MÃ KÍ HIỆU [*****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05câu, 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm) x −1 x + x −1 + 1 + − Cho biểu thức P = ÷ ÷ ÷: x −1 ÷ + x − 10 − x x − x − − 1) Rút gọn P; 2) Tính giá trị P x = 3+ 2 3− 2 − 3− 2 3+ 2 Bài 2: (2,0 điểm) 2x x − = ; 1) Giải phương trình: x − x + x2 + x + x + y = 11 2) Giải hệ phương trình: x + xy + y = + Bài 3: (2,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên n cho biểu thức: 25 625 25 625 + −n + − − n có giá trị nguyên 4 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b+c−a c + a −b a +b−c + + ≥ + + b+c−a c + a −b a+b−c a b c Bài 4: (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có tia AB cắt tia DC E tia AD cắt tia BC F Gọi M giao điểm thứ hai (khác C) hai đường tròn (BCE) (CDF) Chứng minh rằng: 1) Ba điểm E, M, F thẳng hàng; 2) M thuộc đường tròn (ADE); 3) OM vuông góc với EF Bài 5: (1,0 điểm) Bên hình vuông có cạnh 8cm, lấy 100 điểm Chứng minh 100 điểm vừa lấy, có điểm nằm đường tròn có bán kính 1cm Hết - MÃ KÍ HIỆU [*****] ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP – Năm học 2015-2016 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 01 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng số điểm toàn Bài Đáp án 1.1 (1,0 điểm) (2,0 điểm) ĐK: x > 1; x ≠10, x ≠ Đặt Điểm 0,5 điểm x − = a( a ≥ 0) a a + 3a − 1 3a + 2a + 3a P= + : − ÷= : =− ÷ 2 2(a + 2) + a − a a − 3a a − a a(a − 3) ⇒P=− x −1 2( x − + 2) 0,5 điểm 1.2 (1,0 điểm) x = (3 + 2) − (3 − 2) = + − + = Thay x = 2(TMĐK) vào P ta P = (2,0 điểm) −1 0,5 điểm 0,5 điểm 2.1 (1,0 điểm) Ta thấy x2 + x + x2 – x + dương x = nghiệm PT cho Do đó, đặt t = x + x − = ⇔ 5t − 3t − 14 = 0(§ K : t ≠ ±1) t −1 t +1 t = ⇔ (t − 2)(5t + 7) = ⇔ t = − 0,5 điểm PT cho trở thành Ta tìm nghiệm PT x = 0,5 điểm 2.2 (1,0 điểm) Đặt x + y = S, xy = P, HPT cho trở thành S − P = 11 S + 2S − 17 − = (1) ⇔ (2) S + P = + S + P = + PT(1) có ∆’= 2(2 + 1) , PT có nghiệm S1 = + 2; S2 = −5 − Thay vào (2) ta tìm P1 =3 2;P2 =8+5 x,y nghiệm PT: t2 – S1t +P1 = t2 – S2t + P2 = 0,5 điểm Bài Đáp án Vậy HPT có nghiệm (x;y) ( ;3) (3; Điểm 2) 0,5 điểm 3.1 (1,0 điểm) ĐK: ≤ n ≤ Đặt x= 625 25 625 25 625 + -n + -n 4 Ta tính được: x = 25 + n ≤ 25 + 25 = 50 Hiển nhiên x2 ≥ 25 số phương nên x2 = 25 +2 n nhận giá trị 25; 36; 49 Tương ứng, ta giá trị n xác định giá trị cần tìm n = n = 144 0,5 điểm 0,5 điểm 3.2 (1,0 điểm) Đặt b + c – a = 2x; c + a – b = 2y; a + b – c = 2z (ĐK: x, y, z > 0) Ta có: 2a = (c + a – b)+(a + b – c) = 2y + 2z ⇒ a = y + z, tương tự: b = z + x, c = x + y Do BĐT tương đương với y+z z+x x+ y + + ≥ 2x 2y 2z 2x 2y 2z + + y+z z+x x+ y Với a, b số thực dương tùy ý, áp dụng BĐT Cosi cho hai số dương, ta ( ) a+b a + b ³ 2 a b a+b +) a + b + + =2+ ³2+2=4 ÷=2+ b b a ab a 1 Þ + ³ a b a+ b +) a + b ≥ ab ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+ b Þ ) Trong BĐT dấu “=” xảy a = b 0,5 điểm Bài Đáp án Điểm Áp dụng ta y+z z+x x+ y + + ≥ 2x 2y 2z y+ z x + x+ y z+ x + y z Mà y+ z x + x+ y z+ x + y z y 1 x + + ÷ z x y z ≥ + + z+ x y+ x 1 z 1 + + + ÷ ÷ x ÷ y z÷ y x = ≥ y z+x + x + z+ y y+ z z = y+x 2y 2z + + z+x x+ y 2x y+z Dấu “=” xảy x = y = z ⇔ a = b= c (3,0 điểm) 0,5 điểm E C M B O D A F 4.1 (1,0 điểm) ABCD; BCEM; CDFM tứ giác nội tiếp · · · · · Do đó, CME=ABF=CDF;CMF+CDF=180 0,5 điểm Bài Đáp án · · ⇒ CME+CMF = 1800 Hay điểm E, E, F thẳng hàng 4.2 (1,0 điểm) Chứng minh tứ giác ADEM tứ giác nội tiếp ⇒ đpcm 4.3 (1,0 điểm) · · · Có AMF=ADE=CMF(1) · · Vì AOC=2ADC nên Điểm 0,5 điểm 1,0 điểm · · · · · · · · AOC+AMC=ADC+ADC+AMC=AMF+CME+AMC=180 ⇒ AOCM tứ giác nội tiếp · · Mà OA = OC nên AMO=OMC(2) Từ (1), (2) suy đpcm (1,0 điểm) M 1,0 điểm Q D A Ai B N C P Gọi ABCD hình vuông có cạnh 8cm Giả sử 100 điểm vẽ bên hình vuông ABCD A1, A2, … A100 Dựng 100 đường tròn có tâm Ai có bán kính 1cm, kí hiệu đường tròn (Ai) (i = 1, 2, 100) Tổng diện tích 100 đường tròn vừa vẽ 100πcm2 Vẽ hình vuông MNPQ có tâm với hình vuông ABCD (như hình vẽ), có MN // AB MN = 10cm Khi tất đường tròn vẽ nằm bên hình vuông MNPQ hình vuông MNPQ có diện tích S1 = 100cm2 Do π > nên S > 3S1, suy tồn điểm O điểm đường tròn số đường tròn (Ai) Giả sử đường tròn (A1), (A2), (A3), (A4) 1,0 điểm Khi điểm A1, A2, A3, A4 nằm bên đường tròn tâm O bán kính 1cm Hết -