đề thi học sinh giỏi toán 9

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 [*****] MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 bài, 01 trang) Bài 1: (2.0 điểm) a/ Chứng minh đẳng thức: 1+ 3 1+ 1+ + 1− 3 1− 1− =1 b/ Giải phương trình: 6x − = + x − x x − 1− x Bài 2: (2.0 điểm) a/ Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có 2 nghiệm gấp k lần nghiệm kb − (k + 1) ac = 0(k ≠ 0) b/ Giải hệ phương trình:  xy − = − y   xy = + x Bài 3: (2.0 điểm) a/ Tìm số tự nhiên A, biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai: 1) A + số phương 2) Chữ số tận A chữ số 3) A – 80 số phương b/ Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) ∀a, b, c, d , e Bài 4: (3.0 điểm) Cho ∆ABC Gọi P tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Đường thẳng qua P vuông góc với CP cắt tia CA,CB theo thứ tự M N.Chứng minh: a/ Điểm M nằm hai điểm C A AM  AP  = ÷ BN  BP  b/ AM BN CP + + =1 c/ AC BC AC.BC Bài 5: (1.0 điểm) Từ 12 học sinh nam nữ, giáo viên chọn em tham quan,trong có nam nữ Hỏi có cách chọn? Hết MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015 - 2016 [*****] MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý : - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm phần học sinh đạt Bài ( điểm) Đáp án Điểm a (1 điểm) +Ta có 1+ 1− = 4+2 = = 4−2 = 1− + 1+ 1+ 1− → VT = 1+ (1+ ) (1− 3) = 1+ = 1− 2 3 −1 0,5 điểm 2+ 2− + = 3+ 3− 0,25 điểm = = VP (đpcm) 0,25 điểm b (1 điểm) x≠ +ĐKXĐ : ≤ x ≤ Khử mẫu vế trái ta có 0,25 điểm (6 x − 3).( x + − x ) = + x − x x − (1 − x) ⇔ 3(2 x − 1).( x + − x ) = + x − x 2x −1 0,25 điểm ⇔ 3( x + − x ) = + x − x (*) Đặt x + − x = t với t > 2 → x − x = t − áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 0,25 điểm t ≤ < t ≤ 2 Khi pt (*) trở thành t − 3t + = ↔ t = (t/m) t = (loại) Với t = ta có x + − x = ↔ x( x − 1) = 0,25 điểm ↔x = (t/m ) x = (t/m) Vậy pt có nghiệm x = ; x = a (1 điểm) + Ta có x1 + x2 = − b c x1.x2 = a a 0,25 điểm x1 − kx2 ) ( x2 − kx1 ) = x1.x2 (k + 1) − k ( x1 + x2 )2 ( Xét c ac( k + 1) − kb kb2 − ac( k + 1) b (k + 1) − k  ÷ = =− a2 a2 a = a (2 điểm) Nếu ( x1 − kx2 ) ( x2 − kx1 ) = 0,25 điểm hay x1 = kx2 x2 = kx1 0,25 điểm 2 Thì kb − (k + 1) ac = 2 Nếu kb − (k + 1) ac = x − kx2 ) ( x2 − kx1 ) = ( 0,25 điểm hay x1 = kx2 x2 = kx1 b (1 điểm) (I)  xy − = − y (1)   xy = + x (2) + Từ (2) có xy = + x ≥ ⇒ xy ≠ y= + x2 x (*) 0,25 điểm  + x2  x − = 8− ÷ ≥0  x  + Thay (*) vào (1) có 0,25 điểm → ( + x2 ) ≤ 8x2 ⇔ x4 − x2 + ≤ ⇔ ( x2 − ) ≤ 2 0,25 điểm ⇔ x2 = ⇔ x = ± +x= → y =2 + x = − → y = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )( 2; 2 ; − 2; −2 ) 0,25 điểm a (1 điểm) (2 điểm) + Nếu mệnh đề 2) từ 1) ta có A + có chữ số tận từ 3) ta có A – 80 có chữ số tận Mà số phương có chữ số tận 0,25 điểm Như 2) 1) 3) sai, trái với giả thiết Vậy mệnh đề 2) sai mệnh đề 1) , mệnh đề 3) 2 +Đặt A + = m A – 80 = n ( với m, n nguyên dương m > n) → m − n = 89 ↔ ( m − n ) ( m + n ) = 89 0,25 điểm Do m + n m – n hai số nguyên dương đồng thời m + n > m – n 89 số nguyên tố, nên ta có:  m + n = 89  m − n = 0,25 điểm Giải hệ phương trình ta có m = 45 0,25 điểm Vậy A = 45 + = 2016 , tmđk đề b (1 điểm) 2 2 +BĐT ↔ f (a ) = a − (b + c + d + e)a + (b + c + d + e ) ≥ ∀a, ∀b, c, d , e 0,5 điểm Theo BĐT Bunhiacopski ta có ( b + c + d + e) ( )( ≤ 12 + 12 + 12 + 12 b + c + d + e ( ) ) ↔ ( b + c + d + e ) − b2 + c + d + e2 ≤ Vậy ∆ ≤ → f (a) ≥ ∀a, ∀b, c, d , e → đpcm 0,5 điểm Vẽ hình 0,25 đ a (0,75 điểm) µ µ ·APC = 1800 − A + C 1800 − 180 = 900 2 > Ta có · · · Mà CPM = 90 → CPM < CPA → M nằm A C 0,25 điểm 0,5 điểm b (1 điểm) (3 điểm) µ µA + B µ C · PMC = 900 − = 2 Ta có 0,25 điểm µA µ B · PMC = + ·APM → ·APM = = ·ABP 2 Xét ∆APM có góc 0,25 điểm → ∆ AMP ∆APB (g.g) CM tưng tự có → ∆ PNB → AM AP = → AM AB = AP (1) AP AB 0,25 điểm ∆APB (g.g) BN BP = → BN AB = BP (2) BP AB Chia vế (1) cho (2) ta có đpcm → 0,25 điểm c (1 điểm) ∆ AMP ∆PNB (g.g) → AM PN = → AM BN = PM PN PM BN 0,25 điểm 2 Vì PM = PN ; CM =CN → AM BN = PM = CM − CP 0,25 điểm → AM BN = CM CN − CP = ( AC − AM )( BC − BN ) − CP 0,25 điểm → AM BC + AC.BN + CP = AC.BC → (1 điểm) AM BN CP + + =1 AC BC AC.BC Có khả việc chọn em * Chọn nam , nữ : 0,25 điểm 0,5 điểm + Có C7 = cách chọn nam học sinh nam + Có C5 = 10 cách chọn nữ học sinh nữ Vậy có 7.10 = 70 cách chọn nam , nữ * Chọn nam , nữ : Tương tự có C5 C7 = 105 cách chọn nam , nữ Vậy số cách chọn học sinh theo yêu cầu : 70 + 105 = 175 cách -Hết - 0,5 điểm