Tìm giá trị của a để hệ phương trình vơ nghiệm.. Câu 5 3 điểm: Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình: Một ơ tơ đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - TỐN 9 Câu 1 (2 điểm):
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 6 x 5
b) x 5 x 6
2 Chứng minh giá trị của biểu thức:
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ + + + + + (với x ≥ 0) khơng phụ thuộc vào biến x.
Câu 2 (2 điểm): Tính giá trị của biểu thức
(2007 2017 31 2008 1 2007 2012 42 ) ( )
M
2008 2009 2010 2011 2012
=
Câu 3 (3 điểm): Cho biểu thức: P x 1 : 1 2
x 1
= − − − ÷ ÷ + + − ÷
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tính giá trị của P khi x 3 2 2= +
3 Tìm giá trị của x sao cho P < 0
Câu 4 (2 điểm): Cho hệ phương trình ax y 1x y 335 (
2 3
− =
− =
a là tham số; x, y là các biến)
1 Giải hệ phương trình khi a = 1
2 Tìm giá trị của a để hệ phương trình vơ nghiệm
Câu 5 (3 điểm): Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình:
Một ơ tơ đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định Nếu vận tốc ơ tơ tăng 10km/h thì thời gian sẽ giảm 30 phút Nếu vận tốc ơ tơ giảm 10km/h thì thời gian tăng 45 phút Tính vận tốc và thời gian dự định đi
Câu 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC vuơng ở A cĩ B 20µ = 0, phân giác trong BI Vẽ
ACH 30= về phía trong tam giác Tính ·CHI
Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), gọi D là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến tại B và C với đường trịn (O) cắt nhau tại E Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp AB và CD; AD và CE
1 Chứng minh BC // DE
2 Chứng minh các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được
3 Tứ giác BCQP là hình gì ?
Câu 8 (3 điểm): Cho hình bình hành ABCD cĩ đỉnh D nằm trên đường trịn đường kính
AB Vẽ BN và DM cùng vuơng gĩc với đường chéo AC Chứng minh:
1 Tứ giác CBMD nội tiếp được đường trịn
2 Khi điểm D di động trên đường trịn thì BMD BCD· +· khơng đổi
3 DB DC DN AC× = ×
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1:
(0,50đ) (0,50đ)
2
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
2x x 6x 5x 11 x 2 x 11 x 10
x x x 5x 5 x 6 x 6
2 x x 6x 11 x 6
2
x x 6x 11 x 6
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (không phụ thuộ
=
=
Câu 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
x x 10 31 x 1 1 x x 5 4
x 10x 31x 30 x 5x 4
x 2 x 3 x 4 x 5
M
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
2
1x 30 x 5x 4
M 1
(0,25đ) (0,25đ)
Câu 3:
a)
:
x 1
x
(0,25đ) (0,25đ)
≠
=
−
2
b) x 3 2 2 1 2
x 1 3 2 2 1
P
2 1 2
2
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25đ)
+ +
+
{ {
x 1
x
x 1 0
x 0
x 1
x 0
0 x 1
(0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (thỏa mãn đ/k) (0,25đ)
−
< ⇔ <
− <
⇔ >
<
⇔ >
⇔ < <
Trang 3Câu 5: Gọi vận tốc dự định đi của ơ tơ là x(km/h) (0,25đ)
Đk: x > 10 ; y > 1
Nếu ơ tơ tăng vận tốc 10km/h thì thời gian giảm 30phút = 1
2giờ, ta cĩ phương trình:
(x 10 y) 1 xy
2
(0,25đ) (0,25đ)
+ + ÷=
Nếu ơ tơ giảm vận tốc 10km/h thì thời gian tăng 45phút = 3
4giờ, ta cĩ phương trình:
(x 10 y) 3 xy
4 3x 40y 30 (2)
(0,25đ)
(0,25đ)
− + ÷=
{ {
{
x 20y 10 3x 40y 30 20x 40y 20
3x 40y 30
x 50
y 3
(0,25đ)
=
Vậy: Vận tốc dự định đi của ơ tơ là 50km/h
Câu 7.
·
·
0
0 0
40
1 AHC vuông tại A có ACH nên AH = (0,25đ)
2
AH (1) (do CK là phân giác
HK
Câu 6.
·
·
)
AB BC AH
HK
của HCB (0,25đ)
AI
Do BI là tia phân giác của ABC nên (3) (0,25đ)
IC AI
IC
=
:
,25đ)
y 335 3
3x 2y 2010 3x 2y 2010 y 2007
y ax 1
3
ax 1 x 1005
2
x-y=1 x
2
0,25đ) (0,25đ)
− =
( )
y ax 1 3
2
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi hệ * vô nghiệm (0,25đ)
(0,25đ)
⇔ − = ⇔ =
Trang 4· » ( )
0 0
1 a)
2 1
s CD
2
CDE ED // BC OCE 90
Ta có BCD sđBD do DE là tiếp tuyến đường tròn (O) (0,25đ)
b) ODE vì DE và CE là tiếp tuyến (0,25đ)
=
PCQ
APQC
QAC
PCB BAD
giác nội tiếp (0,25đ)
mà BD (gt) PAQ
c) Do ACPQ là tứ giác nội tiếp (0,25đ)
QPC cùng chắn cung CQ
⇒
=
⇒
· BAD· QPC PCB· · PQ // BC
(0,25đ) cùng chắn cung BD
Vậy BCQP là hình thang
Câu 8.
·
·
0 0
0
90
Do AB là đường kính đường tròn (O) ADB (0,25đ)
mà ADB (so le trong) DBC (1)(0,25đ)
Mặt khác DMC (gt) (2)(0,25đ)
Từ (1) và (2) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường
=
b) Khi D di động trên đường trịn thì (O) thì CBMD luơn là tứ giác nội tiếp (0,25đ)
Vậy khi D di động trên đường trịn thì ·BMD BCD+· luơn khơng đổi (0,25đ)
0
BAN
BDN ACD ACD
DAN DBN
CD
AC DN BD CD DN
mà BAN so le trong
AC
BD
E
O
B
Q
P C
A
D
0,25đ