ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI 1 SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ

- Một vật dao động điều hòa dạng x =Acosωt+φ cm được biểu diễn bằng một véctơ quay trên đường tròn lượng giác - Chiều quay véctơ là chiều ngược chiều kim đồng hồ - Khi vật chuyển động ph

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Một phương trình sóng cơ học được biểu diễn theo hàm sin hoặc cosin theo thờigian là một phương trình dao động điều hòa Vì vậy, các tính chất của sóng cơ họccũng tương tự như một vật dao động điều hòa Vì vậy, cơ sở cho việc sử dụng đườngtròn lượng giác để giải các bài toán sóng cơ vẫn tương tự như giải bài toán dao độngđiều hòa bằng đường tròn lượng giác

- Một vật dao động điều hòa dạng x =Acos(ωt+φ) (cm) được

biểu diễn bằng một véctơ quay trên đường tròn lượng giác

- Chiều quay véctơ là chiều ngược chiều kim đồng hồ

- Khi vật chuyển động phía trên trục Ox thì đó là chiều âm

- Khi vật chuyển động phía dưới trục Ox thì đó là chiều dương

- Tâm đường tròn là vị trí cân bằng của vật

Trên vòng tròn lượng giác có bốn điểm đặc biệt:

+ A: Vị trí biên dương xmax = + A và có góc  0rad

+ B: vị trí cân bằng theo chiều âm và có

2 rad



 + C: vị trí biên âm và có   rad

+ D: vị trí cân bằng theo chiều dương và có

2 rad



  

* Một số tính chất của đường tròn lượng giác:

+ Tốc độ quay của chất điểm M trên đường tròn bằng

+ Thời gian để chất điểm M quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T

+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong quá trình vật chuyểnđộng tròn đều:  = .t

Mở rộng:

Trong dao động điều hòa, các phương trình li độ,

vận tốc, gia tốc như sau:

- Do v   A sin   t    nên trục Ov hướng xuống - Do a  2Ac os   t   

nên trục Oa hướng ngược với trục Ox

- Như vậy, có thể dùng một hệ trục tọa độ là có thể biết cả ba đại lượng x, v, a bằng cách hạ hình chiếu của M xuống các trục tương ứng

II CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG SÓNG CƠ HỌC – VẬT LÍ 12

CHỦ ĐỂ 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SÓNG CƠ HỌC

Dạng 1: Tìm biên độ, li độ của sóng.

A Phương pháp giải

- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng

- Xác định vị trí nguồn sóng O ban đầu và ở thời điểm t trên vòng tròn lượng giác

Bài 1: Một sóng cơ lan truyền từ nguồn O dọc theo một đường thẳng với biên độ

không đổi, ở thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Ở thờiđiểm t bằng 1

2chu kì, tại một điểm M cách O một khoảng bằng

1

4bước sóng có li độbằng 5cm Biên độ của sóng là:

A 5 cm B 5 2 cm C 5 3 cm D 10cm

Hướng dẫn giải

- Tại thời điểm t = 0, nguồn O có vị trí như hình vẽ

- Tại thời điểm

Nhận xét: với bài toán dạng này, ta cũng có thể giải theo cách khác là viết phương

trình sóng tại M , sau đó dựa vào điều kiện ban đầu để tìm kết quả

Bài 2 ( Đề thi tốt nghiệp – năm 2013): Cho một sợi dây đàn hồi, thẳng dài Đầu O

của sợi dây dao động với phương trình u  4cos20  t cm Tốc độ truyền sóng trêndây là 0,8m/s Li độ của điểm M trên dây cách O 20cm theo phương truyền sóng tạithời điểm 0,35s là:

Bài 3 (Đề thi ĐH – năm 2012): Hai điểm M, N cùng nằm trên một hướng truyền sóng

và cách nhau một phần ba bước sóng Biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền.Tại một thời điểm, khi li độ dao động của phần tử tại M là 3 cm thì li độ dao động củaphần tử tại N là -3 cm Biên độ sóng bằng

Bài 4 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2- 2013): Một nguồn sóng cơ truyền dọc theo

đường thẳng, nguồn dao động với phương trình uN  a cos  t cm Một điểm M trênphương truyền sóng cách nguồn một khoảng

M

u 3

-3

Hướng dẫn giải

- Từ phương trình sóng uN  a cos  t cm tại thời điểm

t = 0 nguồn ở biên dương

Bài 5 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1- năm 2013): Một sóng cơ lan truyền trên

một sợi dây với chu kì T, biên độ A Ở thời điểm t1, li độ của các phần tử tại A và Ctương ứng là -4,8mm và +4,8mm; phần tử B tại trung điểm AC đang ở vị trí cân bằng

Ở thời điểm t2, li độ của các phần tử tại A và C là +5,5mm thì phần tử B cách vị trí cânbằng là:

A 10,3mm B 11,1mm C 5,15mm D 7,3mm

Hướng dẫn giải

- Tại thời điểm t1 các vị trí A, B, C như hình 1, vậy khoảng cách AC= 4,8.2=9,6 mm

- Tại thời điểm t2 các vị trí A, B, C như hình 2

- Do A và C có cùng li độ 5,5 mm nên OH = 5,5 mm

Ta có H là trung điểm AC nên AH= 0,5.AC= 4,8mm

Vậy xB OB a  OH2AH2  5,524,82 7,3mm Chọn đáp án D

Bài 6: Một sóng cơ được truyền theo phương Ox với vận tốc v=20cm/s Giả sử khi

truyền đi, biên độ không đổi Tại O dao động có dạng uo=4.cos(

6t

-2

) (cm) Tại thờiđiểm t1 li độ của điểm O là u=2 3 cm và đang giảm Li độ tại điểm O tại thời điểm t2

= t1 + 3s và li độ của điểm M cách O một đoạn d =40 cm ở thời điểm t1là:

- Bước sóng: 20

240 1

12

v

cm f

Bài 7 (Đề thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội – lần 6 – 2013): Trên một sợi dây đàn hồi

đang có sóng truyền Xét hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước sóng Tại thờiđiểm t, phần tử sợi dây tại A có li độ 0,5mm và đang giảm; phần tử sợi dây tại B có li

độ 0,866mm và đang tăng Coi biên độ sóng không đổi Biên độ và chiều truyền sóngnày là:

Bài 8 (Trích đề thi thử chuyên ĐHSP Hà Nội – lần 4 năm 2013): Một sóng hình sin

có biên độ A truyền theo phương Ox từ nguồn O với chu kì T, bước sóng  Gọi M, N

là hai điểm trên Ox, ở cùng một phía so với O sao cho OM – ON = 5/3 Các phần tửmôi trường tại M, N đang dao động Tại thời điểm t1, phần tử môi trường tại M có li độdao động bằng 0,5A và đang tăng Tại thời điểm t2 = t1 + 1,75T phần tử môi trường tại

N (t1)

M (t1)

B

A

3 2u 0,5

- Ở thời điểm t1

2

M

A

x  và v >0 nên M có vị trí như hình và N đang ở biên âm

- Ở thời điểm t2, góc mà N quay được là:

Bài 1: Một sóng cơ được phát ra từ nguồn O và truyền dọc theo trục Ox với biên độ

sóng không đổi khi đi qua hai điểm M và N cách nhau MN = 0,25 ( là bước sóng).Vào thời điểm t1 người ta thấy li độ dao động của điểm M và N lần lượt là uM = 4cm và

uN = 4 cm Biên độ của sóng có giá trị là

A 4 3cm B 3 3cm C 4 2cm D 4cm Bài 2: Một nguồn O dao động với tần số f = 50Hz tạo ra sóng trên mặt nước có biên

độ 3cm(coi như không đổi khi sóng truyền đi) Biết khoảng cách giữa 7 gợn lồi liêntiếp là 9cm Điểm M nằm trên mặt nước cách nguồn O đoạn bằng 5cm Chọn t = 0 làlúc phần tử nước tại O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Tại thời điểm t1 li độdao động tại M bằng 2cm Li độ dao động tại M vào thời điểm t2 = (t1 + 2,01)s bằngbao nhiêu ?

A 2cm B -2cm C 0cm D -1,5cm.

Bài 3: Sóng lan truyền từ nguồn O dọc theo 1 đường thẳng với biên độ không đổi Ở

thời điểm t = 0 , điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều (+) Ở thời điểm bằng 1/2 chu kì một điểm cách nguồn 1 khoảng bằng 1/4 bước sóng có li độ 5cm Biên độ của sóng là

A 10cm B 5 3cm C 5 2 cm D 5cm

Bài 4: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo 1 đường thẳng có phương truyền sóng tại

nguồn O là : uo = Acos(2T t + 2 ) (cm) Ở thời điểm t = 1/2 chu kì một điểm Mcách nguồn bằng 1/3 bước sóng có độ dịch chuyển uM = 2(cm) Biên độ sóng A là

A 4cm B 2 cm C 4/ 3cm D 2 3 cm

Bài 5: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc v =

50cm/s Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là : u0 = acos(

Bài 6: Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng

có biên độ A, chu kì T Tại thời điểm t1 = 0, có uM = +3cm và uN = -3cm Ở thời điểm t2

liền sau đó có uM = +A, biết sóng truyền từ N đến M Biên độ sóng A và thời điểm t2 là

Bài 7: Một sóng ngang tần số 100 Hz truyền trên một sợi dây nằm ngang với vận tốc

60 m/s M và N là hai điểm trên dây cách nhau 0,15 m và sóng truyền theo chiều từ Mđến N Chọn trục biểu diễn li độ cho các điểm có chiều dương hướng lên trên Tại một

6

thời điểm nào đó M có li độ âm và đang chuyển động đi xuống Tại thời điểm đó N sẽ

có li độ và chiều chuyển động tượng ứng là

A Âm; đi xuống B Âm; đi lên C Dương; đi xuống D Dương; đi lên.

Bài 8: Một sóng cơ lan truyền trên sợi dây với chu kì T, biên độ A Ở thời điểm t0, li

độ các phần tử tại B và C tượng ứng là -24 mm và +24 mm; các phần tử tại trung điểm

D của BC đang ở vị trí cân bằng Ở thời điểm t1, li độ các phần tử tại B và C cùng là+10 mm thì phần tử ở D cách vị trí cân bằng của nó

Bài 9: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc v = 50cm/

s Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là : u0 = acos(2T t)

cm Ở thời điểm t = 1/6 chu kì một điểm M cách O khoảng /3 có độ dịch chuyển uM =

2 cm Biên độ sóng a là:

A 2 cm B 4 cm C 4/ 3 cm D 2 3 cm

Bài 10: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng với biên độ sóng không

đổi có phương trình sóng tại nguồn O là: u = A.cos(t - /2) cm Một điểm M cáchnguồn O bằng 1/6 bước sóng, ở thời điểm t = 0,5/ có ly độ 3 cm Biên độ sóng

- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng

- Xác định độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng: 2 d 





 

- Phân tích    n1.2   n2   '

- Dựa vào chiều truyền sóng để xác định vị trí tại thời điểm t1

- Xác định góc quét trong thời gian    t t2 t1:       t   t2  t1

- Phân tích góc quét thành   n3.2   n4   ''

- Xác định vị trí tại thời điểm t2 trên đường tròn lượng giác

- Chiếu xuống trục Ou hoặc Ou’ để tìm li độ u hoặc vận tốc v

Chú ý: Nếu xác định vận tốc ở thời điểm trước đó thì ta quay cùng chiều kim đồng hồ,

còn nếu xác định vận tốc ở thời điểm sau thì ta quay ngược chiều kim đồng hồ

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s Phương trình

sóng tại nguồn là u = 3cost(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O mộtkhoảng 25cm tại thời điểm t = 2,5s là:

A 25cm/s B 3cm/s C 0 D -3cm/s

7

Hướng dẫn giải

- Bước sóng: 25

50 0,5

v

cm f

Bài 3 (Đề thi ĐH – Năm 2013): Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo

chiều dương của trục Ox Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,3 (s) (đường liền nét) Tại thời điểm t2, vận tốc của điểm N trên đây là :

N (t2)

74



O (t1)

34



Bài 4 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 3 năm 2013: Một sóng hình sin lan truyền

theo phương Ox với biên độ không đổi A = 4 mm Hai điểm gần nhau nhất trên cùngphương truyền sóng mà có cùng độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2 mm, nhưng có vậntốc ngược hướng nhau thì cách nhau 4 cm Tỉ số giữa tốc độ dao động cực đại của mộtphần tử với tốc độ truyền sóng là

Hướng dẫn giải

- Hai điểm có độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2mm và có vận

tốc ngược nhau Vậy độ lệch pha là: 2

Bài 5 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 4 năm 2013: Một sóng cơ lan truyền trên

một sợi dây dài Ở thời điểm t0, tốc độ của các phần tử tại B và C đều bằng vo, phần tửtại trung điểm D của BC đang ở vị trí biên Ở thời điểm t1 vận tốc của các phần tử tại B

và C có giá trị đều bằng vo thì phần tử ở D lúc đó đang có tốc độ bằng

A 2vo B 2vo C vo D 0

Hướng dẫn giải

- Do B và C cùng tốc độ nên chúng phải có cùng li độ (hoặc

li độ đối xứng nhau) D là trung điểm BC và ban đầu D ở

biên

- Sau một thời gian B, C lại cùng tốc độ v0  B, C đối xứng

nhau qua biên và vuông pha với nhau

- Từ hình vẽ, ta thấy D ở vị trí cân bằng nên có vận tốc cực đại

Bài 6: Cho sóng cơ ổn định, truyền trên một sợi dây rất dài từ một đầu dây Tốc độ

truyền sóng trên dây là 2,4 m/s, tần số sóng là 20 Hz, biên độ sóng là 4 mm Hai điểm

M và N trên dây cách nhau 37 cm Sóng truyền từ M tới N Tại thời điểm t, sóng tại M

có li độ –2 mm và đang đi về vị trí cân bằng, Vận tốc sóng tại N ở thời điểm (t0 = t 1,1125)s là

A - 8π 3 cm/s B 80π 3 mm/s C 8 cm/s D 16π cm/s

Hướng dẫn giải

- Bước sóng: 240

12 20

v

cm f

Bài 7: Sóng truyền theo phương ngang trên một sợi dây dài với tần số 10Hz Điểm M

trên dây tại một thời điểm đang ở vị trí cao nhất và tại thời điểm đó điểm N cách M5cm đang đi qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ và đi lên Coi biên độ sóng không đổikhi truyền Biết khoảng cách MN nhỏ hơn bước sóng của sóng trên dây Chọn đáp ánđúng cho tốc độ truyền sóng và chiều truyền sóng

A 60cm/s, truyền từ N đến M B 3m/s, truyền từ N đến M

C 60cm/s, từ M đến N D 30cm/s, từ M đến N

Hướng dẫn giải

- Điểm M ở vị trí cao nhất tức là ở biên dương

- Điểm N qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ nên M,N có vị

trí như hĩnh vẽ

* Vậy bài toán có hai trường hợp xảy ra như sau:

Trường hợp 1: sóng truyền từ M đến N nghĩa là M sớm pha hơn N.

+ Độ lệch pha giữa M và N: 2 2 5

30 3



53



+ Vận tốc truyền sóng: v   f  30.10 300  cm s /  3 / m s

Trường hợp 2: sóng truyền từ N đến M nghĩa là N sớm pha hơn M.

+ Độ lệch pha giữa M và N: 2 2 5 5

6 3

Bài 8 ( ĐH 2014): Một sóng cơ truyền dọc theo một sợi dây đàn hồi rất dài với biên

độ 6 mm Tại một thời điểm, hai phần tử trên dây cùng lệch khỏi vị trí cân bằng 3 mm,chuyển động ngược chiều và cách nhau một khoảng ngắn nhất là 8 cm (tính theophương truyền sóng) Gọi  là tỉ số của tốc độ dao động cực đại của một phần tử trên

dây với tốc độ truyền sóng  gần giá trị nào nhất sau đây?

Bài 2: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s Phương trình

sóng tại nguồn là u = 3cost(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O mộtkhoảng 25cm tại thời điểm t = 2,5s là:

A 25cm/s B 3cm/s C 0 D -3cm/s

Bài 3: Một sóng ngang có biểu thức truyền sóng trên phương x là :

3cos(100 )

u t x cm , trong đó x tính bằng mét (m), t tính bằng giây (s) Tỉ số giữa tốc

độ truyền sóng và tốc độ cực đại của phần tử vật chất môi trường là :

A 3 B 31

C 3-1 D.2

Bài 4: Một dao động lan truyền trong môi trường liên tục từ điểm M đến điểm N

cách M một đoạn 7/3(cm) Sóng truyền với biên độ A không đổi Biết phương trìnhsóng tại M có dạng uM = 3cos2t (uM tính bằng cm, t tính bằng giây) Vào thời điểm t1tốc độ dao động của phần tử M là 6(cm/s) thì tốc độ

6 3

-6

2 3

  giữa hai điểm trên dây

- Dựa vào độ lệch pha  xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn

- Sử dụng các tính chất lượng giác, mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và daođộng điều hòa đã biết để tìm biên độ sóng dừng

Bài 1: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định, B là một bụng sóng, biên

độ dao động tại bụng là A Điểm M cách B một đoạn bằng một phần ba bước sóng.Biên độ sóng tại M là:

2 3



2 2 2

3 3

độ dao động tại bụng là A Điểm M cách N một đoạn bằng

3

 Biên độ dao động tại Mlà:

Bài 3: Một sóng dừng trên một đoạn dây có bước sóng bằng 30cm và biên độ dao

động của một phần tử cách một nút sóng một đoạn 5cm có giá trị là 9mm Biên độ Acủa bụng sóng là:

Nút

N

O

3



Bài 4: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, có sóng dừng ổn định Trên dây A là một nút,

B là điểm bụng gần A nhất, AB = 14 cm Biên độ tại bụng là 2A C là một điểm trêndây trong khoảng AB, AC = 14/3 cm Biên độ dao động tại điểm C là:

Bài 5: Một sóng dừng trên một đoạn dây có dạng u = Asin(bx).cos(t)(mm), trong đó

x đo bằng cm , t đo bằng giây Cho biết bước sóng bằng 0,4 m và biên độ dao độngcủa một phần tử cách một nút sóng một đoạn 5 cm có giá trị là 5mm Biên độ A củabụng sóng là:

Bài 6 (Đề thi thử đại học chuyên ĐH Vinh - lần 2 năm 2013): M, N, P, là 3 điểm

liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ dao động 2 2cm,dao động tại P ngược pha với dao động tại M và MN = NP Biên độ dao động tại điểmbụng sóng là:

A

O

6



22

B

M

Nút N

O

4

