MÃ KÍ HIỆU Câu (2,0 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015- 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm câu, trang) ( ) x −3 x +3 Cho biểu thức P = x x − − + x −2 x −3 x +1 3− x Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P giá trị tương ứng x Câu (2,0 điểm) Tìm tất giá trị m cho phương trình x – 4x3 + 8x + m = có nghiệm phân biệt + 3x = y3 Giải hệ phương trình x − = y Câu (2,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n dương cho n – 15 bình phương số tự nhiên m Cho m, n số tự nhiên thoả mãn − > n m Chứng minh − > n 2mn Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm (O) Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC, (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Đường tròn (C) cắt (O) hai điểm A, N (A ≠ N), Đường thẳng AM cắt đường tròn (C) hai điểm A, K (K ≠ A) Chứng minh ba điểm N, H, M thẳng hàng Chứng minh góc NDE = góc FDK Chứng minh tứ giác BHKC nội tiếp Câu (1,0 điểm) Cho bảng kẻ ô vuông kích thước x (gồm 49 ô vuông đơn vị) Đặt 22 đấu thủ vào bảng cho ô vuông đơn vị có không đấu thủ Hai đấu thủ gọi công lẫn họ hàng cột Chứng minh với cách đặt tồn đấu thủ đôi không công lẫn MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015- 2016 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi: 10,0 điểm Câu Đáp án 1) (1,0 điểm) ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ x x − 3x + x − 24 x + P= = x +1 x − x +1 (2,0 điểm) ( )( ) 2) (1,0 điểm) Với x ≥ 0, x ≠ P= ( x +8 −2 = x +1+ x +1 x +1 ) x +1 − = − = x +1 Vậy minP = ⇔ x = (thỏa mãn đkxđ) 1) (1,0 điểm) Ta có: x4 – 4x3 + 8x + m = (1) ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + m + = ≥2 Đặt y = ( x − 1) ,(y ≥ 0) Pt trở thành y − 6y + m + = (2) Phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm dương phân biệt ∆ > ⇔ s > ⇔ -5 < m < p > 2) (1,0 điểm) 2 + 3x = y3 (I) ĐKXĐ: y ≠ , đặt t = ≠ y x − = y 2 (2,0 điểm) t − 3x − = hệ pt trở thành x − 3t − = Trừ vế với vế hai pt, đưa pt tích, ta ( x − t ) ( x + xt + t + 3) = ⇔ x − t = x + xt + t + = ⇔ x = t (do x + xt + t + > 0) Tìm (x ; y) = (-1 ; -2) ; (2 ; 1) Điểm 0,25 0,75 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (2,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Vì n số tự nhiên dương: + để 2n – 15 số phương, dễ dàng chứng minh n ≥ n lẻ 2n – 15 không số phương + n chẵn đặt n = 2k (k∈ N,k ≥ ) * k k 2n – 15 = a ( a ∈ N ) ⇔ ( − a ) ( + a ) = 15 mà < 2k − a < 2k + a ⇒ k ∈ { 2;3} thỏa mãn đk ⇒ n = 4; thỏa mãn đk Vậy n = 4; giá trị cần tìm 2) (1,0 điểm) * ( m,n ∈ N ) m > ⇔ 6n > m ⇒ 6n ≥ m + n 2mn 6n = m2 + mà 6n2 chia hết m2 + ≡ 0(mod3) , vô lý, m ≡ 0,1(mod3) 6n ≥ m + (1) ) = m2 + + < m + (2) mặt khác (m + 2m 4m m từ (1) (2) suy m + ÷ < 6n ⇔ − > 2m n 2mn (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + 6− 0,25 0,25 0,25 (3,0 điểm) a) (1,0 điểm) Các điểm A, E, H, F, N thuộc (C) ⇒ HN ⊥ NA , NH cắt đường tròn (O) Q suy => AQ đường kính (O) ⇒ QC ⊥ AC => QC//BH (1) + Chứng minh tương tự ta suy ra: QB//HC (2) kết hợp với (1) ⇒ BHCQ hình bình hành => NH qua trung điểm M BC, hay N, H, M thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) + ANDM ABDE tứ giác nội tiếp nên ∠NDA = ∠NMA; ∠ABE = ∠ADE mà ∠NDE = ∠NDA + ∠ADE ⇒ ∠NDE = ∠NMA + ∠ABE (3) + Chứng minh: ∠FDK = ∠ACF + ∠NMA (4) + mà ∠ABE = ∠ACF (cùng phụ ∠BAC ) (5) Từ (3) , (4) , (5) ⇒ góc NDE = góc FDK c) (1,0 điểm) c/m: ∆ PHA đồng dạng ∆ PNK (g-g) ⇒ PN PA = PH PK + Chứng minh tương tự PN PA = PB PC nên suy ra: PH PK= PB PC + Chứng minh: ∆ PHC đồng dạng ∆ PBK (c-g-c) ⇒ ∠ PKB = ∠ PCH ⇒ giác BHKC nội tiếp 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 (1,0 điểm) Bảng ô vuông có 7 = 49 ô vuông Ta điền số 1, 2, 3, 4, 5, 6, vào ô vuông bảng: (theo đường chéo) Xem ô điền số giống chuồng thỏ ⇒ có chuồng thỏ, mà 22 = +1, theo nguyên tắc đirrichle cách đặt thỏa mãn yêu cầu toán, chuồng thỏ có đấu thủ không công (Hai đấu thủ công lẫn họ hàng cột đường chéo không công nhau) ⇒ đpcm 0,25 0,25