hoà có thể biểu diễn bằng chuyển động tròn đều tương ứng,

chuyển động tròn đều được biểu điễn qua đường tròn lượng giác; do vậy biểu diễn dao động điều hoà qua đường tròn lượng giác, nhất là các vị trí đặc biệt giúp học sinh nhận thấy trực quan hơn các tính chất trong dao động; qua đó khi giải các bài toán về dao động điều hoà có thể dùng các điểm đặc biệt trên đường tròn lượng giác để xác định các liên hệ của dao động điều hoà Điều này rất phù hợp với các bài toán liên quan đến thời gian, vận tốc trung bình, quãng đường, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, sự biến thiên năng lượng trong dao động.

Các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà

Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các vị trí đặc biệt

Lực kéo về: F = -kx = - kAcos(ωt+φ) (giá trị lực kéo về lớn nhất Fm = kA)

Gia tốc: a = -ω2Acos(ωt+φ) = -ω2x (giá trị gia tốc lớn nhất am= ω2A)

Bảng 4: Giá trị các đại lượng ở các vị trí đặc biệt

Phần trăm

Độ lớn

Phần trăm

Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các đại lượng

- Vật chuyển động tròn đều trong thời gian ∆t, góc quét của bán kính α

+ ω =2Tπ =∆αt (ω là tốc độ góc, α là góc quay trong khoảng thời gian ∆t)

Các công thức trên được vận dụng thường

xuyên trong quá trình giải bài tập dao động điều hoà,

với α = Pha cuối φc- Pha đầu φđ = ω∆t

Lưu ý: Tất cả các liên hệ trên đều có thể vận dụng cho dao động điện từ

Tôi nhận thấy sự tương ứng giữa mạch dao động điện từ LC và dao động cơ điều hòa

dù đã được giảm tải, song do dao động điện từ chỉ được học trong thời gian ngắn, học

sinh thường quên phương thức vận động của mạch và các công thức để làm bài tập, nên tôi cho cho rằng việc ghi nhận các đại lượng tương ứng giữa hai loại dao động sẽ dễ dàng suy ra các kết quả của dao động điện từ từ các kết quả tương ứng của dao động cơ học

Dao động cơ điều hoà Dao động điện từ

Li độ x = Acos(ωt+φ) Điện tích q = Q0cos(ωt+φ), q = Cu

Vận tốc v = x’= -ωAsin(ωt+φ) Cường độ dòng điện i = q, = -Q0sin(ωt+φ)

II Các dạng bài tập cơ bản:

Dạng 1: Xác định pha ban đầu của hàm số điều hoà

1 Sơ lược về bài toán

- Đây là loại bài toán muốn xác định pha ban đầu của một hàm số điều hoà φ, qua đó khai thác thêm các thông tin về trạng thái gốc thời gian như li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về, động năng, thế năng, chiều dao động: Các đại lượng trên ở gốc thời gian được

kí hiệu x0, v0, a0, F0,Wđ0,Wt0

- Bài toán xác định pha có thể chỉ là một phần trong bài toán khác, qua việc xác định pha ban đầu sẽ cho kết quả bài toán đó

2 Phương pháp truyền thống

- Pha ban đầu phụ thuộc vào cách chọn mốc thời gian t0 = 0

- Xác định các thông số của trạng thái mốc thời gian x0, v0, a0, F0,Wđ0,Wt0

- Giải hệ phương trình lượng giác ở thời điểm mốc thời gian

Khi t = 0 thì x = x0 x0 = Acosφ cosφ =

3 Giải pháp đường tròn lượng giác

- Xác định li độ x0 tại thời điểm gốc thời gian t0 = 0

- Từ vị trí x0 dựng đường thẳng (d)⊥Ox

(d) cắt đường tròn lượng giác tại hai vị trí ϕ +và ϕ−

- Hai giá trị ϕ +và ϕ −là pha ban đầu của dao động

điều hoà; pha ϕ + ứng với trạng thái ban

đầu chuyển động theo chiều âm, pha ϕ − ứng với

trạng thái ban đầu chuyển động theo chiều dương

- Trong đó

A

x0

cos cos ϕ+ = ϕ− =

4 Bài tập ví dụ:

Bài 1: Một vật dao động điều hoà với tần số góc 10 5rad/s Tại thời điểm

t = 0 vật có li độ 2cm và có vận tốc v = -20 15cm/s Phương trình dao động của vật là:

A = +

A = 4cm

a) Giải truyền thống

Phương trình li độ:x = Acos(ωt+φ) Phương trình vận tốc:v = -ωAsin(ωt+φ)

Thay điều kiện ở mốc thời gian t0= 0, ta được hệ sau

Khi t = 0 thì x0 = 2 2 = Acosφ cosφ =

4

2

v0 = -20 15 -20 15= -Aωsinφ sinφ =

5 10 4

15 20

3

π

Đáp án C b) Sử dụng đường tròn lượng giác

- Gốc thời gian được chọn tại vị trí x0 = 2,

- Do ở mốc thời gian động năng tăng nên độ

lớn vận tốc tăng, vật đi về vị trí cân bằng tức

là đi theo chiều dương, do đó pha ban đầu âm

- Ta có thể yêu cầu học sinh vận dụng phương pháp này để xây dựng pha ban đầu ở 9

vị trí đặc biệt Trước khi dựng đường thẳng (d) ta lưu ý đổi giá trị x0 theo biên độ A,

qua đó biết được vị trí ban đầu là vị trí nào (B + ,KT + ,HD + ,NB + ,CB,NB - ,HD - ,KT - ,B - )

Nhờ vậy việc áp dụng đường tròn lượng giác dễ dàng hơn

Lược đồ pha ban đầu theo các vị trí đặc biệt

Dạng 2: Xác định số lần qua một trạng thái

1 Sơ lược về bài toán

- Đây là bài toán xác định số lần vật đi qua một vị trí nào đó trong một khoảng thờigian t Vị trí được xác định bởi li độ x hoặc xác định theo các đặc điểm khác như v, a,

F, Wt, Wđ

2 Phương pháp truyền thống

- Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) trong thời gian t từ thời điểm t1 đến t2

* Giải phương trình lượng giác: x = Acos(ωt+φ), hoặc các phương trình

tương ứng với các đại lượng cho trong đề, ta thu được các họ nghiệm tI và tII

* Thay tI và tII vào điều kiên: t1 < t ≤ t2 ⇒ Phạm vi giá trị của k (Với k ∈ Z)

* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó

3 Giải pháp đường tròn lượng giác

- Xác định vị trí pha ban đầu φđ = φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm Đ

- Xác định pha cuối cùng φc = ωt+φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm C

- Xác định góc pha tương ứng của vị trí x: từ x dựng đường thẳng (d) ⊥Ox, (d) cắt đường tròn tại hai điểm M, N

- Đưa góc φ c về dạng: φ c = n.360 + φ l

hay φ c = n.2π+ φ l , với n là số chu kỳ

- Trong mỗi chu kỳ vật qua mỗi vị trí biên

Trong n chu kỳ số lần vật qua vị trí x 2n lần,

xét trong phần góc lẻ φ l vật chuyển động tròn đều tương ứng từ điểm đầu Đ đến điểm cuối C; khi đó có đi qua M và N nữa không.

Nếu từ Đ đến C không gặp M,N thì kết quả là: 2n lần

Nếu từ Đ đến C chỉ gặp một trong hai điểm M,N thì kết quả là: (2n + 1) lần

5πtII −π/3 = −π/3 + k2π 5πtII = k2π tII= 2k/5

Thay vào điều kiện trong giây đầu tiên: 0 < t ≤ 1

0 < tI ≤ 1 0 < 2/15 + 2k/5 ≤ 1 -0,33 < k ≤ 2,16

0 < tII ≤ 1 0 < 2k/5 ≤ 1 0 < k ≤ 2,5

Do k ∈ Z, nên: họ nghiệm tI có 3 giá trị k = 0,1,2

họ nghiệm tII có 2 giá trị k = 1,2

pha 600 (điểm M) và -600 (điểm N)

- Từ Điểm Đ quay đến C qua M, nên số lần vật dao động

Qua vị trí x = 1,5cm trong giây đầu tiên là: 2n + 1 = 2.2 + 1 = 5 (lần)

Bài 2: Một vật dao động điều hoà có phương trình ( )

6 4 cos

↔ 

= 3 ↔

4

3 6 4 sin 2 =

4 sin = ±

4 sin  = +

4 t− = +k

2 8

4 cos = −

4 t− = − +k

2 24

1, t

2, t

3, t

4 vào điều kiện: 0 < t ≤ 2, với chú ý k là số nguyên

Vậy có 16 giá trị của k phù hợp, tức là có 16 lần vật qua vị trí động năng bằng 3 lần

thế năng trong 2 giây đầu tiên

b) Sử dụng đường tròn lượng giác

- Vị trí có Wđ = 3Wt là các vị trí NB+, và NB

-các vị trí này biểu diễn tương ứng trên đường

+1

- Vị trí pha ban đầu Đ(-300),

- Góc pha cuối sau 2 giây:

6

47 6 2

.

4π − π = π =

330 360

3

1410 = + → n = 3, φt = 3300

Vị trí pha cuối C(3300), C trùng với Đ,

trong 2 giây đầu chuyển động tròn đều tương ứng

được 3 vòng, và vòng cuối đi qua đủ 4 điểm M, N, P, Q Vậy có 3.4 + 4 = 16 lần

5 Nhận xét, gợi mở và tổng kết

- Trong bài toán này việc giải phương trình lượng giác là dài, và khó khăn khi

nghiệm là vị trí góc pha không rơi vào các góc đặc biệt.

Ví dụ trong bài toán 1, điều chỉnh lại như sau:

“Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(5πt −π/3) (x tính bằng cm,t tính bằng s).Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t = 0 Chất điểm qua vị trí có li độ

x = + 1cm” (Trích TSĐH 2008)

Nếu giải theo phương pháp truyền thống thì ta cần tìm nghiệm của phương trình: 3cos(5πt −π/3) = + 1 ↔ cos(5πt −π/3) = 1/3 phương trình này có nghiệm là các giá trị không đặc biệt, (khoảng 1,23+ k.2π = ±70,5 + k.3600), dó đó gây cảm giác ngại tính toán cho học sinh Còn giải theo đường tròn lượng giác thì kết quả nghiệm như vậy cũng không ảnh hưởng đến tâm lý làm và tốc độ làm bài

- Phương pháp đường tròn lượng giác nhanh hơn hẳn phương pháp truyền thống, đặc

biệt đối với các bài toán mà vị trí cần tìm số lần đi qua lại gồm hai vị trí đối xứng nhau, khi đó sẽ có 4 họ nghiệm phù hợp (như trong bài toán 2).

- Có thể áp dụng cho bài toán hỏi số lần đi qua một vị trí nào đó theo một chiều nhất định Khi đó chỉ tìm số lần chuyển động tròn đều qua một vị trí M hoặc N; tương ứng với chiều chuyển động

Nếu v > 0, thì xét điểm N có pha âm φ -

Nếu v < 0, thì xét điểm M có pha dương φ +.

Dạng 3: Xác định khoảng thời gian

1 Sơ lược về bài toán

- Đây là bài tập xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật dao động từ trạng 1 xác định bởi (x1,v1) đến trạng thái 2 xác định bởi (x2, v2) Trong đề các trạng thái 1, 2 có thể

ẩn dưới những thông tin khác như gia tốc, lực, động năng, thế năng

- Trong dao động điện từ cũng làm tương tự, các trạng thái được xác định bởi các đại lượng như u, q, i, năng lượng điện trường, hay năng lượng từ trường

- Hiệu chỉnh khoảng thời gian từ t1 đến t2 rút ra kết quả: t = t2min – t1min

- Nếu tính thời gian ngắn nhất để đi từ vị trí x1 đến vị trí x2 thì khi giải hệ các phương trình trên cần lưu ý vận tốc ở các vị trí phải xét trường hợp cùng chiều từ x1 đến x2

- Có thể chọn lại mốc thời gian t0 = 0 tại khi vật ở trạng thái 1, giải phương trình lượng giác trạng thái 1 để được pha ban đầu mới Khi đó ta lấy t1 = 0, sau đó giải phương trình lượng giác ở trạng thái 2 với phương trình pha ban đầu mới xác định t2

3 Giải pháp đường tròn lượng giác

- Trạng thái 1 được biểu diễn bằng điểm M trên đường tròn lượng giác có góc pha φ1,

- Trạng thái 2 được biểu diễn bằng điểm N trên đường tròn lượng giác có góc pha φ2

- Góc quét của bán kính chuyển động tròn đều trên cung MN là α

thời gian dao động điều hoà từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 bằng thời gian vật chuyển động tròn đều tương ứng quét hết cung α

5 4

5 − = ≈ (s)

- Chú ý: có thể chọn lại mốc thời gian t0 = 0 khi vật qua vị trí x1 = 2cm theo chiều đến

x2 = 2 3cm (theo chiều dương)