KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được...

Trường Đại học Hoa Lư KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP "PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ SVTH: Đinh Thị Ngát  Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như trong các nghành khoa học khác. Kết quả quan trọng của nó đánh dấu bởi bài toán đếm số phân hoạch cuả Leonhard Euler. Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống. Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Em là người rất yêu thích toán tổ hợp nhưng mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Vì vậy em lựa chọn đề tài: ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp. Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổ hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mở rộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận. Khóa luận được chia làm hai chương: Chương 1: (Cơ sở lý thuyết về tổ hợp) chương này tập trung trình bày lý thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải các bài toán đại số tổ hợp. Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 2 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Chương 2 : (Các dạng toán đại số tổ hợp) đây là chương chứa nội dung chính của khóa luận. Chương này em phân dạng và hệ thống các bài toán đại số tổ hợp. Đặc biệt trong chương này em đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán để có được các bài toán hay và khó. Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sư phạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trường Đại học Hoa Lư, một số giáo viên Toán ở trường phổ thông, các bạn sinh viên chuyên nghành Toán và các em học sinh trương phổ thông. Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế qua quá trình giảng dạy của thầy cô. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Đức Lợi đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán (khoa khoa học tự nhiên trường Đại học Hoa Lư), thầy Nguyễn Đức Hải (trường THPT Nho Quan B), bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ em hoành thành tốt khóa luận. Ninh Bình, tháng 5 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Ngát Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 3 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Chương I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton, Các nội dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản, nâng cao và hệ chuyên nghành toán. 1.1. Nhắc lại về tập hợp 1. Tập hợp con Định nghĩa: Cho tập hợp A . Tập hợp B gọi là tập con của tập A khi mọi phần tử của tập B đều thuộc A . B ⊂ A ↔ ∀ ,x x B∈ → x ∈ A . Tính chất: - Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là φ và A . - Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2 n . 2. Tập hợp sắp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau. Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ sắp thứ tự ( ) 1 2 , , , m a a a và ( ) 1 2 , , , m b b b bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau ( ) 1 2 , , , m a a a = ( ) 1 2 , , , m b b b ⇔ i a = i b 1,2, , .i m= 3. Số phần tử của một số tập hợp Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là: │ A │ hoặc ( ) n a . , , A B C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó: Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 4 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư │ A ∪ B │= │ A │+│ B │-│ A ∩ B │. │ A ∪ B ∪ C │=│ A │+│ B │+│ C │-│ A ∩ B │-│ B ∩ C │-│ A ∩ C │ +│ A ∩ B ∩ C │. Tổng quát: Cho 1 2 , , , n A A A là n tập hợp hữu hạn ( 1)n > . Khi đó: │ 1 A ∪ … ∪ n A │= 1 n i i A = − ∑ 1 n i k i k n A A ≤ < ≤ ∩ + ∑ + 1 n n i k l i k l A A A ≤ < < ≤ ∩ ∩ ∑ +…+ 1 1 2 ( 1) n n A A A − ∩ ∩ ∩ − . (1) 1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân 1.2.1. Quy tắc cộng Giả sử có hai công việc: Việc thứ nhất có thể làm bằng n cách, Việc thứ hai có thể làm bằng m cách. Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có n m+ cách làm một trong hai việc trên. Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc 1 2 , , , m T T T có thể làm tương ứng bằng 1 2 , , , m n n n cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong việc đó là: 1 2 m n n n+ + + . Biểu diễn dưới dạng tập hợp: 1. Nếu , X Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì: X Y X Y+ = + Nếu 1 2 , , , n X X X là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì: 1 2 n X X X+ + + = 1 2 n X X X+ + + 2. Nếu , X Y là hai tập hữu hạn và X Y⊆ thì: Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 5 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư \X Y X Y X= = − 1.2.2.Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện hai công việc nhỏ là 1 H và 2 H , trong đó: 1 H có thể làm bằng 1 n cách, 2 H có thể làm bằng 2 n cách, sau khi đã hoàn thành công việc 1 H . Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có 1 2 .n n cách. Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ là 1 H , 2 H ,…, k H trong đó: 1 H có thể làm bằng 1 n cách. 2 H có thể làm bằng 2 n cách, sau khi đã hoàn thành công việc 1 H . … k H có thể làm bằng k n cách, sau khi đã hoàn thành công việc 1k H − . Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có 1 2 . k n n n cách. Biểu diễn dưới dạng tập hợp: Nếu 1 2 , , , n A A A là n tập hợp hữu hạn ( ) 1n > , khi đó số phần tử của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần. Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các 1 2 n A A A× × × được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của 1 A , một phần tử của 2 A ,…, một phần tử của n A . Theo quy tắc nhân ta nhận được đẳng thức: 1 2 n A A A× × × 1 2 . n A A A= . 1.3. Giai thừa và hoán vị 1. Giai thừa Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 6 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Định nghĩa: Giai thừa n , kí hiệu là n ! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n . ( ) ( ) ! 1.2.3 . 1 . n n n= … − , n∈¥ , n >1. Quy ước : 0!= 1. 1!= 1. 2. Hoán vị Định nghĩa: cho tập hợp A , gồm n phần tử ( 1)n ≥ . Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu: n P là số các hoán vị của n phần tử. n P ( ) ! 1.2 1 .n n n= = … − 1.4. Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( 1)n ≥ . Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Kí hiệu: k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Công thức: k n A = ! ( )! n n k− = ( ) ( ) . 1 1 n n n k− … − + (với 1 k≤ ≤ n ). Chú ý: Một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần tử. ! n n n A P n= = . 1.5. Tổ hợp Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 k≤ ≤ n ). Kí hiệu: k n C (1 k≤ ≤ n ) là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Công thức: k n C = ! !( )! n k n k− Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 7 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Chú ý: 0 n C = 0. k n k n n C C − = (0 k≤ ≤ n). k n C + 1k n C + = 1 1 k n C + + ( 1 k n≤ ≤ ). 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa: Cho n vật a, b, c, , l… . Một chỉnh hợp chập p có lặp lại gọi tắt là chỉnh hợp lặp của n vật đó là một dãy thứ tự gồm p phần tử trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần. Chú ý: • Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là p n . • Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng. 1.6.2.Hoán vị lặp Cho một tập hợp gồm n vật, trong đó có a vật loại A giống nhau, b vật loại B giống nhau,…, l vật loại L giống nhau. Với n a b l= + +…+ , khi đó số cách hoán vị thực sự khác nhau là: n P = ! ! ! ! n a b l × 1.6.3.Tổ hợp lặp Cho n vật , , , a b l… . Một tổ hợp chập p có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của n vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm p vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần. Kí hiệu: p n C là số tổ hợp có lặp chập n của p phần tử. Chú ý: • Số tổ hợp có lặp lại n chập p là p n C = 1 p n p C + − = 1 1 n n p C − + − . Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 8 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư • Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý. 1.7. Nhị thức Newton 1.7.1. Nhị thức Newton 0 ( ) n n k n k k n k a b C a b − = = + ∑ được gọi là công thức nhị thức Newton. Hệ quả: 0 1 2 2 (1 ) ( 1) n n n n n n n n x x C C C x C x = ± + ± + ± − . Chú ý: - Số các số hạng của sự khai triển ( 1) n a+ là 1n + . - Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số mũ n . - Số hạng tổng quát 1k T + của khai triển là 1 ( 0,1, , ) k n k k k n T C a b k n − + = = . - Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do k n k n n C C − = ( 0 k n≤ ≤ ). 1.7.2. Tam giác Pascal Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức ( ) n a b+ có thể được sắp xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal). 0n = 1 1n = 1 1 2n = 1 2 1 3n = 1 3 3 1 4n = 1 4 6 4 1 Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 9 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư 5n = 1 5 10 10 5 1 … … Như vậy k n C + 1k n C + = 1 1 k n C + + (1 )k n≤ < được gọi là hệ thức Pascal. Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ý khi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng cho từng dạng. 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương pháp thích hợp như: • Sử dụng các công thức, các quan hệ giữa các đại lượng tổ hợp. • Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức. • Sử dụng quy nạp toán học. • Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Bài 1: CMR: 2 2 1 (1.2 ) 2 n n n n n < < +    ÷   , với n∀ ∈¢ , n >2. Giải: Ta có 2 (1.2 )n = ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 2 1 1 .1n n k n k n− … − + …         . Mà ( ) 1 k n k n− + ≥     , với , , 0n k n k∀ ∈ ≥ >¢ . Áp dụng cho 1, 2, , k n= … , ta có: 1. , 2.( 1) , n n n n ≥ − > Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 10 [...]... k k +1 n × Cn e −∑ Bài 5: Tính S = ∑ k +3 k =1 k + 1 k =1 k + 3 e n 2.3 Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Đối với các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cần tìm điều kiện của ẩn số, sau đó sử dụng các công thức biến đổi thích hợp biến đổi vế phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cơ bản Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn... 2n, n ∈ ¥ chia hết cho tích số 1.3 (2n − 1) 2.2 Bài toán tính tổng Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải Khóa luận chia ra làm 4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sử dụng công thức nhị thức Newton 2.2.1 Sử dụng công thức Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt trên nó để tính tổng tổ hợp như: CT1: C k = Cn −k n... n ∑ k.Ck x k −1 n k =1 n −1 = Cho x = 1 ⇒ n.2 n ∑ k.Ck = S1 n k =1 Chú ý: Khi cho các giá trị x khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau Tùy thuộc vào bài toán ta chọn x thích hợp Tổng quát: Tính S = n m −1 ∑ ∏ (k − i)Cka k − m n k = m i =0 Giải: Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 24 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: n(1 + x) n −1 = n ∑ kCk x k −1 n (2) k =1 Lấy... Cn = 0 k n k n n n Bài tập tự giải Bài 1: Tính S = Bài 2: Tính S = Bài 3: Tính S = n k ∑ (−1)k +1 kCn k =1 và tổng quát bài toán n ∑ k 2C k n k =1 2012 2k ∑ kC4024 k =1 Bài 4: (ĐHSP TPHCM-A, 2011) Tính S = n k ∑ kCn 3n− k k =0 2.2.4 Sử dụng tích phân xác định Một số bài toán tính tổng ta thường sử dụng tích phân với cận thích hợp tùy thuộc vào bài toán cụ thể n 1 i C ∑ (−1)i+1 Bài 1: Tính S = i +1... C4024 i =1 Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 23 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư k i i k −i Bài 3: Tính S = ∑ (−1) Cn Cn −i (n, k ∈ ¢ + ,1 ≤ k ≤ n) i =0 n i i 2 Bài 4: Tính S = ∑ (−1) (Cn ) i =0 2.2.3 Sử dụng đạo hàm n Từ (a + bx) = n ∑ Ck (bx)k a n −k n k =0 ( a, b ∈ ¡ ) , Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2 cấp n hai vế một cách thích hợp để tính các tổng tổ hợp Bài 1: Tính S1 = n k ∑ k.Cn k =1... n +1 Tổng quát: S= n ∑ k =0 m Ck n = ∏ (k + i) n ∑ k =0 i =1 1 m ∏ (n + i) Ck + m n +m i =1 = 1 m n+m ∑ ∏ (n + i) k = 0 Ck + m − n i =1 = 1 m 2m + n − m 1 2m −1 m (2m + n − 2m −1 ) i =1 19 ∑ ∏ (n + i) k = 0 i =1 ∏ (n + i) Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B m ∏ (n + i) i =1 1 m −1 i =1 ∏ (n + i) = 1 k Cn + m Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Bài tập tự giải Bài 1: Tính tổng S1 = Bài 2: Tính tổng... 1)(i + 2) 2011 k 2011− k ∑ C2012C2012−k k =0 và tổng quát bài toán 3 p n n C2 Ck 1 n + 3 C n + + p Cn + + n C n = k n × Bài 3: Tính S0 = C n + 2 1 2 p −1 n −1 ∑ k −1 Cn Cn Cn Cn k =1 C n 2.2.2 Sử dụng khai triển nhị thức Newton Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho các bài toán tính tổng tổ hợp Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển: n k k ∑ Cn ( −1) x k ( 1− x) n... n n = 3 Bài tập tự giải 2 2 2 5 Bài 1: CMR : Pk An +1 An + 3 An + 5 = n.k ! An + 5 Bài 2: CMR: n! > 2n −1 (3 ≤ n ∈ ¢ ) n  1 Bài 3: 2 ≤ n ∈ ¥ Chứng minh: 2 <  1+ ÷ < 3  n Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối B, 2008) CMR: n +1  1 1  1 *  k + k +1 ÷ = k (n, k ∈ ¥ , k ≤ n) n + 2  Cn +1 Cn +1 ÷ Cn   Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 13 W Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư Bài 5: CMR:... phương trình cơ bản Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn + Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác 2.3.1 Giải phương trình Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 32 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư 2 x 2 3 3 x Bài 1: Giải phương trình C x C x − 2 + 2C x C x + C xC x −3 = 100 Giải: x ≥3 Điều kiện : ... Đinh Thị Ngát – D1 Toán Tin B 31 Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Hoa Lư  2n +1 1  = n.2 − 3.2 + 4. −  n +1 n +1÷ ÷   2 n−1 ×n − 5n + 2 − 4 × =2 n +1 n +1 n −1 n Bài tập tự giải Bài 1: tính S 2012 C k 2012 = ∑ k =0 k+2 1 0 1 1 ( −1) n n Bài 2: (ĐHBK, 1997) Tính: S = Cn − Cn + + Cn 2 4 2n + 2 i (−1)i Cn × Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối A, 1997) Tính S = ∑ 2i + 1 i =0 n k 2k + 3 Cn × Bài 4: Tính S = . tạo các bài toán đại số tổ hợp. Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổ hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận. Trường Đại học Hoa Lư KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP "PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ SVTH: Đinh