MÃ KÍ HIỆU [*****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01trang) x−3 x 9− x x −3 x −2 : − − Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = 1 − x+ x −6 2− x x − x + 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị lớn P.(x + 1) Câu 2: (2,0 điểm) 1) Cho biết phương trình x2 + px + = có hai nghiệm a b, phương trình x2 + qx + = có hai nghiệm b c Chứng minh hê.thức: (b – c)(b – a) = pq – 2 x + y = 2) Giải hệ phương trình: 5 x + y = 11( x + y ) Câu 3: (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c số dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: a + b + b + c + c + a = 2016 a2 b2 c2 + + ≥6 b+c c+a a+b abcd = 252 2) Tìm số có chữ số abcd thỏa mãn: cd = 3cd − 10 Câu 4: ( 3,0 điềm) 1)Từ điểm A bên đường tròn tâm O kẻ tiếp tuyến AM AN với đường tròn M N, cát tuyến ABC (B nằm A C) Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh: AK AI = AB AC b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME 2) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) ; A1, B1, C1 tiếp điểm đường tròn với cạnh BC, AB, AC Gọi M giao điểm đường thẳng BC với B 1C1 Chứng minh MO ⊥ AA1 Câu : (1,0 điểm) Mỗi ô vuông đơn vị bảng kích thước 10 x 10 (10 dòng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần -Hết MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015 - 2016 [*****] MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1) Tìm điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9 x −3 x 9− x x −3 x −2 : + − P = 1 − x −9 x +3 x −2 x −2 x + ( )( ) =…= 2) .P ( x + ) = 2− x = −3 x − + x −2 − 3( x + 1) 1,0 + x −2 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Cô si Max [ P.( x + 1)] = −6 − 12 Chỉ dấu x = ( 5+2 ) a + b = − p b + c = − q ; ab = bc = 1) Theo định lí Viet ta có : 0,5 0,25 => (a + b)(b + c) = pq ⇔ ab + ac b2 + bc = pq 0,25 ⇔b2 – bc – ab - + ac = pq – 2ab – 2bc 0,25 ⇔(b – c)(b – a) = pq – 0,25 2) Ta có x5 + y5 = (x2 + y2(x3 + y3) – x2y2(x + y) => 5(x3 + y3) x2y2(x + y) = 11(x + y) ⇔(x + y) [5(x2 + y2) – 5xy – x2y2 – 11] = 10 − 10 − 10 10 ; ; ; +) với : x + y = Tìm : (x ; y) = 2 0,25 0,25 +) Với : 5(x2 + y2) – 5xy – x2y2 – 11 = 0, đặt xy = t Ta đươc pt t2 + 5t – 14 = ⇔t = hoăc t = -7 0,25 x + y = x + y = −3 -) t = => Tìm : (x ; y) = (1 ;2) ; (2 ; 1) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1) -) t = -7 x2 + y2 = =>( x + y)2 = - (loại) Kl : Hệ dã cho có nghiệm 0,25 1)Ta có : 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 2 a b c a2 b2 c2 + + ≥ Suy + + 2(b + c ) 2( c + a ) 2( a + b ) b+c c+a a+b Đặt x = b + c VT ≥ y = bc + a y2 + z2 − x2 2 + z= z2 + x2 − y2 2 + 0,25 a + b suy x2 + y2 − z2 0,25 2 ( z + x) ( x + y) ( y + z ) ≥ − x + − y + − z = 2 x 2y 2z ( z + x) ( x + y) ( y + z ) + x − x + + y − y + + x − z 2 x 2y 2z ≥ 2 0,25 [ 2( y + z ) − 3x + 2( z + x ) − y + 2( x + y ) − 3z ] => VT ≥ ( x + y + x) = 2016 =6 0,25 2 2 ⇔ 2) Ta có : 3cd – 10 = cd = 10c + d (3c – 1)(3d – 10) = 40 Vì abcd =252 nên a, b, c, d ≠ 0, 3c – > 2, 3d– 10 > Ta có 3c – + = 3c, 3d – 10 + = 3d – số chia hết cho 3, 0,25 nên phân tích số 40 = 5.8 = 20.2 +)Nếu 3c – = 5, 3d – 10 = c =3, d = 6, a = 3,b = a = 7, b=3 0,25 +) Nếu 3c – = 8, 3d – 10 = thi c = , d = 5,khi ta có 3.5ab ≠ 252 +) Nếu 3c – = 20, 3d – 10 = 2, ta có c = 7, d = a = 1,b =9 ; a=3 , b = ; a = 9, b = 1’ +) 3c – = 2, 3d – 10 = 20 c = 1, d = 10 (L) 0,25 Vậy : Các số cần tìm 3726, 7326, 1974, 3374, 9174 0,25 1) B a) Hai tam giác AHK AIO đồng dạng => AK AI = AH AO 0,25 Tam giác AMO vuông M có MH ⊥ AO => AH AO = AM2 0,25 có AM2 = AB AC 0,25 => AK AI = AB AC 0,25 b) Hai tam giác MEH QMD đồng dạng (g- g) 0,25 =>ME DQ = MQ MH (1) Hai tam giác MHQ PHM đồng dạng (g – g) => MP HQ = MQ MH (2) 0,25 Từ (1) , (2) => ME DQ = MP HQ = MP 2DQ 0,25 => ME = 2MP => P trung điểm ME 0,25 2) A C1 H B1 O M C A1 B Gọi H giao AO MC1 , có AO ⊥ B1C1 H Ta có OH OA = B1O2 = A1O2 => OH OA1 = , AOˆ A1 chung OA1 OA 0,25 ˆ H = OAˆ A => Hai tam giác AOA1 A1OH đồng dạng => OA 1 0,25 ˆ H = OMˆ H Tứ giác MHOA1 nội tiếp => OA 0,25 ˆ A = OMˆ H => OM ⊥ AA1 => OA Trên hình vuông kích thước x có không số chia hết cho 2, có không số chia hết cho lát kín bảng 25 hình vuông kích thước x 2, có nhiều 25 số chia hết cho 2, có nhiều 25 số chia hết cho Do có 50 số lai.không chia hết cho 2, không chia hết cho chúng phải số 1, 5, Theo nguyên lý Dirichlet có số xuất 17 lần 0,25 1,0