Bài 1: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng. Số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó.
a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Có bao nhiêu tứ diện.
Giải:
Mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không đồng phẳng. Trong p điểm sẽ có C3p mặt phẳng ( nếu p điểm này không có 4 điểm nào đồng phẳng).
Do trong p điểm có q điểm đồng phẳng tức là q điểm này chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng.
⇒ Số mặt phẳng cần tìm là C3p −Cq3 +1.
b) Một tứ diện có 4 đỉnh tương ứng với 4 điểm không đồng phẳng trong p điểm. Chọn 4 điểm bất kỳ trong p điểm trên có C4p cách.
Trong C4p có chứa Cq4 không là tứ diện. ⇒ Số tứ diện cần tìm là C4p −Cq4.
Bài 2: Trong mặt phẳng cho 3 điểm , , A B C. Từ A dựng m đường thẳng, từ B
dựng n đường thẳng, từ C dựng p đường thẳng. Trong đó các đường thẳng vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳng nào song song. Tìm số các tam giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳng trừ 3 điểm , , A B C.
Giải:
Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ A là n p+ . Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ B là m p+ . Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ C là n m+ .
⇒ Tổng số giao điểm là: 1[ ( ) ( ) ( )]
Mỗi bộ 3 giao điểm không thẳng hàng sẽ tạo ra 1 tam giác.
⇒ Số tam giác tạo ra là Cmn np pm3 + + −mCn p3+ −nC3m p+ − pCm n3+
Bài 3: Cho tập X có n phần tử, tập Y có m phần tử. Có bao nhiêu: a) Ánh xạ :f X →Y.
b) Đơn ánh :f X →Y khi m n≥ . c) Toàn ánh :f X →Y khi m n= . Giải:
a) Mỗi phần tử của X có m cách chọn phần tử tương ứng trong Y làm ảnh. Do X có n phần tử ⇒ số ánh xạ :f X →Y là . ... n
n
m m m m=
14 2 43 cách.
b) Để f là đơn ánh thì 2 phần tử khác nhau bất kỳ của X sẽ tương ứng 2 ảnh là 2 phần tử khác nhau thuộc Y.
Do đó ban đầu ta chọn n phần tử từ m phần tử từ Y làm ảnh cho các phần tử của X có Cmn cách.
Sắp xếp n phần tử của X vào n phần tử của Y đã chọn có !n cách.
⇒ Số đơn ánh Cnm. !n =Anm.
c) Khi m n= và f là toàn ánh thì f là song ánh.
⇒ Số song ánh là Ann =Pn =n!.
Tổng quát:
Với n m≥ thì số toàn ánh từ X vào Y được tìm như sau:
Ta chọn m phần tử có thứ tự của X làm tạo ảnh cho m phần tử của Y có Anm
cách chọn.
Khi đó trong X còn (n m− ) phần tử, mỗi phần tử này có m cách chọn ảnh. ⇒ Có nm . ... nm n m n m A m m m A n − − = 14 2 43 số toàn ánh.
Giải: ¢5 ={0,1,2,3,4} . Xét các đa thức đơn hệ bậc 3 có dạng: f x x( )= 3+bx2 + +cx d 5 ( , ,b c d∈¢ ). → Có 5.5.5=125 đa thức. Nếu f x( ) khả quy thì f x( ) có dạng: * f x( ) (= −x m x n x k)( − )( − ),( , ,m n k∈¢5) → có C53 đa thức. * f x( ) (= −x m) (2 x n m n− ),( , ∈¢5) → có C52 đa thức. * f x( ) (= −x m) ,(3 m∈¢5) → có 5 đa thức.
* f x( ) (= −x m x)( 2 +nx p+ ), (m∈¢5,x2 +mx p+ là đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong ¢5).
Ta đi tìm số đa thức g x( )= x2 +mx p+ bất khả quy trong ¢5. Số đa thức dạng g x( ) trong ¢5 là 5.5=25. Nếu g x( ) khả quy thì g x( ) có dạng: • g x( ) (= −x m x n)( − ), ( ,m n∈¢5) → có 2 5 C đa thức. • g x( ) (= −x m) ,(2 m∈¢5)→ có 5 đa thức.
⇒ Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong ¢5 là 25 (− C52 + =5) 10 đa thức.
⇒ Số đa thức f x( ) (= −x m x)( 2 +nx p+ ) là 5.10=50. Vậy số đa thức đơn hệ bậc 3 bất khả quy trên ¢5 là:
3 2 5 5
125 (− C +C + +5 50) 50.=
Tổng quát: Tìm số đa thức bất khả quy bậc 3 trong ¢p ( p là số nguyên tố).
Giải:
• Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trên ¢p là: p2 −(C2p +C1p). • Số đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba trên ¢p là:
3 3 2 1
( p p p
p − C +C +C + p2−(C2p+C1p)= p3−(C3p+ p2).
⇒ Số đa thức bất khả quy bậc ba trên ¢p là ( p−1)p3 −(C3p + p2)
.
Bài tập tự giải
Bài 1: Cho tập hợp X ={1, 2, …, 2012}.
a) Có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7. b) Có bao nhiêu cách chọn ra m số mà có 2 số liên tiếp.
Bài 2: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác H .
a) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh đa giác.
b) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác, không có cạnh nào là cạnh của đa giác.
c) Giả sử không có 3 đường chéo nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo.
Bài 3: Trong cuộc thi cờ vua có 2n người tham dự. mỗi người chơi đúng một bàn cờ với một người khác. CMR có 1.3...(2n−1) cách sắp đặt.
Bài 4: Một đoàn người gồm 21000 người xuất phát từ điểm O, một nửa đi về hướng Đông, một nửa đi về hướng Tây. Mỗi nhóm mỗi khi gặp giao lộ lại tách làm đôi. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi có bao nhiêu người đến mỗi giao lộ ở hàng thứ 1000.