Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải một số bài toán dao động điều hòa

Điều kiện ban đầu sự kích thích dao động Xét một vật dao động là con lắc lò xo.Kích thích vật bằng cách đưa nó ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn xo rồi thả tự do vo = 0 Nếu chọn gốc thờ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TAM ĐẢO

-CHUYÊN ĐỀ

ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ

TÊN CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Giáo viên: Lê Văn Tuệ Tổ: Lí - Hóa - Sinh

Tam Đảo, tháng 03/2014

CHUYÊN ĐỀ

ÔN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG MÔN VẬT LÍ LỚP 12

TÊN CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I Giáo viên: Lê Văn Tuệ

II Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 12

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 4tiết

III Hệ thống kiến thức sử dụng trong chuyên đề :

1.Dao động điều hòa

1.1 Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó

Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng

Xét dao động của vật nặng (m) gắn với một lò xo có độ cứng k

- Phương trình động lực học của vật : x''+ω2x=0 với 2 k

• ω ϕ t + là pha dao động tại thời điểm t

• ϕ là pha ban đầu,tức là pha ω ϕ t + tại thời điểm t = 0

• ω là tần số góc của dao động,đơn vị là rad/s

1.3 Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa

T

với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động

f T

+ Khi x= →0 vmax =ωA tại VTCB.

+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 lượng

2

π

- Gia tốc a= −ω2Acos(ω ϕt+ )=ω2Acos(ω ϕ πt+ + ) và a= −ω2x

+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng

2

π

+ Gia tốc ngược chiều với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ

+ Khi ở 2 biên x= ±A ⇒ a max = ω2A

+ Khi ở VTCB x=0 thì a=0

1.5 Điều kiện ban đầu sự kích thích dao động

Xét một vật dao động là con lắc lò xo.Kích thích vật bằng cách đưa nó ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn xo rồi thả tự do ( vo = 0 )

Nếu chọn gốc thời gian t = 0 thì lúc thả vật tự do ở li độ xo ta có điều kiện ban đầu sau :

- Dao động của hệ xảy ra chỉ do tác dụng của nội lực gọi là dao động tự do Một vật hay một

hệ dao động tự do theo một tần số góc xác định là tần số góc riêng của vật hay hệ đó

3 Năng lượng trong dao động điều hòa

3.1 Sự bảo toàn cơ năng

Trong các con lắc mà ta xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực đàn hồi (x

F = −k ) hoặc trọng lực ( P mg= ) là các lực thế,do đó cơ năng của vật dao động được bảo toàn

3.2 Biểu thức của động năng,thế năng,cơ năng

Xét con lắc lò xo dao động theo phương trình: x = Ac os( t+ ) ω ϕ

• Động năng của vật Wđ = 1 2

2 mv (J)

+ Động năng của vật tỉ lệ thuận với vận tốc

Biểu thức của động năng Wđ = 1 2 2 2

• Thế năng của vật Wt = 1 2

2 kx (J)

+ Thế năng của vật tỉ lệ với li độ

4.1 Tổng hợp hai dao động cùng phương,cùng tần số

Phương trình dao động : x1=A c1 os( t+ )ω ϕ1 , x2 =A c2 os( t+ )ω ϕ2

1 2

A A A

- Lệch pha bất kỳ: A1− A2 < A < A1 + A2

5 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều,biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay Phương pháp đường tròn lượng giác.

5.1 Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng

* Chuyển động tròn đều là : “chuyển động chất điểm đi được những cung tròn bằng nhau

trong những khoảng thời gian bằng nhau.”

* Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều :

+ Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn

+ Tần số f là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian

T f

5.2 Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Một dao động điều hòa có dạng x = Ac os( ω ϕ t + ) có thể được điểu diễn tương ứng với một chuyển động tròn đều có:

- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động: R = A

- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một góc ϕ.

- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng và Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ

⇒ "Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển động tròn đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo”

Ta có hình vẽ biểu diễn một dao động điều hòax = Ac os( ω ϕ t + )như sau :

- Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơOM uuuurchính là li độ x của dao động

P

- Khi véc tơ OM uuuurquay đều với tốc độ gócω quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa trên trục ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M,biên độ bằng độ dài vectơ OM uuuur,tốc độ góc đúng bằng tần số gócω và pha ban đầu ϕ bằng góc xOM tại thời điểm ban đầu t = 0.

6.Các dạng bài tập liên quan tới DĐĐH của con lắc lò xo

Các công thức tổng quát,các đại lượng đặc trưng

+ Chiều dài lò xo tại VTCB : l cb =l o , l là chiều dại tự nhiên của lò xo o

+ Chiều dài lớn nhất của lò xo : l max = +l cb A

+ Chiều dài nhỏ nhất của lò xo : lmin = −l cb A

k

+ Chiều dài lò xo tại VTCB là : l cb = + ∆l o l.

+ Chiều dài lớn nhất của lò xo là : l max = + = + ∆ +l cb A l o l A

+ Chiều dài nhỏ nhất của lò xo là : lmin = − = + ∆ −l cb A l o l A

** Lực đàn hồi

+ Con lắc lò xo nằm ngang : Fdh =kx

- Tại VTCB lò xo không biến dạng Fdh =0

- Tại vị trí biên li độ của vật đạt giá trị cực đại : F dh max =KA (N)

+ Con lắc lò xo treo thẳng đứng ( )+ ↓

- Tại vị trí x bất kỳ : Fdh = ∆ +k l x( )

- Lực đàn hồi đạt giá trị cực đại tại vị trí thấp nhất x A= ⇒F dh max = ∆ +k l A( )

- Lực đàn hồi đạt giá trị cực tiểu tại vị trí cao nhất x= − ⇒A F dhmin = ∆ −k l A( )

Chú ý vì giá trị của Fdh ≥0 nên l∆ ≤ A thì Fdhmin =0.

** Lực phục hồi + Fph = −kx luôn hướng về vị trí cân bằng.

+ Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ với bình phương biên độ dao động và luôn là một hằng số

+ Động năng và thế năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ là

- Tính các đại lượng đặc trưng như độ cứng k,khối lượng m

- Các bài toán thời gian liên quan tới các lực

** *Bài toán xác định thời gian lò xo nén,thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ dao

động.

-Ban đầu lò xo có chiều dài tự nhiên l o

- Thời gian lò xo nén trong một chu kỳ chính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ x= −∆l đến

x= −A rồi quay lại x= −∆l nghĩa là thời gian (−∆ → − → −∆l A l)

- Thời gian lò xo giãn trong một chu kỳ chính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ x= −∆l đến x A=

rồi quay lại x= −∆l nghĩa là thời gian (−∆ → → −∆l A l)

+ Từ hình vẽ trên : Thời gian lò xo nén trong 1 chu kỳ là thời gian vật quay được góc 2α Ta có

1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa

2.Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí x đến vị trí 1 x 2

3.Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong thời gian t

4.Bài toán tính quãng đường lớn nhất,nhỏ nhất vật đi được trong thời gian t.

5.Bài toán xác định số lần,thời điểm vật đi qua vị trí x sau thời gian t

6.Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x,N lần.

7.Bài toán xác định tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ vị trí x1→x2

8.Các dạng bài tập liên quan tới DĐĐH của con lắc lò xo

V Hệ thống các bài tập cụ thể minh họa:

1.Dao động điều hòa

1.1.Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa

1.1.1.Phương pháp giải + Bước 1 : Chọn hệ quy chiếu biểu diễn dao động điều hòa

trùng với chiều ox,chiều âm hướng ngược lại

1 α 1 α

2

M

- Xác định gốc thời gian t = 0,nếu đề bài không cho thì thường chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu dao động.Nếu không xác định được thời điểm vật bắt đầu dao động thì chọn thời điểm ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.

- Biểu diễn dao động điều hòa : Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn các giữ kiện của đầu bài lên đường tròn lượng giác như : vận tốc,li độ ban đầu…

+ Bước 2 : Viết phương trình dao động x = Ac os( ω ϕ t + )(1)

+ Bước 3 : Dựa vào các điều kiện của bài toán đã

cho và các công thức liên quan để tim ra các giá trị

cụ thể của ω , , A ϕ rồi thay vào (1)

Góc ϕ là góc hợp bởi ( Ox uur và OM uuuur ) và là góc xOM

⇒Cuối cùng ta thay các giá trị của A , , ω ϕvào phương trình (1)

+ Vì ϕ = ⇒ 0 OM uuuursong song

với Ox uur ⇒ban đầu tại thời điểm t = 0vật đang ở vị trí biên dương x = = A 10cm

10 10

2 Một lò xo có độ cứng K = 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu còn lại gắn

vật khối lượng m = 500g Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng x = 3 cm và truyền cho vật một vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương Viết phương trình dao động của vật

3 (ĐH – 2011).Một chất điểm dao động điều hòa trên trục ox,trong thời gian 31, 4schất điểm thực

hiện được 100 dao động toàn phần.Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí x =2cmtheo chiều

âm với tốc độ là 40 3cm s/ ,lấy π =3,14.Phương trình dao động của chất điểm là:

+ Biên độ : A2 = x2 + 2

2ω

A

ϕ = = =

3

πϕ

3

π

ϕ= − radTrên đường tròn có 2 vị trí thỏa mãn nhưng vì vật chuyển động theo chiều(-) nên từ hình vẽ

4 Một vật dao động điều hòa với tần số là 2hz,biết rằng khi vật đi qua VTCB thì có tốc độ là 16π

cm/s.Chọn gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ x = 2 2 cm và vận tốc đang có giá trị dương.Phương trình dao động của vật là

Khi làm bài trắc nghiệm tại thời điểm t=0 thì vận tốc :v= −ωAsinϕ<0

+ Nếu vật chuyển động theo chiều (+) thì v< ⇒0 sinϕ< ⇒ <0 ϕ 0

+ Nếu vật chuyển động theo chiều (-) thì v< ⇒0 sinϕ> ⇒ >0 ϕ 0

+ Khi làm bài trắc nghiệm,nên đọc kỹ đề bài,xem xét 4 đáp án,nếu thấy ở 4 đáp án có các dữ kiện cần tính giống nhau thì ta không cần tính dữ kiện đó nữa,mà lấy luôn dữ kiện đó để tính toán tiếp.chú ý từng tính chất,ý nghĩa của từng khái niệm,định nghĩa thì sẽ rút ngắn được thời gian làm bài

- Như ví dụ 3(ĐH – 2011) Ta thấy :

+ 4 đáp án có cùng ω =20rad/s⇒ω=20rad/s

+ Vật chuyển động theo chiều (-)⇒ >ϕ 0⇒loại A và B.

+ Ta nhận thấy AC khác AD sử dụng công thức độc lập với thời gian tìm được A=4cm⇒nhận

phương án C mà không cần tìm ϕ.Hoặc thấy vì ϕCkhácϕD,ta sử dụng đường tròn lượng giác ta tìm

1 Một vật dao động điều hòa trên một đoạn thẳng dài 10 cm,trong 20(s) đầu tiên vật thực hiện được

10 dao động.Viết PTDĐ của vật tại vị trí vật có li độ x=2,5cmvà đang có vận tốc âm

2 Một vật dđđh có chu kỳ là 4(s),biên độ là 5cm Viết ptdđ của vật khi:

a.Vật ở vị trí có gia tốc cực tiểu và có vận tốc dương

b.Vật có vận tốc cực đại và có giá trị âm

3 Một vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại và gia tốc cực đại lần lượt là 10 (π cm s/ )và

20 (π cm s/ ).Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ x=2,5 2cm và đang chuyển động nhanh dần

4 Vật dao động điều hòa với biên độ là 10cm,chu kỳ là 2s.Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí

có vận tốc dương và có giá trị bằng một nửa vận tốc tại vtcb,biết rằng vật đang chuyển động chậm dần.Viết ptdđ của vật trên

a v

A

ω

bằng O ⇒vật chuyển động theo chiều âm⇒ >ϕ 0

⇒ = ±

+ v> ⇒ <0 ϕ 0,vật chuyển động chậm dần 3 5 3

2

A x

+ Bước 1: chọn hệ quy chiếu,biểu diễn các vị trí x và 1 x trên đường tròn lượng giác2

- Chọn chiều (+) trùng chiều với trục ox

- Xác định vị trí,thời điểm ban đầu của vật và biểu diễn x và 1 x ,xác định chiều chuyển 2

động từ x đến 1 x 2

+ Bước 2: Xác định góc quét ϕ chắn cung vật đi được từ x đến 1 x 2

+ Bước 3: Thời gian quét cung vật đi được từ x đến 1 x chính là thời gian vật đi được từ 2 x đến 1 x , 2

a.Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng x= → =0 x 2cmtheo chiều (+)

Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm M tới điểm 1 M2

b.Thời gian vật đi từ x=0tới x=2 3 theo chiều (+)

Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm M tới điểm 1 M ,3

c Thời gian vật đi từ x=0tới x=4 theo chiều (+)

Ta có hình vẽ như trên:(hình câu b)

Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm M tới điểm 1 M ,4

từ hình vẽ ta thấy:OMuuuur1vuông góc với OMuuuuur4 ⇒

2

πϕ

2 Một vật dao động có phương trình :x = Ac os( ω ϕ t + ).Tính thời gian

a.Vật đi từ vị trí x=0 theo chiều (+) tới vị trí x= −A

a.Ta biểu diễn các dữ kiện lên hình vẽ :

Thời gian cần tính là thời gian vật quét cung M AM và bằng thời gian vật đi từ 1 2

x s

HD: Giả sử tại t =0 vật ở VTCB x = 0và đang chuyển động theo chiều dương như hình vẽ :

Trong nửa chu kỳ đầu tiên vật quét cungM AM ,1 2 v = 0lần đầu tiên tại vị trí

Biên dương x = A.Thời điểm cần tính là thời gian vật đi từ vị trí

Li độ x của vật đạt giá trị cực đại tại 2 vị trí biên

+Giả sử x max = −Alà vị trí li độ đạt giá trị cực đại lần thứ nhất

ax

m

x = Alà giá trị cực đại lần thứ Hai.Vậy thời gian giữa 2 lần liên

tiếp li độ đạt giá trị cực đại là thời gian vật đi từ vị trí x = −A tới x max =A

VD5:(sgk vật lý cơ bản).Một vật dđđh phải mất 0, 25sđể đi từ điểm có vận tốc bằng 0 tới điểm tiếp

theo vẫn như vậy.Khoảng cách giữa hai điểm là 36cm.Tính :Chu kỳ,tần số,biên độ

HD:

Trên hình vẽ vận tốc v=0tại 2 vị trí biên âm

x= −A và biên dương x= A với góc quét là :

+ Theo bài ra vật đi từ vị trí v= → =0 v 0 ứng với x= − → = → =A x 0 x A

hết quãng đường là 36 cm,từ hình vẽ ta thấy 2A=36⇒ =A 18cm

Lưu ý:

+ Ta thấy 1 chu kỳ,vật quay được 1 vòng tròn quét được 1 góc ϕ =360o

+ Một đường tròn chia làm 4 phần bằng nhau,thời gian quét từng phần đó là như nhau và đều bằng

−

( ) −

( ) + π

0

d x= −5 3cm đến x=5 2cm.

e.Vật có gia tốc cực đại đến vị trí tiếp theo mà tại đó vật có vận tôc đạt giá trị cực tiểu

2.(CĐ – 2010).Một vật dao động điều hòa có chu kỳ T,gốc thời gian lúc vật qua VTCB,vận tốc của vật bằng 0 lần đầu tiên tại thời điểm nào:

+ Bước 1 : Xác định vị trí ban đầu,xác định chiều

chuyển động của vật trên đường tròn lượng giác

Từ hình vẽ ta có thể nhận thấy nếu vectơ OMuuuur quét được 1 góc π thì vật đi được quãng

đường là 2A mà không phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối.Vậy khi OMuuuur quay được 1 góc

n

ϕ = π thì hình chiếu của M luôn đi được quãng đường là S =2nA ( n nguyên).

Nếu góc ϕ =nπ ϕ+ 1 thì quãng đường cần tính là S =2nA S+ 1.Với S là quãng đường vật 1

quét được góc ϕ1

** Chú ý :

+ Sau một chu kỳ T vật luôn quét được 1 góc ϕ =2π ứng với quãng đường đi được là S =4A

,trong nửa chu kỳ

+ Tại thời điểm ban đầu vật xuất phát từ đâu thì sau t nT= vật quay trở lại đúng vị trí ban đầu đó.

b.Trong 3,25 s kể từ vị trí x= −2 cm ngược chiều dương

c.Trong 2,325 s từ VTCB theo chiều dương

HD:

Ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng và đang chuyển động theo chiều âm,ta biểu diễn bằng véctơ OMuuuuur

a.Trong 2 s vật quét được góc ϕ=t.ω=2.4π =8π rad

⇒ Quãng đường đi được là S =2.8A=16A=64cm

b.Trong 3,25 s ⇒ ϕ=t.ω=3, 25.4π =13π rad

⇒ Quãng đường đi được là S =2.13A=26A=104cm

c.Trong 2,325 s ⇒ ϕ=t.ω=2,325.4π =9,3π =9π+0,3π rad

⇒ Quãng đường cần tính S S= +1 S2

+ S là quãng đường vật quét góc 1 ϕ1=9π ⇒ =S1 2.9A 18A 72= = cm

+ S là quãng đường vật quét góc 2 ϕ2 =0,3π rad

+ Sau khi vật đi được quãng đường S tức là vật quét được 1

góc ϕ1 =9π thì vật đang ở VTCB O và đang chuyển động

theo chiều dương như hình vẽ:

- Gọi M Muuuuuur1 2 là véctơ quét được Góc ϕ2 =0,3π Từ hình vẽ bên

A

ϕ = ⇒ = ϕ ⇒ = =S1 x 4.sin 0,3π =3, 24cm

Vậy tổng quãng đường vật đi được là S= +S1 S2 =72 3, 24 75, 24+ = cm

2.Một vật DĐĐH dọc theo trục ox có phương trình : 2 os(4 )

+ S là quãng đường vật quét góc 1 ϕ =4π ⇒ =S1 2.4A 8A 16= = cm

+ S là quãng đường vật quét góc 2 ϕ =0,5π rad

- Sau khi vật đi được quãng đường S tức là vật quét được góc 1 ϕ1=4π ứng với 2 chu kỳ thì vật đang

ở vị trí ban đầu x1 =1cm đang chuyển động theo chiều dương như hình vẽ:

+ Giả sử vật quét được 1 góc ϕ =0,5π Chính là góc M OM1 3=0,5π

1os

133

ϕ = − nên ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng O và đang chuyển động theo chiều dương

* Ta tính quãng đường S vật đi được trong thời gian 1 t1 =1,5sđầu

T

t = vật đi được quãng đường là S1=2A A+ =3A

* Ta tính quãng đường S vật đi được trong thời gian 2 2 13

3

t = s

134

ϕ ω= = = π+

+ Quãng đường vật đi được S2 =8A S+ Với 8A là quãng đường vật đi khi quay

góc 4π còn S là quãng đường vật quay góc

3

π

.Sau khi vật quay được 1 góc 4π thì vật quay trở lại

vị trí cân bằng ban đầu và tiếp tục quay thêm 1 góc

π = ⇒ = = π = cm.Quãng đường

2

38

2

A

S = A+

x A

+ Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1=1,5s tới 2 13

+ Vật dao động điều hòa thì sau mỗi chu kỳ T thì vật lại trở về vị trí ban đầu

+ Từ dữ kiện đầu bài ta có : 5 0,5 2

ứng với cung BD trên đường tròn