đề thi học sinh giỏi toán 9

MÃ KÍ HIỆU ***** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015 – 2016 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm câu, 01 trang) Bài 1: (3,0 điểm) 31 + 945 31 − 945 a, Cho A = ( + − 1) 4 Tính: 2A3 + 2A2 - b, Giải phương trình: x + x + 2016 = 2016 Bài 2: (3,0 điểm)  x + 2xy + 12 y = a, Giải hệ phương trình  2 8 y + x = 12 b, Cho a,b,c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Gọi H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác; I trung điểm BC AI cắt OH G a, Chứng minh: G trọng tâm tam giác ABC b, Tính: tan B tan C OH // BC Bài 4: (1,5 điểm)Cho (O) vẽ dây AB CD cắt I Gọi M trung điểm BD, MI kéo dài cắt AC N AN AI = Chứng minh: NC CI - HẾT - MÃ KÍ HIỆU ***** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015 – 2016 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Các bước giải a, (1.5đ) Ta có A + = 31 + 945 31 − 945 + 4 (31 + 945)(31 − 945) 31 + 945 + 31 − 945 + 33 (3 A + 1) 16 31 31 27 A3 + 27A + 9A + = + 3(3 A + 1) = + A + 2 31 35 27( A3 + A2 ) = + 2(= ) 2 35 2A + 2A = 2A + 2A − = 27 27 Điểm 0.25 (3A + 1)3 = 0.5 0.25 0.25 0.25 b,(1.5đ) x + x + 2016 = 2016 (3,0 điểm) x = 2016 − x + 2016 1 x + x + = x + 2016 − x + 2016 + 4 1 ( x + )2 = ( x + 2016 − ) 2 1 1 x + = x + 2016 − (dox + > 0; x + 2016 − > 0) 2 2 0.25 0.25 0.25 x + − x + 2016 = x + 2016 − 2015 − x + 2016 = 0(*) 0.25 Đặt x + 2016 = y > pt (*) y − y − 2015 = giải ta y = x = y − 2016 x = Ta có: x = ± (3,0 điểm) + 8061 0.25 8062 + 8061 8061 − 2  x + 2xy + 12 y = 0(1) a, (1.5đ)  2 8 y + x = 12(2)  x = +>Với y=0 hệ  hệ vô nghiệm  x = 12 0.25 0.5 +> Với y ≠ thay 12 = 8y + x vào phương trình (1) ta có x + 2xy + y (8 y + x ) = x x x ( )3 + ( ) + + = y y y 0.25  x  x x ( + 2) ( ) − +  = y y  y  x = −2 (do ngoặc thứ dương) y x = −2 y thay vào phương trình (2) ta được: y + y = 12 12 y = 12 y = ±1 y = => x = −  x = −2  x = ; Có y = − => x = Vậy hệ có nghiệm   y =  y = −1 0.25 0.25 b,(1.5đ) Có a,b,c nhỏ nửa chu vi =>(a-1)(b-1)(c-1) Có GA AH +> OI = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b, (1 điểm) 0.25 +> OH / / BC => KH = KA KB KH = => KB.KC = KA.KH KA KC +> KA2 KA KA => KB.KC = KA = => =3 KB.KC KB KC => tan B.tan C = + > ∆KBH ∽ ∆KAC => 4: (1,5 điểm) C 0.25 0.25 0.25 B I N M O A D IA ID IA2 ID = => = IC IB IC IB IA IA ID IA ID +> = = IC IC IB IB IC IA S IAN = + > Có (chung đường cao hạ từ N->AB) IB S IBN ID = S IDN = IC S ICN + > ∆ICB ∽ ∆IAD => IA2 S IAN S IDN +> = (*) IC S IBN S ICN 0.25 0.25 0.25 0.25 S NMD = S NMB + > Có M trung điểm BD => − S IMD = S IMB 0.25 S IND = S INB 0.25 IA2 S AN => = IAN = IC S ICN CN - HẾT -